（专项突破篇）第二单元·专项02 因数和倍数的认识、特征及解决问题（培优版）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册(人教版)

2024-2025学年度五年级数学下册专项突破篇 专项02 因数和倍数的认识、特征及解决问题 一、仔细想，认真填。 1．现有A、B、C三种消毒液，A重8.4千克，B重7.5千克，C重10.8千克。要将它们全部分别装入瓶子中，每瓶装入同种液体，且装入的液体重量相同，每瓶最多装 千克。 2．在1到100这100个自然数中，既不是3的倍数也不是7的倍数的数有 个。 3．李师傅每工作7天休息2天，本次轮休时间是周五和周六，至少再过 天，李师傅能在周六周日休息。 4．陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 5．把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 6．1、3、5、7、9这样的数都不是( )的倍数，所以它们都是( )。0、40、100、312、5000这样的数都是( )的倍数，所以它们都是( )。 7．淘宝某店“双十一”前开展整时抢三折优惠券活动。每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数。店家每次可能发放( )张优惠券。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 8．一个数越大，它的因数的个数就越多；一个数越小，它的因数的个数就越少。( ) 9．4的倍数有无数个，4的因数有2个。( ) 10．任何一个非0自然数的因数至少有两个。( ) 11．因为27÷3＝9，所以27是倍数，3是因数。( ) 12．因为3×7＝21，所以3是因数，21是倍数。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 13．“活力”舞蹈队在排练时都要排成每行人数相等的队形（至少两行），舞蹈队的人数不可能是（    ）。 A．87人 B．78人 C．71人 D．45人 14．下面各组数中，哪一组的第二个数是第一个数的倍数？（    ） A．48和6 B．240和40 C．0.5和50 D．3和27 15．已知x＝4y（x，y都是非零自然数），那么下列说法中正确的是（    ）。 A．x是y的因数B．x是y的倍数 C．y是4的倍数 D．x是4的因数 16．一个数如果除了它本身以外所有因数相加的和，恰好又等于它本身，这样的数称作“完美数”。比如6的因数有1、2、3、6，除去本身后，1、2、3三个因数的和正好等于它本身，所以6是一个完美数。下面各数中（    ）是完美数。 A．12 B．28 C．36 D．40 17．在学习《因数与倍数》这一单元的内容时，三位同学关于因数和倍数的相关知识有以下不同的想法： 王宁：因为12.5×8＝100，所以12.5和8是100的因数。100是8的倍数，100也是12.5的倍数。 李晓明：因为45÷5＝9，所以45是5的倍数，45也是9的倍数，9也是45的因数。 孙莉：因为29÷4＝7……1，所以29不是7的倍数，也不是4的倍数。 以上3位同学的想法，有两位是正确的，他们是谁？下面选项中全部正确的是（    ）。 A．王宁和李晓明 B．王宁和孙莉 C．李晓明和孙莉 18．在神舟十三号科学实验舱中，宇航员研究了一种细胞，该种细胞每2分钟分裂一次，每个细胞分裂一次变成2个细胞。现在有一个细胞开始分裂，10分钟后，一共分裂成了（    ）个细胞。 A．31 B．32 C．16 D．33 四、计算小能手。 19．写出下面各数的因数。 3       9      32 20．写出下面各数的倍数。（各写5个） 1       13        190 五、解决问题。 21．找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 22．拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 23．阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 24．课间时，小芳和小丽玩编题游戏。小芳指着教室后面的图书角编了一道题：“五（1）班的图书角有85本书，平均每人可以分到4本，正好分完。问：五（1）班有多少人？”小芳编的这道题对吗？为什么？ 25．致远书店要把80本课外书进行打包，现在有三种打包方案，选哪种打包方案刚好合适，没有剩余？ 26．一座喷泉由内外双层构成。外面每隔8分钟喷一次，里面每隔6分钟喷一次。中午12：45同时喷过一次后，下次同时喷水是几时几分？ 27．把56个山竹装入一些袋子中，每个袋子中都装入同样多的山竹，每袋至少装2个，且袋子数大于1，可以有几种装法？ 参考答案 1．0.3 分析：由题意知，每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公因数。三个数都是小数，可以先换算单位，根据高级单位转化为低级单位用乘法将千克转化为以克为单位。再找出三个数的最大公因数，最后再将克用除法转化为千克为单位。注意：1千克＝1000克。 详解：8.4千克＝8400克 7.5千克＝7500克 10.8千克＝10800克 （8400，7500，10800）＝300（克） 300克＝0.3千克。 则每瓶最多装0.3千克。 2．57 分析：100÷3＝33……1，3的倍数有33个，100÷7＝14……2，7的倍数有14个，100÷21＝4……16，既是3的倍数又是7的倍数的数有4个，所以既不是3的倍数也不是7的倍数的数有100－33－14＋4＝57（个），据此即可解答。 详解：100÷3＝33……1 100÷7＝14……2 100÷21＝4……16 100－33－14＋4 ＝67－14＋4 ＝57（个） 在1到100这100个自然数中，既不是3的倍数也不是7的倍数的数有57个。 3．36 分析：根据题意可知，李师傅每9天里面休息2天，一周7天，所以用9的倍数除以7，当余数为1时，说明这个9的倍数天数为星期天，这天李师傅休息，前一天星期六也休息，据此即可解答。 详解：9的倍数有9、18、27、36、45…； 9÷7＝1（个）……2（天），星期六往后数2天是星期一，说明是星期天、星期一休息； 18÷7＝2（个）……4（天），星期六往后数4天是星期三，说明是星期二、星期三休息； 27÷7＝3（个）……6（天），星期六往后数6天是星期五，说明是星期四、星期五休息； 36÷7＝5（个）……1（天），星期六往后数1天是星期天，说明是星期六、星期天休息； 所以至少再过36天，李师傅能在周六周日休息。 4． 12 5 分析：第1个空：题目要求的是用所有的苹果和桃正好全部用完，且每个礼盒中苹果和桃的数量都要相同。那么，礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，因为只有这样可以确保苹果和桃都能被完整地分配到每个礼盒中，不会有剩余。所以找出来36和24的最大公因数即可。 第2个空：第1问中礼盒数已经知道了，接下来只需要用每种水果的总数除以礼盒数，即可得到每个礼盒中该水果的数量。问礼盒中有多少个水果，就把礼盒中每种水果的个人加起来即可。 详解：第1个空：首先，找出36和24的最大公因数。 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 它们共同的因数有：1，2，3，4，6，12。其中，最大的是12。 所以，用这些苹果和桃最多能做12个礼盒。 第2个空：首先，计算每个礼盒中每种水果各有多少个。 每个礼盒中的苹果数＝总苹果数÷礼盒数 36÷12＝3（个） 每个礼盒中的桃数＝总桃数÷礼盒数 24÷12＝2（个） 3＋2＝5（个） 所以，每个礼盒中有5个水果。 点睛：首先，本题的关键是理解礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，这样才能确保所有的苹果和桃都能被完整地用完。 其次，通过找出最大公因数，可以计算出最多能做的礼盒数。 最后，再进一步计算出每个礼盒中的水果数量。 5．4 分析：把这些糖果平均装在14个盒子里，正好装完，则这些糖果的数量刚好是14的倍数，先求出14的倍数，再找出倍数在50～60之间，最后用这些糖果的总数除以14，所得结果即为每盒装了多少袋糖果。 详解：14的倍数有：14，28，42，56，70…… 其中倍数在50～60之间的是56。 56÷14＝4（袋） 因此每盒装了4袋糖果。 6． 2 奇数 2 偶数 分析：偶数的定义：在整数中，能被2整除的数，叫做偶数。2的倍数叫做偶数。奇数的定义：在整数中，不能被2整除的数叫做奇数，据此解答即可。 详解：1、3、5、7、9这样的数都不是2的倍数，所以它们都是奇数。0、40、100、312、5000这样的数都是2的倍数，所以它们都是偶数。 7．9，18，27，36，45 分析：根据题意，每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数，列举出50以内9的倍数，即是店家每次可能发放优惠券的张数。 详解：50以内9的倍数：9，18，27，36，45； 即店家每次可能发放9，18，27，36，45张优惠券。 8．× 分析：一个数的因数个数的多少和这个数的大小没有关系，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，举例说明即可。 详解：8÷1＝8 8÷2＝4 8的因数有：1，2，4，8，一共有4个因数。 13÷1＝13 13的因数有：1，13，一共2个因数。 由上可知，虽然8比13小，但是8的因数的个数比13的因数的个数多，所以题目说法不正确。 故答案为：× 点睛：本题主要考查因数的求法，准确列举出这两个数的所有因数是解答题目的关键。 9．× 分析：求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，一个数的倍数的个数是无限的；求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，一个数的因数的个数是有限的，据此解答。 详解：4×1＝4 4×2＝8 4×3＝12 4×4＝16 4×5＝20 …… 4的倍数有：4，8，12，16，20，… 4÷1＝4 4÷2＝2 4的因数有：1，2，4。 所以，4的倍数有无数个，4的因数有3个。 故答案为：× 点睛：熟练掌握因数和倍数的求法是解答题目的关键。 10．× 分析：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。 详解：如：1的因数是1，1只有1个因数。 所以，除了1以外的任何一个非0自然数的因数至少有两个。 原题说法错误。 故答案为：× 点睛：本题考查找一个数的因数的方法，找出反例，得出结论。 11．× 分析：因数和倍数是相互依存的，离开了因数也就无所谓倍数，离开了倍数也就无所谓因数，应当说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数，本题应当说27是3和9的倍数，3和9是27的因数。 详解：因为27÷3＝9 所以27是3和9的倍数，3和9是27的因数。 原题说法错误。 故答案为：× 点睛：本题是考查因数与倍数的意义。要记住，因数和倍数是相互依存的。 12．× 分析：因数和倍数是相互依存的，可按“谁是谁的因数”或“谁的因数是谁”来表述，由此解答即可。 详解：因为3×7＝21，所以21是3和7的倍数，3是21的因数，7也是21的因数，原题说法错误。 故答案为：× 点睛：一定要熟练掌握表述两个数的因数与倍数关系时的方式。 13．C 分析：因数是指整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数，并且没有余数，我们就说b是a的因数。要排成至少2行的队形，说明舞蹈队的人数的因数至少有3个。据此解题。 详解：A．87的因数有1、3、29和87，所以87人可以排成每行3人或每行29人； B．78的因数有1、2、3、6、13、26、39和78，所以78人可以排成每行2人或每行3人或每行6人或每行13人或每行26人或每行39人； C．71的因数只有1和71，所以71只能排成每行1人或每行71人，每行1人换个角度看也就是每行71人，所以只有1行，不符合题意； D．45的因数有1、3、5、9、15和45，所以45人可以排成每行3人或每行5人或每行9人或每行15人。 所以，舞蹈队的人数不可能是71人。 故答案为：C 14．D 分析：根据题意，结合倍数的概念，在一个整数除法算式中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。据此选择即可。 详解：A．48÷6＝8，商是整数，但不符合第二个数是第一个数的倍数； B．240÷40＝6，商是整数，但不符合第二个数是第一个数的倍数； C．0.5÷50＝0.01，0.5不是整数； D．27÷3＝9，商是整数，符合第二个数是第一个数的倍数。 故答案为：D 15．B 分析：如果a÷b＝c（a、b、c是大于0的自然数），那么b、c就是a的因数，a就是b、c的倍数，据此解答。 详解：x＝4y（x，y都是非零自然数），则x是4、y的倍数，4、y是x的因数。 故答案为：B 16．B 分析：先找出各个选项数字的所有因数，看除了它本身以外所有因数相加的和，是否等于它本身，据此解答。 详解：A．12的因数有：1、2、3、4、6、12。除去12，剩下的因数和为：1＋2＋3＋4＋6＝16，16≠12，所以12不是完美数； B．28的因数有：1、2、4、7、14、28。除去28，剩下的因数和为：1＋2＋4＋7＋14＝28，28＝28，所以28是完美数； C．36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。除去36，剩下的因数和为：1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，55≠36，所以36不是完美数； D．40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40。除去40，剩下的因数和为：1＋2＋4＋5＋8＋10＋20＝50，50≠40，所以40不是完美数。 各数中28是完美数。 故答案为：B 17．C 分析：若整数a能够被整数b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 详解：王宁：12.5×8＝100，因为12.6是小数，不能研究因数和倍数的意义，说法错误； 李晓明：因为45÷5＝9，所以45是4的倍数；5是45的因数，说法正确； 孙莉：因为29÷4＝7……1，29没有被4整除，也不是8的倍数，说法正确。 故答案为：C 18．B 分析：先求出10分钟内分裂多少次，用10除以2得到分裂的次数为5次，那么： 第一次分裂：1×2＝2（个） 第二次分裂：2×2＝4（个） 第三次分裂：4×2＝8（个） 第四次分裂：8×2＝16（个） 第五次分裂：16×2＝32（个） 据此解答即可。 详解：10÷2＝5（次） 1×2×2×2×2×2＝32（个） 所以，一共分裂成32个细胞。 故答案为：B 19．1、3； 1、3、9； 1、32、2、16、4、8 分析：3是质数，它的因数只有1和本身； 根据求一个数的因数的方法，直接列举即可，在写一个数的因数时，如果有相同的因数，如9＝3×3，只写1个。 详解：3＝1×3，所以3的因数有：1、3； 9＝1×9＝3×3，所以9的因数有：1、3、9； 32＝1×32＝2×16＝4×8，所以32的因数有：1、32、2、16、4、8。 20．1、2、3、4、5（答案不唯一）； 13、26、39、52、65（答案不唯一）； 190、380、570、760、950（答案不唯一） 分析：利用乘法，分别求出1、13和190的1倍、2倍、3倍、4倍和5倍，即可解题。 详解：1×1＝1，1×2＝2，1×3＝3，1×4＝4，1×5＝5，所以1的倍数有：1、2、3、4、5； 13×1＝13，13×2＝26，13×3＝39，13×4＝52，13×5＝65，所以13的倍数有：13、26、39、52、65； 190×1＝190，190×2＝380，190×3＝570，190×4＝760，190×5＝950，所以190的倍数有：190、380、570、760、950。 21．见详解 分析：首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算。 详解：因为36＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5个数是：2、3、4、6、9； 因为，60＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5个数是：3、4、5、6、10； 120＝2×3×20＝5×24 ，2＋5＋20＝3＋24，所以5个数是：2、3、5、20、24。 点睛：本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度。 22．9次 分析：分别找出50以内“明九”和“暗九”的次数，再相加，即可求出答案。 详解：50以内“明九”有：9、19、29、39、49，共5次 50以内“暗九”有：18、27、36、45，共4次 5＋4＝9（次） 答：他过了9次“九”。 23．24元 分析：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可。 详解：48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48。 在15到25之间的是24。 答：这个文具盒的价格是24元。 点睛：关键是理解因数和倍数的意义，掌握因数和倍数的求法。 24．不对；见详解 分析：找出85的因数，判断4是否是85的因数，如果不是，就不能平均每人分到4本书正好分完。 详解：85的因数是：1，5，17，85； 4不是85的因数，所以小芳的说法错误。 答：小芳编的这道题不对，因为4不是85的因数，所以不可能平均每人分到4本书正好分完。 点睛：本题考查因数的实际应用，掌握找一个数的因数的方法是解题的关键。 25．选4本/包刚好合适，没有剩余。 分析：根据题意，打包方案要刚好合适，没有剩余，那么每一包的本数应该是80本的因数。 详解：80的因数有：1、2、4、5、8、10、16、20、40、80，所以三种方案里，4本/包打包方案刚好合适，没有剩余。 答：选4本/包刚好合适，没有剩余。 点睛：本题考查因数的应用，要理解因数的概念，并掌握找一个数的因数的办法。 26．13时09分 分析：喷泉外面每隔8分钟喷一次，里面每隔6分钟喷一次，要同时喷时，应是8和6的最小公倍数，据此可解答。 详解：8和6的最小公倍数是2×3×4＝24 12时45分＋24分＝13时09分 答：下次同时喷水是13时09分。 点睛：本题考查求最小公倍数，明确求最小公倍数的方法是解题的关键。 27．6种 分析：求出56的因数，根据每袋至少装2个，且袋子数大于1，去掉1和本身这一组，每对因数既可以是袋子数也可以是每袋装的数量，据此分析。 详解：56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8 56的因数有1、2、4、7、8、14、28、56 （1）装2袋，每袋装28个； （2）装4袋，每袋装14个； （3）装7袋，每袋装8个； （4）装8袋，每袋装7个； （5）装14袋，每袋装4个； （6）装28袋，每袋装2个。 答：可以有6种装法。 点睛：找因数，从最小的自然数1找起，一直找到它本身，一对对找。 学科网（北京）股份有限公司 $$