第5课时 圆锥的体积（分层作业）数学西南大学版六年级下册

第五课时 圆锥的体积 一、选择题 1．底面积与高都相等的圆柱、圆锥、正方体、长方体，比较他们的体积，最小的是（    ）。 A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 2．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分与圆柱体积的比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．3∶1 D．1∶3 3．一个直角三角形，三条边的长度分别是3厘米、4厘米和5厘米。以这个三角形的一条直角边为轴，旋转一周所形成的立体图形的体积最大是（    ）立方厘米。 A． B． C． D． 4．把一个圆锥完全浸没在一个底面直径为6厘米的圆柱形容器里，水位上升了4厘米。这个圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A． B． C． D． 5．如图，以BC边为轴旋转一周，空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 二、填空题 6．一个圆锥的体积是4.2立方分米，底面积是6平方分米，它的高是( )分米。 7．圆锥的体积是圆柱的体积的2倍，它们的底面积相等，圆锥和圆柱的高的比是( )。 8．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长30厘米，宽20厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是( )立方厘米。 9．一种机器零件（如图）圆柱部分和圆锥部分的体积比是( )，如果圆柱部分的体积是72立方厘米，这个零件的体积是( )立方厘米。 10．如下图所示，饮料罐口的面积和锥形酒杯口的面积相等它们的高度也相等，将满罐的饮料倒入锥形杯中，大约能倒满( )杯。 11．把一个底面积是40cm2、高是12cm的圆柱形木块加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。 12．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是6分米，圆锥的高是( )分米；一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，则圆柱的底面积是( )平方厘米。 13．一个圆柱和一个圆锥等底、等高，已知圆柱的体积比圆锥多8dm3，则圆柱的体积是( )dm3。圆锥的体积是( )dm3。 三、判断题 14．同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。( ) 15．一个圆柱和圆锥的底面半径比是1∶2，高之比是2∶3，它们的体积之比是1∶6。( ) 16．把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了36立方厘米，这个圆锥的体积是18立方厘米。( ) 17．圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的，它的体积不变。( ) 18．长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积都等于底面积乘高。( ) 四、计算题 19．计算圆锥的体积。 五、解答题 20．一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高5厘米的圆锥形的容器内刚好装满，这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 21．如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 22．为提升学生科学素养，培养学生创新思维和动手能力，学校开展了校园科技节活动。科技兴趣小组的同学手工制作了神舟飞船模型，下图是模型的一部分，它的体积是多少？ 23．一个圆锥形麦堆，量得底面周长为12.56米，高1.8米。 （1）这个麦堆的占地面积是多少平方米？ （2）如果把这些小麦装入一个底面半径是2米圆柱形粮囤（从里面量），刚好装满这个粮囤。这个粮囤的高是多少米？ 24．小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算） （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？ 25．把一个高15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的四块，它的表面积增加了720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去了多少立方厘米木料？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五课时 圆锥的体积 一、选择题 1．底面积与高都相等的圆柱、圆锥、正方体、长方体，比较他们的体积，最小的是（    ）。 A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 【答案】B 【分析】圆柱、正方体、长方体的体积均可以用“底面积×高”求出，而圆锥的体积＝×底面积×高，由此解题。 【详解】底面积与高都相等的圆柱、圆锥、正方体、长方体，比较他们的体积，最小的是圆锥。 故答案为：B 2．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分与圆柱体积的比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．3∶1 D．1∶3 【答案】B 【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆锥体积看作1，则圆柱体积是3，削去部分的体积是（3－1），两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出削去部分与圆柱体积的比即可。 【详解】（3－1）∶3＝2∶3 削去部分与圆柱体积的比是2∶3。 故答案为：B 3．一个直角三角形，三条边的长度分别是3厘米、4厘米和5厘米。以这个三角形的一条直角边为轴，旋转一周所形成的立体图形的体积最大是（    ）立方厘米。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直角三角形斜边最长，则两条直角边分别是3厘米和4厘米，当以3厘米为轴，旋转一周，会形成一个圆锥，圆锥的高是3厘米，底面半径是4厘米；当以4厘米为轴，旋转一周，圆锥的高是4厘米，底面半径是3厘米，根据圆锥的体积公式：底面积×高×，把数代入分别求出圆锥的体积，再比较即可。 【详解】当以3厘米为轴： π×42×3× ＝π×16×3× ＝16π（立方厘米） 当以4厘米为周： π×32×4× ＝π×9×4× ＝12π（立方厘米） 16π＞12π 以这个三角形的一条直角边为轴，旋转一周所形成的立体图形的体积最大是16π立方厘米。 故答案为：B 4．把一个圆锥完全浸没在一个底面直径为6厘米的圆柱形容器里，水位上升了4厘米。这个圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，圆锥的体积等于上升部分水的体积，利用“”求出上升部分水的体积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝（立方厘米） 所以，这个圆锥的体积是立方厘米。 故答案为：A 5．如图，以BC边为轴旋转一周，空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 【答案】B 【分析】根据题意，以BC边为轴旋转一周，形成的整个立体图形是圆柱，阴影部分形成一个与圆柱等底等高的圆锥； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，则空白部分扫过的体积是（3－1）份； 根据比的意义可得出空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比。 【详解】（3－1）∶1＝2∶1 空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比是2∶1。 故答案为：B 二、填空题 6．一个圆锥的体积是4.2立方分米，底面积是6平方分米，它的高是( )分米。 【答案】2.1 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，所以，圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式计算即可。 【详解】4.2×3÷6＝2.1（分米） 它的高是2.1分米。 7．圆锥的体积是圆柱的体积的2倍，它们的底面积相等，圆锥和圆柱的高的比是( )。 【答案】6∶1 【分析】假设圆柱的体积是2立方厘米，则圆锥的体积是，假设它们的底面积都是1平方厘米，根据分别根据，的逆运算，可分别求出圆锥和圆柱的高，再列比并化简即可。 【详解】假设圆柱的体积是2立方厘米，圆柱和圆锥的底面积都是1平方厘米。 圆锥的高： （厘米） 圆柱的高：（厘米） 圆锥和圆柱的高的比是6∶1。 【点睛】查圆锥和圆柱体积的运用，能过已知条件，假设相应的变量，通过计算再列比及化简。 8．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长30厘米，宽20厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】300 【分析】根据题意，将圆柱和圆锥浸没在水中后，水面上升了2厘米，上升的这部分水的体积就等于圆柱和圆锥的体积之和。由于这部分水的形状为长方体，其底面是长方体容器的底面，长30厘米，宽20厘米，高2厘米，根据长方体体积公式V＝abh（其中V为长方体体积，a为长，b为宽，h为高），可得上升的水的体积（即圆柱与圆锥体积之和）： 已知圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，可以把圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份，它们的体积之和就是1＋3＝4份。用圆柱和圆锥的体积之和除以4求出１份是多少立方厘米，也就是圆锥的体积。 【详解】30×20×2 ＝600×2 ＝1200（立方厘米） 1200÷（1＋3） ＝1200÷4 ＝300（立方厘米） 所以圆锥的体积是300立方厘米。 9．一种机器零件（如图）圆柱部分和圆锥部分的体积比是( )，如果圆柱部分的体积是72立方厘米，这个零件的体积是( )立方厘米。 【答案】 6∶1 84 【分析】（1）观察图形可知，这个零件的圆柱部分和圆锥部分的底面积相等，可以设它们的底面积都是S平方厘米；根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，分别求出它们的体积，再根据比的意义写出它们的体积比，化简比即可。 （2）由上一题可知，圆柱部分和圆锥部分的体积比是6∶1，即圆柱的体积占6份，圆锥的体积占1份，一共是（6＋1）份；用圆柱部分的体积除以6，求出一份数，再用一份数乘总份数，即可求出这个零件的体积。 【详解】（1）设圆柱和圆锥的底面积都是S平方厘米。 （S×6）∶（×S×3） ＝6S∶S ＝6∶1 圆柱部分和圆锥部分的体积比是6∶1。 （2）72÷6＝12（立方厘米） 12×（6＋1） ＝12×7 ＝84（立方厘米） 这个零件的体积是84立方厘米。 10．如下图所示，饮料罐口的面积和锥形酒杯口的面积相等它们的高度也相等，将满罐的饮料倒入锥形杯中，大约能倒满( )杯。 【答案】6 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此可知，半罐可以倒3杯，一罐可以倒6杯。 【详解】3×2＝6（杯） 大约能倒满6杯。 11．把一个底面积是40cm2、高是12cm的圆柱形木块加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。 【答案】160 【分析】圆柱形木块加工成一个最大的圆锥，圆锥与圆柱等底等高，根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详解】40×12÷3＝160（cm3） 这个圆锥的体积是160cm3。 12．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是6分米，圆锥的高是( )分米；一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，则圆柱的底面积是( )平方厘米。 【答案】 18 9.42 【分析】当底面积和体积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍；当体积和高相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，即圆柱的底面积是圆锥底面积的，据此解答。 【详解】6×3＝18（分米） 即一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是6分米，圆锥的高是6分米。 28.26×＝9.42（平方厘米） 即一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，则圆柱的底面积是9.42平方厘米。 13．一个圆柱和一个圆锥等底、等高，已知圆柱的体积比圆锥多8dm3，则圆柱的体积是( )dm3。圆锥的体积是( )dm3。 【答案】 12 4 【分析】一个圆柱和一个圆锥等底、等高，则圆柱体积是圆锥体积的3倍，把圆锥体积看作1倍量，则圆柱体积看作3倍量，圆柱体积比圆锥体积多的部分看作倍量，根据圆柱的体积比圆锥多8dm3，用8除以2求出圆锥体积，再求出圆柱的体积，据此解答即可。 【详解】圆锥的体积：8÷（3－1） ＝8÷2 ＝4（立方分米） 圆柱的体积：4×3＝12（立方分米） 所以圆柱的体积是12立方分米，圆锥的体积是4立方分米。 三、判断题 14．同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。( ) 【答案】√ 【分析】体积是指物体所占空间的大小；同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），都只是形状改变，但所占空间的大小不变，即体积不变，据此判断即可。 【详解】由分析可知： 同一块橡皮泥无论捏成正方体、长方体还是圆柱、圆锥（均为实心），体积不变。原题干说法正确。 故答案为：√ 15．一个圆柱和圆锥的底面半径比是1∶2，高之比是2∶3，它们的体积之比是1∶6。( ) 【答案】× 【分析】由一个圆柱和圆锥的底面半径比是1∶2，可以设圆柱的底面半径是1，圆锥的底面半径是2；由高之比是2∶3，可以设圆柱的高是2，圆锥的高是3。 然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱和圆锥的体积； 再根据比的意义，写出圆柱和圆锥的体积之比，并化简比。 【详解】设圆柱的底面半径是1，圆锥的底面半径是2；圆柱的高是2，圆锥的高是3。 圆柱的体积：π×12×2＝2π 圆锥的体积：×π×22×3＝4π 2π∶4π＝1∶2 圆柱与圆锥的体积之比是1∶2。 原题说法错误。 故答案为：× 16．把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了36立方厘米，这个圆锥的体积是18立方厘米。( ) 【答案】√ 【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，则原来的圆柱和削成的圆锥等底等高，根据圆柱和圆锥的体积公式，可知最大的圆锥是圆柱的，减少的体积是圆柱的，把原来的圆柱体积看作单位“1”，根据分数除法的意义，用36÷即可求出圆柱的体积，再减去减少的体积，即可求出圆锥的体积。 【详解】36÷ ＝36× ＝54（立方厘米） 54－36＝18（立方厘米） 把一个圆柱削成最大的圆锥后体积减少了36立方厘米，这个圆锥的体积是18立方厘米。原题干说法正确。 故答案为：√ 17．圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的，它的体积不变。( ) 【答案】× 【分析】根据圆锥的体积公式V＝πr2h，以及积的变化规律可知，圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，则体积就扩大到原来的32倍；高缩小到原来的，则体积就缩小到原来的；最终体积乘32，再除以3，据此判断。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 【详解】32÷3 ＝9÷3 ＝3 圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的，它的体积扩大到原来的3倍。 原题说法错误。 故答案为：× 18．长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积都等于底面积乘高。( ) 【答案】× 【分析】根据长方体体积公式：体积＝底面积×高；正方体体积公式：体积＝底面积×高；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，据此解答。 【详解】长方体、正方体、圆柱的体积都等于底面积乘高，圆锥的体积等于底面积乘高乘。 原题干说法错误。 故答案为：× 四、计算题 19．计算圆锥的体积。 【答案】25.12cm3 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详解】3.14×22×6÷3 ＝3.14×4×6÷3 ＝25.12（cm3） 这个圆锥的体积是25.12cm3。 五、解答题 20．一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高5厘米的圆锥形的容器内刚好装满，这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】36平方厘米 【分析】先依据求出水的体积，再据水的体积不变，利用即可求出圆锥形容器后的底面积。 【详解】5×4×3＝60（立方厘米） 60×3÷5 ＝180÷5 ＝36（平方厘米） 答：这个圆锥形容器的底面积是36平方厘米。 21．如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 【答案】7.5厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，求出甲容器注满水的体积，再根据这些水的体积不变，代入数据即可求出倒入圆柱中的水的高度。 【详解】 圆锥的体积为： （立方厘米） 圆柱中水的高为： （厘米） 答：乙容器的水深7.5厘米。 【点睛】 本题考查了圆锥与圆柱体积的计算方法以及等积变形，关键是明确水的体积不变。 22．为提升学生科学素养，培养学生创新思维和动手能力，学校开展了校园科技节活动。科技兴趣小组的同学手工制作了神舟飞船模型，下图是模型的一部分，它的体积是多少？ 【答案】125.6立方分米 【分析】这个立体图形由一个圆锥和一个圆柱组成，已知圆锥的底面直径是4分米，高是6分米，根据圆锥体积＝×底面积×高， 可求出圆锥的体积；已知圆柱的底面直径是4分米，高是8分米，根据圆柱体积＝底面积×高，可求出圆柱的体积，最后把两部分体积相加即可。 【详解】圆锥体积： ＝ ＝ ＝25.12（立方分米） 圆柱体积： ＝ ＝ ＝100.48（立方分米） 总体积：（立方分米） 答：它的体积是125.6立方分米。 23．一个圆锥形麦堆，量得底面周长为12.56米，高1.8米。 （1）这个麦堆的占地面积是多少平方米？ （2）如果把这些小麦装入一个底面半径是2米圆柱形粮囤（从里面量），刚好装满这个粮囤。这个粮囤的高是多少米？ 【答案】（1）12.56平方米 （2）0.6米 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆锥的底面半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可； （2）根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此求出小麦的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，即h＝V÷πr2，据此可求出这个粮囤的高。 【详解】（1）12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 3.14×22＝12.56（平方米） 答：这个麦堆的占地面积是12.56平方米。 （2）×3.14×22×1.8 ＝×3.14×4×1.8 ＝×1.8×3.14×4 ＝0.6×3.14×4 ＝1.884×4 ＝7.536（立方米） 7.536÷（3.14×22） ＝7.536÷（3.14×4） ＝7.536÷12.56 ＝0.6（米） 答：这个粮囤的高是0.6米。 24．小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算） （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？ 【答案】（1）99平方分米 （2）27厘米 【分析】（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，就是求圆柱形无盖鱼缸的表面积。底面是直径60厘米的圆，侧面积等于底面周长乘高，据此解答。 （2）圆锥形玩具的体积是上升的1厘米高度水的体积，变形后，据此解答。 【详解】（1） （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要99平方分米的玻璃。 （2） （立方厘米） 答：这个圆锥形玩具的高是27厘米。 25．把一个高15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的四块，它的表面积增加了720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去了多少立方厘米木料？ 【答案】立方厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱体木料沿底面直径切成相同的四块，表面积增加720平方厘米，那么增加的表面积是8个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径；用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径； 然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个圆柱体木料的体积； 如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的体积是圆柱体积的（1－），单位“1”已知，用圆柱的体积乘（1－），即可求出削去的体积。 【详解】圆柱的底面半径： 720÷8÷15 ＝90÷15 ＝6（厘米） 圆柱的体积： 3.14×62×15 ＝3.14×36×15 ＝1695.6（立方厘米） 削去的体积： 1695.6×（1－） ＝1695.6× ＝1130.4（立方厘米） 答：削去了1130.4立方厘米木料。 【点睛】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成四块时，增加的表面积是8个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面半径和高为长、宽的长方形，以此为突破口，求出圆柱的底面半径，再利用等底等高时圆锥与圆柱的体积关系解答。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$