（专项突破篇）第三单元·专项04 长方体和正方体、切拼及组合体表面积（提升版）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册(人教版)

2024-2025学年度五年级数学下册专项突破篇 专项04 长方体和正方体、切拼及组合体表面积 一、仔细想，认真填。 1．张叔叔准备用角铁焊接一个棱长6dm的正方体框架，并在各个面上钉上铁皮，做这个正方体至少需要角铁( )dm，至少需要铁皮( )dm2。 2．如图，正方体的棱长是4cm，从它的一个顶点处挖去一个棱长是2cm的小正方体，所剩下的物体的表面积是( )cm2。 3．下图是一个正方体的展开图。 (1)这个正方体中，6的对面是( )。 (2)抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性( )。（填“大”或“小”） 4．把一个正方体木块的表面全涂成红色，然后平均切成27个大小相等的正方体（如图）。那么，三面是红色的小正方体有( )个，两个面是红色的小正方体有( )个，一个面是红色的小正方体有( )个。 5．将8个棱长为2cm的小正方体礼盒包装成一个大礼盒，至少需要包装纸( )cm2。 6．将3个棱长4cm的正方体拼成一个大长方体，拼成的长方体的表面积比拼前表面积之和减少了( )cm2。 7．用48分米长的铁丝可以制成棱长为( )分米的正方体框架，把这个正方体框架的表面贴上彩纸，贴彩纸的面积是( )平方分米。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 8．将一个长20cm，宽10厘米，高5厘米的长方体切成两个小长方体。两个小长方体表面积比原来长方体至少增加100平方厘米。( ) 9．红红想给一个正方体礼盒做好看的包装，她需要先计算正方体礼盒的表面积。( ) 10．长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，表面积就扩大到原来的27倍。( ) 11．一个正方体玻璃鱼缸的棱长是6分米，求制作这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃，就是求这个鱼缸的表面积是多少。( ) 12．下面图形可以看成是正方体的展开图。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 13．用三个表面积都是36平方厘米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．36 B．72 C．84 D．108 14．把棱长是5厘米的两个正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比两个正方体表面积之和减少了（    ）平方厘米。 A．50 B．25 C．10 15．下面的平面图形中能围成长方体或正方体的有（    ）。 A．①② B．③④ C．②④ 16．（如图）从一个体积是60cm3的长方体木块的一个角上，挖掉一个小方块，现在的表面积和原来相比较（    ）。 A．比原来小 B．和原来同样大 C．比原来大 17．下面图形，沿虚线折叠后不能围成正方体的是（    ）。 A． B．C． 四、计算小能手。 18．计算下面长方体和正方体的表面积。           19．计算下面图形的表面积。（单位：dm） 五、我会操作。 20．同一个长方体有不同的平面展开图，请给下面这个长方体的展开图画上它的第6个面（画出两种不同情况）。    六、解决问题。 21．一间教室长8米、宽7米、高4米，门窗面积为20平方米，要粉刷教室的四壁和屋顶，如果每平方米用涂料0.25千克，则共需要涂料多少千克？ 22．有一个棱长10厘米的正方体包装盒，在它的四壁贴上商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积是多少？ 23．用铁皮做一个长方体箱子，这个箱子的长是4分米，宽是3分米，高是1.2分米，做这个箱子需要多少铁皮？ 24．一个长方体包装盒，长3分米，宽2分米，高1.5分米。分别在它的侧面和上面贴商标纸（下底不贴）。贴商标纸的面积有多大？ 25．有一个底面为正方形的长方体纸箱，下图是它的六个面中的两个面，请你根据相关数据，计算出这个长方体的表面积（连接处材料不计）。 参考答案 1． 72 216 分析：求需要角铁的长度，就是求正方体框架的棱长总和，根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出需要角钢的长度；求需要铁皮的面积，就是求正方体框架的表面积，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，即可解答。 详解：6×12＝72（dm） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（dm2） 张叔叔准备用角铁焊接一个棱长6dm的正方体框架，并在各个面上钉上铁皮，做这个正方体至少需要角铁72dm，至少需要铁皮216dm2。 2．96 分析：分析题目，剩下物体的表面积等于棱长是4cm的正方体的表面积，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。 详解：4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 正方体的棱长是4cm，从它的一个顶点处挖去一个棱长是2cm的小正方体，所剩下的物体的表面积是96cm2。 3．(1)4 (2)大 分析：（1）根据正方体展开图的11种特征可知，这个展开图属于正方体展开图的“2—3—1”型，折成正方体后，1和5相对，3和2相对，4和6相对； （2）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；先根据质数、合数的意义，从1～6中找出质数和合数；再根据可能性大小的判断方法，比较质数、合数的个数多少，个数多的，朝上的可能性就大；据此解答。 详解：（1）这个正方体中，6的对面是4。 （2）1～6中，质数有：2、3、5，共3个；合数有：4、6，共2个；3＞2，质数比合数多；所以抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性大。 4． 8 12 6 分析：六个面都没有涂色的小正方体处在大正方体的中心，一面涂色的处在每个面的中间、两面涂色处在棱的中间、三面涂色的在顶点上；一面涂色的块数＝（棱上小正方体的个数－2）2×6，两面涂色的块数＝（棱上小正方体的个数－2）×12，三面涂色的块数＝顶点数，没有涂色的块数＝（棱上小正方体的个数－2）3，据此进行求解。。 详解：（1）三面是红色的在每个顶点处，共有8个； （2）两面是红色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体），有（3－2）×12＝1×12＝12（个）； （3）一面是红色的都在每个面上（除去棱长上的小正方体），有（3－2）×（3－2）×6＝1×6＝6（个）。 点睛：解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部。 5．96 分析：根据题意，作图如下： 8个小正方体拼在一起，只有拼成大正方体，它的表面积才最小。这个大正方体的棱长是2×2＝4（cm），根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，即可求出大正方体的表面积，也就是至少需要包装纸的大小。 详解：2×2＝4（cm） 4×4×6＝96（cm2） 至少需要96cm2包装纸。 6．64 分析：将3个相同的正方体拼成一个大长方体，拼成的长方体的表面积比拼前表面积之和会减少4个正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘4即可。 详解：4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm2） 因此拼成的长方体的表面积比拼前表面积之和减少了64cm2。 7． 4 96 分析：“48分米长的铁丝制成正方体框架”，48分米就是这个正方体框架的棱长和。正方体棱长和＝棱长×12，则棱长＝棱长总和÷12。 把这个正方体框架的表面贴上彩纸，求贴彩纸的面积，就是求正方体的表面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据即可解决。 详解：棱长：48÷12＝4（分米） 彩纸的面积：4×4×6＝96（平方分米） 用48分米长的铁丝可以制成棱长为4分米的正方体框架，把这个正方体框架的表面贴上彩纸，贴彩纸的面积是96平方分米。 8．√ 分析：根据长方体表面积的意义可知，把一个大长方体切成两个小长方体，要使两个小长方体的表面积和比原来的表面积增加的最少，也就是与原来长方体的最小面平行切开，表面积增加两个切面的面积，根据长方形的面积公式＝长×宽，把数据代入公式求出最少增加的表面积，然后与100平方厘米进行比较即可。 详解：10×5×2 ＝50×2 ＝100（平方厘米） 所以两个小长方体的表面积比原来长方体至少增加100平方厘米。 故答案为：√ 9．√ 分析：一个立体图形全部表面的面积之和叫做这个立体图形的表面积。正方体的表面有6个相同的正方形，给正方体礼盒做好看的包装，也就是给这6个相同的正方形包装，故要先计算正方体礼盒的表面积。 详解：据分析可知，红红想给一个正方体礼盒做好看的包装，她需要先计算正方体礼盒的表面积。 故答案为：√ 10．× 分析：设长方体的长是a，宽是b，高是h，扩大后长方体的长是3a，宽是3b，高是3h；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别求出原来长方体的表面积和扩大后的表面积，再用扩大后长方体的表面积÷原来长方体表面积，即可解答。 详解：设长方体的长是a，宽是b，高是h，扩大后长方体的长是3a，宽是3b，高是3h。 [（3a×3b＋3a×3h＋3b×3h）×2]÷[（a×b＋a×h＋b×h）×2] ＝[（9ab＋9ah＋9bh）×2]÷[（ab＋ah＋bh）×2] ＝[9×（ab＋ah＋bh）×2]÷[（ab＋ah＋bh）×2] ＝[18×（ab＋ah＋bh）]÷[2×（ab＋ah＋bh）] ＝18÷2 ＝9 长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，表面积就扩大到原来的9倍。 原题干说法错误。 故答案为：× 11．√ 分析：表面积是指物体所有面的面积总和。正方体玻璃鱼缸没有盖，所以鱼缸的只有5个面，制作这5个面至少需要多少平方分米玻璃，就是求这个鱼缸的表面积是多少。这个鱼缸的表面积＝棱长×棱长×5，代入数据计算，即可解答。 详解：由分析得： 6×6×5＝180（平方分米） 制作这个鱼缸至少需要180平方分米玻璃。 一个正方体玻璃鱼缸的棱长是6分米，求制作这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃，就是求这个鱼缸的表面积是多少，该说法是正确的。 故答案为：√ 12．× 分析：正方体展开图有多种形式，常见的是每行的小正方形数量相同或者依次相差一个。而题目中给出的图形，第一行4个小正方体，第二行2个小正方体，且位置在最左和最右，不符合常见的正方体展开图的规律。 详解：我们通过观察可以知道，正方体展开图不会是这样两行排列且数量差异较大的情况。所以这个图形不能看成是正方体的展开图。 故答案为：× 13．C 分析：一个正方体有6个面，则3个正方体有6×3＝18个面；3个正方体拼成一个长方体，减少了2×2＝4个面，那么这个长方体的表面积就是18－4＝14个正方形的面积； 已知三个正方体木块的表面积都是36平方厘米，根据正方体的表面积公式S＝6a2，可知正方体一个面的面积是36÷6＝6平方厘米，再乘14个面，即是拼成的长方体的表面积。 详解：如图： 正方体一个面的面积：36÷6＝6（平方厘米） 6×3－2×2 ＝18－4 ＝14（个） 6×14＝84（平方厘米） 这个长方体的表面积是84平方厘米。 故答案为：C 14．A 分析：当两个正方体拼成一个长方体时，两个正方体各有一个面重合，也就是表面积减少了2个正方形的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算，即可求出长方体的表面积比两个正方体表面积之和减少了多少平方厘米。 详解：5×5×2＝50（平方厘米） 即长方体的表面积比两个正方体表面积之和减少了50平方厘米。 故答案为：A 15．C 分析：长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 正方体的特征：6个面都是正方形，且面积相等。 正方体、长方体的展开图的特点：“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以折成正方体或长方体。 详解：①展开图的6个面都是完全一样的正方形，但不属于正方体展开图中的任何一种，所以不能围成正方体； ②展开图的6个面都是长方形，相对的面相同，属于展开图的“1—4—1”型，能围成长方体； ③展开图的6个面都是长方形，但不是所有相对的面都相同，所以不能围成长方体； ④展开图的6个面都是完全一样的正方形，属于正方体展开图的“3—3”型，能围成正方体。 综上所述，能围成长方体或正方体的有②④。 故答案为：C 16．B 分析：依据题意，结合图示可知，木块挖去一个角后，木块的表面积等于原来木块的表面积，据此可得出答案。 详解：长方体木块挖去一个角，表面积与原来的长方体表面积相等。 故答案为：B 17．C 分析：正方体的展开图有：“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3”型，依次分析各选项即可。 详解： A． 是“1－4－1”型，可以围成正方体； B． 是“1－4－1”型，可以围成正方体； C． 不属于任何类型，无法围成正方体。 故答案为：C 18．正方体的表面积是150dm2；长方体的表面积是3.92m2 分析：根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式即可解答。 详解：正方体的表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（dm2） 长方体的表面积：（0.8×0.5＋0.8×1.2＋0.5×1.2）×2 ＝（0.4＋0.96＋0.6）×2 ＝1.96×2 ＝3.92（m2） 19．1020dm2 分析：图形的表面积等于长是20dm、宽是6dm、高是15dm的长方体的表面积加上长是6dm、宽是20－7×2＝6（dm）的两个正方形的面积，再减去边长为6dm的两个正方形的面积；所以图形的表面积就是长是20dm、宽是6dm、高是15dm的长方体的表面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 详解：20－7×2 ＝20－14 ＝6（dm） （20×6＋20×15＋15×6）×2 ＝（120＋300＋90）×2 ＝（420＋90）×2 ＝510×2 ＝1020（dm2） 20．见详解 分析：长方体有6个面，6个面都是长方形，相对的面形状相同，特殊情况下有两个相对的面是正方形，其它四个面都是形状相同的长方形，则展开图中第6个面的长为3格，宽为1格，在展开图中最大面的正下方相邻的地方画出这个面，此时为“2—3—1”型的长方体展开图，据此解答。 详解：分析可知： （答案不唯一） 点睛：本题主要考查长方体的展开图，根据长方体的特征确定第6个面是解答题目的关键。 21．39千克 分析：利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出教室的表面积，因为教室的地面和门窗不用粉刷，所以需要减去地面和门窗的面积，一共需要涂料的质量＝需要粉刷的面积×每平方米需要涂料的质量，据此解答。 详解：（8×7＋8×4＋7×4）×2－8×7－20 ＝（56＋32＋28）×2－8×7－20 ＝116×2－8×7－20 ＝232－56－20 ＝176－20 ＝156（平方米） 156×0.25＝39（千克） 答：共需要涂料39千克。 22．400平方厘米 分析：“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”因为包装盒的上下面不贴，所以只计算正方体包装盒4个面的面积即可，据此解答。 详解：10×10×4＝400（平方厘米） 答：这张商标纸的面积是400平方厘米。 23．40.8平方分米 分析：求做这个箱子需要多少铁皮即求出这个长方体箱子的表面积。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出长方体箱子的表面积。 详解：（4×3＋4×1.2＋3×1.2）×2 ＝（12＋4.8＋3.6）×2 ＝20.4×2 ＝40.8（平方分米） 答：做这个箱子需要40.8平方分米的铁皮。 24．21平方分米 分析：求贴商标纸的面积，就是求这个长方体5个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 详解：3×2＋（3×1.5＋2×1.5）×2 ＝3×2＋（4.5＋3）×2 ＝3×2＋7.5×2 ＝6＋15 ＝21（平方分米） 答：贴商标纸的面积有21平方分米。 25．160平方分米 分析：由图可知，相交于同一顶点的3条棱的长度分别是4分米、4分米、8分米，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出这个长方体的表面积，据此解答。 详解：（4×4＋4×8＋4×8）×2 ＝（16＋32＋32）×2 ＝80×2 ＝160（平方分米） 答：这个长方体的表面积是160平方分米。 学科网（北京）股份有限公司 $$