第五课时 立体几何中的综合问题导学案-2025届高三数学二轮专题复习

高碑店紫泉中学二轮复习导学提纲（高三数学） 编制人：王玉红 审核：高三数学组 编号： 班级： 姓名： 日期： 第五课时 立体几何中的综合问题 【学习目标】 1、 熟悉立体几何中的翻折问题； 2、 熟悉立体几何中的截面或交线问题； 【学习重难点】立体几何中综合问题的应用. 【学习过程】 1、 要点梳理 1、 解决与折叠有关的问题： （1） 解决与折叠有关的问题的关键是搞清楚折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口； （2） 在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形； （3） 解决折叠问题的关注点：平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边与角，一般优先标出“未折坏”的直角（从而观察是否存在线面垂直），然后标出其他特殊角以及所有不变的线段。 2、 解决与截面或交线有关的问题： 立体几何中截面与交线问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性强，涉及的主要原理有：两个基本事实及两个性质。 (1)两个基本事实 ①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线． ②如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． (2)两个性质 ①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． ②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行。 2、 真题体验 1、 （2020年新高考Ⅰ卷）四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD,设平面PAD与平面PBC的交线为； ①证明：⊥平面PDC； ②已知PD=AD=1，Q为上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值。 2、(2024·新课标Ⅱ卷)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝，＝.将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4. ①证明：EF⊥PD； ②求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 3、 典型例题 例1：（1）如图(1)，在▱ABCD中，AD＝2BD＝4，AD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得点A到达点P处，如图(2)． ①若PC＝6，求证：PD⊥BC； ②若PC＝2，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值． （2）如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点．将△ADE沿线段DE折起到△PDE的位置，如图2所示． ①求证：DE⊥平面PCF； ②求证：平面PBC⊥平面PCF； ③在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由． 例2：（1）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面． （2）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　) A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．等腰梯形 4、 作业布置 1、在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为________． 2、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________． 3、如图，正方形ABCD的边长为2，以AC为折痕把△ACD折起，使点D到达点P的位置，且PA＝PB. ①证明：平面PAC⊥平面ABC； ②若M是PC的中点，设＝λ(0<λ<1)，且三棱锥A－BMN的体积为，求λ的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$