第19章 一次函数（思维导图+知识梳理+24大考点讲练+优选真题难度分层练 共68题）-2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练测

2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第19章 一次函数 （思维导图+知识梳理+24大考点讲练+优选真题难度分层练 共68题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：函数的相关概念 3 知识点梳理02：一次函数的相关概念 4 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式 5 重点知识考点讲练 6 考向一：函数 6 考点讲练01：常量与变量 6 考点讲练02：函数的概念 6 考点讲练03：函数关系式 7 考点讲练04：函数自变量的取值范围 8 考点讲练05：函数值 8 考点讲练06：函数的图像 9 考点讲练07：动点问题的函数图象 10 考点讲练08：函数的表示方法 11 考向二：一次函数 12 考点讲练09：一次函数的定义 12 考点讲练10：正比例函数的定义 12 考点讲练11：一次函数的图像 12 考点讲练12：正比例函数的图像 13 考点讲练13：一次函数的性质 14 考点讲练14：正比例函数的性质 15 考点讲练15：一次函数图象与系数的关系 16 考点讲练16：一次函数图象上点的坐标特征 16 考点讲练17：一次函数图象与几何变换 17 考点讲练18：待定系数法求一次函数解析式 19 考点讲练19：待定系数法求正比例函数解析式 20 考点讲练20：一次函数与一元一次方程 21 考点讲练21：一次函数与一元一次不等式 21 考向三：一次函数的实际应用 22 考点讲练22：根据实际问题列一次函数关系式 22 考点讲练23：一次函数的应用 23 考点讲练24：一次函数综合题 24 优选真题难度分层练 26 基础夯实真题练 26 培优拔尖真题练 29 同学你好，本套讲义针对2025新学年课本内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，精选常考，易错，压轴类题型。解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 知识点梳理02：一次函数的相关概念 一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 知识点梳理03：一次函数的图象及性质 1、函数的图象 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【易错点剖析】 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征 掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质） 【易错点剖析】 理解、对一次函数的图象和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图象的联系与区别 一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象. 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 考向一：函数 考点讲练01：常量与变量 【典例精讲】（2024春•新华区校级期中）小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是　　 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【变式训练】（2023春•太和区期中）某电动车厂2014年各月份生产电动车的数量情况如下表： 时间月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月产量万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5 （1）在这个过程中自变量、因变量各是什么？ （2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ （3）哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，你对电动车厂的厂长有什么建议？ 考点讲练02：函数的概念 【典例精讲】（2024春•荔湾区校级月考）如图各图中，不能表示是的函数的为　　 A． B． C． D． 【变式训练】（2024春•新县期末）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 　 　（填序号）． 考点讲练03：函数关系式 【典例精讲】（2024春•迁安市期末）下列关于两个变量的关系，表述不正确的是　　 A．圆的面积公式中，是的函数 B．同一物质，物体的体积是质量的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中是的函数 【变式训练】（2024春•铁西区期中）一辆汽车油箱现有汽油，已知该车平均耗油量为，油箱中的存油量为（单位：，行驶里程为（单位：，随着的变化而变化． （1）写出表示与的函数关系的式子； （2）汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？ （3）当油箱中汽油还剩时，汽车仪表盘会出现黄灯，提示车主尽快加油．求黄灯亮后多少范围内汽车必须加油． 考点讲练04：函数自变量的取值范围 【典例精讲】（2024•鹰潭一模）在函数中，自变量的取值范围是 　　． 【变式训练】（2023春•靖江市校级期中）在函数中，自变量的取值范围是 　，　． 考点讲练05：函数值 【典例精讲】（2024春•晋江市期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是8和1时，输出的值相等，则等于　　 A．5 B． C．7 D．3和4 【变式训练】（2024春•城关区校级期末）阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，． （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是增函数． 证明：设 则 ， ，即， 函数是增函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数， ． （1）计算：　　，　　； （2）猜想：函数是 　　函数（填“增“或“减” ；并仿照例题证明你的猜想． 考点讲练06：函数的图像 【典例精讲】（2024秋•萍乡期末）甲、乙两辆汽车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发后休息，与甲车相遇后，继续行驶，设甲、乙两车与地的路程分别为，，甲车行驶的时间为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法中正确的是　　 ①甲车速度为； ②乙车休息了； ③相遇后乙车速度为； ④甲车行驶或，两车相距． A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式训练】（2024春•晋江市期中）如图①，将南北向的海八路与东西向的北环路看成两条互相垂直的直线，十字路口记作点．甲从海八路上点出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点出发，沿北环路步行向东匀速直行．设出发时，甲、乙两人与点的距离分别为、．已知、与之间的函数关系如图②所示． （1）求甲、乙两人的速度； （2）求与之间的函数关系； （3）当时，求甲、乙两人之间的距离． 考点讲练07：动点问题的函数图象 【典例精讲】（2024秋•阜阳期末）如图，△与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点与点重合时，停止平移，设点平移的距离为，正方形与△重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为　　 A． B． C． D． 【变式训练】（2022春•海淀区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，的面积为10，且边在轴上．如果将直线沿轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在轴上平移的距离为，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为，且与的对应关系如图2所示，那么图2中的值是 　　，的值是 　　． 考点讲练08：函数的表示方法 【典例精讲】（2024秋•永安市期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是　　 A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【变式训练】．（2024春•德化县校级月考）声音在空气中传播的速度和气温间有如下关系： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 （1）上表反映了 　　与 　　之间的关系，其中 　　是自变量，　　是气温的函数； （2）若用表示气温，表示声速，则随着的增大，将发生怎样的变化？ （3）从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出与之间的函数解析式； （4）根据你发现的规律，回答问题：在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电后听到雷声，那么发生打雷的地方距小明大约有多远？ 考向二：一次函数 考点讲练09：一次函数的定义 【典例精讲】（2024秋•大东区期末）若是关于的一次函数，则的值为 　　． 【变式训练】（2024春•垫江县期末）已知是关于的一次函数，则　　． 考点讲练10：正比例函数的定义 【典例精讲】（2024春•银州区校级期中）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是的正比例函数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（2024秋•达州期末）已知是正比例函数，则　　． 考点讲练11：一次函数的图像 【典例精讲】（2024秋•余江区期末）已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【变式训练】（2024春•凤山县期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． （1）列表： 0 1 2 3 3 表格中　　，　　； （2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论　　； 结论　　； （4）写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 考点讲练12：正比例函数的图像 【典例精讲】（2024秋•市南区期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是图中　　） A． B． C． D． 【变式训练】（2024春•南昌县月考）如图，这是正比例函数和的图象，则　　．（填“”“ ”或“” 考点讲练13：一次函数的性质 【典例精讲】（2024秋•舒城县期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式训练】（2022春•汕尾期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有　　 ①对于函数来说，随的增大而减小 ②函数的图象不经过第一象限 ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练14：正比例函数的性质 【典例精讲】（2024秋•管城区校级期末）下列函数中，的值随的值增大而减小的是　　 A． B． C． D． 解：、，则，随的增大而减小，故本选项符合题意； 、，则，随的增大而增大，故本选项不符合题意； 、，则，随的增大而增大，故本选项不符合题意； 、，则，随的增大而增大，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式训练】（2018春•开福区校级期中）定义：对于实数，，，若，则，，．例如，1，．已知直线，，的图象如图所示，若无论取何值，，，，则的最大值为　　． 考点讲练15：一次函数图象与系数的关系 【典例精讲】（2024春•潮安区期末）已知一次函数中，随的增大而减小，则的值可能是　　 A．0 B．4 C．5 D． 【变式训练】．（2020秋•邗江区期末）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“距离“，记作．特别的，当图形，有公共点时，记作． 一次函数的图象为，与轴交点为，中，，，． （1）求（点，　　；当时，求　　； （2）若，直接写出的取值范围； （3）函数的图象记为，若，求出的取值范围． 考点讲练16：一次函数图象上点的坐标特征 【典例精讲】（2024秋•兴化市期末）如图，直线是一次函数的图象，且直线经过点． （1）求的值； （2）若直线与轴、轴分别交于、两点，求的面积． 【变式训练】（2024春•雨花区期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．以为边在第二象限内作正方形． （1）求点，的坐标； （2）在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点讲练17：一次函数图象与几何变换 【典例精讲】（2024秋•横山区期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到新的直线经过点，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（2024春•西城区期末）对于函数为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． （1）当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于 　　对称；对于函数，当 　　时，； （2）当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数，当时，的取值范围是 　　； （3）结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质． ①若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式； ②若点和都在函数的图象上，且，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 考点讲练18：待定系数法求一次函数解析式 【典例精讲】（2025•瑞安市开学）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴的负半轴上，将正方形沿着轴向右平移5个单位，得到正方形， 且点与原点重合，直线交轴于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求点的坐标． 【变式训练】（2024春•娄星区校级期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． （1）求一次函数的函数解析式； （2）求的面积； （3）问：在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点讲练19：待定系数法求正比例函数解析式 【典例精讲】（2024春•潮南区校级期末）如图，直线的解析式为，点的横坐标是，，与轴所夹锐角是． （1）求点坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若直线与轴的交点为点，求的面积； （4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【变式训练】（2022秋•秦都区期中）已知是的正比例函数，且函数图象经过点． （1）求与的函数关系式； （2）当时，求对应的函数值； （3）当取何值时，． 考点讲练20：一次函数与一元一次方程 【典例精讲】（2024秋•达州期末）如图，一次函数为常数且与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是　　 A． B． C． D． 【变式训练】（2023春•茂名期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于的方程的解为；③当时，；④关于的方程的解为；其中正确的是　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 考点讲练21：一次函数与一元一次不等式 【典例精讲】（2024秋•海州区期末）如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 　　． 【变式训练】（2024春•南关区校级期末）已知函数，其中为常数，该函数的图象记为． （1）当时，若点在图象上，求的值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数最大值与最小值的差； （4）已知点，，当图象与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 考向三：一次函数的实际应用 考点讲练22：根据实际问题列一次函数关系式 【典例精讲】（2023春•徐汇区期末）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为 　　． 【变式训练】（2021春•漳平市月考）某工人生产一种零件，完成定额20个，每天收入28元，如果超额生产一个零件，增加收入1.5元．写出该工人一天的收入（元与他生产的零件（个的函数关系式　　． 考点讲练23：一次函数的应用 【典例精讲】（2024秋•寿县期末）甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为48米的时刻不可能是　　 A．4分钟 B．12分钟 C．16分钟 D．10分钟 【变式训练】（2024秋•莱州市期末）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出，关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 考点讲练24：一次函数综合题 【典例精讲】（2025•北碚区校级开学）如图1，在△中，，，，点为的三等分点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，按照的顺序在边上运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，在线段上运动，当点到达点时，点，都同时停止运动．在运动过程中，设点的运动时间为秒，△的面积为，△的面积与的比值为． （1）直接写出，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接求出时，的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过 【变式训练】（2024秋•泗阳县期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图象上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”．如点是函数图象上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： （1）已知函数与轴和轴分别相交于点，，若有三点、、，则其中是， “轴美点”的是 　　．（只填字母） （2）已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数” 上存在点，使得点既是， “轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． （3） 已知“倍美函数” ，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 基础夯实真题练 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一次函数满足，且随的增大而减小，则该一次函数的大致图象是大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点与在直线l上，则直线l必经过（　　） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）平面直角坐标系第二象限内有一点，它到轴的距离为，到轴的距离为，则直线的表达式是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ． 5．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）购物车是我们在超市购物经常用到的工具．如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输 辆购物车． 6．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向右平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留， 再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离与所用的时间的关系如图所示．在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了 ． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ (2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是？ 9．（2025八年级下·全国·专题练习）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是 米； (2)小明在文具店停留了 分钟； (3)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (4)交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 10．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ． 培优拔尖真题练 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点，，当一次函数与线段有交点时，k的取值范围是（   ） A．且 B．或 C．或 D．或 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 15．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． 16．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 17．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而行，两车相遇后，乙车减慢速度匀速行驶，甲车的速度不变，甲车出发5小时后，接到通知需原路返回到C处取货，于是甲车立即掉头加快速度匀速向C处行驶，甲追上乙后又经过40分钟到达C处，甲车取货后掉头以加快后的速度赶往B地，又经过小时，甲、乙两车再次相遇，相遇后各自向原来的终点继续行驶（接通知、掉头、取货物的时间忽略不计）甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）的部分函数图象如图所示，则乙车到达A地时，甲车距离A地 千米． 18．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线交轴于点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图1，过点的直线交线段于点，且满足与的面积比为，点和点分别是直线和轴上的两个动点，当的值最小时，求出的最小值． (3)如图2，已知点，在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标． 20．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在长方形中，，，分别是，边上的动点．在长方形的内部（包含边界），以为直角边作等腰直角三角形，且．过点作，垂足为． (1)如图①，当时，设，求与之间的函数表达式； (2)当点的位置如图②所示时，点在边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)当点，分别在，边上运动时，满足条件的点所形成的区域的面积随着的长度变化而变化，设点所形成的区域的面积为，的长度为．请直接写出与的函数表达式及对应的取值范围． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第19章 一次函数 （思维导图+知识梳理+24大考点讲练+优选真题难度分层练 共68题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：函数的相关概念 3 知识点梳理02：一次函数的相关概念 4 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式 5 重点知识考点讲练 6 考向一：函数 6 考点讲练01：常量与变量 6 考点讲练02：函数的概念 6 考点讲练03：函数关系式 7 考点讲练04：函数自变量的取值范围 8 考点讲练05：函数值 9 考点讲练06：函数的图像 11 考点讲练07：动点问题的函数图象 13 考点讲练08：函数的表示方法 15 考向二：一次函数 16 考点讲练09：一次函数的定义 16 考点讲练10：正比例函数的定义 17 考点讲练11：一次函数的图像 17 考点讲练12：正比例函数的图像 19 考点讲练13：一次函数的性质 21 考点讲练14：正比例函数的性质 23 考点讲练15：一次函数图象与系数的关系 24 考点讲练16：一次函数图象上点的坐标特征 26 考点讲练17：一次函数图象与几何变换 28 考点讲练18：待定系数法求一次函数解析式 30 考点讲练19：待定系数法求正比例函数解析式 33 考点讲练20：一次函数与一元一次方程 35 考点讲练21：一次函数与一元一次不等式 36 考向三：一次函数的实际应用 39 考点讲练22：根据实际问题列一次函数关系式 39 考点讲练23：一次函数的应用 40 考点讲练24：一次函数综合题 43 优选真题难度分层练 48 基础夯实真题练 48 培优拔尖真题练 58 同学你好，本套讲义针对2025新学年课本内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，精选常考，易错，压轴类题型。解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 知识点梳理02：一次函数的相关概念 一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 知识点梳理03：一次函数的图象及性质 1、函数的图象 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【易错点剖析】 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图象特征 掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质） 【易错点剖析】 理解、对一次函数的图象和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图象的联系与区别 一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象. 知识点梳理04：用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 考向一：函数 考点讲练01：常量与变量 【典例精讲】（2024春•新华区校级期中）小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是　　 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 解：由题意可得， 金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量， 单价常量，数量与金额是变量， 故选：． 【变式训练】（2023春•太和区期中）某电动车厂2014年各月份生产电动车的数量情况如下表： 时间月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月产量万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5 （1）在这个过程中自变量、因变量各是什么？ （2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ （3）哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，你对电动车厂的厂长有什么建议？ 解：（1）自变量是时间，因变量是月产量． （2）由表格得，6月份产量最高，1月份产量最高． （3）1月份与6月份产量相差最大，建议：根据这两个月的电动车的产量要注意1月份劳动力过剩，6月份劳动力不足的问题，注意用工人员的分配． 考点讲练02：函数的概念 【典例精讲】（2024春•荔湾区校级月考）如图各图中，不能表示是的函数的为　　 A． B． C． D． 解：．满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，可以表示是的函数，故该选项不符合题意； ．满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，可以表示是的函数，故该选项不符合题意； ．不满足对于的每一个取值，都是有唯一确定的值之对应关系，故不能表示是的函数，故该选项符合题意； ．满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，可以表示是的函数，故该选项不符合题意； 故选：． 【变式训练】（2024春•新县期末）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 　（1）　（填序号）． 解：（1）、能表示是的函数，故此选项符合题意； （2）、不能表示是的函数，故此选项不符合题意． 故答案为：（1）． 考点讲练03：函数关系式 【典例精讲】（2024春•迁安市期末）下列关于两个变量的关系，表述不正确的是　　 A．圆的面积公式中，是的函数 B．同一物质，物体的体积是质量的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中是的函数 解：、圆的面积公式中，是的函数，该选项正确，不符合题意； 、同一物质，物体的体积是质量的函数，该选项正确，不符合题意； 、光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数，该选项正确，不符合题意； 、表达式中，给定一个的值，有两个的值与之对应，所以不是的函数，该选项错误，符合题意． 故选：． 【变式训练】（2024春•铁西区期中）一辆汽车油箱现有汽油，已知该车平均耗油量为，油箱中的存油量为（单位：，行驶里程为（单位：，随着的变化而变化． （1）写出表示与的函数关系的式子； （2）汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？ （3）当油箱中汽油还剩时，汽车仪表盘会出现黄灯，提示车主尽快加油．求黄灯亮后多少范围内汽车必须加油． 解：（1）由题意可得，； （2）把代入得， ， 油箱中还有汽油； （3）， 答：黄灯亮后范围内汽车必须加油． 考点讲练04：函数自变量的取值范围 【典例精讲】（2024•鹰潭一模）在函数中，自变量的取值范围是 　　． 解：由题意，得 ， 解得， 故答案为：． 【变式训练】（2023春•靖江市校级期中）在函数中，自变量的取值范围是 　且，　． 解：由题意，得且，， 解得且，． 故答案为：且，． 考点讲练05：函数值 【典例精讲】（2024春•晋江市期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是8和1时，输出的值相等，则等于　　 A．5 B． C．7 D．3和4 解：当时，；当时，， 根据题意，得， 解得． 故选：． 【变式训练】（2024春•城关区校级期末）阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，． （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是增函数． 证明：设 则 ， ，即， 函数是增函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数， ． （1）计算：　　，　　； （2）猜想：函数是 　　函数（填“增“或“减” ；并仿照例题证明你的猜想． 解：（1）由题知， ，． 故答案为：，． （2）猜想：函数是减函数． 证明如下： 设， 则， 因为， 所以，，， 所以， 即， 所以， 所以函数是减函数． 故答案为：减． 考点讲练06：函数的图像 【典例精讲】（2024秋•萍乡期末）甲、乙两辆汽车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发后休息，与甲车相遇后，继续行驶，设甲、乙两车与地的路程分别为，，甲车行驶的时间为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法中正确的是　　 ①甲车速度为； ②乙车休息了； ③相遇后乙车速度为； ④甲车行驶或，两车相距． A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 解：由图象信息可逐项分析判断如下： 甲车的速度为：，故①正确，符合题意； 甲车与乙车相遇时，甲车行驶的时间为：， 乙车休息的时间为，故②正确，符合题意； 乙车相遇后行驶的速度为：，故③正确，符合题意； 设经过两车相距，则或， 解得或， 即甲车行驶或，两车相距，故④正确，符合题意； 故选：． 【变式训练】（2024春•晋江市期中）如图①，将南北向的海八路与东西向的北环路看成两条互相垂直的直线，十字路口记作点．甲从海八路上点出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点出发，沿北环路步行向东匀速直行．设出发时，甲、乙两人与点的距离分别为、．已知、与之间的函数关系如图②所示． （1）求甲、乙两人的速度； （2）求与之间的函数关系； （3）当时，求甲、乙两人之间的距离． 解：（1）设甲、乙两人的速度分别为，， 依题意得：， 解得：， 答：甲、乙两人的速度分别为、． （2）甲到达点的时间为：， 当时，， 当时，， ． （3）由图②可知：当或时，， 当时，； 此时两人的距离为， 当时，； 此时两人的距离为 当时，求甲、乙两人之间的距离为或． 考点讲练07：动点问题的函数图象 【典例精讲】（2024秋•阜阳期末）如图，△与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点与点重合时，停止平移，设点平移的距离为，正方形与△重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为　　 A． B． C． D． 解：设点平移的距离为，正方形与△重合部分的面积为， 当时，如图： ； 当时，如图： ； ， 由分段函数可看出选项中的函数图象与所求的分段函数对应， 故选：． 【变式训练】（2022春•海淀区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，的面积为10，且边在轴上．如果将直线沿轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在轴上平移的距离为，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为，且与的对应关系如图2所示，那么图2中的值是 　7　，的值是 　　． 解：在图1中，过点，作直线与已知直线平行，交轴于点，， 在图2中，取，，，， 图1中点对应图2中的点，得出， 图1中点对应图2中的点，得出，，则， 图1中点对应图2中的点，得出， 图1中点对应图2中的点，得出， ，，， ， 的面积为10，， ， 在中，， ， 故答案为：7，． 考点讲练08：函数的表示方法 【典例精讲】（2024秋•永安市期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是　　 A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 解：与都是变量，且是自变量，是因变量， 正确，不符合题意； 当，， 弹簧不挂重物时的长度为， 正确，不符合题意； 在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加， 正确，不符合题意； 与之间的函数关系式为， 当时，， 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为， 不正确，符合题意． 故选：． 【变式训练】．（2024春•德化县校级月考）声音在空气中传播的速度和气温间有如下关系： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 （1）上表反映了 　气温　与 　　之间的关系，其中 　　是自变量，　　是气温的函数； （2）若用表示气温，表示声速，则随着的增大，将发生怎样的变化？ （3）从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出与之间的函数解析式； （4）根据你发现的规律，回答问题：在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电后听到雷声，那么发生打雷的地方距小明大约有多远？ 解：（1）上表反映了气温与声速之间的关系，其中气温是自变量，声速是气温的函数， 故答案为：气温，声速，气温，声速； （2）由表可知，随着的增大，也增大； （3）从表中数据的变化，可知：气温每升高，声速增加， 与之间的函数解析式为：； （4）时，， ， 答：发生打雷的地方距小明大约有． 考向二：一次函数 考点讲练09：一次函数的定义 【典例精讲】（2024秋•大东区期末）若是关于的一次函数，则的值为 　　． 解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】（2024春•垫江县期末）已知是关于的一次函数，则　　． 解：函数是关于的一次函数， 则，， 解得， 故答案为：． 考点讲练10：正比例函数的定义 【典例精讲】（2024春•银州区校级期中）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是的正比例函数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：是正比例函数，符合题意； 当时，是正比例函数，不符合题意； 是一次函数，符合题意； 不是正比例函数，不符合题意； 不是正比例函数．不符合题意； 故是正比例函数的有①③，共2个， 故选：． 【变式训练】（2024秋•达州期末）已知是正比例函数，则　1　． 解：由条件可知， ， 故答案为：1． 考点讲练11：一次函数的图像 【典例精讲】（2024秋•余江区期末）已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 解：由图象得：，， 故选：． 【变式训练】（2024春•凤山县期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． （1）列表： 0 1 2 3 3 表格中　1　，　　； （2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论　　； 结论　　； （4）写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 解：（1）对于，当时，， 当时，， ，， 故答案为：1；1． （2）根据表格中的对应值，选取，点作射线，选取，点作射线， 则射线，为函数的图象，如图1所示： （3）观察（2）中所画函数的图象，可得如下结论（答案不唯一） 结论1：函数有最小值，最小值为； 结论2：函数的图象关于直线对称； 故答案为：（答案不唯一）函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称； （4）方程的解为：，，理由如下： 画出函数和的图象，如图2所示： 函数函数和的图象交点坐标分别为，， 方程的解为：，． 考点讲练12：正比例函数的图像 【典例精讲】（2024秋•市南区期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是图中　　） A． B． C． D． 解：、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； 、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项正确； 、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项错误； 、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； 故选：． 【变式训练】（2024春•南昌县月考）如图，这是正比例函数和的图象，则　　．（填“”“ ”或“” 解：如图： 当时，，，， ， 故答案为：． 考点讲练13：一次函数的性质 【典例精讲】（2024秋•舒城县期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 解：对选项中的，分别对应的，的值进行分析判断如下： 、，；，； 故此选项不符合题意； 、，；，； 故此选项符合题意； 、，；，； 故此选项不符合题意； 、，；，； 故此选项不符合题意； 故选：． 【变式训练】（2022春•汕尾期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有　　 ①对于函数来说，随的增大而减小 ②函数的图象不经过第一象限 ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而减小，故①正确； 由于，，所以函数的图象经过第二，三，四象限，故②正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ， ，故③正确； 当时，， 当时，， 由图象可知， ，故④正确； 故选：． 考点讲练14：正比例函数的性质 【典例精讲】（2024秋•管城区校级期末）下列函数中，的值随的值增大而减小的是　　 A． B． C． D． 解：、，则，随的增大而减小，故本选项符合题意； 、，则，随的增大而增大，故本选项不符合题意； 、，则，随的增大而增大，故本选项不符合题意； 、，则，随的增大而增大，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式训练】（2018春•开福区校级期中）定义：对于实数，，，若，则，，．例如，1，．已知直线，，的图象如图所示，若无论取何值，，，，则的最大值为　2　． 解：由于总取、、中的最小值，所以的图象如图所以，分别求出，，交点的坐标，；，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以最大值为2． 故答案为：2． 考点讲练15：一次函数图象与系数的关系 【典例精讲】（2024春•潮安区期末）已知一次函数中，随的增大而减小，则的值可能是　　 A．0 B．4 C．5 D． 解：一次函数中，随的增大而减小， ， 故的值可能是； 故选：． 【变式训练】．（2020秋•邗江区期末）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“距离“，记作．特别的，当图形，有公共点时，记作． 一次函数的图象为，与轴交点为，中，，，． （1）求（点，　1　；当时，求　　； （2）若，直接写出的取值范围； （3）函数的图象记为，若，求出的取值范围． 解：（1）一次函数的图象与轴交点， （点，表示点到的最小距离，就是点到点的距离，即：， （点， 当时，直线，此时直线与所在的直线平行，且和均是等腰直角三角形， 表示直线到的最小距离，就是图中的， 在等腰直角三角形中，， 故答案为：1，； （2）若．说明直线与 有公共点，因此有两种情况，即：或，仅有一个公共点时如图所示，即直线过点，或过点， 此时可求出或，根据直线与有公共点， 或， 答：若时．的取值范围为：或． （3）函数的图象与轴、轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数的图象与平行， 当时，如图所示： 在中，，则，，；即：； 同理：，，即：， 若，即的值在、之间 答：若，的取值范围为． 考点讲练16：一次函数图象上点的坐标特征 【典例精讲】（2024秋•兴化市期末）如图，直线是一次函数的图象，且直线经过点． （1）求的值； （2）若直线与轴、轴分别交于、两点，求的面积． 解：（1）把代入， 得，解得； （2）当时，，解得， 则直线与轴的交点坐标为． 当时，， 则直线与轴的交点坐标为． 所以的面积为． 【变式训练】（2024春•雨花区期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．以为边在第二象限内作正方形． （1）求点，的坐标； （2）在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）对于直线，令，得到；令，得到， ，， 作轴，轴，可得， 四边形是正方形， ，， ，， ，， ， ， ，， ，， ，； （2）存在， 找出关于轴的对称点，连接，与轴交于点，此时周长最小， ， ， 设直线的解析式为， 把与坐标代入得：， 解得：， 即直线的解析式为， 令，得到， 即． 考点讲练17：一次函数图象与几何变换 【典例精讲】（2024秋•横山区期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到新的直线经过点，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：平移后的直线解析式为． 把代入得， 解得． 故选：． 【变式训练】（2024春•西城区期末）对于函数为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． （1）当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于 　轴　对称；对于函数，当 　　时，； （2）当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数，当时，的取值范围是 　　； （3）结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质． ①若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式； ②若点和都在函数的图象上，且，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 解：（1）由题意，结合图象可得，函数的图象关于轴对称； 又令， ． 或． 故答案为：轴；或． （2）①函数的图象，如图： ②当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，当时，的取值范围为． 故答案为：． （3）①， 结合图象可得，若，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象． ②， 的图象关于对称， 点关于的对称点为， 若点和都在函数的图象上，且， ， 解得：． 考点讲练18：待定系数法求一次函数解析式 【典例精讲】（2025•瑞安市开学）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴的负半轴上，将正方形沿着轴向右平移5个单位，得到正方形， 且点与原点重合，直线交轴于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求点的坐标． 解：（1）正方形沿着轴向右平移5个单位，得到正方形， ， ， 设直线的函数表达式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的函数表达式为； （2）四边形为正方形， ， 设， 把代入得， 解得， ，， 正方形沿着轴向右平移5个单位，得到正方形， ，， 即，． 【变式训练】（2024春•娄星区校级期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． （1）求一次函数的函数解析式； （2）求的面积； （3）问：在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）把代入得， ， 设， 把，代入可得： ， 解得：， ． （2）一次函数的图象与轴交于点， ， ； （3）存在，理由如下： ， ， 当在轴上时，，即， ， ， 点的坐标为或， 当在轴上时，设直线与轴交于点， ， ， ， ， ， 点的坐标为或， 综上，在坐标轴上，存在一点，使得，点的坐标为或或或． 考点讲练19：待定系数法求正比例函数解析式 【典例精讲】（2024春•潮南区校级期末）如图，直线的解析式为，点的横坐标是，，与轴所夹锐角是． （1）求点坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若直线与轴的交点为点，求的面积； （4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标． 解：（1）过点作轴于点，如图所示． ，， 为等腰直角三角形， ，． ， ， 点的坐标为． （2）当时，， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 将、代入， ，解得：， 直线的函数表达式为． （3）当时，， 点的坐标为， ． （4）与的面积相等， ， 当时，， 点的坐标为． 【变式训练】（2022秋•秦都区期中）已知是的正比例函数，且函数图象经过点． （1）求与的函数关系式； （2）当时，求对应的函数值； （3）当取何值时，． 解：（1）设正比例函数解析式为， 图象经过点， ， 解得， 所以，此函数的关系式是； （2）把代入解析式可得：； （3）把代入解析式可得：． 考点讲练20：一次函数与一元一次方程 【典例精讲】（2024秋•达州期末）如图，一次函数为常数且与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是　　 A． B． C． D． 解：由条件可得：， 解得， ， 关于的方程的解是， 故选：． 【变式训练】（2023春•茂名期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于的方程的解为；③当时，；④关于的方程的解为；其中正确的是　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 解：由图象得： ①当时，，错误； ②关于的方程的解为，正确； ③当时，，正确； ④关于的方程的解为，正确； 故选：． 考点讲练21：一次函数与一元一次不等式 【典例精讲】（2024秋•海州区期末）如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 　　． 解：由图象可得：当时，， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 【变式训练】（2024春•南关区校级期末）已知函数，其中为常数，该函数的图象记为． （1）当时，若点在图象上，求的值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数最大值与最小值的差； （4）已知点，，当图象与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 解：（1）当时，函数， 点在图象上， 当时，． （2）当时，函数， 当时，由，则随的增大而增大，即当时，函数有最大值2； 当时，由，则随的增大而减小，即当时，函数有最大值2； 综上，函数的最大值为2． （3）函数， 所以当时，随的增大而增大；当时，则随的增大而减小； 当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小； 当时，有最大值； 当时，有最小值； 当时，有最小值； 当时，有最小值； 当时，有最大值，最小值， 函数最大值与最小值的差为． （4）， 该分段函数图象大致为： ，， 线段在直线上． 若图象与线段只有一个公共点时，有如下几种情况： ①或， 如图：，解得：； ②令，，分别解得：，， 当，如图：点、、、分别表示 ，解得不等式无解； 当，、同为，与图形无交点， 当，如图：点、、、分别表示， ，解得：； ③令，，分别解得：，， 当，如图：点、、、分别表示 ，解得方程组无解； 当，、同为，与图形无交点， 当，如图：点、、、分别表示， ，解得：． 综上，或． 考向三：一次函数的实际应用 考点讲练22：根据实际问题列一次函数关系式 【典例精讲】（2023春•徐汇区期末）某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为 　　． 解：依题意有：． 故答案为：． 【变式训练】（2021春•漳平市月考）某工人生产一种零件，完成定额20个，每天收入28元，如果超额生产一个零件，增加收入1.5元．写出该工人一天的收入（元与他生产的零件（个的函数关系式　　． 解：他一天生产零件个，定额20， 一天超额生产零件的收入为：， 该工人一天的收入（元与他生产的零件（个的函数关系式为：，即． 故答案为：． 考点讲练23：一次函数的应用 【典例精讲】（2024秋•寿县期末）甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为48米的时刻不可能是　　 A．4分钟 B．12分钟 C．16分钟 D．10分钟 解：由图象可得，甲的路程为240米，时间为20分钟， 可得甲的速度为米分钟， 当时，乙的路程为60米，时间为4分钟， 可得当时，乙的速度为米分钟， 当时，由乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍， 可得当时，乙的速度为24米分钟， 设甲的路程与时间的函数关系式为， 由条件可得， 解得， ； 设在时乙的路程与时间的函数关系式为， 由条件可得，， 解得，， ， 乙登到山顶共用时：（分钟）， 设在时乙的路程与时间的函数关系式为， 由条件可得， 解得 在时乙的路程与时间的函数关系式为， 即：， 由甲、乙两人距地面的高度差为48米，得， 当时，， ； 当时，， 或（舍去）； 当时，， ， 故选：． 【变式训练】（2024秋•莱州市期末）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出，关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 解：（1）设， 把点代入，可得：， 解得， ； 设， 把代入，可得 ，即， ； （2）当时，， 解得； 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同； （3）由（2）知：当时，； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算．（10分）（每少一个扣1分） 考点讲练24：一次函数综合题 【典例精讲】（2025•北碚区校级开学）如图1，在△中，，，，点为的三等分点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，按照的顺序在边上运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，在线段上运动，当点到达点时，点，都同时停止运动．在运动过程中，设点的运动时间为秒，△的面积为，△的面积与的比值为． （1）直接写出，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接求出时，的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过 解：（1），，， ， 点为的三等分点， ，， 由题意得，则， ， ①当时，，点在上， ， 当时，点在上，， 过点作于点， ， ， ， ． ； ， ． （2）函数图象如图所示： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）由函数图象知，当时，的取值范围是． 【变式训练】（2024秋•泗阳县期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图象上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”．如点是函数图象上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： （1）已知函数与轴和轴分别相交于点，，若有三点、、，则其中是， “轴美点”的是 　　．（只填字母） （2）已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数” 上存在点，使得点既是， “轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． （3）已知“倍美函数” ，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 解：（1）与轴和轴分别相交于点，， 点的坐标为，点的坐标为， 点、、， ，； ，； ，， ， 是， “轴美点”的是， 故答案为：； （2）①证明：设函数上一点为， 、， ， ， ， 、的“轴美点”在函数上； ②由题意得：点， Ⅰ、， 或， 解得：或； Ⅱ、， 或， 解得：或无解； 当时，点为， ， 解得：； 当时，点为， ， 解得：； 当时，点为， ， 解得：； 综上：的值为7或或2.5； （3） “倍美函数” 恰好具有三个“倍美点”， 与和恰好有3个交点， 如图：当时，恰好具有三个“倍美点”，分别是，，； 当时，恰好具有三个“倍美点”， 和， 解得：，， “倍美点”分别是，，， 基础夯实真题练 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一次函数满足，且随的增大而减小，则该一次函数的大致图象是大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先根据题意判断出、的符号，进而可得出结论． 【规范解答】解：一次函数的随的增大而减小， ． ， ， 此函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点与在直线l上，则直线l必经过（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数关系式，掌握待定系数法求一次函数关系式的方法是关键． 根据点的坐标特征和待定系数法确定一次函数关系式，再进行判断． 【规范解答】解：设直线的方程为：， 将点与代入可得：， 解得：， ∴直线的方程为：， 将四个选项代入，可知B符合要求． 故选：B． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）平面直角坐标系第二象限内有一点，它到轴的距离为，到轴的距离为，则直线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查正比例函数解析式的求法，直角坐标系内的点的坐标特征，熟练掌握平面内点的坐标特点，以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．由已知可求，再用待定系数法求的解析式． 【规范解答】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为，在第二象限， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化平移，得出点纵坐标为是解题的关键．先求出直线与轴交点的坐标为，再由在线段的垂直平分线上，得出点纵坐标为，将代入，求得，即可得到的坐标． 【规范解答】解：直线与轴交于点， 时，得， ． 以为边在轴右侧作等边三角形， 在线段的垂直平分线上， 点纵坐标为． 将代入，得， 解得． ∴的坐标是． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）购物车是我们在超市购物经常用到的工具．如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输 辆购物车． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求函数表达式，一元一次不等式的应用．根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，设采购了n辆购物车，车身总长为L，结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答． 【规范解答】解：设采购了n辆购物车，车身总长为L， ∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加 ∴ ∵已知该商场的直立电梯长为， 令， 解得： ∵一次可以运输两列购物车， ∴一次性最多可以运输18辆购物车； 故答案为：． 6．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向右平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键． 由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出值，进而可得出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，则及，利用全等三角形的性质，可求出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点平移后的横坐标，结合平移前点的横坐标，即可求出结论． 【规范解答】解：将代入中得， ， ∴直线的函数解析式为， 过作轴于，过作轴于，如图所示 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理可证， ， ， ， ∴平移后， 将代入中， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留， 再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离与所用的时间的关系如图所示．在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的关系式，一次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求一次函数的关系式是解答本题的关键． 利用待定系数法分别求出大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式、小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式，当两车相遇时，两函数值相等，据此列关于的方程并求解即可． 【规范解答】解：设大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：（为常数，且）， 将坐标代入， 得， 解得：， 大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：， 由题意可知，当时，小轿车从乙地返回到达甲地， 设小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得：， 小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：， 当在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，得， 解得：， 在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了， 故答案为：． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ (2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是？ 【答案】(1)点P从点A出发，经过11秒后到达点D (2)经过秒或秒后三角形的面积恰好是 【思路点拨】本题主要考查动点运动的函数图象问题，根据图2得出的长进而求出是解题的关键． （1）由图2可知，点P运动3秒到达点B，再由点P的运动速度和进行求解即可； （2）由（1）中求得的数据，可知长方形的面积，进而可得出点P在上运动时，的面积为定值30，再对点P的位置再和上进行分类即可． 【规范解答】（1）解：由图2知，点P运动3秒时到达B点， 又∵点P的运动速度是秒， ∴． 又∵， ∴． 又∵四边形是长方形， ∴． ∴， ∴（秒）． ∴点P从点A出发，经过11秒后到达点D． （2）解：由（1）知，， 当点P在上运动时，的面积恒为：． 又，故不符合题意； 当点P在边上时， ， （秒）． 当点P在边上时， ， （秒）． 综上所述，经过秒或秒后三角形的面积恰好是． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是 米； (2)小明在文具店停留了 分钟； (3)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (4)交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)1800 (2)3 (3)3000 (4)在12～15分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内． 【思路点拨】本题考查从函数的图象中获取信息，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据函数图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 【规范解答】（1）解：由图象可得，小明家到学校的路程是1800米， 故答案为：1800； （2）解：小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：3； （3）解：本次上学途中，小明一共行驶了： （米）， 故答案为：3000； （4）解：当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 15千米/时米/分， ∵， ∴在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内． 10．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【思路点拨】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法、三角形面积公式及数形结合思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据数形结合思想求解； （3）根据三角形的面积公式求解． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 解得， ， 解得： 一次函数的表达式为：； （2）解：由图象得，当时，， 故答案为； （3）解：设， 由题意得：， 解得：或， 或， 或， 故答案为：或． 培优拔尖真题练 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点，，当一次函数与线段有交点时，k的取值范围是（   ） A．且 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，由已知得直线恒过点，分别求出直线和直线的比例系数，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴直线（k为常数）恒过点， 当直线刚好过点A时，将代入中得：， 解得， 此时， 当直线刚好过点B时，将代入中得：， 解得， 此时， ∴当直线与线段有交点时，的取值范围为：或， ∴k的取值范围为：或， 故选：D． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路点拨】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【规范解答】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：B． 【考点评析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解一次函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键，根据计算归纳总结出规律，第个等边三角形的边长为是解决问题的难点．先求出，，，则，，根据等边三角形性质得，则，在中，由勾股定理得，则第1个等边三角形的边长为，再分别计算出，，则，在中，得，则第2个等边三角形的边长为，同理第3个等边三角形的边长为，，依次类推，第个等边三角形的边长为，由此可得第2024个等边三角形的边长． 【规范解答】解：对于，当时，，当时，， 点，点， ，， 在中，由勾股定理得：， ，则， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 即第1个等边三角形的边长为：， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，， 在中，，， ， 即第2个等边三角形的边长为：， 同理：第3个等边三角形的边长为：， ，依次类推，第个等边三角形的边长为：， 第2024个等边三角形的边长等于． 故选：B． 14．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，待定系数法求解析式，两点之间线段最短，由一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，求出，，作轴于，使得，连接，，证明，则，由，当在上时，最小，在求出直线为，直线为，联立得，求出，然后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴令，则；令，则， ∴，， 又∵点的坐标为，， ∴，， ∴， 如图，作轴于，使得，连接，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线为， 同理可得：直线为， ∴联列方程组， ∴， ∴， ∴的纵坐标为：． ∴， 答案为：；． 15．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴交点问题．根据一次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，点的坐标为，如图，在轴上截取，过作轴交直线于，证明，可得，再进一步求解即可． 【规范解答】解：直线与坐标轴交于点，， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，， 如图，在轴上截取，过作轴交直线于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标． 【规范解答】解：点的坐标为，点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在上， 解方程， 解得：， 点的坐标是， 轴， 点的横坐标是， 又点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在直线上， 可得方程， 解得：， 点的坐标是， 根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为， 又点在上， 可得：， 点的坐标为 故答案为： ． 17．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而行，两车相遇后，乙车减慢速度匀速行驶，甲车的速度不变，甲车出发5小时后，接到通知需原路返回到C处取货，于是甲车立即掉头加快速度匀速向C处行驶，甲追上乙后又经过40分钟到达C处，甲车取货后掉头以加快后的速度赶往B地，又经过小时，甲、乙两车再次相遇，相遇后各自向原来的终点继续行驶（接通知、掉头、取货物的时间忽略不计）甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）的部分函数图象如图所示，则乙车到达A地时，甲车距离A地 千米． 【答案】 【思路点拨】此题考查了从函数图象获取信息，从图象分析已知信息，再结合路程中的相遇和追及问题列式即可． 根据图象提供的信息，小时后，甲、乙的距离由900缩小到300，可以求出甲、乙未改变速度之前的速度和，从而求出相遇时间，再根据5小时时，甲、乙的相距路程可求出甲未改变之前的速度和乙改变之后的速度之和，再根据40分钟，甲、乙相距40千米，可以求出甲、乙改变速度之后的速度差，再根据小时后又相遇，就可以求出甲、乙改变速度之后的速度和，从而求出甲、乙改变之前的速度和改变之后的速度． 【规范解答】解：，， ∴甲乙的速度之和为210， ，， ∴甲的速度与乙改变后的速度之和为150， ， ∴甲改变后的速度与乙改变后的速度差为60，     ∴甲改变后的速度与乙改变后的速度和为180， ∴甲改变后的速度为120，乙改变后的速度为60， ∵甲的速度与乙改变后的速度之和为150，∴甲的速度为90， ∵甲乙的速度之和为210，∴乙的速度为120， 乙未改变速度之前行驶的路程为：， ， ∴乙到达A地所需要的时间为， ∴甲改变速度后还需行驶的时间为：， ，． ∴甲返回C地所需的时间为． ∴乙到达时甲距离A地， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【思路点拨】（1）将点代入，确定定B的坐标，分别把A，B的坐标代入，解答即可； （2）根据交点坐标的意义，结合不等式解答即可； （3）分为：及三种情形讨论得出结果． 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【规范解答】（1）解：将点代入， 得， 故 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为，∵， ∴． （3）解：根据题意，得， 故，， 同理可得，； 故； 当时，得到,此时， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 综上所述：或或或． 19．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线交轴于点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图1，过点的直线交线段于点，且满足与的面积比为，点和点分别是直线和轴上的两个动点，当的值最小时，求出的最小值． (3)如图2，已知点，在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的最小值为 (3)或 【思路点拨】（1）通过直线的解析式可求出点的坐标，已知点的坐标，用待定系数法可求出直线的解析式． （2）过点分别作和的垂线，分别交和于点和点．由面积条件得与的高相等，得出点在的角平分线上，即射线是的角平分线，在射线上截取，点到轴的距离，即为的最小值． （3）分两种情况讨论：若在轴正半轴上，作在轴上，由等腰三角形的性质和三角形外角的定义，运用勾股定理即可求解；若在轴负半轴上，同理可求． 【规范解答】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点，点． ∴令，得． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为． 代入点和点． 得． 解得：． ∴直线的解析式为． （2）解：过点分别作和的垂线，分别交和于点和点． ∵点和点． ∴． ∵点是直线与轴的交点， ∴令，解得：． ∴点的坐标为． ∴，，即， ∴． ∵与的面积比为． ∴， 即， ∴点在的角平分线上， 在射线上取点，使得，连接，过点作轴的垂线，交轴于点， 则， ∴， 在和中． ， ， ， 则． 解得：． ， 故的最小值为． （3）解：存在，理由： 若在轴正半轴， 如图，由图可知，作在轴上， ， 又∵， ， ， ，， ， 则， ， ； 若在轴负半轴，与（1）同理，， 综上所述：或． 【考点评析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，角平分线的判定，点到直线的距离垂线段最短，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是：会用待定系数法求—次函数的解析式；能够通过角平分线找到已知点的对称点，熟练应用点到直线的距离垂线段最短；熟悉两点间的距离公式，等腰三角形的性质，能够用分类讨论和数形结合思想解答． 20．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在长方形中，，，分别是，边上的动点．在长方形的内部（包含边界），以为直角边作等腰直角三角形，且．过点作，垂足为． (1)如图①，当时，设，求与之间的函数表达式； (2)当点的位置如图②所示时，点在边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)当点，分别在，边上运动时，满足条件的点所形成的区域的面积随着的长度变化而变化，设点所形成的区域的面积为，的长度为．请直接写出与的函数表达式及对应的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）证明得出，根据题意，即可列出函数关系式； （2）在上截取点，使得，在上任取一点，过点作，连接交于点，连接，则为所有满足条件的点的轨迹 （3）根据（2）的结论，分类讨论，得出点所形成的区域，进而得出与的函数表达式及对应的取值范围． 【规范解答】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， 又∵ ∴ ∴， 在中， ∴ ∴，则 ∵， ∴ （2）解：如图所示，在上截取点，使得，在上任取一点，过点作，连接交于点，连接，则为所有满足条件的点的轨迹 （3）解：长方形中，， 分四种情况讨论， ①当时，如图所示， 当点与点重合，点在上运动时，点的轨迹为线段， 当点与点重合，点在上运动时，点的轨迹为线段， 当、点运动时，点所形成的区域等腰直角， ∴ ②当时，如图所示，同理可得，点所形成的区域为多边形， 由（1）可得， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴ ③当时， ∴ ④当时，如图所示 综上所述， 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，函数表达式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$