8.2第3课时 指数函数模型与幂函数模型 导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

人教A版高中数学选择性必修三 8.2第3课时-指数函数模型与幂函数模型-导学案 学习目标　1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义.2.了解非线性回归模型，掌握指数型函数模型和幂函数模型的求解过程． 一、指数函数模型y＝αeβx(α＞0) 例1　某景区的各景点从2010年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2011年至2020年，该景点的旅游人数y(万人)与年份x的数据： 第x年 1 2 3 4 5 旅游人数y(万人) 300 283 321 345 372 第x年 6 7 8 9 10 旅游人数y(万人) 435 486 527 622 800 该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法求得y与x的经验回归方程＝50.8x＋169.7； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝aebx的附近． (1)根据表中数据，求模型②的经验回归方程＝aebx(a精确到个位，b精确到0.01)； (2)根据下列表中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2023年该景区的旅游人数(单位：万人，精确到个位)． 经验回归方程 ①＝50.8x＋169.7 ②＝aebx (yi－)2 30 407 14 607 参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据(v1，w1)，(v2，w2)，…，(vn，wn)，其经验回归直线＝＋v的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. ②刻画回归效果的决定系数R2＝1－. ③参考数据：e5.46≈235，e1.43≈4.2. (xi－)2 (xi－)·(yi－) (xi－)·(ui－) 5.5 449 6.05 83 4 195 9.00 表中ui＝ln yi，＝i. 反思感悟　指数函数型y＝ebx＋a回归问题的处理方法 (1)函数y＝ebx＋a的图象，如图所示． (2)处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 跟踪训练1　已知某种细菌的适宜生长温度为10 ℃～25 ℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y(单位：个)随温度x(单位：℃)变化的规律，收集数据如表： 温度x/℃ 12 14 16 18 20 22 24 繁殖数量y/个 20 25 33 27 51 112 194 对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示： (xi－)2 (ki－)2 (xi－)· (yi－) (xi－)· (ki－) 18 66 3.8 112 4.3 1 428 20.5 其中ki＝ln yi，＝i. (1)请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y＝bx＋a与y＝cedx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的经验回归方程模型(只做出判断，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果及表格数据，建立y关于x的经验回归方程(结果精确到0.1)； (3)当温度为25 ℃时，该种细菌的繁殖数量的预测值为多少？ 参考公式：对于一组数据(ui，vi)(i＝1,2,3，…，n)，其经验回归直线＝u＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.参考数据：e5.5≈245. 二、幂函数模型y＝αxβ(α＞0) 例2　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． (xi－)2 (wi－)2 46.6 563 6.8 289.8 1.6 (xi－)·(yi－) (wi－)·(yi－) 1 469 108.8 表中wi＝，＝i. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果计算年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 反思感悟　y＝bxn＋a型处理方法 设x′＝xn，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 跟踪训练2　某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如表数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图． 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y＝a＋和指数函数模型y＝cedx分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的经验回归方程为＝96.54e－0.2x，ln y与x的样本相关系数r1＝－0.94. (1)用反比例函数模型求y关于x的非线性经验回归方程； (2)用样本相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其预测产量为10千件时每件产品的非原料成本． 参考数据： iyi 2 183.4 0.34 0.115 1.53 i e－2 360 22 385.5 61.4 0.135 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－， 样本相关系数r＝. 1．知识清单： (1)指数函数模型． (2)幂函数模型． 2．方法归纳：转化思想． 3．常见误区：非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程时的转化方法． 1．给出下列说法：①以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出非线性经验回归方程，设z＝ln y，经计算得到经验回归方程＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3；②根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据，得到经验回归方程＝＋x，若＝2，＝1，＝3，则＝1；③若变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关．其中正确说法的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，由试验数据得到如图所示的散点图. 由此散点图，可以得出最适宜作为发芽率y和温度x的经验回归方程模型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bln x C．y＝a＋bex D．y＝a＋bx2 3．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将y转化为t的经验回归方程，需做变换t等于(　　) A．x2 B．(x＋a)2 C.2 D．以上都不对 4．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围．令＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为____________________． 参考答案与详细解析 例1　解　(1)对y＝aebx取对数，得ln y＝bx＋ln a，设u＝ln y，c＝ln a，先建立u关于x的经验回归方程为＝x＋. ＝＝≈0.108, ＝－≈6.05－0.108×5.5＝5.456≈5.46， ＝≈e5.46≈235， ∴模型②的经验回归方程为＝235e0.11x. (2)由表格中的数据，有30 407>14 607，即>， 即1－<1－，R<R，模型①的决定系数R小于模型②的R， 说明回归模型②的拟合效果更好． 2023年时，x＝13， 预测旅游人数为＝235e0.11×13＝235e1.43≈235×4.2＝987(万人)． 跟踪训练1　解　(1)由题意，y关于x的散点图，如图所示． y＝cedx更适合作为y关于x的经验回归方程． (2)由(1)知y＝cedx，则ln y＝x＋ln c， 令k＝ln y，则＝x＋ln c， ∴＝＝≈0.183， ln c＝－＝3.8－0.183×18≈0.5，即c≈e0.5. ∴y关于x的经验回归方程为＝e0.2x＋0.5. (3)由(2)中的经验回归方程，令x＝25，求得＝e5.5≈245， ∴当温度为25 ℃时，该种细菌的繁殖数量的预测值为245个． 例2　解　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程模型． (2)令w＝，＝＋w.先建立y关于w的经验回归方程． 由于＝＝＝68， ＝－＝563－68×6.8＝100.6， 所以y关于w的经验回归方程为＝100.6＋68w， 因此y关于x的非线性经验回归方程为＝100.6＋68. (3)根据(2)的结果知，年利润z的预测值＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以当＝＝6.8， 即x＝46.24时，取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预测值最大． 跟踪训练2　解　(1)令u＝， 则y＝a＋可转化为y＝a＋bu， 先建立y关于u的经验回归方程，因为＝＝45， 所以＝＝＝＝100， 则＝－＝45－100×0.34＝11， 所以＝11＋100u， 所以y关于x的非线性经验回归方程为＝11＋. (2)y与的样本相关系数为r2＝＝≈0.99. 因为|r1|＜|r2|，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 当x＝10时，y＝＋11＝21，所以当产量为10千件时，预测每件产品的非原料成本为21元． 随堂演练 1．C　[由非线性经验回归方程的求解过程可知①正确；易知②正确；根据y与z正相关，y与x负相关，可知x与z负相关，③错误．] 2．B　[由散点图可知，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢． A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求； B中，y＝a＋bln x是对数型，增长缓慢，符合要求； C中，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求； D中，y＝a＋bx2是二次函数型，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求． 故对数型最适宜该经验回归方程模型．] 3．C　[y＝ax2＋bx＋c＝a2＋(a≠0)， 可令t＝2， 则y＝at＋为关于t的经验回归方程．] 4.＝e0.25x－2.58 解析　因为＝0.25x－2.58，＝ln y，所以＝e0.25x－2.58. 学科网（北京）股份有限公司 $$