压轴题05 余弦函数的图像与性质（五类压轴必考题型+压轴能力测评）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

压轴题05 余弦函数的图像与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、余弦函数的单调性 2 类型二、解余弦不等式 4 类型三、余弦函数的值域与最值 6 类型四、余弦函数的奇偶性 8 类型五、余弦函数的最小正周期 9 压轴能力测评（18题） 11 知识点01余弦曲线和余弦函数图像的画法 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． (1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可． (2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 知识点02余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 偶函数 解析式 y＝cos x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减 最值 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 类型一、余弦函数的单调性 1．（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 2．（22-23高一下·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．写出一个同时满足下列条件的函数关系式： ； ①；②为周期函数且最小正周期为；③是上的偶函数；④是在上的增函数；⑤的最大值与最小值差不小于4. 4．已知函数在上不单调，则的最小值为 . 5．（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）已知函数的表达式为. (1)求函数的定义域，并写出函数的值域； (2)证明函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间. 6．（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 7．（22-23高一下·上海静安·期末）（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像； （2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数. 8．已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数” . (1)判断下面两组函数中，是否为的“n重覆盖函数”，并说明理由； ①，，“4重覆盖函数”； ②，，“2重覆盖函数”； (2)若，为，的“9重覆盖函数”，求的最大值. 9．已知函数． （1）当a=0时，求函数y=f(x)的单调减区间； （2）设方程在内有两个相异的实数根、，求实数a的取值范围及的值； （3）若对任意实数x，恒成立，求实数a的取值范围． 10．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数，（其中，） (1)当时，求函数的严格递增区间； (2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）； (3)若函数为常值函数，求的值. 类型二、解余弦不等式 1．定义：对于任意实数、，.设函数的表达式为（，常数），函数的表达式为，若对于任意，总存在使得成立，则实数的取值范围是 . 2．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数的表达式是，若，且成立，则的取值范围是 ． 3．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知，若对任意的正整数成立，则的取值范围是 ． 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，存在实数，使得对任意，则的最小值是 . 5．（22-23高一下·上海黄浦·期中）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中，正整数表示月份且，例如时表示1月份，A和是正整数，. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式； (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 类型三、余弦函数的值域与最值 1．（22-23高一下·上海普陀·期中）设函数，给出的下列结论中正确的是（   ） ①当，时，为偶函数； ②当，时，在区间上是单调函数； ③当，时，在区间恰有3个零点； ④当，时，在区间的最大值为，最小值为，则的最大值为 A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 5．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 6．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 7．（22-23高一下·上海闵行·期末）若函数的最大值为，则 . 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）对于函数，则它的值域为 ． 9．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设为常数，函数（）． (1)设，求函数的单调区间及周期； (2)若函数为偶函数，求此函数的值域． 10．（22-23高一下·上海虹口·期中）设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”． (1)求证：是函数的“P区间”； (2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由； (3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围． 11．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，其中，都是常数，且满足. (1)当，时，求的取值范围； (2)是否存在，，使的值是与无关的定值?若存在，求出，的值；若不存在，说明理由. 类型四、余弦函数的奇偶性 1．定义在上的函数，既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．函数，设它的最小正周期为，值域为，则（    ） A．，，且为奇函数 B．，为偶函数 C．，且为奇函数 D．，，且为偶函数 3．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·上海嘉定·开学考试）已知定义域是全体实数的函数满足，且函数，函数，现定义函数，为：，，其中，那么下列关于函数,叙述正确的是（    ）． A．都是奇函数且周期为 B．都是偶函数且周期为 C．均无奇偶性但都有周期性 D．均无周期性但都有奇偶性 5．函数  是奇函数，则 ； 6．判断函数，（）的奇偶性，并说明理由. 7．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 类型五、余弦函数的最小正周期 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.若函数，则满足且的函数可以是 .（写出一个即可） 3．若函数的最小正周期是，则 . 4．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知，都是定义在R上的函数，若，其中m，n实数，则称为，在R上的生成函数.已知，，，，则，在上的生成函数的单调增区间为 . 5．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是 ． 6．给出集合{对任意，都有成立}. (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论：命题甲：集合M中的元素都是周期为6的函数：命题乙：集合M中的元素都是偶函数；请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例： (3)设p为常数，且，求满足成立的常数p的值. 7．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量. (1)求函数的最小正周期和严格增区间， (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 8．函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”． （1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由； （2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围． 一、单选题 1．下列函数中，既在上为增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．若，则的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 4．设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题： （1）若，则对任意实数x恒成立； （2）若，则函数为奇函数； （3）若，则函数为偶函数； （4）当时，若，则， 其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 二、多选题 6．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．的最小正周期为1 C．所有的整数都是的零点 D．在上单调递增 三、填空题 7．实数满足，，则 ． 8．已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是 ． 9．（22-23高一下·上海虹口·期中）定义在上的函数的图像与的图像的交点为P，则点P到x轴的距离为 ． 10．（24-25高一下·上海·开学考试）函数的定义域为 . 11．（23-24高一下·上海·期中）已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为 . 12．（23-24高一下·上海·阶段练习）设常数，．若函数在区间上恰有2024个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为 13．（22-23高一下·上海静安·期中）对于函数，给出下列四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值1； ③该函数是以为最小正周期的周期函数； ④当且仅当时，. 上述命题中，假命题的序号是 . 四、解答题 14．（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 15．求下列函数的值域： （1）；（2），. 16．已知函数． （1）求的单调增区间； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围． 17．在同一平面直角坐标系内画出正弦函数和余弦函数在区间上的图象，并回答下列问题． (1)写出满足的x的值； (2)写出满足的x的取值范围； (3)写出满足的x的取值范围； (4)当时，分别写出满足，，的x值的集合． 18．已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若存在x∈[0,），使等式成立，求实数m的最大值和最小值． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题05 余弦函数的图像与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、余弦函数的单调性 2 类型二、解余弦不等式 12 类型三、余弦函数的值域与最值 16 类型四、余弦函数的奇偶性 27 类型五、余弦函数的最小正周期 32 压轴能力测评（18题） 38 知识点01余弦曲线和余弦函数图像的画法 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． (1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可． (2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 知识点02余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 偶函数 解析式 y＝cos x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减 最值 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 类型一、余弦函数的单调性 1．（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】分析得当且时，恰好取到半个周期的值，即1013个不同的值． 【详解】， 当且时，恰好取到半个周期内的值，且单调递减， 所以在半个周期内有个不同的值， 再根据对称性得在1个周期内有个不同的值， 由集合中元素的互异性得，集合中的元素个数为， 故选：B． 2．（22-23高一下·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论． 【详解】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 3．写出一个同时满足下列条件的函数关系式： ； ①；②为周期函数且最小正周期为；③是上的偶函数；④是在上的增函数；⑤的最大值与最小值差不小于4. 【答案】（答案不唯一）． 【分析】先考虑周期性与奇偶性，即条件②③，取一函数，再考虑④，变为，然后由⑤，变为，再结合①可得． 【详解】考虑余弦型函数，它是偶函数，最小正周期是，满足②③，它在上递减，因此满足④，由余弦函数的最值，满足⑤，满足①，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 4．已知函数在上不单调，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】直接利用三角函数中余弦函数的性质的单调性的应用，集合的对立关系的应用求出的最小值． 【详解】解：函数在上不单调， 当函数为单调递增时， 即，整理得：，， 由于函数在上单调递增时，， 即：， 整理得：当时，；① 当函数单调递减时；， 整理得：，， 由于函数在上单调递减时，， 即， 整理得：当时，，② 由于函数在上不单调， 且， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， ， 所以的最小值为3． 故答案为：3． 5．（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）已知函数的表达式为. (1)求函数的定义域，并写出函数的值域； (2)证明函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间. 【答案】(1)； (2)证明见解析；；， 【分析】（1）解不等式可得定义域，根据可得值域； （2）利用诱导公式和偶函数的定义可证函数为偶函数，根据反证法可得是的最小周期，根据余弦函数的单调性以及定义域可得结果. 【详解】（1）由得，，. 则函数的定义域D为， 函数的值域为 （2）任给，有，， 所以函数为偶函数. 因为，即是的一个周期， 假设为的一个周期，且， 则对定义域内的任意一个恒成立， 取，则，即，即， 因为，所以，则不成立， 所以假设不成立，故是的最小周期， 因为的单调递增区间为，，在上为增函数， 结合定义域可得的单调增区间为，. 6．（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心为； （2）令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 7．（22-23高一下·上海静安·期末）（1）指出函数的最大值，及函数取得最大值时所对应的的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像； （2）指出正弦函数的单调性，并以此为依据证明：余弦函数在区间是严格增函数. 【答案】（1）时，函数取得最大值2，作图见解析；（2）单调增区间，单调减区间，其中，证明见解析 【分析】（1）首先利用倍角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质求最值，五点作图法作图． （2）利用正弦函数的单调性，结合诱导公式直接化为余弦函数，即可证明． 【详解】（1）， ，即时，函数取得最大值2. 0 0 2 0 0    （2）单调增区间，单调减区间，其中. 任取、，，即， 由于,是正弦函数的单调增区间， 所以，，即， 故，余弦函数在区间是严格增函数. 8．已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数” . (1)判断下面两组函数中，是否为的“n重覆盖函数”，并说明理由； ①，，“4重覆盖函数”； ②，，“2重覆盖函数”； (2)若，为，的“9重覆盖函数”，求的最大值. 【答案】(1)①是，理由见解析；②不是，理由见解析； (2) 【分析】（1）①：根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可； ②：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即可； （2）利用正弦型函数的性质，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）①：当时，，根据余弦函数的图象可知， 是的“4重覆盖函数”； ②：由可知：，函数的图象如下图所示： 当时，，当， 所以不是的“重覆盖函数”； （2）因为，所以， 因为， 所以当时， ， 当时，， 函数和函数都是单调递减函数， 故该函数单调递减， 当时，， 函数是单调递增函数，函数是单调递减函数，而函数递增的速度快于函数递减的速度，所以函数单调递增， 而函数的最小正周期为：， 因此函数，的图象如下图所示： 因此要想，为，的“9重覆盖函数”，只需， 所以的最大值. 【点睛】关键点睛：根据函数的单调性结合函数图象是解题的关键. 9．已知函数． （1）当a=0时，求函数y=f(x)的单调减区间； （2）设方程在内有两个相异的实数根、，求实数a的取值范围及的值； （3）若对任意实数x，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1），；（2），；（3）． 【分析】（1）利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，令，依题意在内有两个不相等的实数根据，即或在内有两个不相等的实数根，再根据的取值范围，可判断，即可求出的取值范围，再根据对称性求出； （3）依题意恒成立，令，则在上恒成立，对分类讨论，再参变分离，根据函数的性质求出的取值范围，即可得解； 【详解】解：（1）当时， 令，解得，所以函数的单调递减区间为； （2） 令，则，令，则，即，即或， 当时，，所以有两个相异的实数根、，所以， 解得，即，且，所以，所以； （3）由（2）可知，因为恒成立，即恒成立， 令，则，则在上恒成立； 当时，显然恒成立； 当时恒成立，因为在上单调递增，所以； 当时恒成立，因为在上单调递增，所以； 综上可得 10．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数，（其中，） (1)当时，求函数的严格递增区间； (2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）； (3)若函数为常值函数，求的值. 【答案】(1)，； (2) (3). 【分析】（1）当时，化简为，再由，，求解即可； （2）由（1）得， 从而，令，先求得，则转化为求，的最大值，分和两种情况求解即可； （3）由函数为常值函数，采用赋值法求得的值，再代入验证即可. 【详解】（1） 当时， 由，，得，. 故的严格递增区间为，. （2） 由（1）可知，当时，， 则， 令，当时，则，所以， 则，即. 于是， ①当时，，当且仅当时，最大值为； ②当时，在上递减，则在上是增函数，则当时，最大值为， 综上所述， （3） 由函数为常值函数，令，则原式， 令，则原式（为正整数）； 令，则原式，即， 因为（为正整数），即为正奇数，所以， 即，则， 解得或， 又因为（为正整数），所以. 当时，原式为 . 所以当时，函数为常值函数. 【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数为常值函数，因此可以采用赋值法先确定的值，再代入验证即可. 类型二、解余弦不等式 1．定义：对于任意实数、，.设函数的表达式为（，常数），函数的表达式为，若对于任意，总存在使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为，再进而根据定义求得函数，再结合求解即可. 【详解】因为对于任意，总存在使得成立 所以， 当时，即时， ； 当，即时， ， 所以， 因为， 所以，解得 所以实数的取值范围是 故答案为： 2．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数的表达式是，若，且成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，再利用此性质脱去法则“f”，并解三角不等式作答. 【详解】函数的定义域为R，，即是R上的偶函数， 当时，，函数在上都是增函数，因此在上单调递增， 而，因此， 即，整理得，又，即， 于是或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 3．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知，若对任意的正整数成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，，对、、、、分别求出的取值范围，从而求出需满足的条件，再根据周期性即可得解. 【详解】由，可得，， 又，当时，均满足题意； 当时，均满足题意； 当时，均满足题意； 当时，此时需，即； 当时，此时需，即； 由的最小正周期，所以之后会重复前面的取值， 综上可得，即的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，存在实数，使得对任意，则的最小值是 . 【答案】 【分析】作出单位圆，根据终边位置可得；结合，即可求得最小值. 【详解】作出单位圆如图所示， 由题意知：的终边需落在图中阴影部分区域， 若，显然成立； 若，则，解得， 由题意可知：，即， 又因为，可得， 所以的最小值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据三角函数定义，结合单位圆，确定角的终边的位置，进而利用位置关系构造不等式求得所求变量所满足的范围. 5．（22-23高一下·上海黄浦·期中）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中，正整数表示月份且，例如时表示1月份，A和是正整数，. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式； (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由. 【答案】(1) (2)第月是该地区的旅游旺季 【分析】（1）根据题意结合余弦函数分析运算即可； （2）令，结合余弦函数分析运算，注意为正整数. 【详解】（1）因为A和是正整数， 由②可得：，解得； 由③可得：且，则，且，解得； 且，解得； 所以. （2）令，则， 因为，则， 可得，解得， 且，则， 所以第月是该地区的旅游旺季. 【点睛】方法点睛：函数y＝Acos(ωx＋φ)的解析式的确定 （1）A由最值确定； （2）ω由周期确定； （3）φ由图象上的特殊点确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型． 类型三、余弦函数的值域与最值 1．（22-23高一下·上海普陀·期中）设函数，给出的下列结论中正确的是（   ） ①当，时，为偶函数； ②当，时，在区间上是单调函数； ③当，时，在区间恰有3个零点； ④当，时，在区间的最大值为，最小值为，则的最大值为 A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】①当时，，由偶函数的定义判断①正确；②当时，，由复合函数的单调性判断②错误；③当时，，求得函数的零点判断③错误；④当时，，令，求其最大值判断④正确. 【详解】①当时，，其定义域为， 且，函数为偶函数，故①正确； ②当时，，由，得， 则在上不单调，故②错误； ③当时， 由，得，即 则，共4个零点，故③错误； ④当时， 周期，区间的长度为，即为周期， 所以当区间为函数的单调递增区间或单调递减区间时，最大， 令 ，其中， 即设在区间上的最大值为，最小值为，则， 故④正确.   故选：B. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】取，可得；再取，，检验满足题意，即可得最值. 【详解】因为， 取，则， 可得，即； 当，时， ； 综上所述：的最大值为2. 故选：D. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质及三角函数在上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一分析即可得出结果. 【详解】对于A，若，则， 因为，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，则， 因为，所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则， 因为，当时，，此时，故D错误. 故选：C. 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的值域为，的值域为，求出，根据题意，再代入选项逐项分析即可. 【详解】设的值域为，的值域为， 则由题意得，因为，则， 则，则， 因为，所以， 对A，当时，，则， 则，不满足，故A错误； 对B，当时，， ， 则， 则，满足，故B正确； 对C，当时，， ， 则， 则，不满足，故C错误； 对D，当时，， 则， 则，不满足，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可. 5．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后，求函数的最大值即可. 【详解】由得， 设，因，所以， 则在上恒成立， 设， 则二次函数的对称轴为， 因其开口向下，所以时函数单调递增， 所以的最大值， 故， 故答案为： 6．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用奇偶性、单调性将不等式转化恒成立问题，利用换元法结合二次函数的性质求解即可. 【详解】令， 由定义域为，且， 所以为奇函数，且在单调递增， 所以在单调递增， 所以不等式对一切恒成立， ， ， ， 即， 在恒成立， 设，则问题转化为： 在上恒成立， 又因为， 所以， 解得：或， 所以实数的取值范围是：. 故答案为：. 7．（22-23高一下·上海闵行·期末）若函数的最大值为，则 . 【答案】 【分析】根据辅助角公式得到，然后利用余弦函数的最值即可求解. 【详解】因为函数， 且函数的最大值为， 所以，解得， 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）对于函数，则它的值域为 ． 【答案】 【分析】先解得到其解集，同理得到的解集，再结合三角函数的性质，分段讨论的值域即可得解. 【详解】令， 令，解得， 所以当时，，即， 同理可得时，， 又， 所以当时，， 此时，，即； 当时，， 此时，，即； 综上，. 故答案为：. 9．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设为常数，函数（）． (1)设，求函数的单调区间及周期； (2)若函数为偶函数，求此函数的值域． 【答案】(1)增区间，减区间为； (2) 【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得，结合正弦函数性质即可求得答案； （2）根据函数的奇偶性求得a的值，结合余弦函数性质可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得， 即函数的单调增区间为； 令，解得， 函数的单调减区间为 函数的周期为. （2）函数为偶函数，则， 即， 即，即， 由于，则， 故， 由于，故. 10．（22-23高一下·上海虹口·期中）设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”． (1)求证：是函数的“P区间”； (2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由； (3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）取特殊值验证得到答案. （2）根据三角函数的有界性得到，得到答案. （3）代入计算得到区间至少上有两个不同的偶数，考虑，，，四种情况，计算得到答案. 【详解】（1），取，，则， 故是函数的“P区间”； （2）， 则， 故不是函数的“P区间”， （3），， 则，故， 故，，不妨设， 则，，故， 即在区间至少上有两个不同的偶数，，即， 当，区间为，满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； 当时，，区间至少上有两个不同的偶数，满足； 综上所述： 11．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，其中，都是常数，且满足. (1)当，时，求的取值范围； (2)是否存在，，使的值是与无关的定值?若存在，求出，的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，代入，，结合余弦函数的有界性分析求解； （2）根据题意结合（1）的解析式分析可得，结合，的取值范围分析求解. 【详解】（1）由题意可得： ， 若，， 则， 因为，可得， 所以的取值范围为. （2）存在，，，理由如下： 由（1）可知：， 若是一个与无关的定值， 可知，此时为常数． 即，两式平方相加得：， 且，则， 可得或， ①若，即， 由得， 则，且，可得或， 可得(经检验满足方程)，或（舍去）， ②若，即， 由得， 则，且，可得或， 可得或（舍去）， 将代入检验不成立； 综上所述：，. 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简，结合题意可得，进而求方程组即可. 类型四、余弦函数的奇偶性 1．定义在上的函数，既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是，且当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数值利用周期性和奇偶性变形为，然后结合函数解析式求解出结果. 【详解】因为的最小正周期是，所以， 又因为是偶函数，所以， 故选：B. 2．函数，设它的最小正周期为，值域为，则（    ） A．，，且为奇函数 B．，为偶函数 C．，且为奇函数 D．，，且为偶函数 【答案】B 【分析】利用倍角公式把已知函数解析式变形，再由周期公式求周期，由的范围求得函数值域，再由奇偶性的定义判断函数的奇偶性． 【详解】解： ， 的最小正周期． ，， 则函数的值域为，，． 又的定义域为，且， 则为偶函数． 故选：B． 3．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式化简函数式后确定奇偶性可得． 【详解】四个函数的最小正周期都是， 是奇函数， 是偶函数， ，时，，函数图象不过原点，也不关于轴对称，既不是奇函数也不是偶函数， 是偶函数． 故选：A． 4．（22-23高一下·上海嘉定·开学考试）已知定义域是全体实数的函数满足，且函数，函数，现定义函数，为：，，其中，那么下列关于函数,叙述正确的是（    ）． A．都是奇函数且周期为 B．都是偶函数且周期为 C．均无奇偶性但都有周期性 D．均无周期性但都有奇偶性 【答案】B 【分析】利用周期函数的等价表达式，分别化简，，，，结合奇偶性的定义即可求解答案. 【详解】由得. 对于函数，当时，显然具有周期性和奇偶性； 当时，； 显然，所以函数是偶函数； 又 , 所以为函数的一个周期. 对于函数，当时，，显然具有周期性和奇偶性； 当时，， 所以 ， 所以函数是偶函数； 又 , 所以是函数的一个周期. 综上所述，函数，都是偶函数且周期为. 故选：B 5．函数  是奇函数，则 ； 【答案】/ 【分析】由两角和的余弦公式化简函数后，根据奇偶性得出的表达式，从而得出结论． 【详解】，它是奇函数， 则，，， 又，所以． 故答案为：． 6．判断函数，（）的奇偶性，并说明理由. 【答案】当，时，为偶函数；当，时，为奇函数；当，时，为非奇非偶函数，理由见解析. 【分析】根据函数奇偶性的定义分析的取值情况，由此确定出函数的奇偶性. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 若，则有， 所以，又不恒为零，所以，所以， 所以当时，函数为偶函数； 若，则有， 所以，又不恒为零，所以，所以， 所以当时，函数为奇函数； 若时，此时、均不能恒成立，所以函数为非奇非偶函数； 综上可知，当，时，为偶函数；当，时，为奇函数；当，时，为非奇非偶函数. 7．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 【答案】(1)证明见解析 (2)甲正确，证明见解析；乙错误，答案见解析 【分析】（1）由集合的定义，只需证明符合即可； （2）由周期函数与奇偶性判断即可. 【详解】（1）证明：， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以是周期为6的周期函数， 即集合中的元素都是周期为6的函数； 若，则， 但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． 类型五、余弦函数的最小正周期 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 易得两函数的定义域都是，即可判断③；根据偶函数的定义即可判断②；根据正余弦函数的周期性即可判断③；根据正余弦函数的值域及单调性即可判断④. 【详解】函数，的定义域都是，关于原点对称，故③错误； 因为， 所以函数为偶函数， 因为， 所以函数为偶函数，故①正确； 因为， 所以是以为周期的周期函数， 因为， 所以是以为周期的周期函数，故②正确； 因为，所以，即， 因为，所以，即，故④错误， 所以正确的个数有个. 故选：B. 2.若函数，则满足且的函数可以是 .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一）. 【分析】先分析得到函数奇偶性以及周期性，由此联想到三角函数，写出符合条件的一个函数解析式即可. 【详解】因为，所以为偶函数， 又因为，所以， 所以是周期函数且一个周期为， 此处可想到余弦型函数，，所以可取， 所以满足题意的一个函数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）. 3．若函数的最小正周期是，则 . 【答案】 【分析】先根据二倍角公式化简原式，然后根据最小正周期的计算公式求解出的值. 【详解】因为， 所以，所以， 故答案为：. 4．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知，都是定义在R上的函数，若，其中m，n实数，则称为，在R上的生成函数.已知，，，，则，在上的生成函数的单调增区间为 . 【答案】,Z 【分析】求出的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间即可. 【详解】由题意可知， 则， 所以是函数的周期， 又∵， ∴函数为偶函数， 当时，， 此时函数的单调递增区间为，Z, 解得，Z, 当时，单调递增区间为，故在上函数单调递增， 当时，， 此时函数的单调递减区间为，Z， 解得，Z, 当时，单调递减区间为，故在上函数单调递减， 综上所述，函数的单调递增区间为,Z, 故答案为：,Z. 5．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是 ． 【答案】①② 【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项． 【详解】对于③，因为， 当时， ， 当时，， 所以，函数为周期函数， 作出函数的图象（图中实线）如下图所示： 结合图形可知，函数的最小正周期为，③对； 对于①，由图可知，函数的值域为，①错； 对于②，由图可知，当且仅当或时， 函数取得最大值1，②错； 对于④，由图可知，当且仅当时，，④对． 故答案为：①②． 6．给出集合{对任意，都有成立}. (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论：命题甲：集合M中的元素都是周期为6的函数：命题乙：集合M中的元素都是偶函数；请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例： (3)设p为常数，且，求满足成立的常数p的值. 【答案】(1)证明见解析． (2)甲正确，乙错误． (3) 【分析】（1）根据集合的定义证明； （2）由周期性和奇偶性的定义判断； （3）利用是恒等式，由两角和的余弦公式展开后由恒等知识得结论． 【详解】（1）， ， 所以； （2）因为， 所以， 所以，所以是周期为6的周期函数， 即集合M中的元素都是周期为6的函数； 若，则，但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． （3）， ， 由恒成立， 得，由得或， 若，则，则，不成立， 所以，满足， 所以． 7．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量. (1)求函数的最小正周期和严格增区间， (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为 (2)故时，取得最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间. （2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可. 【详解】（1）已知向量，， 所以. 故函数的最小正周期为； 由，解得：，， 故函数的严格增区间为. （2）由于，得. 故当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为. 8．函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”． （1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由； （2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）. 【分析】(1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”； (2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围. 【详解】(1) 不是函数的“区间”.理由如下： 因为， 所以对于任意的，，都有， 所以不是函数的“区间”. (2)因为是函数的“区间”， 所以存在，，使得. 所以 所以存在，使得 不妨设，又因为， 所以，所以. 即在区间内存在两个不同的偶数. ①当时，区间的长度， 所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意. ②当时，有， 所以. 当时，有，即. 所以也符合题意. 当时，有，即. 所以符合题意. 当时，有，此式无解. 综上所述，的取值范围是. 一、单选题 1．下列函数中，既在上为增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的单调性及周期性和奇偶性对选项一一分析即可. 【详解】对于选项A，为奇函数，故A错误； 对于选项B，，当时，，根据余弦函数性质知单调递减，故B错误； 对于选项C，，当时，单调递增，且是的偶函数，故C正确； 对于选项D，的周期，故D错误. 故选：C. 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数和正弦函数余弦函数的单调性即可求解. 【详解】函数， 当时，函数的值域为， 当时，函数的值域为， 故函数的值域为． 故选:． 3．若，则的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角关系式关系结合条件可得，进而或，然后根据三角函数的图象和性质即得. 【详解】若，则， 即， 所以或， 所以的取值范围为或. 故选：A． 4．设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题： （1）若，则对任意实数x恒成立； （2）若，则函数为奇函数； （3）若，则函数为偶函数； （4）当时，若，则， 其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】可根据各选项中的条件得到参数的关系，再反代入原函数，从而可判断（1）（2）（3）的正确与否，利用反例可判断（4）的正误. 【详解】对于（1），即为， 即， 两边平方后可得，故或. 若，则，故， 此时， 若，则，故， 此时， 若或，则，故（1）成立. 对于（2），因为，则， 若均为零， 则, 其定义域为，且，故为奇函数； 若不全为零，不妨设，则， 故 ， 此时函数的定义域为，而，故为奇函数； 故（2）正确. 对于（3），因为，则， 若均为零， 则， 此时函数的定义域为，而，故为偶函数； 若不全为零，不妨设，则， 故 ， 此时函数的定义域为，而，故为偶函数； 故（3）正确. 对于（4），因为， 故， 整理得到：， 取，则， 即，故， 令，则， 而，故，故（4）错误， 故选：A. 【点睛】思路分析：对多变量的三角函数问题，需根据题设条件得到参数的关系，再根据关系式的形式合理消元反代，从而简化问题的讨论. 5．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 【答案】A 【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，作出大致图象由零点存在性定理分区间讨论即可判定甲乙命题. 【详解】的零点，即为函数与函数图象在交点的横坐标. 又注意到时，， 时，， ，时，. 据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如下图所示. 甲命题，注意到时，， ，. 结合图象可知当，，. 当，，.故甲正确； 乙命题，表示两点与间距离， 由图象可知，随着n的增大，两点间距离越来越近， 即恒成立.故乙命题正确； 故选：A. 【点睛】思路点睛：由零点存在性定理结合余弦函数、反比例函数的图象，分区间讨论可判定甲，而乙命题转化为两点与间距离，根据图象分析即可. 二、多选题 6．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．的最小正周期为1 C．所有的整数都是的零点 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据的性质，判断函数的性质，即可判断选项. 【详解】函数的定义域为，，所以函数是偶函数，故A正确； 函数的周期，所以函数的周期是1，故B正确； ，即，，所以，所以所有的整数都不是函数的零点，故C错误； 当时，，此时，此时函数单调递增，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 7．实数满足，，则 ． 【答案】 【分析】由，得，进而得，代入即可求解. 【详解】由方程组，可得， 因为，所以， 所以，解得，所以， 当时，可得，且，所以， 所以. 故答案为：. 8．已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作出单位圆，根据终边位置可得；结合，即可求得最小值. 【详解】作出单位圆如图所示， 由题意知：的终边需落在图中阴影部分区域， ，即， 对任意，总成立，，即， 又，，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据三角函数定义，结合单位圆，确定角的终边的位置，进而利用位置关系构造不等式求得所求变量所满足的范围. 9．（22-23高一下·上海虹口·期中）定义在上的函数的图像与的图像的交点为P，则点P到x轴的距离为 ． 【答案】3 【分析】设交点，则，联立和，变形整理即可求得答案. 【详解】由题意设交点，则 因为，则， 令，即， 所以，即， 解得（负值舍去）， 即点P到x轴的距离为3， 故答案为：3 10．（24-25高一下·上海·开学考试）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用对数函数的定义与性质，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】对于，有， 解，得且， 解，得， 综上，， 所以的定义域为. 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海·期中）已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为 . 【答案】 【分析】根据，集合有6个元素，利用和差化积进行求解，利用函数的性质求解. 【详解】由， 设， 则 所以函数，最小正周期, 由集合有6个元素，则可得到在半个周期内存在6个不同的值，即 化简，即， 又由，， 所以，即, 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要运用和差化积的求解公式，再运用三角函数的性质进行求解. 12．（23-24高一下·上海·阶段练习）设常数，．若函数在区间上恰有2024个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为 【答案】 【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值. 【详解】由题意， 令，，所以，， 且，则，，， 记的两零点为、， 因为，不妨设， 当时，则，解得，， 可知在（k为正整数）内零点个数为3k， 在内零点个数为， 因为，则； 当，则，， 可知在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以或； 综上n的所有可能值为：，，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法化函数为，然后分类讨论的情况，结合在上有个零点，求解的可能取值. 13．（22-23高一下·上海静安·期中）对于函数，给出下列四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值1； ③该函数是以为最小正周期的周期函数； ④当且仅当时，. 上述命题中，假命题的序号是 . 【答案】①② 【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为， 对于③，当时，， 当时，，所以，函数为周期函数， 作出函数的图象（图中实线）如下图所示：      结合图形可知，函数的最小正周期为，③对； 对于①，由图可知，函数的值域为，①错； 对于②，由图可知，当且仅当或时，函数取得最大值，②错； 对于④，由图可知，当且仅当时，，④对. 故答案为：①②. 四、解答题 14．（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据五点作图法列表、描点、连线，作出函数简图. （2）根据翻折变换画出函数简图. 【详解】（1） 列表如下 作出图象，如图所示. （2）函数的图象如下图所示： 函数的图象可由函数在x轴下方的图象沿轴翻折得到： 15．求下列函数的值域： （1）；（2），. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）考虑分子分母同除并结合的取值范围进行分析，注意单独分析的情况； （2）采用换元法令，将问题转化为二次函数的值域问题结合的范围完成求解. 【详解】（1）当时，， 当，，因为，所以， 所以， 综上可知，的值域为； （2）令，所以原函数值域即为的值域， 因为的对称轴为且开口向上， 所以在上单调递减， 所以， 所以函数的值域为. 16．已知函数． （1）求的单调增区间； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式和二倍角的余弦公式化简函数为，再利用余弦函数的性质求解. （2）根据的值域为，则，再根据，利用余弦函数的性质求解. 【详解】（1）， ， ， 令，，解得，， ∴的单调递增区间为，. （2）∵的值域为，∴， ∵，∴， 结合余弦函数图象可知，解得， ∴的取值范围是. 17．在同一平面直角坐标系内画出正弦函数和余弦函数在区间上的图象，并回答下列问题． (1)写出满足的x的值； (2)写出满足的x的取值范围； (3)写出满足的x的取值范围； (4)当时，分别写出满足，，的x值的集合． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)详见解析 【分析】在同一坐标系中画出两个函数在上的图象，然后找出满足条件的区间，再根据函数的周期性写出满足条件的集合. 【详解】（1）两函数在同一坐标系中的图象如下： ， 由图象知，在内，当或时，. （2）由图象知，在内，当时，，即x的取值范围是. （3）由图象知，在内，当或时，，即x的取值范围是. （4）当时，由正弦、余弦函数的周期性知： 若，则所求集合为或； 若，则所求集合为； 若，则所求集合为或. 18．已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若存在x∈[0,），使等式成立，求实数m的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)m的最大值为3，最小值为 【分析】（1）根据三角恒等变换，化简得，即可根据对称求解， （2）确定，，等式，可化为，利用对勾函数的性质即可求实数的最大值和最小值 【详解】（1） ． 函数的图象上取点，关于直线对称点的坐标为,， 代入，可得， （2）,，则，则 ,， 等式，可化为， 由对勾函数的单调性可得，函数m在[1,]上单调递减，在（，2]上单调递增， 当时，；时，，时，， 故实数m的最大值为3，最小值为． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$