（专项突破篇）第二单元·专项01 因数和倍数的认识、特征及解决问题（基础版）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册(人教版)

2024-2025学年度五年级数学下册专项突破篇 专项01 因数和倍数的认识、特征及解决问题 一、仔细想，认真填。 1．已知A＝2×3×C，B＝2×3×7×C（A和B是自然数），则A是B的( )数；如果B的最小倍数是84，则A的最大因数是( )。 2．a、b都是大于0的自然数，a＝9b。a的因数最少有( )，( )，( )和( )。 3．24的因数共有8个。淘气写出了7个：1、2、3、4、6、12、24。按照淘气的排列方法，他漏写了( )后面的( )。 4．一个数是18的因数，同时也是18的倍数，这个数是( )。 5．48一共有10个因数。小明写出了9个：1，2，3，4，6，8，12，24，48。按照小明的写法，他漏写了排在( )后面的( )。小静也写出了9个：1，48，2，24，3，4，12，6，8。按照小静的写法，他漏写了排在( )后面的( )。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 6．日历上连续6天的号数和一定是6的倍数。( ) 7．5.6÷0.7＝8，所以5.6是0.7的倍数。( ) 8．一个数的倍数一定比它的因数大。( ) 9．如果A是奇数，那么1092＋A的结果还是奇数。( ) 10．a是8的倍数，b也是8的倍数，a＋b的和也是8的倍数。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 11．红树林是生长在海水中的森林，某座海脊（也称“海底山脉”）两边一共有m棵红树林，若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有（    ）个因数。 A．3 B．4 C．6 D．8 12．如果N＝2×2×3×3，那么N有（    ）个因数。 A．4 B．6 C．9 D．10 13．a、b、c是三个不同的自然数（a、b、c均不为0），且a÷b＝c，那么a至少有（    ）个不同的因数。 A．4 B．3 C．2 D．1 14．下面的数，因数个数最少的是（    ）。 A．16 B．36 C．40 D．49 15．在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 四、计算小能手。 16．写出下面各数的因数. 25     12      49      36. 17．写出下面各数的倍数。（各写5个） 3    7    2    13 五、解决问题。 18．用105个边长为1厘米的小正方形拼成的长方形中，周长最长是多少？最短是多少？ 19．金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 20．有一组图片，比40张多，比50张少，如果按4张分为一组，剩1张；如果按5张分为一组，还剩4张，这些图片有多少张？ 21．四年（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人） 22．水果店进来一批苹果，每箱有35～40个。售货员想把一箱苹果分装成盒卖，装的时候发现6个装一盒刚好装完，这箱苹果有多少个？ 23．小明到爷爷办的养牛场去玩。小明问：“爷爷，这里有多少头奶牛呢？"爷爷说：“这群奶牛，4头4头地数，多3头；6头6头地数，多5头；15头15头地数，多14头。而且这群奶牛的数量在150~200 头之间。你计算一下，这群奶牛有多少头？” 24．休业式上，王老师拿出40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，请问这个班里最多有几个五星级学生？ 参考答案 1． 因 12 分析：将A和B表示的算式进行合并，A＝2×3×C＝6C，B＝2×3×7×C＝42C，在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 一个数的最小倍数是它本身，B的最小倍数是84，则B是84，根据积÷因数＝另一个因数，计算出C，将C代入A＝2×3×C，计算出A，再根据一个数的最大因数是它本身，确定A的最大因数。 详解：A＝2×3×C＝6C，B＝2×3×7×C＝42C A×7＝6C×7＝42C＝B，即7A＝B 84÷42＝2、A＝6C＝6×2＝12 已知A＝2×3×C，B＝2×3×7×C，则A是B的因数；如果B的最小倍数是84，则A的最大因数是12。 2． 1 a 9 b 分析：a＝9b，说明9和b都是a的因数，另外一个数的最小公倍数是1，最大因数是它本身，据此填空。 详解：a、b都是大于0的自然数，a＝9b。根据分析，a的因数最少有1，a，9和b。 3． 6 8 分析：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。 题目中淘气的排列方法是按照从小到大排列，找出24的因数之后，按照从小到大的顺序排列，即可找出漏写的数。据此即可解答。 详解：24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 所以淘气漏写了6后面的8。 4．18 分析：一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 详解：18的因数：1，2，3，6，9，18； 18的倍数：18，36，54，…； 一个数是18的因数，同时也是18的倍数，这个数是18。 5． 12 16 3 16 分析：求一个数的因数的方法最简单的就是用除法，用这个数连续除以1，2，3，……，除到它本身为止，能整除的就是它的因数，然后写出一组一组的两个数，据此解答。 详解：48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 小明写法：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 小静写法：1，48，2，24，3，16，4，12，6，8。 48一共有10个因数。小明写出了9个：1，2，3，4，6，8，12，24，48。按照小明的写法，他漏写了排在12后面的16。小静也写出了9个：1，48，2，24，3，4，12，6，8。按照小静的写法，他漏写了排在3后面的16。 6．× 分析：根据相邻的两个自然数相差1的特点，从而求出6个连续自然数的和，判断结果能否被6整除即可。 详解：解：设第一天为a，则连续6天的号数的和为： a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋（a＋4）＋（a＋5） ＝a＋a＋1＋a＋2＋a＋3＋a＋4＋a＋5 ＝6a＋15 15不能被6整除，所以日历上连续6天的号数和不是6的倍数，原题说法错误。 故答案为：× 点睛：本题考查了倍数问题，知道相邻的两个自然数相差1是解题的关键。 7．× 分析：只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果c÷a＝b（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 详解：5.6和0.8都是小数，不在因数和倍数的研究范围。 5.6÷0.7＝8，因为5.6和0.7都是小数，所以不能说5.6是0.7的倍数。 原题干说法错误。 故答案为：× 8．× 分析：根据因数和倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；由此解答即可。 详解：比如6的最大因数是6，6的最小倍数是6，所以一个数的倍数一定比它的因数大的说法是错误的。 故答案为：× 9．√ 分析：本题A是奇数，1092是偶数。因为由奇数和偶数的特征可知，奇数＋偶数＝奇数，所以据此作答即可。 详解：因为A是奇数，1092是偶数，奇数＋偶数＝奇数 所以1092＋A的结果还是奇数。 故答案为：√ 点睛：本题主要考查学生对于奇数和偶数的认识。 10．√ 分析：果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。据此解答。 详解：通过分析可得： a是8的倍数，可以表示为a＝8×Δ；b也是8的倍数，可以表示为b＝8×□，那么a＋b＝8×Δ＋8×□＝8×（Δ＋□），据此可得：a＋b的和也一定是8的倍数。原题说法正确。 故答案为：√ 11．D 分析：因为m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），所以m的因数有：1、m、a、b、c，还有三个质数两两相乘的积，即a×b、a×c、b×c，共有8个因数。 详解：据分析可知，红树林是生长在海水中的森林，某座海脊（也称“海底山脉”）两边一共有m棵红树林，若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有8个因数。 故答案为：D 12．C 分析：如果N＝2×2×3×3，那么N＝36，36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，据此解答即可。 详解：由分析得： 如果N＝2×2×3×3，那么N有9个因数。 故答案为：C 13．A 分析：整数除法中，商是整数且没有余数时，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，因为a、b、c是三个不同的自然数，所以a、b、c均不为1，一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，据此分析。 详解：a、b、c是三个不同的自然数（a、b、c均不为0），且a÷b＝c，那么a至少有1、b、c、a，这4个不同的因数。 故答案为：A 14．D 分析：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此找出每个数的因数，再比较即可。 详解：A．16＝1×16＝2×8＝4×4 16的因数有5个； B．36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有9个； C．40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 40的因数有8个； D．49＝1×49＝7×7 49的因数有3个。 3＜5＜8＜9 因数个数最少的是49。 故答案为：D 15．D 分析：一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。本题就是将四个选项的数字的因数都找出来，再将除了它自身以外的全部因数相加求和，看是否与自身相等，据此判断可得出答案。 详解：A．10的因数有1、2、5、10，非本身的因数相加： 1＋2＋5 ＝3＋5 ＝8 结果不是10，则10不是完全数； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 结果不是12，则12不是完全数； C．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 结果不是24，则24不是完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加： 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 结果是28，则28是完全数。 故答案为：D 16．25的因数：1、5、25；12的因数：1、2、3、4、6、12；49的因数：1、7、49；36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36. 17．3的倍数：3，6，9，12，15 7的倍数：7，14，21，28，35 2的倍数：2，4，6，8，10 13的倍数：13，26，39，52，65 （答案不唯一） 分析：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，所以求一个数的倍数，就是要这个数依次乘1、2、3……，由此解答即可。 详解：3的倍数：3，6，9，12，15； 7的倍数：7，14，21，28，35； 2的倍数：2，4，6，8，10； 13的倍数：13，26，39，52，65 18．212厘米；44厘米 分析：长方形的面积不变为105平方厘米，求出乘积是105的两个整数，作为长方形的长和宽。当长与宽的长度相差最大时，周长最长，长与宽的长度相差最小时，周长最短。 拼成1×105的长方形，周长最长；拼成15×7的长方形，周长最短；据此解答即可。 详解：105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15 拼成1×105的长方形，周长最长： （1×1＋1×105）×2 ＝106×2 ＝212（厘米） 拼成15×7的长方形，周长最短： （1×7＋1×15）×2 ＝22×2 ＝44（厘米） 答：周长最长是212厘米；最短是44厘米。 19．181本 分析：先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 详解：100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 20．49张 分析：比40张多，比50张少，如果按4张一组来数，剩1张，符合条件的数有41，45， 49三个，再找出符合5张一组来数，剩4张的数即可解答。 详解：因为如果按4张一组来数，剩1张，且图片张数比40张多，比50张少，则图片的张数是4的倍数且多1张； 所以这些图片可能有41，45，49三个； 45是5的倍数，不符合题意， 41÷5＝8……1，不符合题意； 49÷5＝9……4，符合题意； 答：这些图片有49张。 点睛：本题考查倍数，明确图片的张数是4的倍数且多1张是解题的关键。 21．每行4人，排12列；每行6人，排8列 分析：根据长方形的面积公式：长×宽，先把48写成两个因数相乘的形式；根据题意每行每列不少于3人，可以确定出每种队形的行数和列数，据此解答。 详解：48＝4×12＝6×8 排成的长方形有：每行4人，排12列 每行6人，排8列（答案不唯一）。 答：每行4人，排12列；或每行6人，排8列 点睛：本题考查求一个数因数的方法，再根据题意，确定要排成长方形的行数和列数。 22．36个 分析：一箱苹果分6个装一盒，刚好装完，说明这箱苹果的个数是6的倍数，只要求出35～40之间6的倍数即可。据此解答。 详解：40÷6＝6……4 6×6＝36 答：这箱苹果有36个。 点睛：本题考查了倍数的认识和求法，关键是利用最小的倍数翻倍。 23．179头 分析：根据题意可知，奶牛的数量是比15的倍数多14，奶牛的数量在150~200 头之间，据此先找出符合的数；然后判断这些数是否符合比4的倍数多3，且是否符合比6的倍数多5；据此解答。 详解：比15的倍数多14，且在150~200之间的数有： 15×10＋14 ＝150＋14 ＝164 15×11＋14 ＝165＋14 ＝179 15×12＋14 ＝180＋14 ＝194 164÷4＝41 164不符合题意； 179÷4＝44……3 179÷6＝29……5 179符合题意； 194÷4＝48……2 194不符合题意。 答：这群奶牛有179头。 点睛：本题可从“比15的倍数多14”推导出符合另外两种情况的数。 24．8个 分析：40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，也就是求40和56的最大公因数。 详解：40＝2×2×2×5 56＝2×2×2×7 40和56的最大公因数是2×2×2＝8 答：这个班里最多有8个五星级学生。 点睛：考查最大公因数的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$