9.2.4总体离散程度的估计、9.3统计案例　公司员工的肥胖情况调查分析课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.4　总体离散程度的估计 9.3　统计案例　公司员工的肥胖情况调查分析 「学习目标」 1.通过标准差、方差和极差的运算,培养数学运算和数据分析的核心素养. 2.通过生活中具体的统计案例模型,培养数据分析、数学抽象和数学建模的核心素养. 知识梳理 自主探究 「知识探究」 平均距离、方差与标准差 师生互动 合作探究 探究点一　平均数、方差和标准差的概念 [例1] 数据的信息除了通过各种统计图表来加以整理和表达之外,还可以通过一些统计量来表述.平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差这些统计量反映了数据的集中趋势或离散程度,下列表述不正确的是(　　) A.平均数、中位数、众数刻画了一组数据的集中趋势 B.平均数、中位数、众数一定出现在原数据中 C.极差、方差、标准差刻画了一组数据的离散程度 D.平均数、中位数、众数、极差、标准差单位与原数据单位保持一致 √ 解析:刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数、众数 等,A正确; 刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差等,C正确; 平均数、中位数、众数、极差、标准差单位与原数据单位保持一致,D正确; 平均数、中位数不一定出现在原数据中,B不正确.故选B. 方法总结 (1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量. (2)由于平均数与每一个样本数据有关,所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是中位数、众数都不具有的性质. (3)众数考查各数据出现的频率,其大小只与这组数据中的部分数据有关.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题. (4)方差和标准差反映的是一组数据的集中与离散程度.一般地,标准差和方差越小说明数据越集中、越稳定,反之越离散. [针对训练] (多选题)甲、乙两名同学6次的数学成绩统计如图,则下列说法正确的是(　　) √ √ 探究点二　平均数、方差和标准差的计算 角度一　分层随机抽样的方差 成绩y 4 5 6 7 8 9 频数 3 7 11 9 6 4 方法总结 [针对训练] (1)某学校高一、高二年级共1 000人,其中高一年级400人,现按照年级进行比例分配的分层随机抽样调查学生身高,得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为165 cm,170 cm和样本标准差分别为3,4,则总体方差s2等于(　　) A.18.5 B.19.2 C.19.4 D.20 √ √ 角度二　利用方差性质计算方差 [例3] 已知样本数据x1,x2,…,x100的平均数和标准差均为4,则数据-x1-1,-x2-1,…,-x100-1的平均数与方差分别为(　　) A.-5,4 B.-5,16 C.4,16 D.4,4 √ 解析:由题意知样本数据x1,x2,…,x100的平均数和标准差均为4,则x1,x2,…,x100的方差为16, 则-x1,-x2,…,-x100的平均数为-4,方差为(-1)2×16=16, 故-x1-1,-x2-1,…,-x100-1的平均数为-4-1=-5,方差为16.故选B. 方法总结 [针对训练] 已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是3,则对于以下数据:2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1,下列选项正确的是(　　) A.平均数是4,方差是6 B.平均数是4,方差是7 C.平均数是5,方差是7 D.平均数是5,方差是12 解析:由于数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是3,故数据2x1+1, 2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1的平均数是2×2+1=5,方差是22×3=12.故选D. √ 角度三　频率分布直方图中的方差计算 [例4] 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50), [50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值,并估计样本成绩的第80百分位数; 解:(1)由每组小矩形的面积之和为1, 所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030, 成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10= 0.65. 落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)× 10=0.9. 故第80百分位数在[80,90)内,设第80百分位数为m, 由0.65+(m-80)×0.025=0.80,得m=86,故第80百分位数的估计值为86. 方法总结 [针对训练] 在一次考试中,为了了解各学科的成绩情况,从所有考生中随机抽出20名考生的成绩进行统计分析,其中数学学科成绩的频率分布直方图如图所示,据此估计,在本次考试中数学成绩的方差为　　　　.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)  110 探究点三　利用方差、标准差对实际问题进行决策 [例5] 某教育集团为了办好人民满意的教育,每年年底都随机邀请8名教育学专家对集团内甲、乙两所学校进行办学质量评估(评分最高分110,最低分0,分数越高说明办学质量越高,分数越低说明办学质量越低).去年测评的数据如下: 甲校　98,110,97,108,100,103,86,98; 乙校　108,101,94,105,96,93,97,106. (1)分别计算甲、乙两所学校去年办学质量评估测评数据的平均数、中位数; (2)分别计算甲、乙两所学校去年办学质量评估的方差; (3)根据以上数据,你认为这两所学校哪所学校办学质量评分比 较高? 解:(3)由(1)(2)知甲、乙两所学校办学质量评分的平均数相同、中位数相同,而乙学校办学质量评分的方差小于甲学校办学质量评分的方差,所以乙学校办学质量评分比较高. 方法总结 (1)在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究偏离平均数的离散程度(即方差与标准差). (2)方差(标准差)刻画一组数据离平均数波动的幅度大小.方差 (标准差)较大,数据的离散程度较大;方差(标准差)较小,数据的离散程度较小. [针对训练] 甲、乙两名学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取9次,记录如下: 甲　82　81　79　78　95　88　93　84　85 乙　92　95　80　75　83　80　90　85　85 (1)求甲成绩的80%分位数; 解:(1)将甲的成绩从低到高排列如下:78,79,81,82,84,85,88, 93,95, 因为9×80%=7.2不是整数,所以选择第8个数作为80%分位数,即93. (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪名学生参加合适?请说明理由. 「当堂检测」 1.在一次连续10次的射击中,甲、乙两名射击运动员所射中环数的平均数一样,但方差不同,则下列说法正确的是(　 　) A.因为他们所射中环数的平均数一样,所以他们水平相同 B.虽然射中环数的平均数一样,但方差较大的,潜力较大,更有发展前途 C.虽然射中环数的平均数一样,但方差较小的,发挥较稳定,更有发展 前途 D.虽然射中环数的平均数一样,但方差较小的,发挥较不稳定,忽高忽低 √ 解析:由方差的意义可知,方差越小,数据越稳定;反之,方差越大,波动越大,所以C说法正确.故选C. √ 3.某小学对四年级的某个班进行体能测试,男生的平均分和方差分别为91和11,女生的平均分和方差分别为86和8,已知该班男生有30人,女生有20人,则该班本次体能测试的总体方差为　 . 15.8 点击进入 课时作业 假设一组数据是x1,x2,…,xn,用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即 (i=1,2,…,n)作为xi到的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,…,xn到的“平均距 离”为 . |xi-| |xi-| 为了避免式中含有绝对值,通常改用平方来代替,即.我们 称 为这组数据的方差.有时为了计算方差的方便,我们还把 方差写成以下形式: .方差的单位是原始数据的单位的平方. 称为这组数据的标准差. - 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则称S2= 为总体方差.S= 为总体标准差. 与总体均值类似,总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为 fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2= . 如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,则称s2= 为样本方差,s=为样本标准差. fi A.若甲、乙两组数据的平均数分别为,,则> B.若甲、乙两组数据的方差分别为,,则< C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D.乙成绩比甲成绩稳定 解析:A,甲测试成绩总分明显高于乙,所以>,因此本选项说法正确;B,根据数据的波动情况来看,甲的波动小,所以<成立,故本选项说法正确;C,通过题中图象可以看到甲成绩的极差小于乙成绩的极差,故本选项说法错误;D,根据数据的波动情况来看,甲的波动小,所以甲成绩比乙成绩稳定,故本选项说法错误.故选AB. [例2] 为调查某校高一、高二学生综合素质情况,某学校采用比例分配的分层随机抽样方法,从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加综合素质测评(满分:10分).经初步统计,参加测评的高一学生成绩xi(i=1,2,3,…,50)的平均分=7.4,方差=2.6,高二学生的成绩yi(i=1,2,3,…,40)的统计表如下: 解:(1)由题意,可得==6.5, =×[3×(4-6.5)2+7×(5-6.5)2+11×(6-6.5)2+9×(7-6.5)2+6×(8-6.5)2+4×(9-6.5)2]=1.95. (1)计算参加测评的高二学生成绩的平均分和方差; (2)估计该学校高一、高二全体学生成绩的平均分和方差. 解:(2)由(1),可得=×(50+40)=×(50×7.4+40×6.5)=7, =×[2.6+(7.4-7)2]+×[1.95+(6.5-7)2]=. 若一个总体划分为2层,通过比例分配的分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为m,,;n,,.记总的样本平均数为,样本方差为s2,则 ①=+; ②s2={m[+(-)2]+n[+(-)2]}. 解析:(1)总体样本平均数=+=×165+×170=168(cm), s2=[(-)2+]+[(-)2+] =×[(165-168)2+32]+×[(170-168)2+42]=19.2.故选B. (2)为响应国家号召,甲、乙两公司在某小区设置电动汽车充电桩.某一天,甲公司设置的10组充电桩被使用的平均时间为a,方差为2;乙公司设置的30组充电桩被使用的平均时间为b,方差为.若a=b,则该小区这40组充电桩被使用时间的方差为(　　) A. B. C. D. 解:(2)总样本平均数为==a, 设该小区这40组充电桩被使用时间的方差为s2, 则由题意可得s2===.故选B. 若一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,那么mx1+a, mx2+a,…,mxn+a(a,m为常数)的平均数是m+a,方差为m2s2. (2)已知落在[50,60)的平均成绩是56,方差是7,落在[60,70)的平均成绩为65,方差是4,求两组成绩的总平均数和总方差s2. 解:(2)由图可知,成绩在[50,60)的市民人数为 100×0.1=10, 成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20,故==62, s2=[10×(56-62)2+10×7+20×(65-62)2+20×4]=23, 所以两组市民成绩的总平均数是62,总方差是23. 根据频率分布直方图求一组数据的方差的方法:先利用每组的组中值乘该组的频率(即每组矩形的面积)求和得,再将每组的组中值减去平均数平方后乘该组的频率求和. 解析:根据频率分布直方图,得 该组数据的平均数约为=55×0.010×10+65×0.020×10+75× 0.035×10+85×0.030×10+95×0.005×10=75; 方差约为s2=(55-75)2×0.1+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.35+ (85-75)2×0.3+(95-75)2×0.05=110. 解:(1)甲学校办学质量评分的平均数为 ==100, 甲学校办学质量评分的中位数为=99; 乙学校办学质量评分的平均数为 ==100, 乙学校办学质量评分的中位数为=99. 解:(2)甲学校办学质量评分的方差为 =×[(-2)2+102+(-3)2+82+0+32+(-14)2+(-2)2]=48.25; 乙学校办学质量评分的方差为 =×[82+12+(-6)2+52+(-4)2+(-7)2+(-3)2+62]=29.5. 解:(2)甲成绩的平均数为=×(78+79+81+82+84+85+88+93+95)=85, 甲成绩的方差为=×[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+…+(93-85)2+ (95-85)2]≈31.6,乙成绩的平均数为=×(92+95+80+75+83+80+90+85+85)=85, 乙成绩的方差为=×[(92-85)2+(95-85)2+(80-85)2+…+(85-85)2+ (85-85)2]≈36.4, 因为=,<,甲的成绩比较稳定,所以派甲参加比较合适. 2.已知甲、乙两名同学在一次射击练习中各射靶10次,射中环数频率分布如图所示,令,分别表示甲、乙射中环数的平均数;,分别表示甲、乙射中环数的方差,则(　 　) A.<,> B.>,< C.=,> D.=,< 解析:由题图可知, =0.3×7+0.4×8+0.3×9=8, =0.4×7+0.2×8+0.4×9=8,=0.3×(7-8)2+0.4×(8-8)2+0.3×(9-8)2=0.6, =0.4×(7-8)2+0.2×(8-8)2+0.4×(9-8)2=0.8,所以=,<.故 选D. 解析:设全体同学体能测试成绩的平均分为,方差为s2, 记=91,=11,=86,=8,m=30,n=20, 依题意有===89, 则s2===15.8. $$