专题04 实数重难点题型归纳（13个考点十六种题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版2024新教材）
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内容正文：
专题04 实数重难点题型归纳
重难点题型归纳
【题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念】
【题型2算术平方根的非负性】
【题型3 根据平方根性质求解（3种题型）】
【题型4 根据立方根性质求解】
【题型5 算术平方根和立方根的综合运算】
【题型6 无理数的估算】
【题型7 无理数的大小比较】
【题型8 实数的性质】
【题型10实数的实际综合应用】
【题型11程序设计与实数运算】
【题型12新定义下的实数运算】
【题型13与实数运算相关的规律题】
考点1：算术平方根的性质
考点2：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
考点3：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，则15.54
【题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念】
1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）下列各数没有平方根的是（ ）
A．3 B．0 C． D．
2．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·湖南郴州·开学考试）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·江苏南京·期末） ．
5．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末） ．
6．（2025七年级下·全国·专题练习）若的值为4，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025七年级下·全国·专题练习）若的值为4，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2算术平方根的非负性】
8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知，那么的值为 ．
9．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则 ．
10．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则的值是 ．
11．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）若m，n为实数，且，则的平方根是 ．
12．（24-25七年级下·全国·期中）若，则 ．
【题型3 根据平方根性质求解（3种题型）】
13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（ ）
A．25 B．16 C．8 D．2
14．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ．
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
16．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程：
(1)；
(2)．
17．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程：
(1)；
(2)
18．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）观察下表，你能得到什么规律？
（2）已知，根据上述规律求，，的近似值．
19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是．
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
【题型4 根据立方根性质求解】
20．（24-25八年级上·山东烟台·期末）的平方根是 ．
21．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中），则 ．
22．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知，，，，，则 ， ．
23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是．
(1)求的值；
(2)求这个正数的值及的平方根．
24．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式中的x的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【题型5 算术平方根和立方根的综合运算】
25．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
26．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是．
(1)求与的值；
(2)求的立方根．
27．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求的立方根．
【题型6 无理数的估算】
28．（2025年陕西省西安市经开区九年级中考一模数学试题）是连续的两个整数，若，则的值为 ．
【题型7 无理数的大小比较】
29．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用“”，“”或“”填空： 1．
30．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知，且a是整数，则a的值是 ．
31．（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知，则整数的值为 ．
32．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）估计大小关系： （填或）．
33．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是 点．
34．（24-25七年级上·山东淄博·期末）若，则的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【题型8 实数的性质】
35．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）实数的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
36．（24-25七年级下·全国·课后作业）的绝对值的3倍与的差的相反数等于（ ）
A． B． C．1 D．
37．（2025七年级下·全国·专题练习）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
38．（22-23七年级上·浙江温州·期中）下列各组数中，运算结果相等的一组是（ ）
A．与 B．23与32 C．与 D．与
39．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）的相反数是 ．
【题型9 实数的混合运算】
40．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算：
(1)；
(2)．
41．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算：．
42．（24-25七年级上·山东烟台·期末）计算
(1)；
(2)．
43．（24-25八年级下·江苏镇江·开学考试）计算：
(1)；
(2)．
44．（24-25七年级下·全国·期末）计算：
(1)；
(2)．
【题型10实数的实际综合应用】
45．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
46．（24-25七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【题型11程序设计与实数运算】
47．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个数值转换器，原理如图．当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A． B． C． D．8
48．（2025七年级下·全国·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ．
49．（22-23七年级下·河南商丘·期中）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是
【题型12新定义下的实数运算】
50．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（ ）
A． B． C．2 D．6
51．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于非零的两个实数a，b，规定，若，，则的值为（ ）
A． B．13 C．2 D．
52．（2025七年级下·全国·专题练习）规定：如果，那么叫作的次方根．例如：因为，所以16的四次方根是2和．由此可知，81的四次方根是 ．
【题型13与实数运算相关的规律题】
53．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（ ）
A． B． C． D．
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专题04 实数重难点题型归纳
重难点题型归纳
【题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念】
【题型2算术平方根的非负性】
【题型3 根据平方根性质求解（3种题型）】
【题型4 根据立方根性质求解】
【题型5 算术平方根和立方根的综合运算】
【题型6 无理数的估算】
【题型7 无理数的大小比较】
【题型8 实数的性质】
【题型10实数的实际综合应用】
【题型11程序设计与实数运算】
【题型12新定义下的实数运算】
【题型13与实数运算相关的规律题】
考点1：算术平方根的性质
考点2：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
考点3：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，则15.54
【题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念】
1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）下列各数没有平方根的是（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平方根的含义，根据负数没有平方根作答即可．
【详解】解：由负数没有平方根可得没有平方根的是，
故选C．
2．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平方根的定义：若一个数的平方等于，就说这个数是的平方根，记作，根据平方根的定义直接求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴的平方根是．
故选：C．
3．（24-25八年级下·湖南郴州·开学考试）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，开平方计算与平方根的定义，理解定义是解题的关键．
根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答．
【详解】解：，
的平方根是．
故选：D．
4．（24-25八年级上·江苏南京·期末） ．
【答案】4
【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：，
故答案为：4．
5．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末） ．
【答案】
【分析】本题考查求一个数的立方根，根据开立方定义：，则叫的立方根，记作，求解即可得到答案，．
【详解】解：，
故答案为：．
6．（2025七年级下·全国·专题练习）若的值为4，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，则．
故选：C．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）若的值为4，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，则．
故选：C．
【题型2算术平方根的非负性】
8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知，那么的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
9．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键．先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出、、的值，再代入即可得．
【详解】解：∵
∴
∴
∴，
故答案为：．
10．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性以及求代数式的值，先根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，再将，的值代入中进行计算即可．掌握平方和算术平方根的非负性是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的值是．
故答案为：．
11．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）若m，n为实数，且，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根的非负性、平方根等知识点等知识，掌握相关知识并能灵活运用是解题的关键．
先根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n的值，再根据平方根的计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴的平方根是．
故答案为：．
12．（24-25七年级下·全国·期中）若，则 ．
【答案】
【分析】由绝对值的非负性、算术平方根的非负性及完全平方数的非负性可得，，，解方程即可求出、、的值，然后将其代入求值即可．
【详解】解：，
，，，
解得：，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值的非负性、算术平方根的非负性及完全平方数的非负性是解题的关键．
【题型3 根据平方根性质求解（3种题型）】
13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（ ）
A．25 B．16 C．8 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数列出关于的方程，解方程即可求解．
【详解】解：根据题意知，
解得：，
∴，
∴这个正数是，
故选：A．
14．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与，
∴，
∴，
故答案为：．
【答案】
【分析】此题考查了算术平方根的定义，求一个数的近似数，掌握算术平方根的定义是本题的关键．根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．
【详解】解：∵，
故答案为：．
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运用．
（1）先变形为，再求平方根即可求解；
（2）先变形为，再求平方根得，然后解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∴，
即；
（2）解：，
，
，
即，
∴或．
16．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）先将变形为，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）先将变形为，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
解得：，．
17．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用平方根的定义解方程即可；
本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键．
【详解】（1）解：；
，
，
（2）解：
或
解得：或．
18．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）观察下表，你能得到什么规律？
（2）已知，根据上述规律求，，的近似值．
【答案】（1）被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位．
（2），，．
【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
（1）根据表格数据总结规律即可；
（2）根据规律即可求得答案．
【详解】（1）由时，；
时，；
时，；
时，；
可知被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位；
（2）利用被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位，
可知，
，
．
19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是．
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键．
（1）根据题意得出，，计算即可得到答案；
（2）把代入计算即可得到答案．
【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是，
，
，；
（2）解：当时，
17的平方根是，
的平方根是．
【题型4 根据立方根性质求解】
20．（24-25八年级上·山东烟台·期末）的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
先求得，根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：，
∴的平方根是，
故答案为：．
21． （22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中），则 ．
【答案】
【分析】此题考查了算术平方根的定义，求一个数的近似数，掌握算术平方根的定义是本题的关键．根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．
【详解】解：∵，
故答案为：．
22．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知，，，，，则 ， ．
【答案】 1.285 2.342
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值．
【详解】解：，
故答案为：1.285；2.342
23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是．
(1)求的值；
(2)求这个正数的值及的平方根．
【答案】(1)
(2)，的平方根是
【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义．
（1）由题意得：，求出，进而得到，推出即可求解；
（2）根据求出的值，再根据平方根的定义即可求的平方根．
【详解】（1）解：由题意得：，
，
，
，
；
（2），
的平方根是，
，的平方根是．
24．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式中的x的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解题的关键，
（1）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可；
（2）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可；
（3）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
【题型5 算术平方根和立方根的综合运算】
25．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根．
（1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可；
（2）先求出的值，再求出平方根即可．
【详解】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3．
∴，，
解得：，；
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴的平方根为．
26．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的立方根是．
(1)求与的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键．
（1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算；
（2）由（1）及立方根可直接求解．
【详解】（1）解： 的算术平方根是，
，
解得：，
的立方根是，
，
解得：；
（2）由(1)知，，
，
的立方根为．
27．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义；
（1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答；
（2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答．
【详解】（1）解：是的算术平方根，
，
解得：，
的立方根是，
∴，即
解得：；
（2），，
，
的立方根是．
【题型6 无理数的估算】
28．（2025年陕西省西安市经开区九年级中考一模数学试题）是连续的两个整数，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理的大小，确定m、n的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，而，
∴，
而m，n是两个连续整数，若，
∴，，
∴，
故答案为：．
【题型7 无理数的大小比较】
29．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用“”，“”或“”填空： 1．
【答案】
【分析】本题主要考查实数大小的比较，无理数的估算，根据无理数的估算得到，进而求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
30．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知，且a是整数，则a的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数比大小是解题的关键，根据， ，可得，再由a是整数，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴， ，
∵，
∴，且a是整数，
∴，
故答案为：3．
31．（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知，则整数的值为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键．根据题意估算的大小，进一步可以得出答案．
【详解】解：，
，
m为正整数，且，
．
故答案为：6．
32．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）估计大小关系： （填或）．
【答案】
【分析】本题考查了利用求差法比较实数的大小．任意两个实数和比较大小，可以求这两个实数的差，当的差大于时，；当的差小于时，；当的差等于时，．
【详解】解： ，
．
故答案为： ．
33．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是 点．
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法得到，则，据此结合数轴可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴实数在数轴上的对应点可能是D点，
故答案为：D．
34．（24-25七年级上·山东淄博·期末）若，则的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数估算的方法即可求解，掌握无理数估算的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：．
【题型8 实数的性质】
35．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）实数的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键．
【详解】解：实数的倒数是，
故选：D．
36．（24-25七年级下·全国·课后作业）的绝对值的3倍与的差的相反数等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数的加减运算，相反数及绝对值，根据题意列出式子，再根据实数的加减运算法则计算出结果即可．
【详解】解：根据题意可得，
．
故选：A．
37．（2025七年级下·全国·专题练习）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，实数的性质，利用负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
【详解】解：，
故选：C．
38．（22-23七年级上·浙江温州·期中）下列各组数中，运算结果相等的一组是（ ）
A．与 B．23与32 C．与 D．与
【答案】D
【分析】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质及有理数乘方的法则是解题的关键．分别计算出各数值，再进行比较即可．
【详解】解：A、，
，本选项不符合题意；
B、，，
，本选项不符合题意；
C、，
，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意．
故选：D．
39．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）的相反数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：的相反数是；
故答案为：．
【题型9 实数的混合运算】
40．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的混合运算．
（）先根据算术平方根、有理数的乘方、立方根的定义计算，再相加减即可；
（）根据有理数数的运算法则和绝对值性质解答即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
41．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算．首先根据乘方的定义和立方根、平方根的定义把各部分分别计算出来，然后再运算加减即可．
【详解】解：
．
42．（24-25七年级上·山东烟台·期末）计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根的定义．
（1）根据乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根的定义进行计算即可；
（2）先根据立方根与算术平方根的定义进行开方运算，再算加减即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：原式，
，
43．（24-25八年级下·江苏镇江·开学考试）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了实数的混合运算．
（1）利用算术平方根、立方根的法则计算即可；
（2）利用算术平方根、绝对值的法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
44．（24-25七年级下·全国·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算：乘方及立方根的运算，熟练掌握算术平方根、乘方及立方根的意义是解决问题的关键．
（1）先根据乘方、算术平方根的性质及乘法法则进行计算，然后再计算加减；
（2）先利用算术平方根、立方根及绝对值的性质进行化简，最后再合并即可．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
【题型10实数的实际综合应用】
45．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【答案】(1)，
(2)圆的周长较小
【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可；
（2）求出两种形状的扇子的周长即可．
【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为，
由题意得，，，
，，
故答案为：，；
（2）解：圆形扇的周长为：，
正方形扇的周长为：，，
∴圆的周长较小．
46．（24-25七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答．
【详解】解：把d=32，f=2代入v=16，
v=16=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算．
【题型11程序设计与实数运算】
47．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个数值转换器，原理如图．当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的算术平方根，先根据程序求它的算术平方根，接着判断是否为无理数，是就输出结果，否则就继续算它的算术平方根，即可作答．
【详解】解：∵输入的x为64，
∴，
∵8是有理数，
∴8的算术平方根是，是无理数，
则输出的y是，
故选：A．
48．（2025七年级下·全国·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并根据相关运算的逆运算求解是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可．
【详解】解：∵输出的数是，
∴根据流程图，的平方是，的倒数是4，4的立方是，64的平方根是，
故x的值为，
故答案为：．
49．（22-23七年级下·河南商丘·期中）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是
【答案】
【分析】将代入程序进行计算即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，输出，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．
【题型12新定义下的实数运算】
50．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】B
【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得．
【详解】解：
，
故选：B．
51．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于非零的两个实数a，b，规定，若，，则的值为（ ）
A． B．13 C．2 D．
【答案】A
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，以及新定义下的实数运算，已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到m与n的值，然后再代入新定义运算即可．
【详解】解：根据题意，得，，
解得
．
故选 A．
52．（2025七年级下·全国·专题练习）规定：如果，那么叫作的次方根．例如：因为，所以16的四次方根是2和．由此可知，81的四次方根是 ．
【答案】3和
【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题干提供的新定义进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴81的四次方根是3和．
故答案为：3和．
【题型13与实数运算相关的规律题】
53．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可．
【详解】解：，，， ，
∴第个数为，
∴第8个数为；
故选C．
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