七年级数学月考卷（鲁教版七下二元一次方程组+平行线的相关证明）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第一次月考

2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册第七章二元一次方程组+第八章平行线的相关证明。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列命题中是真命题的是（ ） A．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B．三角形的一个外角一定大于它的一个内角 C．三角形的最小内角不能大于 D．如果，那么 4．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（   ）    A． B． C． D． 5．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知，三角形的顶点分别在直线上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知是关于、的二元一次方程组的解，则、的值分别是（    ） A．， B．， C．2，0 D．2，3 8．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ）    A． B． C． D． 9．七一中学七年级全体学生378人前往“两弹城”开展红色研学活动，现有大小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，有几种租车方案？（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，点为边上一点，点为边上的点，将、分别沿着翻折，得到和，若，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 12．如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：；；；，能得到直线的是__________．（请填写序号） 13．已知a、b满足方程组，则3a+b的值为 ． 14．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 15．如图所示的是一辆婴儿车的平面结构示意图，其中，，则 ． 16．学科素养·规律探索如图，在中，与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，则 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下面的方程组： (1) (2) 18．（6分）如图，已知，，． (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，平分，试求的度数． 19．（6分）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得的解为，乙看错了a，求得的解为，你能求出原题中正确的a，b吗？ 20．（8分）如图，在中，的平分线交于点D，作，是的外角，平分线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．（8分）已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 22．（8分）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P． (1)点P的坐标为______； (2)求四边形的面积； (3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式． 23．（10分）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 24．（10分）天府七中组织初中七年级共名学生到剑门关参加研学活动，已知用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金元，大客车每辆租金元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金． 25．（12分）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5)发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 26．（12分）平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系．      (1)如图1，若，点在的同侧，则有，是的外角，故，得．将点移到两平行线之间，如图2，结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； (2)在图3中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则，，，之间有何数量关系？并证明你的猜想； (3)如图4，设交于点交于点，已知，． ①求出的度数； ②计算出比大多少度． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C D A B D D B A 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．如果同旁内角互补，那么两直线平行 12． 13．7 14．-2 15． 16． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）． 【详解】（1）解：， ①②，可得，······（1分） 解得， 把代入①，解得，······（1分） 原方程组的解是．······（1分） （2）整理得：，······（1分） ①②，可得，······（1分） 把代入①，解得， 原方程组的解是．······（1分） 18.（6分） 【详解】（1）解：，······（1分） 理由：，， ， ， 又， ，······（1分） ．······（1分） （2）解：，， ，······（1分） 又平分， ， ，······（1分） 又， ．······（1分） 19．（6分） 【详解】解：能．······（1分） 甲看错了b，把甲求得的解代入①， 得，······（2分） 乙看错了a，把乙求得的解代入②， 得，······（2分） 即，．······（1分） 20．（8分） 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点D，平分线交的延长线于点E， ∴，······（1分） ∵， ∴，······（1分） ∴．······（1分） （2）解：由（1）知BD⊥BE， ∴，······（1分） ∵， ∴，······（1分） ∴，······（1分） ∵， ∴，······（1分） ∴．······（1分） 21．（8分） 【详解】（1）解：解方程组， 得，······（2分） 它们的相同解是；······（1分） （2）把代入 得······（2分） 解得······（1分） 所以．······（2分） 22.（8分） 【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点P． ∴点坐标为的解， 解得：． ∴； 故答案为：；·····（2分） （2）解：当时，代入， 得， 解得． ∴．·····（1分） 当时，代入，， 得，， ∴，． ∴．·····（1分） ∴ ；·····（1分） （3）解：由（2）知，，则的中点坐标为． 设该直线的表达式为，代入，，得 ，解得．·····（2分） ∴该直线的表达式为．·····（1分） 23．（10分） 【详解】（1）解：如图，，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：．·····（2分） （2）解：如图，猜想：，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：．·····（3分） （3） 解：如图，，·····（2分） 理由是： ∵， ∴，·····（1分） ∵， ∴，·····（1分） ∴．·····（1分） 24．（10分） 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 依题意得：，·····（1分） 解得：．·····（1分） 答：每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生．·····（1分） （2）解：①依题意得：，·····（1分） ∴，·····（1分） 又∵，均为正整数， ∴ 或，·····（1分） ∴共有2种租车方案， 方案1：租小客车3辆，大客车11辆； 方案2：租小客车12辆，大客车4辆．·····（1分） ②方案1所需租金为400×3+500×11=6700（元）；·····（1分） 方案2所需租金为（元）．·····（1分） ∵6800＞6700， ∴最省钱的租车方案是方案1租小客车3辆，大客车11辆，最少租金为6700元．·····（1分） 25．（12分） 【详解】（1）由共轭二元一次方程的定义可得， 方程的共轭二元一次方程是 故答案为：；·····（2分） （2）由于关于x,y的方程组为共轭方程组， 所以，， 解得，， 故答案为：1，1；·····（2分） （3）由表可得， 解得， ∴方程为， 原方程的共轭方程为；·····（2分） 故答案为：； （4）解方程组，可得解为； 解方程组，可得解为； 故答案为：，．·····（2分） （5）． 理由如下：是共轭方程， ，整理得， 的解为，·····（1分） ．·····（1分） 26．（12分） 【详解】（1）解：不成立．应为．·····（1分） 证明：如图2，延长交于点．·····（1分）   ， ．·····（1分） 又， ．·····（1分） （2）解：．·····（1分） 证明：如图3所示，连接并延长．·····（1分）    ∴，，·····（1分） ∴．·····（1分） （3）解：①由（2）的结论，得：， ∵ ∴·····（2分） ②∵，， ∴，·····（1分） ∵， ∴．·····（1分） 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年七年级下学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6 分） 19．（6 分） 20．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年七年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册第七章二元一次方程组+第八章平行线的相关证明。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．下列属于二元一次方程组的是（ ） A． 3 1 2 0 x y y z      B． 3 2 x y xy     C． 2 2 3 5 4 x y x y      D． 4 2 1 x y x y        2．如图， ACD 是 ABC 的一个外角，若 45A  ， 120ACD  ，则 B 的度数为（ ） A．75 B．60 C．55 D．45 3．下列命题中是真命题的是（ ） A．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B．三角形的一个外角一定大于它的一个内角 C．三角形的最小内角不能大于60 D．如果 2 0x  ，那么 0x  4．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角  的度数是（ ） A．45 B．60 C．70 D．75 5．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三 瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒 x 瓶，薄酒 y 瓶．根据题意可列方程组为（ ） A． 19 1 3 33 3 x y x y       B． 19 3 33 x y x y      C． 19 1 3 33 3 x y x y       D． 19 3 33 x y x y      6．如图，已知 3 4   ，三角形 ABC 的顶点B C， 分别在直线n m， 上，且 AC BC ．若 1 40  ，则 2 的度数为（ ） A．140 B．130 C．120 D．110 7．已知 1 1 x y    是关于 x 、 y 的二元一次方程组 5 1 ax by ax by       的解，则a 、b 的值分别是（ ） A．2 ， 3 B． 2 ， 3 C．2，0 D．2，3 8．如图，直线 3y x   与 y mx n  交点的横坐标为 1，则关于 x，y 的二元一次方程组 3x y mx y n      的解 为（ ） A． 3 1 x y    B． 1 3 x y    C． 2 1 x y    D． 1 2 x y    9．七一中学七年级全体学生 378 人前往“两弹城”开展红色研学活动，现有大小两种客车可以租赁．已知大 客车能容纳 54 人，小客车能容纳 36 人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，有几种租车方案？（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，点D为 ABC 边 AB 上一点，点M N、 为边 AC BC、 上的点，将 ADM△ 、BDN 分别沿着 DM DN、 翻折，得到 A DM 和 B DN ，若MA NB ∥ ，设 C   ，则 MDN 的度数为（ ） 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … A． 1 180 2  B．180   C． 1 90 2  D．90   第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 12．如图，直线 1l ， 2l 被直线 3l ， 4l 所截，在下列条件中： 1 3 ① ； 5 4  ② ； 5 3 180   ③ ； 4 2 180   ④ ，能得到直线 1 2l l∥ 的是__________．（请填写序号） 13．已知 a、b 满足方程组 2 3 2 4 a b a b      ，则 3a+b 的值为 ． 14．若 1 2 x y     是关于 ,x y的二元一次方程 4mx ny  的一组解，则2 4 10m n  的值为 ． 15．如图所示的是一辆婴儿车的平面结构示意图，其中 AB CD∥ ， 1 125 , 3 40     ，则 2  ． 16．学科素养·规律探索如图，在 ABC 中， ,A ABC   与 ACD 的平分线交于点 1A ，得 1 1;A A BC  与 1A CD 的平分线相交于点 2A ，得 2 2024; ;A A BC  与 2024A CD 的平分线相交于点 2025A ，得 2025A ，则 2025A  ． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下面的方程组： (1) 3 13 5 2 7 x y x y      (2) 1 3 4 2 1 1 2 4 x y x y          18．（6 分）如图，已知BC AE ，DE AE ， 2 3 180   ． (1)判断CF 与 BD的位置关系，并证明你的结论； (2)若 1 70 ∠ ，BC 平分 ABD ，试求 ACF 的度数． 19．（6 分）甲、乙两人同时解方程组 3 2 1 ax y x by      ① ② ，甲看错了 b，求得的解为 1 1 x y     ，乙看错了 a，求得 的解为 1 3 x y     ，你能求出原题中正确的 a，b 吗？ 20．（8分）如图，在 ABC 中， ABC 的平分线交 AC 于点 D，作 BAG C  ， ABF 是 ABC 的外角， ABF 平分线交CA 的延长线于点 E． (1)求证：BD BE ； (2)若 20E  ，求 AHB 的度数． 21．（8分）已知关于 x 、 y 的方程组 4 5 3 9 x y x y      和 1 3 4 18 ax by x by       有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求 2025(2 3 )a b 的值． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 22．（8分）如图，直线 AB ： 1 5y x   分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，直线CD： 2 1 1 2 y x  分别交 y 轴， x 轴于 C，D 两点，直线 AB CD， 相交于点 P． (1)点 P 的坐标为______； (2)求四边形BODP的面积； (3)过点 P 的直线把 BCP 的面积二等分，求该条直线的表达式． 23．（10 分）现有一张 ABC 纸片，点D E、 分别是 ABC 边上两点，若沿直线DE 折叠． (1)如果折成图①的形状，使点A 落在CE 上，则 1 与 A 的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想 1 2  与 A 的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想 1 2 、 和 A 的数量关系，并说明理由． 24．（10 分）天府七中组织初中七年级共600名学生到剑门关参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客 车每次可运送学生150人，用1辆小客车和2 辆大客车每次可运送学生125人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m 辆，大客车n 辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金400元，大客车每辆租金500元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金． 25．（12 分）规定：形如关于 x、y 的方程 x ky b  与 kx y b  的两个方程互为共轭二元一次方程，其中 1k  ； 由这两个方程组成的方程组 ,x ky b kx y b      叫做共轭方程组． (1)方程3 5x y  的共轭二元一次方程是______； (2)若关于 ,x y的方程组     1 2, 2 2 4 x a y b a x y b           为共轭方程组，则a ______，b  ______； (3)若方程 x ky b  中 x、y 的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 1 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 2 3, 2 3 x y x y      的解为______； 2 4, 2 4 x y x y      的解为______； (5)发现：若共轭方程组 ,x ky b kx y b      的解是 , . x m y n    猜想 ,m n之间的数量关系，并说明理由。 26．（12 分）平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图 1，若 AB CD∥ ，点 P 在 ,AB CD 的同侧，则有 B BOD  ， BOD 是 POD 的外角，故 BOD BPD D   ，得 BPD B D    ．将点 P 移到 ,AB CD 两平行线之间，如图 2，结论 BPD B D    是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则 BPD 、 B 、 D 之间有何数量关系？ 请证明你的结论； (2)在图 3 中，将直线 AB 绕点 B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，则 BPD ， B ， D ， BQD 之间有何数量关系？并证明你的猜想； (3)如图 4，设 BF 交 AC 于点 ,M AE 交DF 于点 N ，已知 138AMB  ， 103ANF  ． ①求出 B E F   的度数； ②计算出 A 比 F 大多少度． 1 / 9 2024-2025 学年七年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册第七章二元一次方程组+第八章平行线的相关证明。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．下列属于二元一次方程组的是（ ） A． 3 1 2 0 x y y z      B． 3 2 x y xy     C． 2 2 3 5 4 x y x y      D． 4 2 1 x y x y        2．如图， ACD 是 ABC 的一个外角，若 45A  ， 120ACD  ，则 B 的度数为（ ） A．75 B．60 C．55 D．45 3．下列命题中是真命题的是（ ） A．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B．三角形的一个外角一定大于它的一个内角 C．三角形的最小内角不能大于60 D．如果 2 0x  ，那么 0x  4．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角  的度数是（ ） 2 / 9 A．45 B．60 C．70 D．75 5．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶 醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒 x瓶，薄酒 y 瓶．根 据题意可列方程组为（ ） A． 19 1 3 33 3 x y x y       B． 19 3 33 x y x y      C． 19 1 3 33 3 x y x y       D． 19 3 33 x y x y      6．如图，已知 3 4   ，三角形 ABC 的顶点B C， 分别在直线n m， 上，且 AC BC ．若 1 40  ，则 2 的 度数为（ ） A．140 B．130 C．120 D．110 7．已知 1 1 x y    是关于 x、 y 的二元一次方程组 5 1 ax by ax by       的解，则a、b 的值分别是（ ） A．2， 3 B． 2 ， 3 C．2，0 D．2，3 8．如图，直线 3y x   与 y mx n  交点的横坐标为 1，则关于 x，y 的二元一次方程组 3x y mx y n      的解 为（ ） 3 / 9 A． 3 1 x y    B． 1 3 x y    C． 2 1 x y    D． 1 2 x y    9．七一中学七年级全体学生 378 人前往“两弹城”开展红色研学活动，现有大小两种客车可以租赁．已知大 客车能容纳 54 人，小客车能容纳 36 人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，有几种租车方案？（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，点D为 ABC 边 AB 上一点，点M N、 为边 AC BC、 上的点，将 ADM△ 、BDN 分别沿着DM DN、 翻折，得到 A DM 和 B DN ，若MA NB ∥ ，设 C   ，则 MDN 的度数为（ ） A． 1 180 2  B．180  C． 1 90 2  D．90   第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 12．如图，直线 1l ， 2l 被直线 3l ， 4l 所截，在下列条件中： 1 3 ① ； 5 4  ② ； 5 3 180   ③ ； 4 2 180   ④ ，能得到直线 1 2l l∥ 的是__________．（请填写序号） 13．已知 a、b 满足方程组 2 3 2 4 a b a b      ，则 3a+b 的值为 ． 4 / 9 14．若 1 2 x y     是关于 ,x y 的二元一次方程 4mx ny  的一组解，则2 4 10m n  的值为 ． 15．如图所示的是一辆婴儿车的平面结构示意图，其中 AB CD∥ ， 1 125 , 3 40     ，则 2  ． 16．学科素养·规律探索如图，在 ABC 中， ,A ABC   与 ACD 的平分线交于点 1A ，得 1 1;A A BC  与 1A CD 的平分线相交于点 2A ，得 2 2024; ;A A BC  与 2024A CD 的平分线相交于点 2025A ，得 2025A ，则 2025A  ． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下面的方程组： (1) 3 13 5 2 7 x y x y      (2) 1 3 4 2 1 1 2 4 x y x y          5 / 9 18．（6 分）如图，已知BC AE ，DE AE ， 2 3 180   ． (1)判断CF 与 BD的位置关系，并证明你的结论； (2)若 1 70 ∠ ，BC 平分 ABD ，试求 ACF 的度数． 19．（6 分）甲、乙两人同时解方程组 3 2 1 ax y x by      ① ② ，甲看错了 b，求得的解为 1 1 x y     ，乙看错了 a，求得 的解为 1 3 x y     ，你能求出原题中正确的 a，b 吗？ 6 / 9 20．（8 分）如图，在 ABC 中， ABC 的平分线交 AC 于点 D，作 BAG C  ， ABF 是 ABC 的外角， ABF 平分线交CA 的延长线于点 E． (1)求证：BD BE ； (2)若 20E  ，求 AHB 的度数． 21．（8分）已知关于 x、 y 的方程组 4 5 3 9 x y x y      和 1 3 4 18 ax by x by       有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求 2025(2 3 )a b 的值． 7 / 9 22．（8分）如图，直线 AB ： 1 5y x   分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，直线CD： 2 1 1 2 y x  分别交 y 轴， x 轴于 C，D 两点，直线 AB CD， 相交于点 P． (1)点 P 的坐标为______； (2)求四边形BODP的面积； (3)过点 P 的直线把 BCP 的面积二等分，求该条直线的表达式． 23．（10 分）现有一张 ABC 纸片，点D E、 分别是 ABC 边上两点，若沿直线DE 折叠． (1)如果折成图①的形状，使点A 落在CE 上，则 1 与 A 的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想 1 2  与 A 的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想 1 2 、 和 A 的数量关系，并说明理由． 8 / 9 24．（10 分）天府七中组织初中七年级共600名学生到剑门关参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车 每次可运送学生150人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生125人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m 辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金400元，大客车每辆租金500元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金． 25．（12 分）规定：形如关于 x、y 的方程 x ky b  与 kx y b  的两个方程互为共轭二元一次方程，其中 1k  ； 由这两个方程组成的方程组 ,x ky b kx y b      叫做共轭方程组． (1)方程3 5x y  的共轭二元一次方程是______； (2)若关于 ,x y 的方程组     1 2, 2 2 4 x a y b a x y b           为共轭方程组，则a ______，b  ______； (3)若方程 x ky b  中 x、y 的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 1 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 2 3, 2 3 x y x y      的解为______； 2 4, 2 4 x y x y      的解为______； (5)发现：若共轭方程组 ,x ky b kx y b      的解是 , . x m y n    猜想 ,m n之间的数量关系，并说明理由。 9 / 9 26．（12 分）平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图 1，若 AB CD∥ ，点 P 在 ,AB CD 的同侧，则有 B BOD  ， BOD 是 POD 的外角，故 BOD BPD D   ，得 BPD B D    ．将点 P 移到 ,AB CD 两平行线之间，如图 2，结论 BPD B D    是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则 BPD 、 B 、 D 之间有何数量关系？ 请证明你的结论； (2)在图 3 中，将直线 AB 绕点 B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，则 BPD ， B ， D ， BQD 之间有何数量关系？并证明你的猜想； (3)如图 4，设 BF 交 AC 于点 ,M AE 交DF 于点 N ，已知 138AMB  ， 103ANF  ． ①求出 B E F   的度数； ②计算出 A 比 F 大多少度． ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册第七章二元一次方程组+第八章平行线的相关证明。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列命题中是真命题的是（ ） A．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B．三角形的一个外角一定大于它的一个内角 C．三角形的最小内角不能大于 D．如果，那么 4．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（   ）    A． B． C． D． 5．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知，三角形的顶点分别在直线上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知是关于、的二元一次方程组的解，则、的值分别是（    ） A．， B．， C．2，0 D．2，3 8．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ）    A． B． C． D． 9．七一中学七年级全体学生378人前往“两弹城”开展红色研学活动，现有大小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，有几种租车方案？（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，点为边上一点，点为边上的点，将、分别沿着翻折，得到和，若，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 12．如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：；；；，能得到直线的是__________．（请填写序号） 13．已知a、b满足方程组，则3a+b的值为 ． 14．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 15．如图所示的是一辆婴儿车的平面结构示意图，其中，，则 ． 16．学科素养·规律探索如图，在中，与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，则 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下面的方程组： (1) (2) 18．（6分）如图，已知，，． (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，平分，试求的度数． 19．（6分）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得的解为，乙看错了a，求得的解为，你能求出原题中正确的a，b吗？ 20．（8分）如图，在中，的平分线交于点D，作，是的外角，平分线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．（8分）已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 22．（8分）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P． (1)点P的坐标为______； (2)求四边形的面积； (3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式． 23．（10分）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 24．（10分）天府七中组织初中七年级共名学生到剑门关参加研学活动，已知用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金元，大客车每辆租金元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金． 25．（12分）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5)发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 26．（12分）平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系．      (1)如图1，若，点在的同侧，则有，是的外角，故，得．将点移到两平行线之间，如图2，结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； (2)在图3中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则，，，之间有何数量关系？并证明你的猜想； (3)如图4，设交于点交于点，已知，． ①求出的度数； ②计算出比大多少度． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12分）    请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版七年级下册第七章二元一次方程组+第八章平行线的相关证明。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，是三元一次方程组，不符合题意， B．，不是二元一次方程组，不符合题意， C． ，不是二元一次方程组，不符合题意， D．，是二元一次方程组，符合题意， 故选D 2．如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴； 故选A． 3．下列命题中是真命题的是（ ） A．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B．三角形的一个外角一定大于它的一个内角 C．三角形的最小内角不能大于 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故错误； B、三角形的一个外角不一定大于它的一个内角，故错误； C、三角形的最小内角不能大于60°，故正确； D、如果x2>0，那么x>0或x<0，故错误． 故选C． 4．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据直角三角板，，，   ， ， ， 故选：D． 5．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设有醇酒瓶，薄酒瓶， 根据题意得：， 故选：． 6．如图，已知，三角形的顶点分别在直线上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ ∴， 如图： ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 7．已知是关于、的二元一次方程组的解，则、的值分别是（    ） A．， B．， C．2，0 D．2，3 【答案】D 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程组的解， ∴， 解得， 故选D 8．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴，即交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故选：D． 9．七一中学七年级全体学生378人前往“两弹城”开展红色研学活动，现有大小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，有几种租车方案？（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】设租大客车辆，小客车辆， 有题意可得， 整理得， ∵，都是非负整数， ∴或或或 ∴共4种租车方案， 故选：B． 10．如图，点为边上一点，点为边上的点，将、分别沿着翻折，得到和，若，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点A作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将、分别沿着翻折，得到和， ∴， ∴， 设， ∵在中，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果同旁内角互补，那么两直线平行 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”， ∴写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”， 故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行． 12．如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：；；；，能得到直线的是__________．（请填写序号） 【答案】 【详解】解： ，（内错角相等两直线平行）； ，和是不相关的一组角，不能判断； ，（同旁内角互补两直线平行）； ，（同旁内角互补两直线平行）； 故答案为：． 13．已知a、b满足方程组，则3a+b的值为 ． 【答案】7 【详解】解： ①+②得：3a+b=7， 故答案为：7． 14．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：将代入方程，得， ． 故答案为：． 15．如图所示的是一辆婴儿车的平面结构示意图，其中，，则 ． 【答案】/85度 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 16．学科素养·规律探索如图，在中，与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，则 ． 【答案】 【详解】解：与的平分线交于点， ， 同理可得， 以此类推，（为正整数） ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下面的方程组： (1) (2) 【详解】（1）解：， ①②，可得，······（1分） 解得， 把代入①，解得，······（1分） 原方程组的解是．······（1分） （2）整理得：，······（1分） ①②，可得，······（1分） 把代入①，解得， 原方程组的解是．······（1分） 18．（6分）如图，已知，，． (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，平分，试求的度数． 【详解】（1）解：，······（1分） 理由：，， ， ， 又， ，······（1分） ．······（1分） （2）解：，， ，······（1分） 又平分， ， ，······（1分） 又， ．······（1分） 19．（6分）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得的解为，乙看错了a，求得的解为，你能求出原题中正确的a，b吗？ 【详解】解：能．······（1分） 甲看错了b，把甲求得的解代入①， 得，······（2分） 乙看错了a，把乙求得的解代入②， 得，······（2分） 即，．······（1分） 20．（8分）如图，在中，的平分线交于点D，作，是的外角，平分线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点D，平分线交的延长线于点E， ∴，······（1分） ∵， ∴，······（1分） ∴．······（1分） （2）解：由（1）知BD⊥BE， ∴，······（1分） ∵， ∴，······（1分） ∴，······（1分） ∵， ∴，······（1分） ∴．······（1分） 21．（8分）已知关于、的方程组和有相同的解． (1)求它们相同的解； (2)求的值． 【详解】（1）解：解方程组， 得，······（2分） 它们的相同解是；······（1分） （2）把代入 得······（2分） 解得······（1分） 所以．······（2分） 22．（8分）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P． (1)点P的坐标为______； (2)求四边形的面积； (3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式． 【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点P． ∴点坐标为的解， 解得：． ∴； 故答案为：；·····（2分） （2）解：当时，代入， 得， 解得． ∴．·····（1分） 当时，代入，， 得，， ∴，． ∴．·····（1分） ∴ ；·····（1分） （3）解：由（2）知，，则的中点坐标为． 设该直线的表达式为，代入，，得 ，解得．·····（2分） ∴该直线的表达式为．·····（1分） 23．（10分）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：如图，，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：．·····（2分） （2）解：如图，猜想：，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：．·····（3分） （3） 解：如图，，·····（2分） 理由是： ∵， ∴，·····（1分） ∵， ∴，·····（1分） ∴．·····（1分） 24．（10分）天府七中组织初中七年级共名学生到剑门关参加研学活动，已知用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金元，大客车每辆租金元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 依题意得：，·····（1分） 解得：．·····（1分） 答：每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生．·····（1分） （2）解：①依题意得：，·····（1分） ∴，·····（1分） 又∵，均为正整数， ∴ 或，·····（1分） ∴共有2种租车方案， 方案1：租小客车3辆，大客车11辆； 方案2：租小客车12辆，大客车4辆．·····（1分） ②方案1所需租金为400×3+500×11=6700（元）；·····（1分） 方案2所需租金为（元）．·····（1分） ∵6800＞6700， ∴最省钱的租车方案是方案1租小客车3辆，大客车11辆，最少租金为6700元．·····（1分） 25．（12分）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______； (2)若关于的方程组为共轭方程组，则______，______； (3)若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______； x 0 y 0 2 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为______；的解为______； (5)发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。 【详解】（1）由共轭二元一次方程的定义可得， 方程的共轭二元一次方程是 故答案为：；·····（2分） （2）由于关于x,y的方程组为共轭方程组， 所以，， 解得，， 故答案为：1，1；·····（2分） （3）由表可得， 解得， ∴方程为， 原方程的共轭方程为；·····（2分） 故答案为：； （4）解方程组，可得解为； 解方程组，可得解为； 故答案为：，．·····（2分） （5）． 理由如下：是共轭方程， ，整理得， 的解为，·····（1分） ．·····（1分） 26．（12分）平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系．      (1)如图1，若，点在的同侧，则有，是的外角，故，得．将点移到两平行线之间，如图2，结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； (2)在图3中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则，，，之间有何数量关系？并证明你的猜想； (3)如图4，设交于点交于点，已知，． ①求出的度数； ②计算出比大多少度． 【详解】（1）解：不成立．应为．·····（1分） 证明：如图2，延长交于点．·····（1分）   ， ．·····（1分） 又， ．·····（1分） （2）解：．·····（1分） 证明：如图3所示，连接并延长．·····（1分）    ∴，，·····（1分） ∴．·····（1分） （3）解：①由（2）的结论，得：， ∵ ∴·····（2分） ②∵，， ∴，·····（1分） ∵， ∴．·····（1分） 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$