专题12 反比例函数的图象与性质【八大题型】 2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题12 反比例函数的图象与性质 1 反比例函数的概念 一般地，(为常数，)叫做反比例函数，即是的反比例函数. (为自变量，为因变量，其中不能为) 2 反比例函数的等价形式 是的反比例函数() () 变量与成反比例，比例系数为. 3 反比例函数的图像 反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线. 4 反比例函数的性质 ① 当时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，随的增大而减小； ② 当时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大； ③ 双曲线的两支会无限接近坐标轴，但不会与坐标轴相交. 5 反比例函数的几何意义 如下图，点在反比例函数的图像上， 则，. 因为点在反比例函数的图像上，所以， 由图可得，， 则，. 【题型1】 判断反比例函数的图象 【典题1】 函数与在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【巩固练习】 1.（2024·辽宁大连·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A．B．C． D． 2.（2024·广东汕头·二模）已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（  ） A．B． C． D． 【题型2】 反比例函数图象关于原点对称的特点 【典题1】 （2024·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【巩固练习】 1.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 2.（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 3.（2024·重庆·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 【题型3】已知反比例函数解析式判断其性质 【典题1】 （2023·湖北武汉·中考真题）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图像位于第二、四象限 B．图像与坐标轴有公共点 C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图像经过点，则 【巩固练习】 1.（2023·上海·中考真题）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 2.（2021·辽宁阜新·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（    ） A． B． C． D． 【题型4】 反比例函数系数k的几何意义 【典题1】 （2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习】 1.（2024·安徽·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数的图象上，连接，过点A作轴于点C，交于点D．若的面积为8，则k的值为 ． 2.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，若的面积为1，则 ． 3.（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【题型5】 求反比例函数解析式 【典题1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 【巩固练习】 1.函数的自变量x满足时，函数值y满足，则这个函数可以是（ ） A． B． C． D． 2.（2019·辽宁营口·中考真题）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标为5，，，则k的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 3.（2023·江苏淮安·三模）如图，直线经过点和点，交反比例函数的图像于点，过点作轴于点，若，则反比例函数表达式为 ． 【题型6】 实际问题与反比例函数 【典题1】（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【巩固练习】 1.（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A． B．  C．  D． 2.（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 3. （2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． (1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， (2)求电流关于电路中的电阻的函数关系； (3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 【题型7】 反比例函数与一次函数的综合 【典题1】 （2024·福建莆田·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数和的图象在第一象限内分别交于点A，B．过点A作轴于点C，过点B作，交的延长线于点D．若的面积为，则 ． 【典题2】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【巩固练习】 1.（2023·内蒙古·中考真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 2.（2024·广东广州·三模）如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为 ． 4. （2022·四川乐山·中考真题）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 5.（2023·四川巴中·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．    (1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式的解集． (3)将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 【题型8】反比例函数与几何综合 【典题1】 （2023·湖南怀化·模拟预测）如图，在直角坐标系内，正方形的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线的中点为D，且点D，C在反比例函数的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【典题2】（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1.（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 2.（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．108 4.（2023·重庆·一模）如图，已知四边形是平行四边形，反比例函数的图像经过点C，且与交于点D，连接，，若，的面积是10，则k的值为 ． 5.（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 6. 如图①，一次函数的图像交反比例函数图像于点，，交轴于点，点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图②，点为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图像于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图③，将一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，，求点的坐标． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 反比例函数的图象与性质 1 反比例函数的概念 一般地，(为常数，)叫做反比例函数，即是的反比例函数. (为自变量，为因变量，其中不能为) 2 反比例函数的等价形式 是的反比例函数() () 变量与成反比例，比例系数为. 3 反比例函数的图像 反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线. 4 反比例函数的性质 ① 当时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，随的增大而减小； ② 当时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大； ③ 双曲线的两支会无限接近坐标轴，但不会与坐标轴相交. 5 反比例函数的几何意义 如下图，点在反比例函数的图像上， 则，. 因为点在反比例函数的图像上，所以， 由图可得，， 则，. 【题型1】 判断反比例函数的图象 【典题1】 函数与在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】直线与y轴交于点，可否定A，D选项； 再根据k的取值符号是否一致（时，直线与双曲线都经过第一、三象限；时，直线与双曲线都经过第二、四象限）可以否定C， 故选：B． 【巩固练习】 1.（2024·辽宁大连·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限；根据实际意义以及函数的解析式，可判断图象是双曲线，根据以及自变量的取值范围即可进行判断； 【详解】，F为常数， 的图象是双曲线，且双曲线的图象在第一、三象限， ， 双曲线的图象在一象限, 故选：． 2.（2024·广东汕头·二模）已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（  ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．由抛物线与轴没有交点可求得，即可求解． 【详解】∵抛物线与轴没有交点， ∴没有实数根， ∴ ∴ ∴函数的图象在第一、第三象限， 故选：A． 【题型2】 反比例函数图象关于原点对称的特点 【典题1】 （2024·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 【巩固练习】 1.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 2.（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案． 【详解】解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点， ， 由图像可知，当时，x的取值范围是或， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点的坐标的坐标是解本题的关键． 3.（2024·重庆·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的中心对称性，勾股定理，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键．根据对称性可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法即可求得答案． 【详解】反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点 轴于点， 反比例函数的图象过点 ，即 故答案为：12． 【题型3】已知反比例函数解析式判断其性质 【典题1】 （2023·湖北武汉·中考真题）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图像位于第二、四象限 B．图像与坐标轴有公共点 C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图像经过点，则 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意； B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意； C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意； D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键． 【巩固练习】 1.（2023·上海·中考真题）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意； B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意； C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意； D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键． 2.（2021·辽宁阜新·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断两个点是否在同一象限内，然后根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】∵点，都在反比例函数的图象上，∴ ，图象位于第二、四象限内，且 随 增大而增大， ∵， ∴点在第四象限，点在第二象限， ∴ ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质，并会用数形结合的思想解决问题． 【题型4】 反比例函数系数k的几何意义 【典题1】 （2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 【巩固练习】 1.（2024·安徽·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数的图象上，连接，过点A作轴于点C，交于点D．若的面积为8，则k的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数值的几何意义可知：，利用相似推导出，继而得到值即可．本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 根据反比例函数值的几何意义可知：， ∴ ， ， ∵ ∴ ， 设， 则有：， 解得， ， ∴， 反比例函数图象在第四象限， ． 故答案为：． 2.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，若的面积为1，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，切线的性质，熟练掌握k值的几何意义是关键．连接，证明，根据，得出，根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵与x轴相切于点B，为的直径， D为y轴上一点， ∴轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵点C在函数的图象上， ∴． 故答案为：4． 3.（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，得到，，再根据题意得到，计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上，，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得，（舍去）． 故选：B． 【题型5】 求反比例函数解析式 【典题1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 由反比例函数k的几何意义得到的面积=的面积=，根据的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积可求出k，即可求出答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵矩形分别交某反比例函数于点F、G，，， ∴,的面积=的面积=， ∵的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积=9，矩形的面积， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 【巩固练习】 1.函数的自变量x满足时，函数值y满足，则这个函数可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：在直角坐标系内作出4 个函数的图象，可知，函数的自变量x满足时，函数值y满足，则这个函数可以是.故选A. 考点：1.反比例函数的性质；2.数形结合思想的应用. 2.（2019·辽宁营口·中考真题）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标为5，，，则k的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】由，设，，根据勾股定理求得，即可求得，得出，设，则，根据题意得出，，从而求得，则，，设B点的纵坐标为n，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，求得． 【详解】∵轴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∵点B的横坐标为5， ∴，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴，， 设B点的纵坐标为n， ∴，则， ∵，， ∴A，B是反比例函数图象上的两点， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形以及勾股定理的应用，表示出A、B的坐标是解题的关键． 3.（2023·江苏淮安·三模）如图，直线经过点和点，交反比例函数的图像于点，过点作轴于点，若，则反比例函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式、待定系数法确定反比例函数解析式等，先由题中条件求出点横坐标，再由待定系数法确定一次函数解析式，将点横坐标代入求出点坐标，再由待定系数法列式求出反比例函数解析式即可，掌握一次函数及反比例函数图象与性质，灵活运用待定系数法确定函数解析式是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， ， ，即， 过点作轴于点， 点的横坐标为， 直线经过点和点， 设直线，将点和点代入得， 解得， 直线， 直线交反比例函数的图像于点， 当时，，即， ，即反比例函数表达式为， 故答案为：． 【题型6】 实际问题与反比例函数 【典题1】（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【巩固练习】 1.（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意代入数据求得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，函数为反比例函数， 当时，， 即函数图象经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键． 2.（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为时的时间，再相减即可判断． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意； 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意； 令，则， ∴， ∴从开机加热到水温降至需要，即一个循环为， 设加热过程中水温与通电时间的函数关系式为：，把代入得：， 解得：， ∴此时， ∴水温与通电时间的函数关系式为， 上午10点到共30分钟，， ∴当时，， 即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意； 在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ∵， ∴一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 3. （2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． (1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， (2)求电流关于电路中的电阻的函数关系； (3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 【答案】(1) (2) (3)接入电路的滑动变阻器的电阻为． 【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键． （1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，即可求解； （2）由欧姆定律可知，，进而得出电源的电压为，即可求解； （3）将代入（2）所求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和， 电路中的电阻； （2）解：由欧姆定律可知，， 由题意可知，小灯泡的电阻为，当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为， ，解得：， 即电源的电压为， 电流关于电路中的电阻的函数关系为； （3）解：电流表的读数为， ， 解得：， 答：接入电路的滑动变阻器的电阻为． 【题型7】 反比例函数与一次函数的综合 【典题1】 （2024·福建莆田·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数和的图象在第一象限内分别交于点A，B．过点A作轴于点C，过点B作，交的延长线于点D．若的面积为，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数k值的几何意义，相似三角形的性质和判定，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． 根据值的几何意义得到，利用相似得到，继而有，再利用相似得到，继而求出值． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ∵点在反比例函数图象上， ， ∵的面积为， ， ， 如图，作轴，垂足为点， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 【典题2】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标； （2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可； 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． ∴， ∴, ∴， ∴反比例函数为：； ∴， 解得：，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，, ∴， ∴，， 如图，当时，最短； ∴； 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键. 【巩固练习】 1.（2023·内蒙古·中考真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方， ∴不等式的解集是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键． 2.（2024·广东广州·三模）如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，熟练掌握一次函数及反比例函数的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得两点坐标，进而可知、长度，利用三角函数解得，；设点坐标为，可知，再在与中计算、的长度，最后计算的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 对于直线，令，解得， 令，解得， ∴点，， ∴，， ∴， ∴，， 设点坐标为， 则有， ∴， 根据题意，点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵轴，轴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 3.（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，先利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再根据题意得到，则点B和点D的纵坐标都为1，据此求出B、D的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴， ∵轴于点C， ∴点B和点D的纵坐标都为1， 在中，当时，， 在中，当，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4. （2022·四川乐山·中考真题）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为y=； (2)图中阴影部分的面积为7． 【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD求解即可． 【详解】（1）解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3， ∴点A的坐标为(-1，3)， ∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)， ∴k=-1×3=-3， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称， ∴设直线l′的解析式为y=-x+m， 把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2， ∴直线l′的解析式为y=-x+2， 直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)， 直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)， ∴图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD=×6×3-×2×2=9-2=7． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键． 5.（2023·四川巴中·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．    (1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式的解集． (3)将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可； （3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可； 方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ， ，                             在双曲线上， ， ∴反比例函数的表达式为 ； （2）∵， ∴不等式的解集为：或 ； （3）方法一：连接，作轴于G，   在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ，                                    ， ， 直线CD的表达式为． 方法二： 连接BF，作轴于，   在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ∴设直线的表达式为， 在直线上， ， ， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键． 【题型8】反比例函数与几何综合 【典题1】 （2023·湖南怀化·模拟预测）如图，在直角坐标系内，正方形的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线的中点为D，且点D，C在反比例函数的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，反比例函数的图像和性质，构造全等三角形是解题的关键．作轴于点，过作轴于，设，证明，求出各点坐标，得到即可得到答案． 【详解】解：作轴于点，过作轴于， 设，则， 四边形是正方形， ， ， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的中点， 也是中点， ， 点D，C在反比例函数的图象上， ， 即， 点B的纵坐标为4， ，即， 联立方程组， 解得或（舍去）， ， ． 故选C． 【典题2】（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性求法是解答本题的关键． （1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）根据点为定点，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为， 是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标， 设直线解析式为， 代入点坐标得：， 解得：， 直线解析式为：， 设， ， 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或． 【巩固练习】 1.（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【详解】解：由题意，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：C． 2.（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 3.（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．108 【答案】D 【分析】过作于F，交于E，设，，，通过证明，得到 ，解方程组求得m与n的值，即可得到的坐标进而得到反比例函数中k的值． 【详解】解：如图所示 过A′作于F，交于E，由折叠性质以及正方形性质可得：， ， 设， ∴，． ∵ 正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点， ∴ ，． ∵， 即 解得：，．经检验符合题意； ∴ ∴ 反比例函数中， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性质、反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得的坐标是解决本题的关键． 4.（2023·重庆·一模）如图，已知四边形是平行四边形，反比例函数的图像经过点C，且与交于点D，连接，，若，的面积是10，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质和判定，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，得出是解题的关键 ． 作于，作于，根据反比例函数的几何意义可知：，设点，根据，可知点，根据梯形面积公式代入运算即可求得的值 ． 【详解】解： 作于，作于，作于， 则， 设点， ∴ ∵， ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 化简得：， 故答案为：． 5.（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式． 设点坐标为，，然后根据已知条件求出点坐标，用待定那个系数法求直线的解析式，再根据求出直线解析式，然后解方程组求出点坐标，求出点坐标，然后把，，坐标代入直线解析式，从而求出的值，再根据面积公式求面积． 【详解】解：设点坐标为，， ，点在轴上， ， 设的表达式为， 代入，得， 解得， 的表达式为， ， 的表达式为， 联立方程组， 解得， ，， ， 点，， 设直线的表达式为，代入，得：， 把点坐标代入得：， ， 解得， 点所在反比例函数解析式为， 则． 故答案为：，． 6. 如图①，一次函数的图像交反比例函数图像于点，，交轴于点，点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图②，点为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图像于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图③，将一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，易得，解得的值，进而确定点，的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，易得，求解即可确定点坐标，进而可利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数解析式，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，可有， ∴点， 将点的坐标代入反比例函数表达式， 可得 ， 即反比例函数表达式为； （2）设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上， 则有 ， 解得（舍去）或， ∴ ， ， 则； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，如下图， 对于一次函数， 令，可有，即的坐标为， 令，可有，解得，即的坐标为， 由题意可知，一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∵ ，， ∴，，，， ∴可有，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与反比例函数解析式， 可得，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$