（专项突破篇）第二单元·专项03 因数和倍数的认识、特征及解决问题（情境化提升版）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册(人教版)

2024-2025学年度五年级数学下册专项突破篇 专项03 因数和倍数的认识、特征及解决问题 一、仔细想，认真填。 1．植树节，李老师带领五年四班参加“我爱绿色”植树活动，他们一共种植了123棵小树苗，其中李老师和同学们每人种的棵数是一样的，五年四班可能有( )个学生。 2．《水浒传》是我国古典四大名著之一，作者成功塑造了“水泊梁山108位好汉”的形象。108的因数有( )个，其中最大的因数是( )。 3．定义运算“△”：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为。例如：。根据上面定义的运算，则( )。 4．为了庆祝“六一”儿童节，五年级学生举行队列表演，其中参与表演的男生有36人，女生有48人。如果男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，那么每排最多有( )人。 5．24的因数有8个，乐乐写出了7个：1，24，2，12，3，4，6。按照乐乐的排列方法，他漏了写( )后面的( )。玥玥也写出了7个：1，2，3，4，6，12，24。按照玥玥的排列方法，她漏写了( )后面的( )。 6．学校开展图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比25的倍数少12本。参与共享的图书最多有( )本。 7．同学们报名参加“冬奥会知识知多少”抢答赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有( )人报名参加。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 8．在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么除数是被除数的因数。( ) 9．如果，那么n和8都是m的因数，m是n和8的倍数。( ) 10．一个数既是45的倍数，又是45的因数，这个数是45。( ) 11．8是a的因数，也是b的因数，则8一定是a＋b的因数，也一定是ab的因数。( ) 12．一个数（0和1除外）的最大因数是它本身。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 13．古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，6＝1＋2＋3恰好是除6本身以外所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（    ）。 A．7 B．9 C．12 D．28 14．智能工厂里，机械臂可以通过输入设定值，将相同个数的零件装箱打包。一批零件有24个，如果不能每次单个打包，也不能一次全部打包，且最后正好打包完成，那么一共可以有（    ）种不同的设定值。 A．8 B．7 C．6 15．毕达哥拉斯研究发现：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如，6有4个因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余三个数相加，1＋2＋3＝6，所以6就是“完全数”。按照这样推理，下面的数是“完全数”的是（    ）。 A．16 B．28 C．36 D．以上都是 16．北京2022年冬奥会，我国体育代表团取得了16金、8银、13铜共37枚奖牌的佳绩，位列奖牌榜第一。奖牌枚数16、8、13都含有因数（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．5 17．第24届冬奥会于2月4日20：04在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词民谚，24秒，24种惊艳，中国队24分出场，“24”诉说着中国独有文化魅力。那么24有（    ）个因数。 A．6 B．8 C．10 四、计算小能手。 18．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 6和9           8和25          36和18          12和15 五、解决问题。 19．五（1）班共有40名学生参加了暑期军训。教官要求学生排成一排从左到右报数，1、2、3、4…，然后教官让所有报数是4的倍数的同学向后转，接着又让所有报数是5的倍数的同学向后转。现在没有动过的学生有多少人？ 20．猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 21．42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程） 22．早餐店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和2千克装。店长买回75千克豆油，用哪种规格的油桶能正好把豆油装完？需要多少个这样的油桶？ 23．五年级有40人报名参加义务植树活动，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求所分的组数大于4，小于10。可以分为几组？ 24．今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 25．将两筐苹果分给甲、乙两个班，每班一筐。如果甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个苹果；如果乙班每人分得10个，就有1人分得5个苹果。已知两筐苹果数相等，且每筐苹果数都在100个以上，200个以下。问甲、乙两班各有多少人？每筐苹果各有多少个？ 26．一圈小朋友玩报数拍手游戏，从1开始报起，凡是报到6的倍数的小朋友，要拍一次手；报到带6的数（比如26，65）的小朋友，要拍两次手；报到既是6的倍数又带6的数的小朋友，要拍3次手。那么他们报到100时，共拍了几次手？ 27．盒子里有48块糖，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种不同的拿法？每次拿出多少个？ 28．校运会开始了，李老师为运动员们买了80瓶饮料，选用哪种包装正好能把饮料装完？选择这种包装方式需要几个包装盒？ 参考答案 1．40 分析：由李老师和每名同学植树的棵数一样多，可知：植树的总棵数＝每人植树的棵数×总人数，每人植树棵数和人数都应该是整数，将植树总棵数分解质因数，123＝3×41，依此可知学生是41－1＝40（人），每名同学植树3棵；据此解答即可。 详解：123＝41×3 41－1＝40（人） 则五年四班可能有40个学生。 点睛：做题的关键是学生要先正确的把123写成123＝41×3，然后再求出学生的人数及每名同学植树的棵数。 2． 12 108 分析：应用列除法算式法找出108的因数，例如108÷1＝108，则1和108是108的因数，以此类推，找出所有的因数，再找到最大的因数，据此解答。 详解：108÷1＝108，108÷2＝54，108÷3＝36，108÷4＝27，108÷6＝18，108÷9＝12，所以108的因数有1，108，2，54，3，36，4，27，6，18，9，12。因此108的因数有（12）个，其中最大的因数是（108）。 点睛：考查找一个数因数的方法并探究一个数因数的特征。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3．231 分析：根据题意，求得57和12的最大公因数和最小公倍数，然后把最大公因数和最小公倍数相加即要。 详解：57＝3×19 12＝2×2×3 57和12的最大公因数是：3 57和12的最小公倍数是：3×19×2×2＝228 3＋228＝231 点睛：解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可。 4．12 分析：要求每排最多有多少人，即求48和36的最大公因数；据此解答即可。 详解：36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 36和48的最大公因数是：2×2×3＝12 男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，那么每排最多有（12）人。 点睛：点评此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数。 5． 3 8 6 8 分析：可以列乘法算式找一个数的因数。24＝1×24，24＝2×12，24＝3×8，24＝4×6，这四个算式中等号右边的数都是24的因数。通过观察发现：乐乐和玥玥都漏写了8。乐乐的排列方法是一对一对地写，每一对中先写小再写大；玥玥的排列方法是按从小到大的顺序。 详解：3和8是一对，8应写在3的后面，所以按照乐乐的排列方法，他漏写了3后面的8。 6＜8＜12，所以按照玥玥的排列方法，她漏写了6后面的8。 点睛：用乘法找一个数的因数时，一般要从自然数1开始一对一对地找，这样不容易遗漏。 6．188 分析：根据求一个数的倍数的方法，求出25的倍数，再减去12，然后结合图书本数在100到200之间，据此求出图书最多有多少本。 详解：25×8－12 ＝200－12 ＝188（本） 则参与共享的图书最多有188本。 点睛：本题考查求一个数的倍数，结合图书本数在100到200之间是解题的关键。 7．36 分析：先找出72的因数，4和9的倍数，再找出其中最小的相同数即可。 详解：72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝7×9 所以，72的因数有1，2，3，4，7，9，18，24，36，72。 4和9的倍数有：36，72…… 所以，既是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有36人报名参加。 点睛：本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数求法是解题的关键。 8．√ 详解：根据因数和倍数的定义，如在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数，据此解答即可。 9．× 分析：因数和倍数都是针对自然数来定义的，0.8÷0.1也等于8，但这种说法不成立，这句话只有当m和n都是整数时才成立，由此解答即可。 详解：如果，那么n和8都是m的因数，m是n和8的倍数，说法错误； 故答案为：×。 点睛：熟练掌握因数和倍数的概念是解答本题的关键。 10．√ 分析：根据一个数的最大因数和最小倍数都是本身，进行分析。 详解：一个数既是45的倍数，又是45的因数，这个数是45，说法正确。 故答案为：√ 点睛：本题考查了因数和倍数，一个数的倍数的个数是无限的，因数的个数是有限的。 11．√ 12．√ 分析：因为任何数×1＝原数，所以一个数的最小因数是1，最大是它本身。 详解：一个数（0和1除外）的最大因数是它本身。 故答案为：√ 点睛：考查了找一个数的最大因数。一个数的最小因数是1，最大是它本身，是基础题型。 13．D 分析：先列举出各个选项的数的所有因数，再根据“完全数”的意义，把除了他本身以外的所有因数相加，和等于它本身的就是“完全数”。 详解：A．7的因数有1、7；1≠7，7不是完全数。 B．9的因数有1，3，9；1＋3＝4；4≠9，9不是完全数。 C．12的因数有1、2、3、4、6、12；1＋2＋3＋4＋6＝16；16≠12；12不是完全数。 D．28的因数有1、2、4、7、14、28；1＋2＋4＋7＋14＝28；28＝28；28是完全数。 故答案为：D 14．C 分析： 由题意可知，该设定值应是24的因数，又因为不能每次单个打包，也不能一次全部打包，则除去1和24本身两个因数，其它的因数即为设定值。据此解答即可。 详解：24÷1＝24 24÷2＝12 24÷3＝8 24÷4＝6 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，所以设定值可以是2、3、4、6、8、12共6种。 故答案为：C 点睛：明确实际考查找一个数的因数的知识是解决本题的关键，其中，要根据实际情况，去除1和24本身两个因数。 15．B 分析：先列出这个数的所有因数，再除去这个数本身的因数，将其余的因数相加，若得数为其本身，则其为完全数。 详解：A．16的因数有：1、2、4、8、16，除去它本身的16 ，其余数相加＝1＋2＋4＋8＝15，不等于16，所以不是完全数； B．28的因数有：1、2、4、7、14、28，除去它本身的28 ，其余数相加＝1＋2＋4＋7＋14＝28，等于本身，所以28是完全数； C．36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，除去它本身的36 ，其余数相加＝1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，不等于它本身，所以不是完全数。 故答案为：B 点睛：本题考查求一个数的因数，明确完全数的含义是解题的关键。 16．A 分析：通过列乘法算式找一个数的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此分别写出16、8、13的因数，即可得解。 详解：16＝1×16＝2×8＝4×4 16的因数有1、2、4、8、16； 8＝1×8＝2×4 8的因数有1、2、4、8； 13＝1×13 13的因数有1、13； 所以奖牌枚数16、8、13都含有因数1。 故答案为：A 点睛：此题的解题关键是掌握求一个数的因数的方法。 17．B 分析：求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此解答。 详解：24÷1＝24 24÷2＝12 24÷3＝8 24÷4＝6 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24，一共8个因数。 故答案为：B 点睛：掌握求一个数因数的方法是解答题目的关键。 18．6和9的最大公因数是3，最小公倍数是；8和25的最大公因数是1，最小公倍数是 36和18的最大公因数是18，最小公倍数是36；12和15的最大公因数是3，最小公倍数是 分析：第2组的两个数是互质的，所以最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积；第3组的两个数成倍数关系，所以最大公因数是其中较小的数最小公倍数是其中较大的数36；第1、4两组可以先分别列举两个数的因数和倍数，再找到最大公因数和最小公倍数，也可以用短除法或分解质因数法。 详解：   6和9的最大公因数是3， 6和9的最小公倍数是。 8和25的最大公因数是1， 8和25的最小公倍数是。 36和18的最大公因数是18， 36和18的最小公倍数是36。      12和15的最大公因数是3， 12和15的最小公倍数是。 19．24人 分析：40以内（含40）的自然数中，4的倍数有10个，5的倍数有8个，20的倍数有2个。 详解：40－10－8＋2＝24（人） 20．0592－5056831 分析：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。 详解：5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。 所以这个电话号码是0592－5056831。 点睛：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 21．①分成21组，每组2人；②分成3组，每组14人；③分成7组，每组6人。 分析：写出乘积是42的所有乘法算式，偶数因数作为每组人数，另一个因数作为组数，组数不能为1。 详解：42＝1×42，42＝2×21，42＝3×14，42＝6×7； 由于组数是大于1的数， 所以分成2组，每组21人，不符合题意； 分成21组，每组2人，符合题意； 分成3组，每组14人，符合题意； 分成14组，每组3人，不符合题意； 分成6组，每组7人，不符合题意； 分成7组，每组6人，符合题意。 答：①分成21组，每组2人；②分成3组，每组14人；③分成7组，每组6人。 点睛：此题的关键是找到42的所有因数，并判断因数的奇偶性。 22．5千克装；15个 分析：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；根据“正好把豆油装完”，所以在5、10和2这三个数中，能整除75的数字，即是要选择的桶；因为买回来75千克豆油，75的个位数字是5，得出能被5整除，所以选用5千克装，据此解答即可。 详解：在5、10和2中，是75因数的只有5。 75÷5＝15（个） 答：用5千克装的油桶能正好把豆油装完；需要15个这样的油桶。 点睛：解决此题的关键：根据能被5整除的数的特征，进行解答即可。 23．5组或8组 分析：根据题意，找到40的因数，从中找出大于4，小于10的数，就是可以分成的组数。 详解：40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40； 大于4，小于10的因数有：5，8。 所以可以分成5组或8组。 答：可以分为5组或8组。 点睛：掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。 24．9元或63元 分析：先找出9的倍数，再根据一个数最大的因数是它本身，从9的倍数中判断63的因数。 详解：由分析得， 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63…… 9×1＝9 63＝9×7 答：爸爸给乐乐的红包里可能是9元或63元。 点睛：此题考查的是找一个数的因数和倍数的方法，掌握一个数最大的因数是它本身是解题关键。 25．14人；18人；175个 分析：两筐的苹果数量相等，每班一筐，苹果的数量在100到200之间，甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个，就是说这筐苹果个数减去6个，就是13的倍数；乙班每人分得10个就有1人分得5个苹果，就是说这筐苹果个数减去5个，就是10的倍数，这筐苹果苹果的数量被13除余6，被10除余5的数，余数是5，这个数的末尾数是5，算出苹果的数量再求甲、乙两班的人数，即可解答。 详解：100到200之间，被13除余6的数有： 13×8＋6＝110 13×9＋6＝123 13×10＋6＝136 13×11＋6＝149 13×12＋6＝162 13×13＋6＝175 13×14＋6＝188 末尾数是5的数是175 175÷10＝17……5 符合题意的只有175，即两筐苹果分别有175个； 甲班人数13＋1＝14（人） 乙班人数有：175÷10＝17……5 17＋1＝18（人） 答：甲班有14人；乙班有18人；每筐苹果各有175个。 点睛：本题是找出一个既是13的倍数余6，又是10的倍数余5，根据余数是5的特点，它的末尾数是5 ，找出对应的数，解答问题。 26．54次 分析：6的倍数一共有16个，含6的数一共有19个，既是6的倍数，又含6的数有6，36，60，66，96，共5个。 详解：6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96，共16个； 含6的数：6，16，26，36，46，56，60，61，62，63，64，65，66，67，68，69，76，86，96，共19个； 既是6的倍数，又含6的数：6，36，60，66，96，共5个； 6的倍数且不含6的数：（个） 含6且不是6的倍数：（个） （次） 答：共拍了54次手。 点睛：在1~100这100个数里面，含2、3、4、5、6、7、8、9的数的个数是一样多的。 27．8种；每次可以拿出2个、3个、4个、6个、8个、12个、16个、24个 分析：根据求一个数因数的方法，一对一对地找出48的所有因数，去掉1和它本身这一对，剩下有几个因数就有几种不同的拿法，每对因数对应拿法和拿出的个数。 详解：48÷1＝48 48÷2＝24 48÷3＝16 48÷4＝12 48÷6＝8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，不一次拿出，也不一个个地拿出，所以1和48不符合题意。 答：共有8种拿法，每次可以拿出2个、3个、4个、6个、8个、12个、16个、24个。 点睛：找因数，从最小的自然数1找起，一直找到它本身，一对对地找。 28．①或②；选择①包装，需要20个包装盒。选择②包装，需要16个包装盒。 分析：根据题意可知就是求出每种饮料包装瓶数是否是80的因数，如果是就能正好装完，据此解答即可。 详解：80÷4＝20，4是80的因数； 80÷5＝16，5是80的因数； 80÷6＝13……2，6不是80的因数； 80÷12＝6……8，12不是80的因数； 答：选择①或②包装正好能把80瓶饮料装完；选择①包装，需要20个包装盒。选择②包装，需要16个包装盒。 点睛：解答本题的关键就是看看哪些数是80的因数。 学科网（北京）股份有限公司 $$