第18章 平行四边形（思维导图+知识梳理+37大考点讲练+优选真题难度分层练 共86题）-2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练测

2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第18章 平行四边形 （思维导图+知识梳理+37大考点讲练+优选真题难度分层练 共86题） 目 录 讲义编写说明 3 思维导图指引 3 知识梳理精讲 4 知识点梳理01：平行四边形 4 知识点梳理02：矩形 4 知识点梳理03：菱形 5 知识点梳理04：正方形 5 重点知识考点讲练 6 考向一：平行四边形的性质 6 考点讲练01：利用平行四边形的性质求解 6 考点讲练02：利用平行四边形的性质证明 7 考点讲练03：平行四边形性质的其他应用 8 考向二：平行四边形的判定 9 考点讲练04：求已知三点组成的平行四边形的个数 9 考点讲练05：证明四边形是平行四边形 10 考点讲练06：全等三角形拼平行四边形问题 12 考点讲练07：利用平行四边形的判定与性质求解 13 考点讲练08：利用平行四边形的判定与性质证明 14 考点讲练09：平行四边形判定与性质的应用 15 考点讲练10：与三角形中位线有关的求解问题 16 考点讲练11：与三角形中位线有关的证明 16 考点讲练12：三角形中位线的实际应用 18 考向三：矩形 19 考点讲练13：利用矩形的性质证明 19 考点讲练14：求矩形在坐标系中的坐标 20 考点讲练15：矩形与折叠问题 22 考点讲练16：斜边的中线等于斜边的一半 23 考点讲练17：矩形的判定定理理解 24 考点讲练18：根据矩形的性质与判定求角度 25 考点讲练19：根据矩形的性质与判定求线段长 26 考点讲练20：根据矩形的性质与判定求面积 27 考向四：菱形 29 考点讲练21：利用菱形的性质证明 29 考点讲练22：根据菱形的性质与判定求角度 30 考点讲练23：根据菱形的性质与判定求面积 31 考点讲练24：根据菱形的性质与判定求面积 32 考向五：正方形 33 考点讲练25：正方形折叠问题 33 考点讲练26：求正方形折叠部分问题 34 考点讲练27：根据正方形的性质证明 35 考点讲练28：正方形的判定定理理解 36 考点讲练29：根据正方形的判定与性质求角度 37 考点讲练30：根据正方形的判定与性质求线段长 38 考点讲练31：根据正方形的判定与性质求面积 39 考点讲练32：根据正方形的判定与性质证明 40 考点讲练33：中点四边形 42 考点讲练34：利用（特殊）平行四边形的特殊性求阴影部分面积 43 考点讲练35：（特殊）平行四边形的动点问题 44 考点讲练36：四边形的点断最值问题 45 考点讲练37：四边形其他综合问题 46 优选真题难度分层练 48 基础夯实真题练 48 培优拔尖真题练 51 同学你好，本套讲义针对2025新学年课本内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，精选常考，易错，压轴类题型。解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【易错点剖析】平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点梳理02：矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 【易错点剖析】由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点梳理03：菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 知识点梳理04：正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 考向一：平行四边形的性质 考点讲练01：利用平行四边形的性质求解 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，．若平分． (1)求证：； (2)若，求：的度数． 考点讲练02：利用平行四边形的性质证明 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点； (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：垂直平分 ，①__________． 四边形是平行四边形， ，②__________． 在与中 ③__________． ， ． 通过进一步探究发现：经过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交将平行四边形分为两个四边形，这两个四边形的面积以及周长都④_________． 【变式训练】（20-21九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 考点讲练03：平行四边形性质的其他应用 【典例精讲】（23-24八年级下·天津滨海新·期中）作图题 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出； (2)线段的长为______的长为______ 【变式训练】（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 考向二：平行四边形的判定 考点讲练04：求已知三点组成的平行四边形的个数 【典例精讲】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【变式训练】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，的长满足，过点B作直线的垂线，交于点D． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)求线段的长； (3)在平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点讲练05：证明四边形是平行四边形 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【变式训练】（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 考点讲练06：全等三角形拼平行四边形问题 【典例精讲】（21-22八年级下·福建厦门·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2) 请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【变式训练】（2021·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 考点讲练07：利用平行四边形的判定与性质求解 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在等边中，D，E，F分别是边上的动点，满足，且．作点E关于的对称点G，连接． (1)当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形是平行四边形； (2)如图2，当，时，写出线段和的数量关系，并说明理由． 考点讲练08：利用平行四边形的判定与性质证明 【典例精讲】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，已知中，O是的中点，过点O作，交于点E，交于点F．求证：四边形是平行四边形． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 考点讲练09：平行四边形判定与性质的应用 【典例精讲】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，是上一点，在线段上找一点，使；连接，作一点，使四边形为平行四边形； (2)在图2中作的垂直平分线，分别交，于，；将四边形沿翻折，点的对应点为点，画出翻折后的四边形． 【变式训练】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点为上一点，点为与网格线的交点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)先以，为边画平行四边形，再在边上画点，使； (2)先在上画点，使，再在边上画点，使． 考点讲练10：与三角形中位线有关的求解问题 【典例精讲】．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 考点讲练11：与三角形中位线有关的证明 【典例精讲】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【变式训练】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知，如图1，中，，为的中位线，为边上一点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点． (1)求证：； (2)若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图2，延长交于点，若为2，求为何值时为直角三角形． 考点讲练12：三角形中位线的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【变式训练】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 考向三：矩形 考点讲练13：利用矩形的性质证明 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方形中，为上一点，将沿翻折至与相交于点，且与相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【变式训练】（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 考点讲练14：求矩形在坐标系中的坐标 【典例精讲】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（20-21七年级下·吉林四平·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间为t秒． （1）B点的坐标为___________，_________，___________（用含t的代数式表示线段与线段的长度） （2）当t为怎样的值时，的面积不小于的面积？ （3）的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t值，如果不可以请说明理由． 考点讲练15：矩形与折叠问题 【典例精讲】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处，已知，，线段的长度为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，有一张矩形纸片，，对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，且折痕过点，得到折痕． (1)在图3中，________，________． (2)在图3中，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)若在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，则________． 考点讲练16：斜边的中线等于斜边的一半 【典例精讲】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·开学考试）如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（   ） A． B． C． D． 考点讲练17：矩形的判定定理理解 【典例精讲】（23-24八年级下·江西赣州·期中）从平行四边形和矩形的学习中我们可以知道，给一般四边形的线和角添加条件，会得到特殊的四边形．比如一般四边形添加“两组对边分别相等”的条件，可以得到平行四边形；平行四边形添加“对角线相等”的条件又可以得到矩形．类似的，小开在探究平行四边形折叠问题时观察到： (1)对任意，都可以在上取一点，将沿着连线折叠，使得点对应点落在对角线上如图①，由折叠可知，______；但为使点恰好与点重合，与要满足一个特殊的数量关系，请你直接写出这一数量关系． (2)当点恰好与点重合时，若平行四边形是矩形（），是一个特殊的角度，如图③，请你求出这个角度． (3)当点恰好与点重合时，如图②，求证：． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，为上任意一点． (1)如图①，只用无刻度的直尺在边上作出点，使直线平分平行四边形的面积； (2)如图②，用无刻度直尺和圆规作出矩形，使得点、、分别在边、、上（不写作法，只保留作图痕迹）． 考点讲练18：根据矩形的性质与判定求角度 【典例精讲】（18-19九年级上·山东青岛·单元测试）如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 考点讲练19：根据矩形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接． （1）当是的中点时，线段的长度是 ； （2）线段长度的最小值是 ． 【变式训练】．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处． (1)如图1，当点E恰好落在y轴时，连接，求的长度． (2)如图2，当点E恰好落在长方形的对角线上时，求点D的坐标． (3)如图3，当以O、C、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求的面积． 考点讲练20：根据矩形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是 ． 【变式训练】．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    考向四：菱形 考点讲练21：利用菱形的性质证明 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，在菱形中，分别是上的点，且，以为边作一个矩形； (2)图②是由小正方形组成的的网格，为内一点，画格点，连接，使得四边形为平行四边形，并在边上画点，使直线平分四边形的面积． 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：四边形是菱形，、分别是、上的点，且，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中一定是等腰三角形的所有三角形． 考点讲练22：根据菱形的性质与判定求角度 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的度数． 考点讲练23：根据菱形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）在中，，点M在的延长线上，点N在的延长线上，平分，． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，连接，交于点O，过点D作，交于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与面积相等的4个三角形． 【变式训练】（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，． ①求的面积； ②若直线上有一点F，当为等腰三角形时，直接写出线段为的长． 考点讲练24：根据菱形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，直线，直线与、交于A、B，在上取一点C，使，平分，交于点D，交于点，，交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式训练】（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，点D，E，F分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点O．有下列四个结论： ①；   ② ③当时，点O到四边形四条边的距离相等； ④当时，点O到四边形四个顶点的距离相等． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 考向五：正方形 考点讲练25：正方形折叠问题 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．   【变式训练】（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 考点讲练26：求正方形折叠部分问题 【典例精讲】（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【变式训练】（21-22八年级下·吉林长春·期末）有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________（用含的代数式表示）． (2)当秒时，求的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围． (4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值． 考点讲练27：根据正方形的性质证明 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，分别是四边形的边的中点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【变式训练】（24-25八年级下·全国·期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】 （1）我们已经学习了平行四边形，菱形，矩形和正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_______； 【性质探究】 （2）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3） 如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 考点讲练28：正方形的判定定理理解 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·期末）给出下列判断，正确的是（  ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一条对角线平分一组对角的平行四边形为菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【变式训练】（24-25九年级上·湖南邵阳·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． 备用图 (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 考点讲练29：根据正方形的判定与性质求角度 【典例精讲】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【变式训练】（20-21九年级下·湖北武汉·自主招生）如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则 ．    考点讲练30：根据正方形的判定与性质求线段长 【典例精讲】（2023·河南南阳·一模）综合与实践，数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动．如图1．已知矩形纸片，其中． (1)操作判断 将矩形纸片按图1折叠，使点B落在边上的点E处，可得到一个的角，请你写出一个的角， (2)探究发现 将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点M，将沿折叠得到，延长交于点N，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 (3)拓展应用 改变图2中点M的位置，令点M为射线上一动点，按照(2)中方式将沿折叠得到，所在直线交于点N，若点N为的三分点，请直接写出此时的长， 【变式训练】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，点A是射线上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，设运动时间为，其中． (1)当与全等时，求t的值； (2)四边形的面积为　　． 考点讲练31：根据正方形的判定与性质求面积 【典例精讲】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）综合与探究：如图1，四边形中，分别是的中点，顺次连接． （图1）                               （备用图） (1)如图1，在四边形内一点，使，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【变式训练】（23-24八年级下·广东广州·期末）2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，中空的部分是四边形，连接，相交于点，与相交于点，若，且大正方形边长为，则四边形的面积为（     ）      A． B． C． D． 考点讲练32：根据正方形的判定与性质证明 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图2，在中，，高，，求的长度． 【变式训练】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 (1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 考点讲练33：中点四边形 【典例精讲】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【变式训练】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等线四边形”． 如图1，四边形为“等线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 考点讲练34：利用（特殊）平行四边形的特殊性求阴影部分面积 【典例精讲】（17-18八年级下·河南·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． （1）填空：32___________奇特数，2018_________奇特数．（填“是”或者“不是”） （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【变式训练】（20-21八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 考点讲练35：（特殊）平行四边形的动点问题 【典例精讲】（22-23八年级下·云南红河·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C出发，以的速度向点B运动．点P与点Q同时出发．设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：______；______；______；______； (2)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？ (3)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点A，B，Q，P为顶点的四边形是矩形？ 【变式训练】（23-24八年级下·河北唐山·期末）在矩形中，，，分别是，中点，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外），说明理由． (2)若四边形为矩形，t的值为 ； (3)若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则t的值为 ． 考点讲练36：四边形的点断最值问题 【典例精讲】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式训练】（22-23八年级下·吉林长春·期末）【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 考点讲练37：四边形其他综合问题 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·期中）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． (1)如图1，在8×5的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个，点A、B、C均在格点上，请在网格图中找出2个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是和谐四边形，并画出相应的四边形． (2)如图2，在四边形中，，，，平分．试说明：是四边形的和谐线； (3)已知，在四边形中，，，是四边形的和谐线，直接写出的长_____． 【变式训练】（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 基础夯实真题练 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，点A正好落在上的点F，若的周长为8，的周长为22，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，若的顶点A，C，D的坐标分别是，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平行四边形中，平分交边于点，，则的度数是 ． 4．（23-24八年级下·河北张家口·期中）已知：如图，平面直角坐标系中，正方形的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动，顶点B、C都在第一象限，且对角线、相交于点P，则在点A、D运动的过程中，点P到y轴的距离的最大值是 ．              5．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图所示，四边形是正方形，M是延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与的平分线相交于点F． (1)如图1，当点E在边的中点位置时，若，连接点E与边的中点N，请猜想与的数量关系，并加以证明． (2)如图2，当点E在边上的任意位置时，猜想此时与有怎样的数量关系并证明你的猜想． 6．（24-25九年级上·湖北·期末）在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，如果，求的长； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由． 培优拔尖真题练 7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在一张矩形纸片中，，，点E、F分别在，上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点H与点A重合时，． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图，，是菱形的对角线，，是上两点，且，连接，，，，添加一个条件使四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的横坐标为 ． 11．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）图中是一副三角板，的三角板的直角顶点恰好在的三角板斜边上，，，，交于点，于．    (1)如图1，当经过点时，且，作于，求证：①是的中点，②； (2)如图2，当时，交于，作于，若是中点，求证：． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期末）在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰中，，且，则点为等腰的“双合点”． (1)如图2，在等腰中，，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点”（保留作图痕迹）； (2)在等腰中，， ①如图3，当“双合点”恰好在边上时，且满足，求度数；②当“双合点”在边的延长线上时，则___________； (3)如图4，在等腰中，，，为内一点，连接，，当时，求证：点为等腰的“双合点”． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第18章 平行四边形 （思维导图+知识梳理+37大考点讲练+优选真题难度分层练 共86题） 目 录 讲义编写说明 3 思维导图指引 3 知识梳理精讲 4 知识点梳理01：平行四边形 4 知识点梳理02：矩形 4 知识点梳理03：菱形 5 知识点梳理04：正方形 5 重点知识考点讲练 6 考向一：平行四边形的性质 6 考点讲练01：利用平行四边形的性质求解 6 考点讲练02：利用平行四边形的性质证明 8 考点讲练03：平行四边形性质的其他应用 11 考向二：平行四边形的判定 13 考点讲练04：求已知三点组成的平行四边形的个数 13 考点讲练05：证明四边形是平行四边形 15 考点讲练06：全等三角形拼平行四边形问题 19 考点讲练07：利用平行四边形的判定与性质求解 21 考点讲练08：利用平行四边形的判定与性质证明 24 考点讲练09：平行四边形判定与性质的应用 26 考点讲练10：与三角形中位线有关的求解问题 28 考点讲练11：与三角形中位线有关的证明 30 考点讲练12：三角形中位线的实际应用 34 考向三：矩形 37 考点讲练13：利用矩形的性质证明 37 考点讲练14：求矩形在坐标系中的坐标 40 考点讲练15：矩形与折叠问题 42 考点讲练16：斜边的中线等于斜边的一半 45 考点讲练17：矩形的判定定理理解 49 考点讲练18：根据矩形的性质与判定求角度 52 考点讲练19：根据矩形的性质与判定求线段长 55 考点讲练20：根据矩形的性质与判定求面积 59 考向四：菱形 62 考点讲练21：利用菱形的性质证明 62 考点讲练22：根据菱形的性质与判定求角度 64 考点讲练23：根据菱形的性质与判定求面积 66 考点讲练24：根据菱形的性质与判定求面积 71 考向五：正方形 74 考点讲练25：正方形折叠问题 74 考点讲练26：求正方形折叠部分问题 77 考点讲练27：根据正方形的性质证明 81 考点讲练28：正方形的判定定理理解 84 考点讲练29：根据正方形的判定与性质求角度 86 考点讲练30：根据正方形的判定与性质求线段长 88 考点讲练31：根据正方形的判定与性质求面积 93 考点讲练32：根据正方形的判定与性质证明 97 考点讲练33：中点四边形 103 考点讲练34：利用（特殊）平行四边形的特殊性求阴影部分面积 106 考点讲练35：（特殊）平行四边形的动点问题 108 考点讲练36：四边形的点断最值问题 112 考点讲练37：四边形其他综合问题 116 优选真题难度分层练 120 基础夯实真题练 120 培优拔尖真题练 128 同学你好，本套讲义针对2025新学年课本内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，精选常考，易错，压轴类题型。解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【易错点剖析】平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点梳理02：矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 【易错点剖析】由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点梳理03：菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 知识点梳理04：正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 考向一：平行四边形的性质 考点讲练01：利用平行四边形的性质求解 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键．本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，由B，C的坐标求出线段的长度，再利用平行四边形的性质可得答案． 【规范解答】解：平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，， ， B，C的纵坐标相等， 轴， ， 轴， 又顶点A的坐标是，， ∴顶点D的坐标为， 故选C． 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，．若平分． (1)求证：； (2)若，求：的度数． 【答案】(1)见解析 (2)85度 【思路点拨】（1）由平行四边形的性质可得，，结合，可得，利用可证明结论； （2）证明，可得为等边三角形，得，结合与，可得的度数． 【规范解答】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线定义，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键． 考点讲练02：利用平行四边形的性质证明 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点； (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：垂直平分 ，①__________． 四边形是平行四边形， ，②__________． 在与中 ③__________． ， ． 通过进一步探究发现：经过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交将平行四边形分为两个四边形，这两个四边形的面积以及周长都④_________． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【思路点拨】本题考查了尺规作图－作线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据线段的垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的定义得，，由平行四边形的性质得，，然后根据证明，进而可得结论成立． 【规范解答】（1）解：如图， （2）证明：垂直平分 ，． 四边形是平行四边形， ，． 在与中 ． ， ． 【变式训练】（20-21九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)55° (2)见解析 【思路点拨】根据平行四边形的性质可得，根据平分可得，根据可得； 根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的定义可知，，得到，再根据平行四边形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证． 【规范解答】（1）解：四边形是平行四边形，， ， 又平分， 又四边形是平行四边形， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ∴， 又平分，平分， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；全等三角形的对应角相等、对应边相等． 考点讲练03：平行四边形性质的其他应用 【典例精讲】（23-24八年级下·天津滨海新·期中）作图题 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出； (2)线段的长为______的长为______ 【答案】(1)见解析 (2)， 【思路点拨】本题考查了作图，网格作平行四边行，平行四边形性质，勾股定理等知识． （1）根据平行四边形性质作图即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）， ， 故答案为：，． 【变式训练】（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)见详解 【思路点拨】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和． （1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可； （2）利用四边形内角和及邻补角的性质即可得到答案． 【规范解答】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2） , ． 考向二：平行四边形的判定 考点讲练04：求已知三点组成的平行四边形的个数 【典例精讲】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【答案】(1)结论：是直角三角形．见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图一应用于设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． （1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据平行四边形的判定作出图形即可． 【规范解答】（1）解：结论：是直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图点即为所求． 【变式训练】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，的长满足，过点B作直线的垂线，交于点D． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)求线段的长； (3)在平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【思路点拨】本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质，二次根式非负性． （1）根据绝对值、二次根式、平方的非负性分别求出的长度即可； （2）利用计算即可； （3）分别过三个顶点作对边平行线，平行线交点即为点P，再利用平移的性质求坐标即可． 【规范解答】（1）∵， ∴，，， ∴，，，（负值舍去）， ∴，，； （2）∵，，， ∴，， ∵， ∴ （3）分别过三个顶点作对边平行线，平行线交点即为点P，如图所示： 点向左平移10个单位长度到点，由平行四边形可得点向左平移10个单位长度到点， 同理，， ∴存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为或或． 考点讲练05：证明四边形是平行四边形 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和，证明见解析 (3)图见解析，的度数为或 【思路点拨】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得； （2）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （3）根据题意画出图形（见解析），先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【规范解答】（1）证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（三角形的中位线定理） 分别为的中点， ． ， 同理：， 四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （3）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 【变式训练】（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【规范解答】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 考点讲练06：全等三角形拼平行四边形问题 【典例精讲】（21-22八年级下·福建厦门·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可； （2）根据平行四边形的判定方法证明即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝， ∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明） 【考点评析】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接． 【变式训练】（2021·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【思路点拨】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【规范解答】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【考点评析】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 考点讲练07：利用平行四边形的判定与性质求解 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是判断出．根据平行线的性质得，由平分得，等量代换得，根据等腰三角形的性质得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论． 【规范解答】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在等边中，D，E，F分别是边上的动点，满足，且．作点E关于的对称点G，连接． (1)当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形是平行四边形； (2)如图2，当，时，写出线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)补图见解析，证明见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】（1）先补图，证明，则，由点E、G关于对称，可得，则，由，证明，进而结论得证； （2）如图2，作点E关于的对称点G，连接，，则，，同理（1），四边形是平行四边形，则，证明是等边三角形，则，由，可得，则，，由勾股定理得，，进而可得． 【规范解答】（1）解：补图如下图1；          图1 ∵等边， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵点E、G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，，          图2 ∴，， 同理（1），四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． 考点讲练08：利用平行四边形的判定与性质证明 【典例精讲】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，已知中，O是的中点，过点O作，交于点E，交于点F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先证明，，可得，可得，再进一步可得结论． 【规范解答】证明：∵点O为对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【思路点拨】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式变形求值可得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． （2）解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 考点讲练09：平行四边形判定与性质的应用 【典例精讲】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，是上一点，在线段上找一点，使；连接，作一点，使四边形为平行四边形； (2)在图2中作的垂直平分线，分别交，于，；将四边形沿翻折，点的对应点为点，画出翻折后的四边形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【思路点拨】本题考查作图轴对称变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图1中，连接，交于点，连接，延长交一点，连接，延长交网格线一点，连接，四边形即为所求； （2）取格点，作直线交于点，交一点，连接，取格点，连接，取格点，，连接交于点，连接，四边形即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示： 点，四边形即为所求； （2）解：如图所示： 直线，四边形即为所求． 【变式训练】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点为上一点，点为与网格线的交点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)先以，为边画平行四边形，再在边上画点，使； (2)先在上画点，使，再在边上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据平行四边形的定义画出图形，连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求； （2）连接交于点，连接，延长交于点，连接交于点，点即为所求（证明，推出、关于对称，再根据对称性解决问题）；取格点，，连接交于点，连接，点即为所求（利用直角三角形斜边上的中线定理解决问题）． 【规范解答】（1）解：如图，平行四边形和点即为所求；    （2）如图，点和点即为所求．    考点讲练10：与三角形中位线有关的求解问题 【典例精讲】．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解． 【规范解答】解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形的中位线定理，由三角形的中位线定理得：分别等于的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推可求出的周长． 【规范解答】解：∵点分别是的中点， ∴分别等于的， ∵分别为的中点， ∴分别为的， ∴以此类推：的周长为的周长的，即的周长的， ∴． 则故答案为：． 考点讲练11：与三角形中位线有关的证明 【典例精讲】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是． 【思路点拨】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由D，E，F，H分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）作于点G，因为，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再根据三角形中位线定理求得即可． 【规范解答】（1）证明：∵D，E，F，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：作于点G，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长是． 【变式训练】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知，如图1，中，，为的中位线，为边上一点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点． (1)求证：； (2)若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图2，延长交于点，若为2，求为何值时为直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)理由见解析 (3)的长为或 【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由等腰三角形的性质可得，由全等三角形的性质和平行线的性质可得，可证即可求解； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解 【规范解答】（1）证明：∵ ∵为的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴在和中， ∴ （2）解：理由如下， 连接 ∵，点E是的中点， ∵， ∵ ∴； （3）解：如图，设与的交点为 ∴ ∴当点Q与点N重合时，为直角三角形， ∴ ∵点D是的中点， ∴ ∴ 当时， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 综上，的长为或． 考点讲练12：三角形中位线的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【规范解答】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【考点评析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 【变式训练】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 【答案】(1) (2) 考向三：矩形 考点讲练13：利用矩形的性质证明 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方形中，为上一点，将沿翻折至与相交于点，且与相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查勾股定理与折叠问题，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）由折叠的性质得出，从而得到，然后可证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由，得出，从而得到，设，则，求出，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）证明：四边形是长方形， ． 由翻折的性质可知． 在和中， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 设， 则， ． 在中，根据勾股定理，得， ， 解得：， ． 【变式训练】（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，再证明，等量代换即可得出答案； （2）依题意补全图形，线段之间的数量关系是：．连接，先证明，再证明，进而得出，根据，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：线段，，之间的数量关系是：． 证明：连接，，． 在中，是的中点， ， ，， ， ，， ∵， ， ，， ， ， ， ． 考点讲练14：求矩形在坐标系中的坐标 【典例精讲】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标 【规范解答】解：过点作于点， 矩形的顶点的坐标分别为，点是的中点， 点 ，， ， 即点 点， 故选：A 【变式训练】（20-21七年级下·吉林四平·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间为t秒． （1）B点的坐标为___________，_________，___________（用含t的代数式表示线段与线段的长度） （2）当t为怎样的值时，的面积不小于的面积？ （3）的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t值，如果不可以请说明理由． 【答案】（1）B点的坐标为，；（2）当时，的面积不小于的面积；（3）的面积不可以等于36，理由见解析 【思路点拨】根据矩形的长和宽表示点B的坐标，根据速度和时间表示：，，可得结论； 根据的面积不小于的面积，列不等式，代入面积公式可得t的值，并根据已知确定t的取值范围； 先根据的面积为36，列方程解出t=8， 根据内即可得出结论． 【规范解答】解：（1）长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上， ∴AB=OC=6，OA=9， ∴B点的坐标为， ∵P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动， Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴OP=1.5t，CQ=t， ∴， 故答案为（9，6）；；； （2）∵， ， 若， 即， 解得， ∵点P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止， ∴， ∴， ∴当时，的面积不小于的面积； （3）的面积不可以等于36，理由如下：   ∵， 若， 则， ∵， ∴的面积不可以等于36． 【考点评析】本题是四边形的综合题，考查了三角形的面积求解，矩形的性质，点的坐标特点，图形动点运动问题，难度适中，准确利用动点表示出线段的长度是解题的关键． 考点讲练15：矩形与折叠问题 【典例精讲】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处，已知，，线段的长度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将沿折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处， ∴,由折叠可知：， ∴， 设，则， 在中，， ∴,解得， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，有一张矩形纸片，，对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，且折痕过点，得到折痕． (1)在图3中，________，________． (2)在图3中，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)若在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，则________． 【答案】(1)，5 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)或 【思路点拨】（1）根据折叠的性质，进行求解即可． （2）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （3）根据点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，分两种情况讨论，①当点落在上时，②如当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【规范解答】（1）解：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴， 由折叠可得：； 故答案为：，5； （2）解：为等边三角形； 理由如下： 由折叠可知：垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：解：①如图，当点落在上时， ∵为矩形的对称轴， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由折叠可知： ，，设，则：， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴ ②如图，当点落在上时 由（2）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴或（舍去）， 综上所述，的长为或； 故答案为：或． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 考点讲练16：斜边的中线等于斜边的一半 【典例精讲】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为． (1)出发后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？ (3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或或 【思路点拨】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，分类讨论的思想.解题的关键在于用时间表示相应的线段以及是否能利用等腰三角形进行分类讨论. （1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度； （2）用分别表示出和长度，由是直角三角形，分或，两种情况讨论即可； （3）用表示出长度，分三种情况讨论即可求出答案. 【规范解答】（1）解：当时，，. ， ， 如图，在中， 由勾股定理可得，； （2）解：∵中，，，， ∴， 由题意可知当点在边上运动时，，即， 设出发秒，是直角三角形，则或， ∵， ∴， 当时，如图，则， 此时，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：； 当时，点与点重合， 此时，， 综上，当点在边上运动时，出发秒或秒时，是直角三角形； （3）解：由（2）知， 当点在上运动时， ∵， ∴， ①当时，过作于点， 则， 在中，，可求得. 在中，由勾股定理可得，即， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当时， 则， 解得； ③当时，则， ， ， ， ，即， 解得； 综上，当点在边上运动时，使成为等腰三角形的的值为或或. 【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·开学考试）如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，正方形的面积计算公式，直角三角形面积的计算公式，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 先根据正方形的面积求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据勾股定理求出的长，然后即可求出直角三角形的面积． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 考点讲练17：矩形的判定定理理解 【典例精讲】（23-24八年级下·江西赣州·期中）从平行四边形和矩形的学习中我们可以知道，给一般四边形的线和角添加条件，会得到特殊的四边形．比如一般四边形添加“两组对边分别相等”的条件，可以得到平行四边形；平行四边形添加“对角线相等”的条件又可以得到矩形．类似的，小开在探究平行四边形折叠问题时观察到： (1)对任意，都可以在上取一点，将沿着连线折叠，使得点对应点落在对角线上如图①，由折叠可知，______；但为使点恰好与点重合，与要满足一个特殊的数量关系，请你直接写出这一数量关系． (2)当点恰好与点重合时，若平行四边形是矩形（），是一个特殊的角度，如图③，请你求出这个角度． (3)当点恰好与点重合时，如图②，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【思路点拨】（1）根据对称性及平行四边形对角线相互平分即可得到答案； （2）由（1）中结论，结合矩形对角线相等，且相互平分即可得到答案； （3）延长交于，连接，如图所示，利用平行四边形性质，结合三角形全等的判定与性质得到四边形是平行四边形，再由平行线性质及折叠性质得到是等腰三角形，恒等变形即可得到答案． 【规范解答】（1）解：有对称性质可知； ， 根据对称性知，则为使点恰好与点重合，即， 与要满足一个特殊的数量关系是； 故答案为：； （2）解：当点恰好与点重合时，由（1）知， 若平行四边形是矩形（），则， ，即， 为等边三角形，即； （3）证明：延长交于，连接，如图所示： 在中，，，则， 在和中， ， ，， 四边形是平行四边形， ，则，， 由折叠性质可知，，， ，即是等腰三角形， ，即． 【考点评析】本题考查四边形综合，涉及折叠性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠性质及相关几何判定与性质是解决问题的关键． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，为上任意一点． (1)如图①，只用无刻度的直尺在边上作出点，使直线平分平行四边形的面积； (2)如图②，用无刻度直尺和圆规作出矩形，使得点、、分别在边、、上（不写作法，只保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】 本题考查作图,平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识， （1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求作． （2）连接，交于点，连接，延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，延长交于点，连接，，，，四边形即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，点，四边形即为所求作． （2）如图，四边形即为所求作．    理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理：，可得， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 考点讲练18：根据矩形的性质与判定求角度 【典例精讲】（18-19九年级上·山东青岛·单元测试）如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路点拨】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得，再根据平行于同一直线的两直线平行可得，然后求出四边形是平行四边形，再求出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得，然后求出，根据等边对等角的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后整理即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：．理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【考点评析】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 考点讲练19：根据矩形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接． （1）当是的中点时，线段的长度是 ； （2）线段长度的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短； （1）连接，勾股定理求得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据，得出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，即可求解； （2）同（1）得出四边形为矩形，当时，取最小值，即最小，根据等面积法即可求解． 【规范解答】（1）连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形 ∴， 故答案为：． （2）如图，连接． ，， ． 在矩形中，， 四边形为矩形， ， 的最小值即的最小值． 当时，取最小值． 在中，． ， ，即线段长度的最小值是． 故答案为：． 【变式训练】．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处． (1)如图1，当点E恰好落在y轴时，连接，求的长度． (2)如图2，当点E恰好落在长方形的对角线上时，求点D的坐标． (3)如图3，当以O、C、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)27或 【思路点拨】（1）利用长方形的性质，求出点的坐标，得出的长，的长，再根据勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理得，设,则，由勾股定理得：，即，求出，即可求解； （3）①当时，，则的面积；②当时，利用勾股定理得：，求出，进而求解． 【规范解答】（1）解：∵点B的坐标为，且四边形是长方形， ∴点的坐标分别为， ∴，， 由折叠得，，，， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴中，， ∵四边形是长方形， ∴， ∵沿折叠， ∴， ∴， ∴， 设,则， ∵中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：过点E分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ①当时， ∵， ∴， 的面积； ②当时， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得：， 则， 的面积； 故的面积为27或． 【考点评析】本题考查的是长方形的性质、勾股定理的运用、面积的计算、坐标与图形，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 考点讲练20：根据矩形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是 ． 【答案】当时，四边形的面积总是矩形的面积一半 【思路点拨】本题主要考查了几何图形中的动点问题，矩形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，用表示出相应线段的长度是解题的关键．由题意可得：，，推出，，再分别求出矩形、、的面积，进而求出四边形的面积，即可得出答案． 【规范解答】解：由题意可知，，，， ，，，， ，， ， ， 当时，四边形的面积总是矩形的面积一半， 故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半． 【变式训练】．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【思路点拨】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． （1）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，构造等量关系，然后化简即可证得； （2）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明； （3）作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴． ∴， ∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 故答案为：，，； （2）证明：由图得，大正方形面积=， 整理得，， 即 ； （3）如图，过A作，过E作于F，交的延长线于D，则四边形是矩形，    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴． 考向四：菱形 考点讲练21：利用菱形的性质证明 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，在菱形中，分别是上的点，且，以为边作一个矩形； (2)图②是由小正方形组成的的网格，为内一点，画格点，连接，使得四边形为平行四边形，并在边上画点，使直线平分四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查无刻度直尺作图，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的性质等： （1）连接和，得到一交点，将E，F分别与该交点连接并延长，交于点G，交于点H，连接，，即可； （2）将点C向左平移4个单位长度，得到点D，连接，则得四边形为平行四边形；连接，与相交，得到一交点，将P与该交点连接并延长，交于点Q即可． 【规范解答】（1）解：矩形如答图①所示． （2）解：如答图②，点和点即为所求． 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：四边形是菱形，、分别是、上的点，且，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中一定是等腰三角形的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【思路点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定： （1）证明，即可得出结论； （2）根据菱形的性质，结合等腰三角形的定义，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，为等腰三角形， 由（1）知：， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 综上：图中一定是等腰三角形的有，，，． 考点讲练22：根据菱形的性质与判定求角度 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路点拨】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质成为解题的关键． （1）根据三角形中位线的性质可得、，即；再说明、，证得可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先证明平行四边形BEFC是菱形，再利用菱形的性质即可求解． 【规范解答】（1）证明：点D，E分别是边的中点， ，， ， ∵点O是边的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 平行四边形BEFC是菱形， ，， ． 考点讲练23：根据菱形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）在中，，点M在的延长线上，点N在的延长线上，平分，． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，连接，交于点O，过点D作，交于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与面积相等的4个三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【思路点拨】（1）根据等边对等角可推出，根据角平分线的定义可推出，再结合三角形外角的性质可得出，即推出，结合题意，即证明四边形是平行四边形； （2）首先证明平行四边形是菱形，然后证明是等边三角形，得到，再根据等底等高的三角形面积相等可得答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，四边形是平行四边形， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴、、、的面积都与的面积相等． 【考点评析】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质，平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等等知识．熟知特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【变式训练】（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，． ①求的面积； ②若直线上有一点F，当为等腰三角形时，直接写出线段为的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②线段的长为2或18或或5． 【思路点拨】（1）由题意可得，，，结合，得到，得，可证四边形是平行四边形，再由折叠可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得证； （2）①利用菱形的面积的两种求解方式：对角线乘积的一半，底×高，列出方程，，即可得到的高，再利用，求出面积；②分三种情况讨论，以E点为圆心，为半径画弧，与直线相交于、，即；以C点为圆心，为半径画弧，与直线相交于，即；，画出图形，分别求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点， ∴，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形， ∴ 设菱形边上的高为h， ∴菱形的面积为 即 解得 ∴； ②由① ∵平行四边形， ∴ 如图所示，以E点为圆心，为半径画弧，与直线相交于、， 当，此时为等腰三角形 ∴； 当，此时为等腰三角形 ∴； 如图所示，以C点为圆心，为半径画弧，与直线相交于， 当，此时为等腰三角形， 由①可知 ∴ ； 由①可知 ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴即B点，此时为等腰三角形， 则 综上所述：当为等腰三角形时，线段的长为2或18或或5． 【考点评析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的定义是解决问题的关键． 考点讲练24：根据菱形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，直线，直线与、交于A、B，在上取一点C，使，平分，交于点D，交于点，，交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后利用勾股定理求出的长，最后利用菱形的面积公式计算即可得． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形的面积为． 【变式训练】（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，点D，E，F分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点O．有下列四个结论： ①；   ② ③当时，点O到四边形四条边的距离相等； ④当时，点O到四边形四个顶点的距离相等． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理． ①根据三角形中位线定理即可解决问题； ②根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理，进而可以解决问题； ③证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题； ④证明四边形是平行四边形，进而可以解决问题． 【规范解答】 ①∵点D，E，F分别是的边，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴，故①错误； ②∵点D，E，F分别是的边，，的中点， ∴，，，，， ∴四边形和四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，是菱形两组对角的平分线， ∴点O到四边形四条边的距离相等，故③正确； ④∵，四边形是平行四边形， ∴点O到四边形四个顶点的距离不相等，故④错误． 综上所述：正确的是②③， 故选：C． 考向五：正方形 考点讲练25：正方形折叠问题 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【思路点拨】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【规范解答】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 【答案】(1)16 (2)6 【思路点拨】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理： （1）根据正方形的性质可得，据此可解； （2）由折叠的性质得，利用勾股定理解即可． 【规范解答】（1）解：正方形中，，， ， ； （2）解： 由（1）知， 点Q为的中点， ， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为6． 考点讲练26：求正方形折叠部分问题 【典例精讲】（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键． 【规范解答】∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（21-22八年级下·吉林长春·期末）有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________（用含的代数式表示）． (2)当秒时，求的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围． (4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或或或13 【思路点拨】（1）当点在上时，，当在的延长线时，； （2）当时，点在的右侧，此时的边长是3； （3）先根据临界确定两种情形：和，进而确定的边长，从而求得； （4）分为点在的右侧，在和之间及在左侧，设到距离是，距离是，列出二元一次方程组求得． 【规范解答】（1）解：当点在上时，， 当在的延长线时，， 故答案是或； （2）如图1， 作于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点和点重合时，点在上，此时， 当点和重合时，此时， 当点和和点重合时，此时， 当点在上时，此时， ∴当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图3， ∵， ∴，∴， 当时，如图4， 此时是五边形或三角形， ∴； （4）设点到的距离是，到的距离是， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， 此时， 当点在和之间时， 当时， ∵， ∴， 此时， 当时， ∵， ∴， 此时， 当点在的左侧时， ∵，， ∴， 此时， 综上所述：或或或13． 【考点评析】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，分类讨论等知识，解决问题的关键是正确分类，找出数量关系． 考点讲练27：根据正方形的性质证明 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，分别是四边形的边的中点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【思路点拨】本题考查了中点四边形，熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．先利用三角形中位线定理证出四边形是平行四边形，再对选项逐个分析判断即可得出结论． 【规范解答】解：分别是四边形的边的中点， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形； A、若，则，四边形为菱形，故此选项说法错误，不符合题意； B、若，则，四边形为矩形，故此选项说法错误，不符合题意； C、四边形一定是平行四边形，但与不一定互相平分，故此选项说法错误，不符合题意； D、若四边形是正方形，则，，从而有，且，即与互相垂直且相等，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】 （1）我们已经学习了平行四边形，菱形，矩形和正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_______； 【性质探究】 （2）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】（1）菱形，正方形；（2）73 【思路点拨】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）如答图，连接，设交于点．先证明，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论． 【规范解答】解：（1）∵菱形，正方形的对角线互相垂直 ∴菱形，正方形是垂美四边形； （2）四边形是垂美四边形， ， ． 由勾股定理，得， ， ； （3）如答图，连接，设交于点． ， ， 即． 在和中， ， ． ， ． ， ， ， 四边形是垂美四边形． 由（2）可知． ， 由勾股定理，得， ． 【考点评析】此题考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 考点讲练28：正方形的判定定理理解 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·期末）给出下列判断，正确的是（  ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一条对角线平分一组对角的平行四边形为菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论． 【规范解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意； B、有一条对角线平分一组对角的平行四边形为菱形，正确，故符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·湖南邵阳·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． 备用图 (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)能， (2)不能，理由见解析 【思路点拨】（1）由已知条件可得中，即可知，然后问题可求证； （2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可知； （3）四边形不为正方形，若该四边形是正方形即，即，此时，根据求得的值，继而可得，可得答案． 【规范解答】（1）四边形能够成为菱形，理由如下： ∵中，，， ． 在中，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即，解得：， 即当时，四边形是菱形； （2）四边形不能为正方形，理由如下： 当时，． ， ， ， ， 时， 但， 四边形不可能为正方形． 【考点评析】本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 考点讲练29：根据正方形的判定与性质求角度 【典例精讲】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论； （2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【考点评析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【变式训练】（20-21九年级下·湖北武汉·自主招生）如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则 ．    【答案】 【思路点拨】先根据折叠的性质得到，继而得出，再由折叠的性质即可得到的度数． 【规范解答】解：如图，    ∵以点所在直线为折痕，折叠纸片，使点落在上的点，折痕与交于点， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 由再一次折叠，得 ． ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 考点讲练30：根据正方形的判定与性质求线段长 【典例精讲】（2023·河南南阳·一模）综合与实践，数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动．如图1．已知矩形纸片，其中． (1)操作判断 将矩形纸片按图1折叠，使点B落在边上的点E处，可得到一个的角，请你写出一个的角， (2)探究发现 将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点M，将沿折叠得到，延长交于点N，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 (3)拓展应用 改变图2中点M的位置，令点M为射线上一动点，按照(2)中方式将沿折叠得到，所在直线交于点N，若点N为的三分点，请直接写出此时的长， 【答案】(1) (或) (2)是定值；17 (3)或 【思路点拨】（1）利用矩形的性质和折叠的性质证明四边形是正方形，然后利用正方形的性质即可得出结论； （2）周长为定值．连结，先证明四边形是矩形，可得，，由折叠性质并结合为的中点可得到，，，然后证明可得到，最后计算可知是一常数，结论得证； （3）分两种情况计算：①当点为的三分点且靠近点时，②当点为的三分点且靠近点时，利用勾股定理和折叠的性质即可得出结论． 【规范解答】（1）解： 四边形是矩形， ， 将矩形纸片按图1折叠，使点落在边上的点处， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 的角有（或或或； （2）解：是定值，理由如下： 连结，如图2， 四边形是矩形，，，，， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠性质得：，，， 为的中点， ， ， 在与中， ， ∴， ， ∴ ， 的周长为； （3）解：①如图3，当点为的三分点且靠近点时，连接， ， ， 在中，， ； ②如图4，当点为的三分点且靠近点时，连接， ， 在中，， ； 综上所述，的长为或． 【考点评析】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，点A是射线上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，设运动时间为，其中． (1)当与全等时，求t的值； (2)四边形的面积为　　． 【答案】(1)的值为 (2) 【思路点拨】（1）根据题意得，，根据三角形全等的判定方法，只有当为等腰直角三角形时，与全等，所以，即，然后解方程即可； （2）利用得到，，则可判断四边形为正方形，所以，即，于是可求出，然后利用四边形的面积进行计算． 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质与判定，正方形的性质与判定：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰直角三角形． 【规范解答】（1）解：根据题意得，， 为等腰直角三角形， 而为公共边， 当为等腰直角三角形时，与全等， ， 即，解得， 即的值为； （2）解：过点作于，于，如图， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，过点作于，于， ∴四边形为矩形， ∵， 四边形为正方形， ， ， 即， ， 四边形的面积． 故答案为． 考点讲练31：根据正方形的判定与性质求面积 【典例精讲】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）综合与探究：如图1，四边形中，分别是的中点，顺次连接． （图1）                               （备用图） (1)如图1，在四边形内一点，使，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，证明得到，再由三角形中位线定理得到，则，据此可证明四边形是菱形； （2）由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，由三角形中位线定理得到，则，可证明四边形是正方形，则． 【规范解答】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，设交于O，交于T， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质与判定，菱形的判定，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，熟知三角形中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键． 【变式训练】（23-24八年级下·广东广州·期末）2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，中空的部分是四边形，连接，相交于点，与相交于点，若，且大正方形边长为，则四边形的面积为（     ）      A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 记和交于点，根据正方形的性质，利用证明，利用证明，设，结合勾股定理推出，根据大正方形边长为，得出，求出，即为四边形的面积． 【规范解答】解：如图，记和交于点，    ∵四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形， ∴，，，， ∴， ，即， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵大正方形边长为， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 考点讲练32：根据正方形的判定与性质证明 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图2，在中，，高，，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【思路点拨】（1）过A点作于G，利用角平分线定义求出，可得，，得再证明四边形是矩形．得，得； （2）根据角平分线性质得，，即得． （3）根据（1）（2）小题结论得四边形是正方形，得，根据全等三角形得，设，，根据，得，解得，即得； （4）把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N，可得四边形是正方形，得，得，，根据，即得． 【规范解答】（1）证明：过A点作于G， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是两个外角的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；    （2）解：过A点作于G， ∵分别是两个外角的平分线，，， ∴， ∴；    （3）解：∵， ∴， 由（1）（2）知，四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴；    （4）解：把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N， ∴，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴中，， ∴．    【考点评析】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握角平分线定义和性质．全等三角形的判定和性质，矩形和正方形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，作辅助线，是解题关键． 【变式训练】（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 (1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)①矩形还是正方形，理由见解析；② 【思路点拨】本题考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键． （1）利用正方形性质得出，，证明，得出，由正方形判定定理解答即可； （2）①过点作，，垂足分别为，利用（1）中方法解答即可； ②求出，过点作于点，由勾股定理可得出答案． 【规范解答】（1）解： 四边形是正方形， ，平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）①矩形还是正方形，理由如下： 如图，过点作，，垂足分别为， ， 四边形是正方形， ，平分， ，， ， ， ， 矩形是正方形． ②四边形是正方形， ， ， ， 过点作于点，则是等腰直角三角形 ， ，， ， ， ． 考点讲练33：中点四边形 【典例精讲】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【思路点拨】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故不正确的选项是D， 故选：D． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等线四边形”． 如图1，四边形为“等线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； 【答案】(1)②③ (2) (3) 【思路点拨】本题考查了四边形综合问题，新定义问题，勾股定理，含角直角三角形的性质，平行四边的性质与判定，中点四边形性质，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）根据定义即可求解． （2）证明四边形是平行四边形，根据即可求解； （3）先构造平行四边形，可得对应线段相等，再求出，构造直角三角形求出，即可得出答案； 【规范解答】（1）解：对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等， 则不能判①是“等线四边形”； ②对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为，故②是“等线四边形”； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“等线四边形”． 故答案为：②③； （2）解：是等边三角形 ，， ， 四边形是平行四边形 中， 即； （3）解：如图，过作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 过点C作，交于点H， ∵， ∴． ∴， 在中，设，则， ∴， ∴ 则 ∴ 考点讲练34：利用（特殊）平行四边形的特殊性求阴影部分面积 【典例精讲】（17-18八年级下·河南·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． （1）填空：32___________奇特数，2018_________奇特数．（填“是”或者“不是”） （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】（1）是；不是；（2）是，理由详见解析；（2）81608 【思路点拨】（1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用平方差公式计算，即可得到；两个连续奇数构造的奇特数是的倍数； （3）利用阴影部分面积为，进而求得答案即可． 【规范解答】解：（1）∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； （2）结论：两个连续奇数构造的奇特数是的倍数 理由：∵ ∴两个连续奇数构造的奇特数是的倍数； （3） 【考点评析】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式：，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． 【变式训练】（20-21八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【规范解答】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【考点评析】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 考点讲练35：（特殊）平行四边形的动点问题 【典例精讲】（22-23八年级下·云南红河·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C出发，以的速度向点B运动．点P与点Q同时出发．设运动时间为． (1)用含t的代数式表示：______；______；______；______； (2)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？ (3)从点P，Q运动开始，经过多长时间以点A，B，Q，P为顶点的四边形是矩形？ 【答案】(1)；；； (2)经过，四边形是平行四边形 (3)经过，四边形是矩形 【思路点拨】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据运动时间乘以速度等于运动路径求解即可； （2）根据，构建方程求解即可； （3）根据，构建方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：，， ∵，， ∴，， 故答案为：；；；； （2）解：当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得． ∴时，四边形是平行四边形． （3）解：当时，四边形是矩形， ∴ 解得， ∴时，四边形是矩形． 【变式训练】（23-24八年级下·河北唐山·期末）在矩形中，，，分别是，中点，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外），说明理由． (2)若四边形为矩形，t的值为 ； (3)若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则t的值为 ． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)四边形为矩形时或 (3)当时，四边形为菱形 【思路点拨】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， 四边形是矩形， ∴，， ， ，分别是，中点， ，， ， ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， ①如图1，当四边形是矩形时， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， ，， ， ； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于， 四边形为菱形， ，，， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ，即， 当时，四边形为菱形． 【考点评析】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 考点讲练36：四边形的点断最值问题 【典例精讲】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键．由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是． 故选：C． 【变式训练】（22-23八年级下·吉林长春·期末）【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【思路点拨】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【规范解答】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 考点讲练37：四边形其他综合问题 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·期中）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． (1)如图1，在8×5的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个，点A、B、C均在格点上，请在网格图中找出2个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是和谐四边形，并画出相应的四边形． (2)如图2，在四边形中，，，，平分．试说明：是四边形的和谐线； (3)已知，在四边形中，，，是四边形的和谐线，直接写出的长_____． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)或 【思路点拨】（1）根据和谐四边形的定义，作出图形即可； （2）证明即可； （3）首先根据题意画出图形，然后由是四边形的和谐线，可以得出是等腰三角形，从图3，图4两种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和的直角三角形性质就可以得出结论． 【规范解答】（1）解：∵若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形， ∴作图如下： （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是四边形的和谐线； （3）解：如图3，4 ∵是四边形的和谐线， ∴是等腰三角形， ∵， 如图3，当时， ∴，， ∴是正三角形， ∴， ∵， ∴， 过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，当时，， 当时，∵是四边形的和谐线， ∴， ∴综上所述，满足条件的的长为或， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查作图一应用与设计，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解和谐四边形的定义，属于中考常考题型． 【变式训练】（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②12； (2)①当时，四边形是正方形；②不发生变化，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查平行四边形性质，全等三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识； （1）①由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再证，可得，即可得结论； ②由全等三角形的性质和矩形的性质可得，由勾股定理可求的长，可求，即可求解； （2）①由题意可证四边形是矩形．由正方形的性质可得，可得，可得，即可求解； ②由，可得结论． 【规范解答】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②在矩形中，， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴四边形的周长； （2）①∵， ∴． ∵． ∴． ∴四边形是矩形． 要使四边形是正方形，必须． ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积不发生变化， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， 即点E在边上的运动过程中，四边形的面积为定值20． 基础夯实真题练 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，点A正好落在上的点F，若的周长为8，的周长为22，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题；由平行四边形可得对边相等，由折叠，可得，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得的长，本题可解． 【规范解答】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质得， ∵的周长为8，的周长为22， ∴，， ∴， 解得． 故选：C． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，若的顶点A，C，D的坐标分别是，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，平移的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 由平行四边形的性质可得，再由平移的性质可求解． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴向点的平移方向与距离与点向的平移方向与距离一样， ∵A，C，D的坐标分别是， ∴由平移的性质得到 故选：D． 3．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平行四边形中，平分交边于点，，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查平行四边形的性质和角平分线的性质，根据平行四边形的性质求得，结合角平分的性质求得，进一步利用平行四边形的性质求得即可． 【规范解答】解：，， 平分， ． ， ． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河北张家口·期中）已知：如图，平面直角坐标系中，正方形的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动，顶点B、C都在第一象限，且对角线、相交于点P，则在点A、D运动的过程中，点P到y轴的距离的最大值是 ．              【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握正方形的性质，求出为定值．根据正方形的边长一定，得出的长度一定，从而得出当轴时，点到轴的距离最大，为的长度，即可得解． 【规范解答】解：∵四边形为正方形，且边长为4， ∴， ∴的长度为定值， ∴当轴时，点到轴的距离最大，且最大距离为的值， 即点P到y轴的距离的最大值为， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图所示，四边形是正方形，M是延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与的平分线相交于点F． (1)如图1，当点E在边的中点位置时，若，连接点E与边的中点N，请猜想与的数量关系，并加以证明． (2)如图2，当点E在边上的任意位置时，猜想此时与有怎样的数量关系并证明你的猜想． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【思路点拨】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证． （1）取的中点，连接，，证出即可得出答案； （2）在边上截取，连接，证出即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， 证明如下:如图，取的中点，连接， ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵分别为中点 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， 又∵，平分 ∴． ∴ ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴， ∴ （2）， 证明：如图，在边上截取，连接， ∵四边形是正方形， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴， ∵平分， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴， ∴． 6．（24-25九年级上·湖北·期末）在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，如果，求的长； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于点，探究的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；理由见解析 【思路点拨】（1）证明，可得结论； （2）由，，并由（1）得，可知，求出和的长，可知的长．又因，，可得是等边三角形，可得出的长； （3）如图，连接．可得是等腰直角三角形，从而得出．由（1）得：，则也是等腰直角三角形．根据折叠的性质，四边形是正方形，可得．则是等腰三角形．可得，据三角形内角和为，可求出，则，，可知．设，则，． ． 【规范解答】（1）证明：，，， ． 在与中， ， ． ． （2）解：在中， ，， ，，． 由（1）得：． ，． ． ， ，． ． ，， 是等边三角形， ． （3）解：如图，连接． ，， 是等腰直角三角形． ． ， ． 由（1）得：， 也是等腰直角三角形． 根据折叠的性质，四边形是正方形， ． 是等腰三角形． ． ， ． ，， ． 设，则，． ． ． ． 【考点评析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，分母有理化等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 培优拔尖真题练 7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在一张矩形纸片中，，，点E、F分别在，上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点H与点A重合时，． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】①先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后求出只有时平分，判断出②错误；③点H与点A重合时，设，则，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，点G与点A重合时，，求出，然后写出的取值范围，判断出③正确；④过点F作于M，求出，再利用勾股定理列式求解得到，判断出④正确． 【规范解答】解：①∵， ∴， ∵将纸片沿直线折叠，点C落在边上的一点H处， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； ②∴， ∴只有时平分，故②错误； ③若点H与点A重合时，如图： 设，则， 在中，， 即， 解得：， 若点E与点D重合时，， ∴， ∴线段的取值范围为，故③错误； ④当点H与点A重合时，过点F作于M， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，，故④正确； 综上所述，结论正确的有①③④共3个． 故选：C． 【考点评析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠问题，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图，，是菱形的对角线，，是上两点，且，连接，，，，添加一个条件使四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了菱形的性质和判定，正方形的判定，由菱形的性质可得 ，进而可得，即可得四边形是菱形，再根据正方形的判定可知要使菱形为正方形，只需证明或即可，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：在菱形中，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 要使菱形为正方形，只需证明或即可， 当时，， 故选：． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 【规范解答】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的横坐标为 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查了矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质，当时，当时，当时分类讨论，正确分类讨论是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作于点， （1）当时，，， 易得， ∴； （2）当时， ，， 易得，从而或， ∴或； （3）当时，， 此时腰长为：，故这种情况不合题意，舍去． 综上，满足题意的点的坐标为， ， ， ∴点的横坐标为 或或． 故答案为： 或或． 11．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）图中是一副三角板，的三角板的直角顶点恰好在的三角板斜边上，，，，交于点，于．    (1)如图1，当经过点时，且，作于，求证：①是的中点，②； (2)如图2，当时，交于，作于，若是中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质与判定、等边三角形的有关性质，矩形的判定和性质．证明是解题的关键． （1）①先证出是等边三角形，可得，再证明，可得，得出，即可得结论；②先证得，再由三线合一性质可得，所以可证出； （2）先证，在此基础上再证，从而得出． 【规范解答】（1）证明：①， ， ， 是等边三角形． ， ， ， ， ， ， 是的中点； ②， ， ， ， ， ， 是等边三角形．， ． ， ； （2）证明：如图，   ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 又，， ， ， ，     ． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期末）在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰中，，且，则点为等腰的“双合点”． (1)如图2，在等腰中，，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点”（保留作图痕迹）； (2)在等腰中，， ①如图3，当“双合点”恰好在边上时，且满足，求度数；②当“双合点”在边的延长线上时，则___________； (3)如图4，在等腰中，，，为内一点，连接，，当时，求证：点为等腰的“双合点”． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)见解析 【思路点拨】（1）作的垂直平分线，以点C为圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点P，P即为所求作 （2）①根据已知得，，，根据，，得，即得②根据已知得，，，根据，得，得，即得； （3）将沿翻折，得，得四边形是正方形，根据，得，得，得，得，可得是等边三角形，证明，得，即得点为等腰的“双合点”． 【规范解答】（1）如图，点P即是 （2）解：①∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，∴， ②∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：将沿翻折，得， 则， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为等腰的“双合点”． 【考点评析】本题主要考查发新定义——等腰三角形的“双合点”．熟练掌握新定义，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，正方形判定和性质，等边三角形判定和性质，是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$