第06讲 一次函数与方程、不等式（3个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第06讲 一次函数与方程、不等式 课程标准 学习目标 ①一次函数与一元一次方程 ②一次函数与二元一次方程组 ③一次函数与不等式 1. 掌握函数与方程的关系，通过数形结合，能利用函数交点求方程的解，也能用方程的解求函数的交点。 2. 掌握函数与不等式的关系，能够利用函数图像求不等式的解集。 知识点01 一次函数与一元一次方程 1. 求函数的交点： 求函数与函数的交点坐标，只需建立方程 求解即可得到两函数交点的 ，将所得的值带入任意函数值求得交点的 。 2. 一次函数与一元一次方程： ①若一次函数的图像经过点，则一元一次方程的解为 。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则一元一次方程的解为 。 【即学即练1】 1．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A，则方程kx+b＝3的解是（　　） A．x＝b B．x＝2 C．x＝3 D． 【即学即练2】 2．如图，一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）与y＝3x﹣1的图象相交于点M，且点M的纵坐标为8，则关于x的方程kx+3＝3x﹣1的解是（　　） A．x＝2 B． C． D．x＝3 知识点02 一次函数与二元一次方程组 1. 一次函数与二元一次方程组： 若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则二元一次方程组的解为 。 【即学即练1】 3．直线y＝ax﹣3与直线y＝bx﹣1的图象有交点（ 2，1 ），则方程组的解为：　 　． 知识点03 一次函数与不等式 1. 一次函数与不等式： ①若一次函数的图像经过点，则不等式的解集取点上方所在图像所对应的自变量范围；不等式的解集取点下方所在图像所对应的自变量范围。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则不等式的解集取函数的图像在图像上方的部分所对应的自变量的范围；不等式的解集取函数的图像在图像下方的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。 【即学即练1】 4．如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2 【即学即练2】 5．如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 题型01 利用一次函数求一元一次方程的解 【典例1】如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 　． 【变式1】函数y＝2x和y＝kx+3（k是常数，且k≠0）的图象相交于点P（1，2），则关于x的方程kx+3＝2x的解是　 　． 【变式2】如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2 【变式3】如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax＝2a﹣b的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【变式4】如图，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象交于点P（﹣1，2），则关于x的方程ax+b＝mx+n的解是 　． 题型02 利用一次函数求二元一次方程组的解 【典例1】在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图中两直线l1，l2的交点坐标可以看作下列方程组中的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知直线y＝3x与直线y＝﹣2x+b交点为（2，m），试确定方程组的解和m，b的值． 题型03 利用一次函数求不等式的解集 【典例1】若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为 　 ． 【变式1】已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集为 　 　． 【变式2】如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（﹣1，m），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为 　 　． 【变式3】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】如图，直线y＝kx+b经过A（﹣3，1）和B（﹣6，0）两点，则不等式组的解集为（　　） A．﹣3＜x＜0 B．x＞﹣3 C．x＜﹣6 D．﹣6＜x＜﹣3 【变式5】如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 1．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣1 B．y＝﹣1 C．x＝﹣2 D．y＝﹣2 2．关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（　　） A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3） 3．如图，直线y＝kx+b分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若OA＝4，OB＝3，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣4 C．x＝3 D．x＝4 4．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（　　） A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1 5．已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） x … ﹣1.5 0 1 2 … y … 6 3 1 ﹣1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 6．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0；③当x＞2时，y＜0；④当x＜2时，y＜3．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 7．如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+1的图象相交于点P（a，3），则下列说法错误的是（　　） A．k＞0 B．b＞0 C．关于x的方程kx+b＝3的解是x＝﹣1 D．关于x的不等式kx+b＜﹣2x+1的解集是x＜3 9．已知不等式kx+b＞0的解是x＞2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．已知直线l1的解析式为y1＝（k﹣3）x+k，直线b的解析式为y2＝﹣kx+3﹣k，M（m，a）在直线l1上，N（m，b）在直线l2上．下列说法正确的是（　　） A．若k＞3，m＞﹣1，则a＞b B．若k＜0，m＜﹣1，则a＜b C．若k＞3，m＞﹣1，则a＜b D．若k＜0，m＞﹣1，则a＞b 11．一次函数y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的方程mx+n﹣3＝0的解是 　 　． 12．如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程2x＝kx+b的解是 　． 13．已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 1 … y … 2 ﹣2 ﹣4 … 则关于x的方程kx+b＝0的解为 　． 14．—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 7 5 3 1 ﹣1 … 那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 　 ． 15．新定义：对于两个实数a、b，我们用max{a，b}表示这两个数中最大的数，即，对于函数y＝max{2x﹣1，﹣x+2}： （1）当x＝1时，y＝ 　 　； （2）若过定点的直线y＝kx+3k﹣1与函数y＝max{2x﹣1，﹣x+2}的图象有两个交点，则k的取值范围是 　 　． 16．如图，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+4在同一平面直角坐标系内交于点P． （1）写出关于x的方程3x＝kx+4的解：　 　； （2）设直线l2与x轴交于点A，求点A的坐标． 17．小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下： （1）请将以上方框中数字序号位置应有的内容填写在下面的相应位置： ①　 ；②　 　；③　 　；④　 　． （2）如果点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≤k1x+b1的解集为　 　． 18．如图，直线y＝2x+1与直线y＝mx+n相交于点P（1，b），且两直线分别与x轴分别交于A，B两点，且点B坐标为（4，0）． （1）求点P坐标； （2）一元一次方程mx+n＝0的解为 　 ； （3）若直线y＝2x+1上有一点Q，使得S△ABP，求点Q的坐标． 19．已知一次函数y1＝kx+b，y2＝bx﹣2k+3（其中k、b为常数且k≠0，b≠0） （1）若y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值； （2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数y1有最大值3，求此时一次函数y1的表达式． （3）若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围． 20．某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数y＝a|x|+bx+c（a，b，c是常数，|a|≠|b|）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当a＝1，b＝c＝0时，即y＝|x|．当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝ 　 　． （2）当a＝﹣2，b＝1，c＝3时，即y1＝﹣2|x|+x+3． ①该函数自变量x和函数值y1的若干组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 4 … y1 … ﹣3 m 3 2 ﹣1 … 其中m＝ 　 　． ②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数y1＝﹣2|x|+x+3结合图象写出该函数的一条性质 　 　． ③已知函数y2＝mx+n（m＞0）的图象是一条经过点（1，0）的直线，则关于x的不等式（﹣2|x|+x+3）（mx+n）＜0的解集是 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一次函数与方程、不等式 课程标准 学习目标 ①一次函数与一元一次方程 ②一次函数与二元一次方程组 ③一次函数与不等式 1. 掌握函数与方程的关系，通过数形结合，能利用函数交点求方程的解，也能用方程的解求函数的交点。 2. 掌握函数与不等式的关系，能够利用函数图像求不等式的解集。 知识点01 一次函数与一元一次方程 1. 求函数的交点： 求函数与函数的交点坐标，只需建立方程 求解即可得到两函数交点的 横坐标 ，将所得的值带入任意函数值求得交点的 纵坐标 。 2. 一次函数与一元一次方程： ①若一次函数的图像经过点，则一元一次方程的解为 。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则一元一次方程的解为 。 【即学即练1】 1．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A，则方程kx+b＝3的解是（　　） A．x＝b B．x＝2 C．x＝3 D． 【分析】直接利用函数图象即可得出答案． 【解答】解：由函数图象可知：当x＝2时y＝kx+b＝3， 所以关于x的方程kx+b＝3的解为x＝2， 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，一次函数y＝kx+3（k为常数且k≠0）与y＝3x﹣1的图象相交于点M，且点M的纵坐标为8，则关于x的方程kx+3＝3x﹣1的解是（　　） A．x＝2 B． C． D．x＝3 【分析】把y＝8代入y＝3x﹣1求出x，根据数形结合，即可求出答案． 【解答】解：由条件可得：8＝3x﹣1， 解得x＝3， ∴M（3，8）， ∴关于x的方程kx+3＝3x﹣1的解是x＝3， 故选：D． 知识点02 一次函数与二元一次方程组 1. 一次函数与二元一次方程组： 若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则二元一次方程组的解为 。 【即学即练1】 3．直线y＝ax﹣3与直线y＝bx﹣1的图象有交点（ 2，1 ），则方程组的解为：　　． 【分析】将点（2，1）代入两直线方程可分别得出a和b的值，然后代入解方程组即可得出方程组的解． 【解答】解：将点（2，1）代入两直线方程，可得a＝2，b＝1， 原方程可化为：， 解得． 故答案为：得． 知识点03 一次函数与不等式 1. 一次函数与不等式： ①若一次函数的图像经过点，则不等式的解集取点上方所在图像所对应的自变量范围；不等式的解集取点下方所在图像所对应的自变量范围。 ②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则不等式的解集取函数的图像在图像上方的部分所对应的自变量的范围；不等式的解集取函数的图像在图像下方的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。 【即学即练1】 4．如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2 【分析】利用一次函数的性质，写出直线y＝ax+b在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点是（1，0）， 观察图象，关于x的不等式ax+b＜0的解集为x＞1． 故选：A． 【即学即练2】 5．如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 【分析】看两函数交点坐标左边的图象所对应的自变量的取值即可． 【解答】解：因为一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4）， 所以不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1， 故选：D． 题型01 利用一次函数求一元一次方程的解 【典例1】如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 　x＝1　． 【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案． 【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2）， ∴2＝2m， ∴m＝1， ∴P（1，2）， ∴当x＝1时，y＝kx+b＝2， ∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1， 故答案为：x＝1． 【变式1】函数y＝2x和y＝kx+3（k是常数，且k≠0）的图象相交于点P（1，2），则关于x的方程kx+3＝2x的解是　x＝1　． 【分析】因为函数y＝2x和y＝kx+3（k是常数，且k≠0）的图象相交于点P（1，2），把点P（1，2）的坐标代入一次函数的解析式中求出k＝﹣1，再把k＝﹣1代入方程kx+3＝2x，得到关于x的一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：由条件可知：把点P（1，2）的坐标代入y＝kx+3， 可得：k+3＝2， 解得：k＝﹣1， 把k＝﹣1代入方程kx+3＝2x， 可得：﹣x+3＝2x， 解得：x＝1， 故答案为：x＝1． 【变式2】如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2 【分析】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 【解答】解：∵OA＝2， ∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0）， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 故选：C． 【变式3】如图，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax＝2a﹣b的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【分析】由直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，可得b＝﹣a，故ax＝3a，即可得答案． 【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1， ∴0＝a+b， ∴b＝﹣a， ∴ax＝2a﹣（﹣a），即ax＝3a， ∵a≠0， ∴x＝3， 故选：D． 【变式4】如图，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象交于点P（﹣1，2），则关于x的方程ax+b＝mx+n的解是 　x＝﹣1　． 【分析】两个函数交点坐标的横坐标就是关于x的一元一次方程ax+b＝mx+n的解，据此解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象交于点P（﹣1，2）， ∴关于x的方程ax+b＝mx+n的解是：x＝﹣1． 故答案为：x＝﹣1． 题型02 利用一次函数求二元一次方程组的解 【典例1】在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】先将点P代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解． 【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4， 得n＝﹣3+4＝1， ∴P（3，1）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 【变式1】如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案． 【解答】解：∵由图象可知：一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（﹣2，3）， ∴方程组的解是， 故选：A． 【变式2】如图中两直线l1，l2的交点坐标可以看作下列方程组中的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别利用待定系数法求出直线l1和l2的解析式，然后利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 【解答】解：设直线l2的解析式为y＝kx+b， 把（2，3），（﹣1，0）代入得，解得， 所以直线l2的解析式为y＝x+1， 设直线l1的解析式为y＝mx+n， 把（2，3），（0，﹣1）代入得，解得， 所以直线l2的解析式为y＝2x﹣1， 所以两条直线l1和l2的交点坐标（2，3）可看作方程组的解． 故选：B． 【变式3】已知直线y＝3x与直线y＝﹣2x+b交点为（2，m），试确定方程组的解和m，b的值． 【分析】把交点坐标代入两函数解析式求解得到m、b的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答． 【解答】解：∵直线y＝3x与直线y＝﹣2x+b交点为（2，m）， ∴， 解得， ∴方程组的解为． 因此，方程组的解为，m、b的值分别是6、10． 题型03 利用一次函数求不等式的解集 【典例1】若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为 　x＞2　． 【分析】直接利用一次函数的图象即可得出答案． 【解答】解：由函数图象可知关于x的不等式kx+b＞0的解集为x＞2． 故答案为：x＞2． 【变式1】已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集为 　x＜3　． 【分析】结合函数图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：当x＜3时，y＞0， 所以不等式kx+b＞0的解集为x＜3． 故答案为：x＜3． 【变式2】如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（﹣1，m），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为 　x＞﹣1　． 【分析】结合函数特征写出直线y＝kx+b在直线y＝﹣2x+2上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（﹣1，m）， ∴x＞﹣1时，﹣2x+2＜kx+b． ∴关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为x＞﹣1． 故答案为：x＞﹣1． 【变式3】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【解答】解：由条件可知关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集是x＜﹣1． 在数轴上表示x＜﹣1的解集，只有选项C符合， 故选：C． 【变式4】如图，直线y＝kx+b经过A（﹣3，1）和B（﹣6，0）两点，则不等式组的解集为（　　） A．﹣3＜x＜0 B．x＞﹣3 C．x＜﹣6 D．﹣6＜x＜﹣3 【分析】先找出两条直线的交点，再根据数形结合思想求解． 【解答】解：当x＝﹣3时，yx＝1， ∴yx与y＝kx+b相交于点A（﹣3，1）， 由图象得：不等式组的解集为：﹣3＜x＜0， 故选：A． 【变式5】如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可． 【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为x＜﹣1或x＞3． 故选：D． 1．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣1 B．y＝﹣1 C．x＝﹣2 D．y＝﹣2 【分析】关于x的方程一元一次方程kx+b＝0的解就是一次函数y＝kx+b当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案． 【解答】解：∵与x轴交点的横坐标为﹣2， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为：x＝﹣2， 故选：C． 2．关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（　　） A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3） 【分析】关于x的方程kx+b＝3的解其实就是求当函数值为3时x的值，据此可以直接得到答案． 【解答】解：∵关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7， ∴x＝7时，y＝kx+b＝3， ∴直线y＝kx+b的图象一定过点（7，3）． 故选：D． 3．如图，直线y＝kx+b分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若OA＝4，OB＝3，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣4 C．x＝3 D．x＝4 【分析】方程kx+b＝0的解其实就是当y＝0时一次函数y＝kx+b与x轴的交点横坐标． 【解答】解：∵直线y＝kx+b分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，且OA＝4，OB＝3， ∴A（﹣4，0）， ∴当x＝﹣4时，y＝kx+b＝0， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为：x＝﹣4． 故选：B． 4．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（　　） A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1 【分析】观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx﹣1的图象上方，所以不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1． 【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1， 即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1． 故选：B． 5．已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） x … ﹣1.5 0 1 2 … y … 6 3 1 ﹣1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 【分析】先把两个点的坐标代入y＝kx+b，求出k、b的值，得出函数解析式是y＝﹣2x+3，再逐个判断即可． 【解答】解：由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1）， 把点的坐标代入y＝kx+b得：， 解得：k＝﹣2，b＝3， 即函数的解析式是y＝﹣2x+3， A．∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．∵k＝﹣2，b＝3， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； C．当y＝1时，﹣2x+3＝1， 解得：x＝1， 即方程kx+b＝1的解是x＝1，故本选项符合题意； D．∵b＝3， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意； 故选：C． 6．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0；③当x＞2时，y＜0；④当x＜2时，y＜3．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【分析】先用待定系数法求出该函数解析式，把点代入解析式，即可判断①；该函数图象过点（0，3），即当x＝0时，y＝3，即可判断②；由图象可得当x＞2时，对应的图象在x轴的下方，即可判断③；由图象可得当x＜2时，对应的图象在x轴的上方，即可判断④． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）， ∴k，b＝3， ∴该一次函数为， 把点代入函数，得成立， ∴函数图象经过点．故①正确； ∵该函数图象过点（0，3）， ∴当x＝0时，y＝3， ∴关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0．故②正确； ∵由图象可得当x＞2时，对应的图象在x轴的下方， ∴当x＞2时，y＜0．故③正确； ∵由图象可得当x＜2时，对应的图象在x轴的上方， ∴当x＜2时，y＞0．故④错误． 综上，正确的是①②③． 故选：A． 7．如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0：④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数的性质对①②③进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对④进行判断． 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0，所以①③正确； ∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴a＜0，所以②错误； ∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3， ∴x＝3时，kx+b＝x+a，所以④正确． 综上所述，正确的个数是3． 故选：C． 8．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+1的图象相交于点P（a，3），则下列说法错误的是（　　） A．k＞0 B．b＞0 C．关于x的方程kx+b＝3的解是x＝﹣1 D．关于x的不等式kx+b＜﹣2x+1的解集是x＜3 【分析】运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解． 【解答】解：根据题意，把交点P（a，3）代入一次函数y＝﹣2x+1中得， ﹣2a+1＝3，解得，a＝﹣1， ∴P（﹣1，3）， 把点P（﹣1，3）代入一次函数图象y＝kx+b得，﹣k+b＝3， 根据一次函数y＝kx+b的图象可得，k＞0，b＞0，故A，B选项正确，不符合题意； 当x＝﹣1时，kx+b＝3，故C选项正确，不符合题意； 当kx+b＜﹣2x+1时，x＜﹣1，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 9．已知不等式kx+b＞0的解是x＞2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】把不等式的解集理解为当x＞2时，一次函数的函数值大于0，即函数图象上x的上方，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：∵不等式kx+b＞0的解是x＞2， ∴对于一次函数y＝kx+b，当x＞2时，y＞0， 即当x＞2时，一次函数的图象上x的上方． 故选：B． 10．已知直线l1的解析式为y1＝（k﹣3）x+k，直线b的解析式为y2＝﹣kx+3﹣k，M（m，a）在直线l1上，N（m，b）在直线l2上．下列说法正确的是（　　） A．若k＞3，m＞﹣1，则a＞b B．若k＜0，m＜﹣1，则a＜b C．若k＞3，m＞﹣1，则a＜b D．若k＜0，m＞﹣1，则a＞b 【分析】由两直线的解析式变形得到直线l1和直线l2交于点（﹣1，3），结合图象即可判断． 【解答】解：∵y1＝（k﹣3）x+k＝（k+1）x﹣3x，y2＝﹣kx+3﹣k＝﹣k（x+1）+3， ∴直线l1和直线l2交于点（﹣1，3）， 若k＞3，m＞﹣1，则直线l1在直线l2的上方，如图1， 则a＞b．故A正确，C错误； 若k＜0时，如图2， 则m＜﹣1，则a＞b，m＞﹣1，则a＜b．故B、D错误． 故选：A． 11．一次函数y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的方程mx+n﹣3＝0的解是 　x＝0　． 【分析】根据mx+n﹣3＝0的解可以看作函数y＝mx+n与函数y＝3的交点横坐标求解即可． 【解答】解：由条件可知mx+n＝3， ∴mx+n﹣3＝0的解可以看作函数y＝mx+n与函数y＝3的交点横坐标， ∴关于x的方程mx+n﹣3＝0的解是x＝0． 故答案为：x＝0． 12．如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程2x＝kx+b的解是 　x＝1　． 【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案． 【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2）， ∴2＝2m， ∴m＝1， ∴P（1，2）， ∴关于x的方程kx+b＝2x的解是x＝1， 故答案为：x＝1． 13．已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 1 … y … 2 ﹣2 ﹣4 … 则关于x的方程kx+b＝0的解为 　x＝﹣1　． 【分析】利用待定系数法求得解析式，然后求出y＝0时，对应的x的值即可． 【解答】解：由表格可知， 解得， ∴y＝﹣2x﹣2， 当y＝0，则﹣2x﹣2＝0， 解得x＝﹣1， ∴方程kx+b＝0的解为x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1． 14．—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 7 5 3 1 ﹣1 … 那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 　x≤﹣2　． 【分析】通过一次函数与一元一次不等式的关系可知，kx+b≥5，即为y≥5．即可得到对应的x的取值范围． 【解答】解：当x＝﹣2时y＝5， 根据表中数据可知函数值y随x的增大而减小， ∴不等式kx+b≥5的解等是x≤﹣2． 故答案为：x≤﹣2． 15．新定义：对于两个实数a、b，我们用max{a，b}表示这两个数中最大的数，即，对于函数y＝max{2x﹣1，﹣x+2}： （1）当x＝1时，y＝ 　1　； （2）若过定点的直线y＝kx+3k﹣1与函数y＝max{2x﹣1，﹣x+2}的图象有两个交点，则k的取值范围是 　k＜2　． 【分析】（1）利用新定义求得即可； （2）根据题意，当x＜1时，y＝max{2x﹣1，﹣x+2}＝﹣x+2，当x≥1时y＝max{2x﹣1，﹣x+2}＝2x﹣1，再数形结合解题即可． 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝max{1，1}＝1， 故答案为：1； （2）当x＜1时，y＝max{2x﹣1，﹣x+2}＝﹣x+2，当x≥1时y＝max{2x﹣1，﹣x+2}＝2x﹣1， 如图： 当直线y＝kx+3k﹣1经过点（1，1）时，k， 当y＝kx+3k﹣1与直线y＝2x﹣1平行时，k＝2， ∴k＜2时，有两个交点． 故答案为：k＜2． 16．如图，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+4在同一平面直角坐标系内交于点P． （1）写出关于x的方程3x＝kx+4的解：　x＝1　； （2）设直线l2与x轴交于点A，求点A的坐标． 【分析】（1）点P的横坐标即为关于x的方程3x＝kx+4的解，根据图象直接作答即可； （2）根据（1），将3x＝kx+4的解代入3x＝kx+4，得到关于k的一元一次方程并求解，从而求得直线l2的函数表达式，当y＝0时求出对应x的值即可． 【解答】解：（1）根据图象，关于x的方程3x＝kx+4的解为x＝1． 故答案为：x＝1． （2）将x＝1代入方程3x＝kx+4， 得3＝k+4， 解得k＝﹣1， ∴直线l2的函数表达式为y＝﹣x+4， 当y＝0，得﹣x+4＝0， 解得x＝4， ∴点A的坐标为（4，0）． 17．小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下： （1）请将以上方框中数字序号位置应有的内容填写在下面的相应位置： ①　kx+b＝0　；②　　；③　kx+b＞0　；④　kx+b＜0　． （2）如果点C的坐标为（1，3），那么不等式kx+b≤k1x+b1的解集为　x≥1　． 【分析】（1）①由于点B是函数y＝kx+b与x轴的交点，因此B点的横坐标即为方程kx+b＝0的解； ②因为C点是两个函数图象的交点，因此C点坐标必为两函数解析式联立所得方程组的解； ③函数y＝kx+b中，当y＞0时，kx+b＞0，因此x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集； 同理可求得④的结论． （2）由图可知：在C点右侧时，直线y＝kx+b的函数值要小于直线y＝k1x+b1的函数值． 【解答】解：（1）根据观察得①kx+b＝0；②；③kx+b＞0；④kx+b＜0； 故答案为：①kx+b＝0；②；③kx+b＞0；④kx+b＜0； （2）∵点C的坐标为（1，3）， ∴不等式kx+b≤k1x+b1的解集为x≥1． 故答案为：x≥1． 18．如图，直线y＝2x+1与直线y＝mx+n相交于点P（1，b），且两直线分别与x轴分别交于A，B两点，且点B坐标为（4，0）． （1）求点P坐标； （2）一元一次方程mx+n＝0的解为 　x＝4　； （3）若直线y＝2x+1上有一点Q，使得S△ABP，求点Q的坐标． 【分析】（1）把P（1，b）代入y＝2x+1求出b的值，从而得到P点坐标； （2）设Q（t，2t+1），先确定A（，0），再利用三角形面积公式得到（4）×3（4）×|2t+1|，然后解方程求出t，从而得到∴点的坐标． 【解答】解：（1）把P（1，b）代入y＝2x+1得b＝2×1+1＝3， ∴点P的坐标为（1，3）； （2）∵直线y＝mx+n与x轴交点B（4，0）， ∴一元一次方程mx+n＝0的解为x＝4； 故答案为：x＝4； （3）设Q（t，2t+1）， 当y＝0时，2x+1＝0， 解得x， ∴A（，0）， ∵S△ABP， ∴（4）×3（4）×|2t+1|， 解得t或t， ∴Q点的坐标为（，6）或（，﹣6）． 19．已知一次函数y1＝kx+b，y2＝bx﹣2k+3（其中k、b为常数且k≠0，b≠0） （1）若y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值； （2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数y1有最大值3，求此时一次函数y1的表达式． （3）若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围． 【分析】（1）将（2，3）代入两个解析式，得到关于k，b的二元一次方程组，进行求解即可； （2）分k＞0和k＜0，两种情况，根据一次函数的增减性，进行判断即可； （3）根据题意，得到两条直线平行且直线y1在直线y2的上方，进行求解即可． 【解答】解：（1）把（2，3）代入y1，y2，得： ，解得：； （2）若b＝k﹣1，则：y1＝kx+k﹣1， ①当k＞0时，y随x的增大而增大， ∵﹣2≤x≤2， ∴当x＝2时，y有最大值为2k+k﹣1＝3，解得：； ∴； ①当k＜0时，y随x的增大而减小， ∵﹣2≤x≤2， ∴当x＝﹣2时，y有最大值为﹣2k+k﹣1＝3，解得：k＝﹣4； ∴y1＝﹣4x﹣5 综上：或y1＝﹣4x﹣5． （3）由题意：两条直线平行且直线y1在直线y2的上方， ∴k＝b，b＞﹣2k+3， ∴k＞﹣2k+3， ∴k＞1． 20．某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数y＝a|x|+bx+c（a，b，c是常数，|a|≠|b|）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当a＝1，b＝c＝0时，即y＝|x|．当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝ 　﹣x　． （2）当a＝﹣2，b＝1，c＝3时，即y1＝﹣2|x|+x+3． ①该函数自变量x和函数值y1的若干组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 4 … y1 … ﹣3 m 3 2 ﹣1 … 其中m＝ 　0　． ②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数y1＝﹣2|x|+x+3结合图象写出该函数的一条性质 　当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y有最大值是3　． ③已知函数y2＝mx+n（m＞0）的图象是一条经过点（1，0）的直线，则关于x的不等式（﹣2|x|+x+3）（mx+n）＜0的解集是 　﹣1＜x＜1或x＞3　． 【分析】（1）根据绝对值的性质即可求解； （2）①把x＝﹣1代入计算即可； ②运用描点、连线即可作图； ③在函数y1＝﹣2|x|+x+3中，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，当﹣1＜x＜3时，y＞0，在函数y2＝mx﹣m（m＞0）中，函数y2＝mx+n（m＞0）的图象是一条经过点（1，0），当x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，由题意可得（﹣2|x|+x+3）与（mx+n）异号，由此即可求解． 【解答】解：（1）当x＜0时，y＝|x|＝﹣x， 故答案为：﹣x； （2）①当a＝﹣2，b＝1，c＝3时，即y1＝﹣2|x|+x+3， ∴当x＝﹣1时，y＝m＝﹣2×|﹣1|+（﹣1）+3＝﹣2﹣1+3＝0， 故答案为：0； ②作图如下： ∴当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y有最大值是3； 故答案为：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y有最大值是3． ③根据图示可得，在函数y2＝mx﹣m（m＞0）中，函数y2＝mx+n（m＞0）的图象是一条经过点（1，0）， ∴当x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0， ∵不等式（﹣2|x|+x+3）（mx+n）＜0， ∴（﹣2|x|+x+3）与（mx+n）异号， ∴不等式的解集为﹣1＜x＜1或x＞3． 故答案为：﹣1＜x＜1或x＞3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$