28.1.1 锐角三角函数 教学设计-2024-2025学年人教版九年级数学下册

28.1.1 锐角三角函数教学设计 教材分析： 本章在已经研究了直角三角形中三边之间关系--勾股定理，两个锐角之间关系的基础上，利用相似三角形的性质，进一步讨论直角三角形边角之间的关系，主要包括正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，以及应用三角函数等知识解直角三角形。通过本节的学习，学生经历探索锐角三角函数的概念的过程，体会定义合理性，理解锐角三角函数的概念进一步体会变换对应函数思想，认识、熟悉特殊角的三角函数值，并能够根据这些特殊三角函数值说出相应的锐角，体会锐角与锐角三角函数值之间的对应关系。 学情分析： 九年级学生己经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活应用相似图形的推理证明定理，这为顺利完成本单元的教学任务打下了基础。引进锐角三角函数，建立直角三角形中边与角之间的关系，学生能全面掌握直角三角形的组成要素，边角之间的关系，并综合应用锐角三角函数，勾股定理等知识解决直角三角形有关的度量问题，引入锐角的正弦概念的过程。 核心素养目标： 根据 《义务教育数学课程标准（2022 年版）》 的要求，结合教学内容分 析和具体学情分析，制定本课时的教学目标如下。 1.通过对已学平面图形的梳理，学生能够建立初中阶段方程内容的整体架构，初步形成学习图形的“一般观念”； 2. 通过上述过程，体会等腰三角形的边角关系及直角三角形中锐角的角度与两边比值之间的关系是函数关系，即正弦、余弦及正弦是一种特殊函数； 3. 通过上述过程，再次让学生经历和体验从归纳猜想到数学证明的过程，发展其推理能力、概括能力、数学表达能力等； 4.通过上述过程和运用新知识解决问题的过程，培养学生独立思考、合作交流及反思质疑的学习习惯。 教学重难点 重点：锐角三角函数概念获得的过程。 难点：锐角与两边比值的函数关系，以及对三个符号的理解。 根据教学目标的要求，此节课主要采用自主探究与合作交流相结合的教学方法，其有利于突出重点、突破难点。 教学手段分析 此节课采用 GGB 软件辅助教学，通过演示图形运动变化的过程，进一步强化和验证学生的猜想，为部分学生观察、猜想创造条件。 教学过程： （一）创设情境，激发兴趣 通过欣赏比萨斜塔图片和观看比萨斜塔的视频，导入我们这一章学习的内容。 （二）复习提问，以旧引新 （1）我们学过哪些图形 （2）我们是怎么来学习这些图形的？ （3）研究学习了这些图形的哪些要素？ 【设计目的】在新课开始前带领学生回忆所学平面图形的学习路径，引出此节课研究特殊三角形的边角关系，为讲锐角三角函数做好知识上的铺垫。 （二）设计活动，探究新知 教学活动:1：等腰三角形的边角关系。 活动设计：固定等腰三角形的顶角，从和差积商四个角度来探究等腰三角形的底和腰之间有没有固定不变的数学关系。 结论：底与腰之比随着∠A 的变化而变化，当∠A 确定时，底与腰的比值唯一确定。 【设计目的】从学习图形路径出发出发，接下来研究三角形的边角关系，由一般到特殊，从探究等腰三角形的边角关系入手，借助 GGB 动画演示和学生的推理论证，得出等腰三角形的边角关系。另一方面，通过教学活动感受从一般到特殊的归纳思想，发现不变规律——对边与斜边比值不变。此外，在解决实际问题的过程中，培养学生把实际问题抽象为数学问题的能力。 教学活动 2：在上面的问题中，继续追问直角三角形的边角关系有没有类似的固定不变的位置关系。 结论：∠A 的边之比随着∠A 的变化而变化，当∠A 确定时，边之比唯一确定。 【设计目的】由于有教学活动 1 作为铺垫，因此教学活动 2 问题的设问相比之下比较直截了当，即探索对边与斜边比值是否为固定值。考虑到没有直接的结论可用，解决办法类比等腰三角形的推理论证和直观感知。通过此问题，让学生再次体会从特殊到一般的归纳、推理过程，感悟其中的思想方法，同时让学生再次体验数学知识发展过程中的基本思维方式，始于猜想，终于证明。在证明的过程中运用相似三角形的相关知识，进一步训练学生的推理论证能力。 教学活动 3：归纳、提升感性认识：得出锐角三角函数的定义，以及它们的表示的符号。深化理解，体会边角之间的本质关系。 结论：∠A 是自变量，对应边之比是因变量。当∠A 的大小固定时，它们的比值也是固定值，当∠A 变化时，它们的比值也随之变化，我们称这个比值是∠A 的三个锐角三角函数。 （三）巩固新知，深化理解 例 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5,BC=3,求出∠A 的正弦、余弦和正切的值。 【设计目的】：以直观的直角三角形图形为背景，强调锐角三角函数定义及其 符号意义。 例题变式：∠A是直线y=2x与x轴正方向所成的锐角，求∠α的正弦。 【设计目的】在上一例题的基础上，没有给出直角三角形的情形下，学生需要自己构造直角三角形来解决，运用勾股定理求出函数值，这样可以提高学生灵活变通的解题能力。 学以致用： 回到我们比萨斜塔 1972 年的情形：已知塔身中心线是 54.5m,塔顶中心线距离垂直中心线的距离是 5.2 米，如何得出塔身中心线与垂直中心线的夹角。 回到我们比萨斜塔1972年的情形： 已知塔身中心线是54.5m,塔顶 中心线距离垂直中心线的距离 是5.2米，如何得出塔身中心 线与垂直中心线的夹角 ∠ 【设计目的】回应课前的比萨斜塔留下的问题，利用本节课所学解决实际问题，体现数学来源于生活有服务于生活，也正好体现了大单元的学习思路。 （四）自我评价，总结反思 数学思想 模型思想 类比思想 数形结合思想 由特殊到一般 本节课我们学了哪些主要内容？我们是如何探究本课知识的？本课体现了怎样的数学思想方法？ 【设计目的】让学生回顾本课所学知识的同时理清学习新知的研究路径，培养学生数学素养， 【设计目的】： 梳理此节课所学知识，在新、旧知识之间再次建立联系；明晰数学知识发生、发展过程中的思想方法，再次体会其重要意义；培养学生自我发现、自我反思的意识；经历知识梳理过程，发展学生分析、归纳、概括的能力和意识，为学生以后学习其他知识做好引领 学科网（北京）股份有限公司 $$