第16章 二次根式（思维导图+知识梳理+19大考点讲练+优选真题难度分层练 共58题）-2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练测

2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第16章 二次根式 （思维导图+知识梳理+19大考点讲练+优选真题难度分层练 共58题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：二次根式的定义 3 知识点梳理02：二次根式的主要性质 3 知识点梳理03：最简二次根式 3 重点知识考点讲练 3 考向一：二次根式 3 考点讲练01：求二次根式的值 3 考点讲练02：求二次根式中的参数 4 考点讲练03：二次根式有意义的条件 4 考点讲练04：利用二次根式的性质化简 4 考点讲练05：复合二次根式的化简 5 考向二：二次根式的乘除 6 考点讲练06：二次根式的乘法 6 考点讲练07：二次根式的除法 6 考点讲练08：二次根式的乘除混合运算 7 考点讲练09：最简二次根式的判断 8 考点讲练10：化为最简二次根式 8 考点讲练11：已知最简二次根式求参数 9 考向三：二次根式的加减 9 考点讲练12：同类二次根式 9 考点讲练13：二次根式的加减运算 10 考点讲练14：二次根式的混合运算 11 考点讲练15：分母有理化 12 考点讲练16：已知字母的值，化简求值 13 考点讲练17：已知条件式，化简求值 13 考点讲练18：比较二次根式的大小 15 考点讲练19：二次根式的应用 15 优选真题难度分层练 17 基础夯实真题练 17 培优拔尖真题练 18 同学你好，本套讲义针对2025新学年课本内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，精选常考，易错，压轴类题型。解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二次根式的定义 形如的代数式叫二次根式 （1） 式子中含有二次根号“”； （2） 可以表示数也可以表示代数式 （3） 二次根式表示非负数的算术平方根，，即二次根式的两个非负性 知识点梳理02：二次根式的主要性质 （1） （2） （3） （4） 二次根式的性质是根式化简的依据。 知识点梳理03：最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。 最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 考向一：二次根式 考点讲练01：求二次根式的值 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练】（21-22八年级下·安徽安庆·阶段练习）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是 ，数的位置为有序数对 ．    考点讲练02：求二次根式中的参数 【典例精讲】（22-23八年级下·山东临沂·阶段练习）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中、满足． 考点讲练03：二次根式有意义的条件 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若、均为实数，且，求的平方根 . 考点讲练04：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）计算：． 【变式训练】（21-22八年级下·广东江门·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示． 化简 ． 考点讲练05：复合二次根式的化简 【典例精讲】（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 考向二：二次根式的乘除 考点讲练06：二次根式的乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）解决下列问题： (1)计算：； (2)在实数范围内分解因式：． 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) 考点讲练07：二次根式的除法 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）计算：． 考点讲练08：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 考点讲练09：最简二次根式的判断 【典例精讲】（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1) ； (2)； (3)． 考点讲练10：化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)和关于x轴对称，请在坐标系中画出； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使得有最小值，并保留找该点的痕迹，求出的最小值． 考点讲练11：已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【变式训练】（19-20八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 考向三：二次根式的加减 考点讲练12：同类二次根式 【典例精讲】（24-25九年级上·山西·阶段练习）小明和小亮暑期在家做数学运算游戏，他们在一个密闭不透明的盒子里放入四张大小一样，颜色分别为白色、灰色的圆形卡片，在卡片上分别标有如图所示的数．他们要从盒子中分别摸出卡片，并制定了如下规定：若摸到白色卡片，则加上卡片上的数：若摸到灰色卡片，则减去卡片上的数． (1)（1）若小明摸到如下两张卡片，请计算出结果． （2）若小亮摸出全部的四张卡片，计算结果为x，小明认为x的值与属于同类二次根式，你认为小明的说法对吗？并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点讲练13：二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级下·山西阳泉·开学考试）（1）计算： ①； ②． （2） 解分式方程：． 【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 考点讲练14：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·河南信阳·期末） （1） 先化简，再求值：，其中． （2） 已知，，求 （3） 计算：； （4）计算：． 【变式训练】（23-24八年级下·四川泸州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明进行了以下探索； 设（其中a、b、m、n均为整数），则有，∴，．这样，小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)请你利用探索结论，找出一组正整数a、b、m、n，填空：_____+_____=（_____+____； (2)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得_______， _______； (3)若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 考点讲练15：分母有理化 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）计算： (1) (2) 【变式训练】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）爱思考的嘉淇在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即 ∴ ∴ 请你根据嘉淇的分析过程，解决如下问题 (1)计算 (2)已知，求的值． 考点讲练16：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 考点讲练17：已知条件式，化简求值 【典例精讲】（23-24八年级上·山东济南·期中）科华数学之星在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解决的： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1) ， ． (2)化简：． (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （3） 已知实数满足，求的值． 考点讲练18：比较二次根式的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 【变式训练】．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 考点讲练19：二次根式的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·福建福州·期末）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的材料，解决下面的问题． 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积． 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积． (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． 基础夯实真题练 1．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）下列各式中，为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则有（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山西阳泉·开学考试）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）用表示不超过x的最大整数．例如：，，把作为x的小数部分．已知，m的小数部分是a，的小数部分是b，则的值为 ． 6．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）已知，，则代数式的值等于 ． 7．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）若，求 ． 8．（23-24八年级下·四川泸州·期中）计算：． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 培优拔尖真题练 11．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图， 为等边三角形， 且，点D是边上一动点， 点E为边上一动点， 若沿着直线翻折后， 点A始终落在边上．若， 则满足条件的a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 16．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 17．（24-25八年级下·湖南株洲·开学考试）计算： 18．（2025八年级下·全国·专题练习）是否存在这样的整数x，使它同时满足以下两个条件： 条件一： ； 条件二：的值是有理数． 若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 19．（2025八年级下·全国·专题练习）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：；； ． 以上这种化简的过程叫做分母有理化． (1)化简：； (2)化简；； (3)化简：． 20．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第16章 二次根式 （思维导图+知识梳理+19大考点讲练+优选真题难度分层练 共58题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：二次根式的定义 3 知识点梳理02：二次根式的主要性质 3 知识点梳理03：最简二次根式 3 重点知识考点讲练 3 考向一：二次根式 3 考点讲练01：求二次根式的值 3 考点讲练02：求二次根式中的参数 5 考点讲练03：二次根式有意义的条件 6 考点讲练04：利用二次根式的性质化简 7 考点讲练05：复合二次根式的化简 8 考向二：二次根式的乘除 10 考点讲练06：二次根式的乘法 10 考点讲练07：二次根式的除法 11 考点讲练08：二次根式的乘除混合运算 12 考点讲练09：最简二次根式的判断 15 考点讲练10：化为最简二次根式 16 考点讲练11：已知最简二次根式求参数 18 考向三：二次根式的加减 19 考点讲练12：同类二次根式 19 考点讲练13：二次根式的加减运算 21 考点讲练14：二次根式的混合运算 22 考点讲练15：分母有理化 25 考点讲练16：已知字母的值，化简求值 27 考点讲练17：已知条件式，化简求值 28 考点讲练18：比较二次根式的大小 31 考点讲练19：二次根式的应用 32 优选真题难度分层练 35 基础夯实真题练 35 培优拔尖真题练 40 同学你好，本套讲义针对2025新学年课本内容制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，精选常考，易错，压轴类题型。解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：二次根式的定义 形如的代数式叫二次根式 （1） 式子中含有二次根号“”； （2） 可以表示数也可以表示代数式 （3） 二次根式表示非负数的算术平方根，，即二次根式的两个非负性 知识点梳理02：二次根式的主要性质 （1） （2） （3） （4） 二次根式的性质是根式化简的依据。 知识点梳理03：最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。 最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 考向一：二次根式 考点讲练01：求二次根式的值 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【规范解答】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 【变式训练】（21-22八年级下·安徽安庆·阶段练习）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是 ，数的位置为有序数对 ．    【答案】 【思路点拨】根据题意，找出题目的规律，中含有4个数，中含有9个数，中含有16个数，……，中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，偶数列是从上至下开始，然后根据这个规律即可得出答案． 【规范解答】解：根据题意，如图：    ∴有序数对的数是； 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，奇数列是从下至上， ∵，， ∴是第9列的第8个数； ∴数位置为有序数对是． 故答案为：；． 【考点评析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题． 考点讲练02：求二次根式中的参数 【典例精讲】（22-23八年级下·山东临沂·阶段练习）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】先根据二次根式性质将化简成，再根据是整数，需要让能开方为整数，即可求出的最小值． 【规范解答】解：， 是整数， 是整数， 正整数的最小值是， 故选：． 【考点评析】本题考查了二次根式的定义，正确分解因式是解答本题的关键． 【变式训练】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】，28 【思路点拨】先将原式化简，再对进行变形，根据非负数的性质求出a和b的值，代入化简后的式子求解即可． 【规范解答】解：原式 由变形可得， ∴，， 解得，， 当，时，原式． 【考点评析】本题考查了整式乘法的化简求值、平方差公式、完全平方公式，二次根式的非负性，对原式进行正确化简是解题的关键． 考点讲练03：二次根式有意义的条件 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件、代数式的求值等知识，根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【规范解答】解：由可知，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【变式训练】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若、均为实数，且，求的平方根 . 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件以及平方根，根据被开方数是非负数可求x，进一步求出y,再代入计算即可求出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵4的平方根是 ∴的平方根为． 考点讲练04：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数运算，先进行零次幂、绝对值、二次根式化简、负指数幂运算，再进行加减运算，即可求解；掌握（），（）是解题的关键． 【规范解答】解：原式 ． 【变式训练】（21-22八年级下·广东江门·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示． 化简 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用绝对值和二次根式的性质进行化简，掌握性质是解题的关键．由数轴可得，，根据进行化简即可． 【规范解答】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 考点讲练05：复合二次根式的化简 【典例精讲】（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【规范解答】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【规范解答】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 考向二：二次根式的乘除 考点讲练06：二次根式的乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）解决下列问题： (1)计算：； (2)在实数范围内分解因式：． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法及在实数范围内因式分解，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）先运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：原式， ， ； （2）解： 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法运算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法法则求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点讲练07：二次根式的除法 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （2）先逆用二次根式相乘法则，把写成，进行约分即可； （3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （4）根据二次根式的除法法则：系数相除，根指数不变，被开方数相除进行计算． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，先计算二次根式的除法、绝对值、负整数指数幂，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解： ． 考点讲练08：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)15 【思路点拨】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法则计算可得； （2）先化简二次根式，再先后计算乘除法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） . 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 考点讲练09：最简二次根式的判断 【典例精讲】（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了最简二次根式，利用二次根式性质化简，根据最简二次根式的性质逐项化简判断即可． 【规范解答】解：A、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； B、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； C、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； D、为最简二次根式，符合题意， 故选：D． 【变式训练】（22-23八年级·上海·假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 【思路点拨】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【考点评析】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 考点讲练10：化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可． 【规范解答】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意； C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)和关于x轴对称，请在坐标系中画出； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使得有最小值，并保留找该点的痕迹，求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为2 (3)图见解析，的最小值为 【思路点拨】此题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、求三角形面积以及最短路径问题． （1）首先确定三点关于轴对称的对称点位置，再顺次连接即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）连接，交轴于点，然后利用勾股定理计算可获得答案． 【规范解答】（1）解：如图所示； ； （2）解：的面积为：； （3）解：连接，交轴于点， 此时长度最小， 最小值为． 故答案为：． 考点讲练11：已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【思路点拨】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【规范解答】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【考点评析】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 【变式训练】（19-20八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【思路点拨】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【规范解答】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【考点评析】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 考向三：二次根式的加减 考点讲练12：同类二次根式 【典例精讲】（24-25九年级上·山西·阶段练习）小明和小亮暑期在家做数学运算游戏，他们在一个密闭不透明的盒子里放入四张大小一样，颜色分别为白色、灰色的圆形卡片，在卡片上分别标有如图所示的数．他们要从盒子中分别摸出卡片，并制定了如下规定：若摸到白色卡片，则加上卡片上的数：若摸到灰色卡片，则减去卡片上的数． (1)（1）若小明摸到如下两张卡片，请计算出结果． （2）若小亮摸出全部的四张卡片，计算结果为x，小明认为x的值与属于同类二次根式，你认为小明的说法对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)小明的说法对，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的计算法则进行计算即可； （2）四张卡片均与是同类二次根式，只需判断与是否是同类二次根式即可得到答案． 【规范解答】（1）解：依题意，得； （2）解：小明的说法对． 理由：依题意，得． ， 与是同类二次根式， x的值与属于同类二次根式， 故小明的说法对． 【变式训练】（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【思路点拨】本题考查了同类二次根式，将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【规范解答】解：、与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵，， ∴与是同类二次根式，该选项符合题意； 、∵，， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 故选：． 考点讲练13：二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级下·山西阳泉·开学考试）（1）计算： ①； ②． （2）解分式方程：． 【答案】（1）①；②；（2）原分式方程无解 【思路点拨】本题考查二次根式的加减运算、分式方程，平方差公式，熟练计算是解题的关键． （1）①根据二次根式的加减运算法则即可求出答案； ②利用平方差公式即可解答； （3）根据分式的除法运算以及加减运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案． 【规范解答】（1）解：①原式 ②原式 ． （2）解：方程左右两边同乘可得： ， 得：， 经检验，当时，， ∴原分式方程无解． 【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了零次幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，分式的加减运算． （1）先计算乘方、负整数指数幂、零次幂，再计算有理数的加减即可； （2）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （3）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （4）先把两个分式通分，然后根据同分母的分式相减，再进行约分即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点讲练14：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·河南信阳·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求 （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1），；（2）5；（3）；（4） 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式的变形求值，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）把括号里通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把化简后的x的值代入计算； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （4）先根据乘法公式计算，再算加减． 【规范解答】解：（1） ， 当时， 原式； （2）∵，， ∴； （3） ； （4） ． 【变式训练】（23-24八年级下·四川泸州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明进行了以下探索； 设（其中a、b、m、n均为整数），则有，∴，．这样，小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)请你利用探索结论，找出一组正整数a、b、m、n，填空：_____+_____=（_____+____； (2)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得_______， _______； (3)若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】(1)9，4，1，2（答案不唯一） (2)， (3)a为49或16或19． 【思路点拨】本题考查了二次根式的计算，完全平方式的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键． （1）根据题意，，，找到一组正整数使成立即可； （2）仿照示例，把展开，即可得到，； （3）根据题意，得到，结合a、b、m、n均为正整数，从而得到a的值． 【规范解答】（1）解：∵当，时，则，， ∴， ∴这一组正整数，，，， 故答案为：9，4，1，2（答案不唯一）； （2）解：∵， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵a、b、m、n均为正整数， ∴，时，， ，时，， m=4，时，， 综上，a为49或16或19． 考点讲练15：分母有理化 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）利用负整数指数幂公式，绝对值的化简，二次根式的乘法解答即可． （2）利用二次根式的混合运算解答即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【考点评析】本题考查了负整数指数幂公式，绝对值的化简，二次根式的乘法，分母有理化，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【变式训练】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）爱思考的嘉淇在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即 ∴ ∴ 请你根据嘉淇的分析过程，解决如下问题 (1)计算 (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，变形各式后利用整体代入的思想是解决本题的关键． （1）将原式分母有理化即可求解； （2）将分母有理化得，移项并平方得到，变形后代入求值． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 考点讲练16：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值． 【答案】95 【思路点拨】本题主要考查了分母有理化、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 通过分母有理化可得、，进而得到，然后将原式化为，最后整体代入计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【思路点拨】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【规范解答】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 考点讲练17：已知条件式，化简求值 【典例精讲】（23-24八年级上·山东济南·期中）科华数学之星在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解决的： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1) ， ． (2)化简：． (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）根据小明的分析过程，得，可求出代数式的值． 【规范解答】（1）解：， ． 故答案为：，． （2）原式． （3）∵， ． ，． ． 原式． 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【规范解答】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点讲练18：比较二次根式的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的加减运算，绝对值，二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可； （3）根据（2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【规范解答】解：（1）； 故答案为：， （2）．； 故答案为：， （3）原式 ． 【变式训练】．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了二次根式的混运算； （1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解； （2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解； （3）比较两数的倒数的大小，即可求解． 【规范解答】（1）解： ； 故答案为： ，； （2） ； （3）理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 考点讲练19：二次根式的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·福建福州·期末）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能截出 【思路点拨】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板和宽进行比较，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵木板C为正方形，且面积为， ∴木板C的边长为：， 故答案为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：不能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，但 不能截出． 【变式训练】（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的材料，解决下面的问题． 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积． 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积． (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算． （1）把的长代入公式求出，即可得解； （2）把的长代入公式求出，即可得解． 【规范解答】（1）解：， ． 答：这个三角形的面积等于． 故答案为：． （2）解： ． 答：这个三角形的面积是． 基础夯实真题练 1．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）下列各式中，为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是关键．最简二次根式的条件是：被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，据此求解即可． 【规范解答】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次根式乘法运算、估算无理数等知识，先由二次根式乘法运算法则计算得到，再由夹逼法估算的范围即可得到答案，熟练掌握二次根式乘法运算法则及夹逼法估算无理数是解决问题的关键． 【规范解答】解：， ， ， 即， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【规范解答】解：A. 不属于最简二次根式，本选项不符合题意；     B. 不属于最简二次根式，本选项不符合题意；     C. 不属于最简二次根式，本选项不符合题意；     D. 属于最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·山西阳泉·开学考试）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，逐一判断即可，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 【规范解答】解：A、3与不能合并，所以A选项错误； B、，所以B选项正确； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项错误． 故选：B． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）用表示不超过x的最大整数．例如：，，把作为x的小数部分．已知，m的小数部分是a，的小数部分是b，则的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义，掌握分母有理化以及理解负数的小数部分是解题的关键．利用分母有理化化简m，的值，求出a，b的值，代入代数式求值即可． 【规范解答】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 6．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）已知，，则代数式的值等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，首先把代数式整理可得：原式，再把，代入整理后的代数式进行计算即可． 【规范解答】解： ， 当，时， 原式， ． 故答案为： ． 7．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）若，求 ． 【答案】2025 【思路点拨】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据实数的性质可得，进而得到，则可求出． 【规范解答】解；有意义， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2025． 8．（23-24八年级下·四川泸州·期中）计算：． 【答案】 【思路点拨】此题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式、绝对值、计算二次根式的除法和零指数幂，再进行加减运算即可． 【规范解答】解： 9．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加减乘除混合运算等知识，熟练掌握二次根式性质及相关运算法则是解决问题的关键． （1）由平方差公式直接展开，再由二次根式性质计算，最后根据有理数减法运算求解即可得到答案； （2）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【规范解答】（1）； （2）解：． 培优拔尖真题练 11．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次根式的运算，根据合并同类二次根式法则以及二次根式的乘除法则逐一判断即可． 【规范解答】解:不是同类二次根式，无法合并，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选：C． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图， 为等边三角形， 且，点D是边上一动点， 点E为边上一动点， 若沿着直线翻折后， 点A始终落在边上．若， 则满足条件的a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理得，，由翻折后，点A始终落在边上，可得，即，，可求，进而可得，然后作答即可． 【规范解答】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴， 故选：C． 【考点评析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化等知识．熟练掌握折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化是解题的关键． 13．（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 【规范解答】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 14．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【规范解答】将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，设，然后两边同时平方求出x的值即可． 【规范解答】解：设， 则 ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ． 【答案】 3 75 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【规范解答】解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时， ， ， 故的小数部分为 故答案为：3；75； 17．（24-25八年级下·湖南株洲·开学考试）计算： 【答案】 【思路点拨】此题考查实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，解题关键在于掌握运算法则．利用负指数幂、零指数幂、绝对值、二次根式化简等性质．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【规范解答】解： 18．（2025八年级下·全国·专题练习）是否存在这样的整数x，使它同时满足以下两个条件： 条件一： ； 条件二：的值是有理数． 若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 【答案】存在，16 【思路点拨】根据二次根式的被开方数是非负数，可得x的取值范围，根据二次根式是有理数，可得被开方数能开方，由此即可得解． 本题考查了二次根式的乘除法，利用二次根式的被开方数是非负数得出x的取值范围是解题关键． 【规范解答】解：由，得 ， 解得． 由是有理数，得 ． 19．（2025八年级下·全国·专题练习）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：；； ． 以上这种化简的过程叫做分母有理化． (1)化简：； (2)化简；； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次根式的加减法，平方差公式，二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握分母有理化的方法是解题关键． （1）先化简，再按照分母有理化方法进行即可． （2）按照分母有理化方法进行即可． （3）按照分母有理化方法进行即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 20．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【思路点拨】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【规范解答】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【考点评析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$