2024-2025学年七年级数学下册第二章 二元一次方程组 单元检测A卷(2024新浙教版）

2024-2025学年七年级下学期（配2024新浙教版） 第二章 二元一次方程组 单元检测A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中属于二元一次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是二元一次方程； ②是二元一次方程； ③是二元一次方程； ④中未知数项的次数是2次，而不是1次，它不是二元一次方程； ⑤是代数式，不是方程； ⑥不是整式方程，不是一元二次方程； ⑦整理后为，是二元一次方程． 故属于二元一次方程的有①②③⑦，共4个． 故选：C． 2．数学课堂上，老师要求写出一个以为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是将给定的解代入方程组中，判断等式是否成立． 把分别代入各个选项中的方程组，看是否能使方程组中的两个方程都成立． 【详解】A、将代入得，故该选项错误； B、将代入得，代入得，故该选项错误； C、将代入得，故该选项错误； D、将代入得，将代入得，两个方程都成立，故该选项正确． 故选：D． 3．已知二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组，将代入二元一次方程组得到的值，再代入式子求解即可． 【详解】解：将代入中，得： 根据，解得 根据，解得： 故选：C． 4．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组．解二元一次方程组的关键思想是消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，解决本题的关键是注意在去分线、移项、合并同类项的、系数化为的过程中是否出现错误． 【详解】解：由， 移项可得：， 方程两边同时乘以可得：， 故甲计算正确， A选项不符合题意； 把代入得：， 故乙计算正确， B选项不符合题意； 去分母可得：， 去括号可得：， 故丙计算错误， C选项符合题意； 丁看到的是， 移项可得：， 合并同类项得：， 解得：， 把代入可得：， 故丁计算正确， D选项不符合题意． 故应选：C． 5．在代数式中，当x分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表： x 1 2 3 3 5 7 则的值为（  ） A．3 B．7 C． D． 【答案】B 【知识点】加减消元法、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的应用，根据表格中相关数据，列出关于k、b的方程组，求出k、b的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则， 故选：B． 6．下列说法：①二元一次方程的解有无数个；②方程的自然数解只有1组；③方程组的解为．正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】加减消元法、二元一次方程的解 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，正确掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解是解题的关键． 【详解】①二元一次方程的解有无数个，正确； ②方程的自然数解有，，共2组，错误， ③ 得， 解得 将代入①得， 解得 ∴方程组的解为，故正确． 综上所述，正确的个数为2． 故选：C． 7．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法、构造二元一次方程组求解 【分析】可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：由得 ， 方程组的解是， ， 解得：； 故选：B． 8．若整数a使关于x、y的方程组的解为整数，且使方程是关于m的一元一次方程，则满足条件的所有a的值的和为（    ） A．9 B．8 C．7 D．5 【答案】D 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的定义．先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，对于方程整理得，则题意得，进而计算可得答案． 【详解】解：对方程组， ，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即或1或3或4， 方程，整理得， 方程是关于m的一元一次方程， ∴， ∴， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：D． 9．嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品克，表取样品克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 设钻取样品克，表取样品克，根据等量关系“钻取和表取两种方式共采集样品1935克”和“表取是钻取的4倍还多310克”列方程组即可． 【详解】解：设钻取样品克，表取样品克， 由题意可得：． 故选B． 10．如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；观察图形，三个长方形的长的和正好等于其余的长方形的宽的和，两个长方形的宽的和比长方形的长多中间小正方形的边长，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由图1可知，, 由图2可知，， 联立得 解得：， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知方程的一个解是，则 ． 【答案】8 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查二元一次方程的解，把方程的解代入方程中得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入得， ∴． 12．当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解求参数，熟练掌握该知识点是解题关键．把代入不含参数的方程求出的值，再将和的值代入含有参数的方程求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 解得， 将，代入， 得到， 解得， 故答案为：． 13．现有A、B、C、D、E五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为 和 ．（填“A、B、C、D、E”中的两个字母） 【答案】 B C 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，把分别代入五个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； ∴是方程和方程的解， ∴取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为B和C， 故答案为：B；C． 14．已知二元一次方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】3 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了方程组的解法以及方程组的解的定义．正确利用整体思想是关键． 利用整体的思想两式相加得，结合求解即可． 【详解】解：∵， ∴两式相加，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 15．对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：1． 16．从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是 ． 【答案】、、 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据“全程，地到地用了，从地到地用了”分别列出方程，组成方程组，再求解即可．解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 【详解】解：设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据题意得： 解得：， 答：从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是、、． 故答案为：、、． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本题8分）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法求解成为解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）直接运用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：； 得：，解得：． 把代入②得． 所以原方程组的解为． （2）解：， 由①得：③ 把③代入②得，解得：． 把代入③得：． 所以原方程组的解为：． 18．（本题8分）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】三元一次方程组的定义及解、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组及三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法及加减消元法解此方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．④ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是； （2）解： 把①代入②，得， 即．④ ，得，解得． 把代入①，得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解为． 19．（本题8分）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意，联立方程得，可求得x，y的值，再将x，y代入，即可求得k的值． （2）无论实数k取何值，方程总有一个公共解，即的取值与无关，求得，将所求x的值代入，可求得y的值，即为所求的公共解． 【详解】（1）解：联立与， 得      解得 把 代入方程中， 得 ， 解得 （2）∵无论实数k取何值，方程总有一个公共解， ∴的取值与无关， ∴，即方程化为，解得 无论实数k取何值，方程总有一个公共解，该公共解为. 20．（本题8分）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)与具有“邻好关系”，理由见解析 (2)2 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用代入法解二元一次方程组得到，根据“邻好关系”的定义即可求解； （2）根据题意，运用得，，再根据“邻好关系”的定义即可求解． 【详解】（1）解：与具有“邻好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，，将代入①得，， ， ， 与具有“邻好关系”； （2）解：，得，， 与具有“邻好关系”， ， 解得，， k的值为2． 21．（本题8分）阅读材料并解决问题． (1)观察发现；材料：解方程组 解：将①整体代入②，得，解得， 把代入①，得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出的解为______． (2)拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． (3)迁移应用：若关于，的二元一次方程组的解是，则若关于，的二元二次方程组的解是______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】代入消元法、加减消元法、二元一次方程组的特殊解法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程，仿照题干的解法，进行解答，即可． （1）方程组整理后，仿照题干中的解法求解即可； （2）根据方程组，由①＋②得，化简可得，根据，得到，即可； （3）根据题意，二元一次方程组的解是，则，，得到，的值，即可． 【详解】（1）解： ∴由①得，； 把③代入②，可得 解得：； 把代入③可得， 解得： ∴方程组的解为：． （2）解：， 由①＋②得， 整理，得， ∵， ∴， 解得：． （3）解：关于，的二元一次方程组的解是， ∴，，解得：，， ∴关于，的二元二次方程组中， ∴， 方程的解为：， 故答案为：． 22．（本题10分）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元． (1)求，两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用元购进，两种头盔两种头盔均购买，销售个种头盔可获利元，销售个种头盔可获利元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)种头盔的单价是元，种头盔的单价是元 (2)共有2种方案，最大利润是220元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组的方法，方案选择的方法是解题的关键． （1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据题意列方程求解，根据实际情况选择方法即可． 【详解】（1）解：设种头盔的单价是元，种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元； （2）解：设购进种头盔个，种头盔个， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或， 该商店共有种购买方案： 购进种头盔个，种头盔个，利润为元； 购进种头盔个，种头盔个，利润为元； ， 最大利润是元． 23．（本题10分）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题． 【答案】客人30个，盘子13个 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有x个客人，y个盘子． 根据题意，得 , 解得 ， 答∶有30个客人，13个盘子． 24．（本题12分）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下学期（配2024新浙教版） 第二章 二元一次方程组 单元检测A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中属于二元一次方程的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．数学课堂上，老师要求写出一个以为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（ ） A． B． C． D． 3．已知二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．在代数式中，当x分别取，，，1，2，3时，对应代数式的值如表： x 1 2 3 3 5 7 则的值为（  ） A．3 B．7 C． D． 6．下列说法：①二元一次方程的解有无数个；②方程的自然数解只有1组；③方程组的解为．正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 8．若整数a使关于x、y的方程组的解为整数，且使方程是关于m的一元一次方程，则满足条件的所有a的值的和为（    ） A．9 B．8 C．7 D．5 9．嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品克，表取样品克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 10．如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知方程的一个解是，则 ． 12．当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为 ． 13．现有A、B、C、D、E五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为 和 ．（填“A、B、C、D、E”中的两个字母） 14．已知二元一次方程组的解满足，则k的值为 ． 15．对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 16．从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本题8分）解下列方程组： (1)； (2)． 18．（本题8分）解下列方程组： (1) (2) 19．（本题8分）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 20．（本题8分）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 21．（本题8分）阅读材料并解决问题． (1)观察发现；材料：解方程组 解：将①整体代入②，得，解得， 把代入①，得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出的解为______． (2)拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． (3)迁移应用：若关于，的二元一次方程组的解是，则若关于，的二元二次方程组的解是______． 22．（本题10分）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元． (1)求，两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用元购进，两种头盔两种头盔均购买，销售个种头盔可获利元，销售个种头盔可获利元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 23．（本题10分）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题． 24．（本题12分）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$