第3课时 圆柱的体积（分层作业）数学西南大学版六年级下册

第三课时圆柱的体积 一、填空题 1．如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的底面积等于圆柱的( )，高等于圆柱的( )，体积等于圆柱的( )，所以圆柱的体积( )( )，用公式表示是( )。 2．一张长方形铁皮长32厘米，宽10厘米，把它围成一个圆柱体，( )做底面周长，( )做高，所围成的圆柱体的体积最大。长方形围圆柱体有两种围法，但所围成的圆柱体( )没变。 3．如图，这是一个圆柱的表面展开图，它的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 4．一个圆柱的底面半径是，高是，它的侧面积是( )，体积是( )。 5．把一个高为8分米的圆柱割拼成一个等底的近似长方体后，表面积增加了48平方分米，圆柱的体积是( )立方分米。 6．一个长方形，长6厘米，宽4厘米。以长为轴旋转一周，形成圆柱A；再以宽为轴旋转一周，形成圆柱B。求圆柱A与圆柱B的体积的最简比是( )。 7．一个棱长是4分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是8平方分米的圆柱体容器里正好装满，这个圆柱体的高是( )分米。 8．当大容器内放1个小球时，小容器内水高8厘米，如图1；再往大容器内放2个相同的小球时，小容器内水高12厘米，如图2。如果小容器底面积为300平方厘米，那么每个小球的体积为 立方厘米。         图1       图2 二、选择题 9．一个长方形（如图），小欣以长所在的直线为轴旋转，得到一个圆柱甲；小红以宽所在的直线为轴旋转，得到一个圆柱乙。比较甲、乙两个圆柱的体积，下列说法正确的是（    ）。 A．圆柱甲的体积大 B．圆柱乙的体积大 C．体积相等 D．无法比较 10．如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高度是（    ）。 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法判断 11．如图，将一个直径为6cm、高为8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了（    ）cm2。 A．24 B．36 C．48 D．96 12．把底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块，表面积增加了80平方厘米。求这个圆柱体的体积是（    ）立方厘米。 A．314 B．800 C．1256 D．628 13．一个圆柱高扩大到原来的4倍，要使它的体积不变，底面半径应（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的4倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的2倍 三、判断题 14．容积200升的圆柱形油桶，它的体积一定是200立方分米。( ) 15．计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高。( ) 16．圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的8倍。( ) 17．两个圆柱体，底面积大的圆柱体积也一定大。( ) 18．把圆柱的直径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，这个圆柱的体积不变。( ) 四、计算题 19．计算下面圆柱的体积。 （1）    （2）    （3） 五、解答题 20．学校用的自来水管内直径是20毫米，自来水的流速是每秒8分米。如果你忘记关上水龙头，40秒你将浪费多少升水？ 21．妈妈要给小明的水壶（如图）做个布套（无盖）。 （1）做这个布套至少要用多少布料？ （2）这个水壶最多能装多少升水？ 22．把一张长方形的铁皮按图裁剪，正好做成一个圆柱，求这个圆柱的表面积和体积。 23．建设新农村时，为了废物利用的同时开发新能源，计划在空地建造一个圆柱形沼气池，这个圆柱形沼气池如下图： （1）建设时至少需要准备多大的空地？ （2）这个沼气池占用了多大的空间？ 24．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三课时圆柱的体积 一、填空题 1．如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的底面积等于圆柱的( )，高等于圆柱的( )，体积等于圆柱的( )，所以圆柱的体积( )( )，用公式表示是( )。 【答案】 底面积 高 体积 底面积 高 Sh 【分析】观察可知：把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，形状变了，体积不变。圆柱与长方体等底等高，圆柱的体积＝长方体的体积。据此解答。 【详解】根据分析，可得： 把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高，体积等于圆柱的体积，所以圆柱的体积底面积×高，用公式表示是Sh。 2．一张长方形铁皮长32厘米，宽10厘米，把它围成一个圆柱体，( )做底面周长，( )做高，所围成的圆柱体的体积最大。长方形围圆柱体有两种围法，但所围成的圆柱体( )没变。 【答案】 长方形的长 长方形的宽 侧面积 【分析】要想使所围成的圆柱体的体积最大，因为圆柱体积公式：V＝πr2h，底面周长公式：C＝2πr，可得圆柱的体积V＝π（C÷2π）2h＝C2h÷4π，要想圆柱的体积最大，则底面周长要最大；因此32厘米做底面周长，10厘米做高，围成的圆柱体的体积最大。长方形围圆柱体有两种围法：一种是以长做底面周长，宽做高；一种是高做底面周长，长做高，因为侧面积＝底面周长×高，因此两种围法侧面积相等。 【详解】根据题意可知，要想圆柱的体积最大，则底面周长要最大； 所以一张长方形铁皮长32厘米，宽10厘米，把它围成一个圆柱体，长方形的长做底面周长，长方形的宽做高，所围成的圆柱体的体积最大。长方形围圆柱体有两种围法，但所围成的圆柱体侧面积没变。 3．如图，这是一个圆柱的表面展开图，它的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 251.2 502.4 【分析】从图中可知，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高； 圆柱的侧面积等于长方形的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，求出它的侧面积； 根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出它的体积。 【详解】圆柱的侧面积：25.12×10＝251.2（平方厘米） 圆柱的底面半径：25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 圆柱的体积： 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（立方厘米） 它的侧面积是251.2平方厘米，体积是502.4立方厘米。 4．一个圆柱的底面半径是，高是，它的侧面积是( )，体积是( )。 【答案】 314 785 【分析】圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的体积＝底面积×高，据此解答即可。 【详解】2×3.14×5×10 ＝6.28×5×10 ＝31.4×10 ＝314（） 3.14××10 ＝3.14×25×10 ＝78.5×10 ＝785（） 所以它的侧面积是314，体积是785。 5．把一个高为8分米的圆柱割拼成一个等底的近似长方体后，表面积增加了48平方分米，圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】226.08 【分析】把圆柱割拼成一个等底的近似长方体后，增加的表面积是两个以圆柱的高为长、圆柱底面半径为宽的长方形的面积。先用48除以2，求出一个长方形的面积，再根据长方形的宽＝面积÷长，求出圆柱的底面半径，最后根据圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，即可求出圆柱的体积，据此解答。 【详解】半径：48÷2÷8＝3（分米） 3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝226.08（立方分米） 即圆柱的体积是226.08立方分米。 6．一个长方形，长6厘米，宽4厘米。以长为轴旋转一周，形成圆柱A；再以宽为轴旋转一周，形成圆柱B。求圆柱A与圆柱B的体积的最简比是( )。 【答案】2∶3 【分析】以长为轴旋转一周形成圆柱A的底面半径是长方形的宽，高是长方形的长；以宽为轴旋转一周形成圆柱B的底面半径是长方形的长，高是长方形的宽，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，分别求出这两个圆柱的体积，再根据比的意义写出比，化简即可。 【详解】（π×42×6）∶（π×62×4） ＝（π×16×6）∶（π×36×4） ＝96π∶144π ＝2∶3 圆柱A与圆柱B的体积的最简比是2∶3。 7．一个棱长是4分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是8平方分米的圆柱体容器里正好装满，这个圆柱体的高是( )分米。 【答案】8 【分析】把正方体容器中的水倒入圆柱体容器中，水的形状改变了，体积没有变。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出水的体积，然后根据圆柱体积＝底面积×高可得高＝体积÷底面积。据此即可求出该圆柱容器的高。 【详解】4×4×4÷8 ＝16×4÷8 ＝64÷8 ＝8（分米） 所以这个圆柱体的高是8分米。 8．当大容器内放1个小球时，小容器内水高8厘米，如图1；再往大容器内放2个相同的小球时，小容器内水高12厘米，如图2。如果小容器底面积为300平方厘米，那么每个小球的体积为 立方厘米。        图1       图2 【答案】600 【分析】通过观察可知，小容器中上升部分水的体积等于两个小球的体积，根据已知小容器底面积为300平方厘米，上升部分的高度是（12－8）厘米，根据圆柱的体积公式，用小容器的底面积乘上升部分的高度，即可求出小容器中上升部分水的体积，再除以2即可求出每个小球的体积。 【详解】300×（12－8）÷2 ＝300×4÷2 ＝600（立方厘米） 每个小球的体积为600立方厘米。 【点睛】本题考查了圆柱体积公式的灵活应用，明确上升部分水的体积就是2个小球的体积。 二、选择题 9．一个长方形（如图），小欣以长所在的直线为轴旋转，得到一个圆柱甲；小红以宽所在的直线为轴旋转，得到一个圆柱乙。比较甲、乙两个圆柱的体积，下列说法正确的是（    ）。 A．圆柱甲的体积大 B．圆柱乙的体积大 C．体积相等 D．无法比较 【答案】B 【分析】根据题意，小欣以长所在的直线为轴旋转，得到的圆柱甲的底面半径是长方形的宽，即5cm，高是长方形的长，即8cm；小红以宽所在的直线为轴旋转，得到的圆柱乙的底面半径是长方形的长，即8cm，高是长方形的宽，即5cm，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出圆柱甲、乙的体积，再进行比较，即可解答。 【详解】圆柱甲的体积： 3.14×52×8 ＝3.14×25×8 ＝78.5×8 ＝628（cm3） 圆柱乙的体积： 3.14×82×5 ＝3.14×64×5 ＝200.96×5 ＝1004.8（cm3） 1004.8＞628，圆柱乙的体积大。 一个长方形（如图），小欣以长所在的直线为轴旋转，得到一个圆柱甲；小红以宽所在的直线为轴旋转，得到一个圆柱乙。比较甲、乙两个圆柱的体积，下列说法正确的是圆柱乙的体积大。 故答案为：B 10．如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高度是（    ）。 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法判断 【答案】A 【分析】由题意可知，两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，即原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可； 由于是分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的，又因为圆柱的体积=底面积×高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度，所以后来甲容器中的水面高。 【详解】圆柱的体积底面积高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度，即甲容器中的水面高。 故答案为：A 11．如图，将一个直径为6cm、高为8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了（    ）cm2。 A．24 B．36 C．48 D．96 【答案】C 【分析】把圆柱拼成一个近似的长方体，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体表面积增加的部分是左右两个侧面的面积；用6÷2＝3（cm）求出半径是3cm，长方体侧面的面积＝圆柱的底面半径×圆柱的高，据此解答。 【详解】6÷2＝3（cm） 8×3×2 ＝24×2 ＝48（cm2） 所以表面积比原来增加了48cm2。 故答案为：C 12．把底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块，表面积增加了80平方厘米。求这个圆柱体的体积是（    ）立方厘米。 A．314 B．800 C．1256 D．628 【答案】A 【分析】沿底面直径竖直切成相同的两块，表面积会增加两个相同的长方形的面积，长方形的长等于圆柱的底面直径，长方形的宽等于圆柱的高，用增加的表面积除以2求出一个长方形的面积，再用长方形的面积除以底面直径，求出圆柱的高，再根据圆柱的体积＝底面积×高解答。 【详解】80÷2＝40（平方厘米） 40÷10＝4（厘米） 3.14××4 ＝3.14××4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 所以这个圆柱体的体积是314立方厘米。 故答案为：A 13．一个圆柱高扩大到原来的4倍，要使它的体积不变，底面半径应（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的4倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的2倍 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh，以及积不变的规律可知，一个圆柱高扩大到原来的4倍，要使它的体积不变，那么圆柱的底面积要缩小到原来的； 再根据圆柱的底面积S＝πr2，以及积的变化规律可知，底面积缩小到原来的，即半径的平方缩小到原来的，那么半径缩小到原来的。 积的变化规律： 一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 一个因数乘几，另一个因数除以一个相同的数（0除外），积不变。 【详解】一个圆柱高扩大到原来的4倍，要使它的体积不变，那么圆柱的底面积要缩小到原来的，因为＝×，所以底面半径应缩小到原来的。 故答案为：C 三、判断题 14．容积200升的圆柱形油桶，它的体积一定是200立方分米。( ) 【答案】× 【分析】1升＝1立方分米，体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积，一个物体有体积，但它不一定有容积。 【详解】虽然200升＝200立方分米，考虑油桶材料的厚度，容积200升的圆柱形油桶，它的体积应该大于200立方分米，所以原题说法错误。 故答案为：× 15．计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高。( ) 【答案】√ 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，其中“长×宽”就是长方体的底面积，所以长方体的体积＝底面积×高； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，其中“棱长×棱长”就是正方体的底面积，所以正方体的体积＝底面积×高； 圆柱的体积V＝πr2h，其中“πr2”就是圆柱的底面积，所以圆柱的体积＝底面积×高。 据此判断。 【详解】长方体的体积＝底面积×高 正方体的体积＝底面积×高 圆柱的体积＝底面积×高 计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高。 原题说法正确。 故答案为：√ 16．圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的8倍。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，设圆柱的底面半径为r，高为h，则扩大后的半径为2r，高为2h，分别求出变化前后的体积，即可求出体积扩大到原来的几倍，计算后再判断即可。 【详解】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则扩大后的半径为2r，高为2h； 原体积：πr2h 现体积：π×（2r）2×（2h） ＝π×4r2×2h ＝8πr2 h 8πr2 h÷πr2h＝8 圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的8倍。原题干说法正确。 故答案为：√ 17．两个圆柱体，底面积大的圆柱体积也一定大。( ) 【答案】× 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，由圆柱体积的计算公式可以得出，圆柱的体积由圆柱的底面积大小和圆柱的高共同决定的，据此判断。 【详解】圆柱的体积＝底面积×高，圆柱体积的大小取决于圆柱的底面积和高，因此比较两个圆柱的体积大小，不能只看底面积的大小，还受到圆柱高的影响，所以底面积大的圆柱体积不一定就大，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 18．把圆柱的直径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，这个圆柱的体积不变。( ) 【答案】× 【分析】假设圆柱体原来的底面直径为2，直径扩大到原来的2倍后直径为，假设原来的高为2，高缩小到原来的后高为，根据圆柱的体积公式，算出原来圆柱体的体积和变化后圆柱体的体积，再进行比较即可。 【详解】假设圆柱体原来的底面直径为2，高为2，则变化后圆柱体的直径为，高为， 原来的体积： 变化后的体积： 所以，把圆柱的直径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，圆柱的体积扩大到原来的2倍；原题说法错误； 故答案为：× 四、计算题 19．计算下面圆柱的体积。 （1）   （2）   （3） 【答案】（1）75.36dm3；（2）25120cm3；（3）392.5m3 【分析】根据圆柱的体积＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】（1）4÷2＝2（dm） 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（dm3） （2）20÷2＝10（cm） 3.14×102×80 ＝3.14×100×80 ＝314×80 ＝25120（cm3） （3）3.14×52×5 ＝3.14×25×5 ＝78.5×5 ＝392.5（m3） 五、解答题 20．学校用的自来水管内直径是20毫米，自来水的流速是每秒8分米。如果你忘记关上水龙头，40秒你将浪费多少升水？ 【答案】10.048升 【分析】1分米＝100毫米，据此先将水管内直径的单位换算为分米，再将直径除以2，求出半径。每秒浪费的水的体积可以看作是直径是20毫米、高是8分米的圆柱的体积，再将每秒浪费的乘40，求出40秒浪费多少水。圆柱体积＝底面积×高，底面积＝πr2，据此解题。 【详解】20毫米＝0.2分米 0.2÷2＝0.1（分米） 3.14×0.12×8×40 ＝3.14×0.01×8×40 ＝0.2512×40 ＝10.048（立方分米） 10.048立方分米＝10.048升 答：40秒你将浪费10.048升水。 21．妈妈要给小明的水壶（如图）做个布套（无盖）。 （1）做这个布套至少要用多少布料？ （2）这个水壶最多能装多少升水？ 【答案】（1）405.06平方厘米 （2）0.5652升 【分析】（1）根据题意，做这个布套需要多少布料，即求圆柱体的表面积，依据圆柱体的表面积公式：S＝2πr（r＋h），布套是无盖的，所以要减掉一个最上面圆的面积，据此解答。 （2）根据题意，这个水壶最多能装多少升水，即求圆柱体的体积，依据圆柱体的体积公式：V＝πr2h，将数据代入公式计算即可。 【详解】（1）r＝6÷2＝3（厘米） S＝2πr（r＋h） S＝2×3.14×3×（3＋20） ＝6.28×3×23 ＝18.84×23 ＝433.32（平方厘米） 最上面圆的面积＝πr2＝3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米） 433.32－28.26＝405.06（平方厘米） 答：做这个布套至少要用405.06平方厘米布料。 （2）V＝πr2h V＝3.14×32×20 ＝3.14×9×20 ＝28.26×20 ＝565.2（立方厘米） 565.2立方厘米＝0.5625升 答：这个水壶最多能装0.5625升。 22．把一张长方形的铁皮按图裁剪，正好做成一个圆柱，求这个圆柱的表面积和体积。 【答案】502.4平方分米；803.84立方分米 【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，看图可知，圆柱底面周长＋底面直径＝33.12厘米，即圆周率×底面直径＋底面直径＝33.12厘米，33.12÷（圆周率＋1）＝底面直径，底面直径×2＝圆柱的高，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱体积＝底面积×高，列式解答即可。 【详解】33.12÷（3.14＋1） ＝33.12÷4.14 ＝8（分米） 8×2＝16（分米） 3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×16 ＝3.14×42×2＋401.92 ＝3.14×16×2＋401.92 ＝100.48＋401.92 ＝502.4（平方分米） 3.14×（8÷2）2×16 ＝3.14×42×16 ＝3.14×16×16 ＝803.84（立方分米） 答：这个圆柱的表面积和体积分别是502.4平方分米、803.84立方分米。 【点睛】关键是熟悉圆柱特征，先确定圆柱底面直径和高，掌握并灵活运用圆柱表面积和体积公式。 23．建设新农村时，为了废物利用的同时开发新能源，计划在空地建造一个圆柱形沼气池，这个圆柱形沼气池如下图： （1）建设时至少需要准备多大的空地？ （2）这个沼气池占用了多大的空间？ 【答案】（1）200.96平方米 （2）1607.68立方米 【分析】（1）求建设时至少需要准备多大的空地，就是求底面直径是16米的圆柱的底面积，根据圆的面积＝解答即可； （2）求这个沼气池占用了多大的空间，就是求沼气池的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高解答即可。 【详解】（1）16÷2＝8（米） 3.14×＝200.96（平方米） 答：建设时至少需要准备200.96平方米的空地。 （2）（立方米） 答：这个沼气池占用了1607.68立方米。 24．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【答案】1570毫升 【分析】先根据圆柱体积＝底面积×高，求出水的体积；再根据瓶子体积＝水的体积＋第二个瓶子里空着的体积，最后进行单位换算即可解答。 【详解】3.14×（10÷2）2×15＋3.14×（10÷2）2×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×5 ＝3.14×25×（15＋5） ＝78.5×20 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1570毫升 答：这个瓶子的容积是1570毫升。 【点睛】此题主要考查圆柱容积公式的灵活运用。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$