第四课时 立体几何中的向量方法导学案-2025届高三数学二轮专题复习

高碑店紫泉中学二轮复习导学提纲（高三数学） 编制人：王玉红 审核：高三数学组 编号： 班级： 姓名： 日期： 第四课时 立体几何中的向量方法 【学习目标】 1.能用向量的方法解决线面、面面的垂直问题和平行问题； 2.能用向量的方法求角和距离. 【学习重难点】夹角公式和距离公式的使用. 【学习过程】 1、 要点梳理 1、用向量证明平行、垂直 设直线的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，， (1)线面平行 ∥α⇔ ⇔ ⇔ 。 (2)线面垂直 ⊥α⇔ ⇔ ⇔ 。 (3)面面平行 α∥β⇔ ⇔ ⇔ 。 (4)面面垂直 α⊥β⇔ ⇔ ⇔ 。 2、用向量求空间角 设直线，m的方向向量分别为平面α，β的法向量分别为 (1)线线角 设直线与直线m所成的角为（），则= ； (2)线面角 设直线l与平面α所成的角为（），则= ； (3)面面角 设平面α与平面β所成夹角为（），则= 。 3、用向量求空间距离 (1)点到直线的距离 设直线的单位方向向量为，A是直线上的定点，P是直线外一点，，则点P到直线的距离为d＝ ； (2)点到平面的距离 平面α的法向量为，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为 d= . 2、 真题体验 1、(2024·新课标Ⅰ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； (2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为，求AD. 2、(2024·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2. (1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD； (2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值． 3、 典型例题 例1：（1）如图，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．证明： ①OM∥平面BCF； ②平面MDF⊥平面EFCD. （2）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证： ①B1D⊥平面ABD； ②平面EGF∥平面ABD. 例2：（1）已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A.　 　B.　 　C. 　　D. （2）在如图所示的六面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ABEF是梯形，AF∥BE，平面ABCD⊥平面ABEF，BE＝2AF＝2，EF＝. ①求证：AC∥平面DEF； ②求直线AD与平面ECD所成角的正弦值． （3）直三棱柱的体积为4，△的面积为 ①求A到平面的距离； ②设D为的中点，,平面⊥平面求二面角A-BD-C的正弦值。 例3（1）(多选)(2024·广东珠海模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是(　　) A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面ABC1D1的距离为 C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 （2）如图，四棱锥P－ABCD中，△ABD是等边三角形，PA＝PB＝PD，BC＝CD. ①证明：BD⊥PC； ②若BD＝2，CD＝AP＝，求点A到平面PCD的距离． 四、作业：专题强化训练（十五）重组 1 学科网（北京）股份有限公司 $$