函数的零点讲义-2025届高三数学一轮复习

2-9 函数的零点 讲义 一、函数零点有关概念 1．函数零点的定义：一般地，把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． 2．函数零点存在性定理 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点， 即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0． 3．函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。 4．几个常用结论：若在区间连续 (1)若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。 此时如果单调，则“一定”只有一个零点 (2)若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。 此时如果单调，那么“一定”没有零点 (3)如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的。 此时如果单调，则一定有. 5．函数的零点，方程的根，两函数图象交点之间的联系 (1)函数有零点⇔方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点(横坐标为). (2)方程有实数根函数与函数有交点(横坐标为). 二、二分法 1.定义：对于区间上连续且的函数，不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法. 注：求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 2.用二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定区间，验证，给定精度. (2)求区间的中点. (3)计算，若，则就是函数的零点； 若，则令(此时零点). 若，则令(此时零点) (4)判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为(或)； 否则重复第(2)~(4)步. 三、常用结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)连续不断的函数f(x)在闭区间上有零点，不一定能推出. 考点一 求函数的零点 命题点1 求简单函数的零点 【例1-1-1】(2024·山东青岛·二模)函数的零点为(   ) A．0 B．1 C． D． 【答案】B【分析】令，解出即可. 【解】因为，令，解得，即函数的零点为1;故选：B. 【例1-1-2】(2022·江西萍乡·二模)已知函数，则的所有零点之和为( ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】令求解即可. 【解】时，由得，时，由得或， 所以四个零点和为．故选：D． 【思维升华】求函数零点的值，可通过解方程得到. 1．(2023·上海徐汇·一模)函数的零点是 ． 【答案】/0.5【解】由题意可得函数的定义域为. ，令可得，解得或(舍)，故答案为：. 2.(2023·陕西西安·模拟预测)函数的零点为(    ) A． B．2 C． D． 【答案】A【分析】根据零点的定义即可求解. 【解】令，得，则．故选：A 命题点2 用二分法求零点零点 【例1-2-1】下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是(    ) A． B． C． D．   【答案】C【解】根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足， 所以C选项不能用二分法求图中函数零点；故选：C 【例1-2-2】用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】B【解】因为，由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即；故选：B. 【例1-2-3】已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得；所以；故选：B. 1.设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为(   ) A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B【解】，， 第一次取，有，故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为；故选：B. 2.(多选)设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD【解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项；故选：ABD． 考点二 判断函数零点所在区间 【例2-1】已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) －4 －2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2) 　　　　　　B．(2，3) 　　　　　　C．(3，4) 　　　　　　D．(4，5) 【答案】B【解】x＝2与x＝3对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点． 【例2-2】(2024高三上·浙江宁波·期末)函数的零点所在区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据零点存在性定理进行求解. 【解】由已知，可知为增函数，且，， 根据零点存在定理，函数在有零点，且零点是唯一的；故选：B 【例2-3】函数的零点所在的大致区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【解】的定义域为，又与在上单调递增， 所以在上单调递增，又，，所以， 根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为，故选：B. 【例2-4】 (2023·荆州调研)若x0是方程的根，则x0属于区间(　　) A. B. C. D. 【答案】C【解】构造函数，易知函数f(x)在R上单调递减，且函数f(x)连续， 易知，， ，结合选项，因为，故函数f(x)的零点所在的区间为， 【例2-5】设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 【答案】D【解】f′(x)＝，令f′(x)>0得x>3，令f′(x)<0得0<x<3，令f′(x)＝0得x＝3，所以f(x)在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln 3<0，又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0， ＝＋1>0，所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D． 【例2-6】函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a<3 B．1<a<3 C．1<a<2 D．a≥2 【答案】A【解】因为y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增， 所以在(0，＋∞)上单调递增，由函数的一个零点在区间(1,2)内得， ；故选A. 1．已知自变量和函数值的对应值如下表： x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 则方程2x＝x2的一个根位于区间(　　) A．(0.6，1.0)　　　　B．(1.4，1.8)　　　　C．(1.8，2.2)　　　　D．(2.6，3.0) 【答案】C【解】令f(x)＝2x，g(x)＝x2，因为f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24，f(2.2)＝4.595，g(2.2)＝4.84．令 h(x)＝2x－x2，则h(1.8)>0，h(2.2)<0．故选C． 2．(23-24高三下·北京·阶段练习)函数的一个零点所在的区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【解】定义域为，且在内单调递增，知在内单调递增， 且，所以函数的唯一一个零点所在的区间是；故选：B. 3．在下列区间中，函数f(x)＝＋4x－3的零点所在的区间可能为(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 【答案】D【解】函数f(x)＝＋4x－3是连续函数， 又因为＝－1＜0，＝＋3－3＞0，所以＜0，故选D． 4．(2024·陕西安康·模拟预测)函数的零点所在区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】由零点存在性定理可得答案. 【解】因为函数的定义域为，又，所以在上单调递增， 又，所以在内存在一个零点，使；故选：C. 5．若x0是方程的解，则x0属于区间(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】C【解】令g(x)＝，f(x)＝，则g(0)＝1>f(0)＝0， ，，所以由图象关系可得<x0<． 6．已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1)　　　　　B．(－1，0)　　　　　C．(0，1) 　　　　　D．(1，2) 【答案】B【解】f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，所以f(－1)·f(0)<0， 则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点． 7．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，其零点分别为x1，x2，…，x2 017，且x1＋x2＋…＋x2 017＝m，方程2x＋x－2＝m的根所在区间是(　　) A．(0，1)　　　　　B．(1，2)　　　　　C．(2，3)　　　　　D．(3，4) 【答案】A【解】因为y＝f(x)(x∈R)是奇函数，故其零点x1，x2，…，x2 017关于原点对称，且其中一个为0， 所以x1＋x2＋…＋x2 017＝m＝0．则方程为2x＋x－2＝0，令h(x)＝2x＋x－2，则h(x)为(－∞，＋∞)上的增函数． 因为h(0)＝20＋0－2＝－1<0，h(1)＝21＋1－2＝1>0，所以方程2x＋x－2＝m的根所在区间是(0，1)． 8．已知函数f(x)＝，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　B．(1，2)　　　　　　C．(2，4)　　　　　　D．(4，＋∞) 【答案】C【解】f(1)＝6>0，f(2)＝2>0，f(4)＝－ <0，所以零点在区间(2，4)． 9．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　) A．(0，1)　　　　　B．(1，2)　　　　　C．(2，3)　　　　　D．(3，4) 【答案】B【解】易知f(x)＝ln x－在定义域(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－>0． 根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝ln x－有唯一零点，且在区间(1，2)内． 11．函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(　　) A．　　　　　　B．(1，2)　　　　　　C．(2，e)　　　　　　D．(e，3) 【答案】C【解】易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0．∴f(2)f(e)<0， 故f(x)的零点在区间(2，e)内． 12. (多选) (2024·广东·高三专题练习)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 【答案】AD【解】，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0， 所以f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点． 13．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________． x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 【答案】(1，2)【解】令f(x)＝ex－x－2，由于f(1)＝e1－1－2＝2.72－3<0，f(2)＝e2－4＝7.39－4>0， 故函数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根． 14．f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝_____． 【答案】2【解】对于y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1， 在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内， ∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2． 考点三 判断函数零点的个数 【例3-1】函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 【答案】B【解】函数f(x)＝的零点个数是方程的解的个数，即方程的解的个数， 也即与的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图，可得交点有1个． 【例3-2】函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4 【答案】B【解】f(x)＝3x|ln x|－1的零点数的个数即g(x)＝|ln x|与h(x)＝图象的交点个数． 作出g(x)＝|ln x|和h(x)＝的图象可知，两图象有两个交点，故函数f(x)＝3x|ln x|－1有2个零点． 【例3-3】函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．0 【答案】B【解】法一:由f(x)＝0得或得x＝－2或x＝e．因此有2个零点． 法二　函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点． 【例3-4】已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4 【答案】C【解】g(x)＝f(1－x)－1＝ 易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以g(x)的零点共有3个，故选C． 【例3-5】(2024·浙江温州·三模)已知函数则关于方程的根个数不可能是(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【解】作出函数的图象，如图所示：      将原问题转化为直线(过定点)与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点．故选：C． 【思维升华】函数零点个数的判断方法 (1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则方程解的个数即为函数零点的个数． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点所具有的性质． (3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题．即将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断． 1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 【答案】C【解】解法1:令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1， 所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2．故选C． 解法2:函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数， 如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2． 2．(2022·长春二模)已知函数，则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B【解】法一(直接法):由y＝f(x)－3＝0得f(x)＝3. 当x＞0时，得ln x＝3或ln x＝－3，解得x＝e3或x＝e－3； 当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解；所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2，故选B. 法二(图象法:作出函数f(x)的图象，作出直线y＝3，由图知y＝f(x)的图象与直线y＝3有2个交点， 故函数y＝f(x)－3的零点个数是2，故选B. 3．已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点的个数为(　　) A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．5 【答案】A【解】当x<0时，f(2－x)＝x2，此时f(x)－g(x)＝－1－|x|＋x2的零点为x＝； 当0≤x≤2时，f(2－x)＝2－|2－x|＝x，f(x)－g(x)＝2－|x|＋x－3＝－1无零点； 当x>2时，f(2－x)＝2－|2－x|＝4－x，f(x)－g(x)＝(x－2)2＋4－x－3＝x2－5x＋5大于2的零点有一个． 因此函数y＝f(x)－g(x)共有零点2个． 4．设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是(　　) A．4　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．1 【答案】C【解】易知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2－3，∴x≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 且f(1)＝0，∴x＝1是函数y＝f(x)在(0，＋∞)上唯一零点． 从而x＝－1是y＝f(x)在(－∞，0)内的零点．故y＝f(x)有两个零点． 5．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 【答案】C【解】由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2． 6．函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4 【答案】B【解】函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数，就是方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数． 令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，在同一坐标平面上画出两函数的图象，如图所示． 由图象得h(x)与g(x)有2个交点，∴方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数为2． 7.(2024·江苏盐城·模拟预测)函数与的图象的交点个数是(    ) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数. 【解】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出与的图象，如图可知，两函数的交点个数为6；故选：D 8. (2022广东汕头)是R上的偶函数，，当]时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象， 根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可. 【解】因为，且为偶函数；所以，即， 所以函数是以4为周期的周期函数，作出，在同一坐标系的图象，如图， 因为方程至少有8个实数解，所以，图象至少有8个交点， 根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点， 由图可知，当时，只需，即， 当时，只需，即，当时，由图可知显然成立， 综上可知，；故选：B 9.(多选) (2024·广东深圳·模拟预测)已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，其中正确的是(    ) A．当时，有2个零点 B．当时，至少有2个零点 C．当时，有1个零点 D．当时，可能有4个零点 【答案】ABD【分析】根据的正负分类讨论，分别作出与的函数图象，一一分析计算即可. 【解】设，函数的零点即的解， 若时，则时，，所以， 如图所示，显然有两个零点，故A正确，C错误； 若时，或， 当时，即时，只有两个零点，当时，即时，有三个零点， 当时，即时，有四个零点，故B、D正确；故选：ABD 10．函数f(x)＝的零点个数是________． 【答案】3【解】当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点； 当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f(x)有3个零点． 11．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________． 【答案】2【解】函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数． 作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点． 12.(2024高三下辽宁阶段练习)，则方程在区间上的所有实根之和为(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A【分析】判断关于对称，然后分和两种情况讨论，数形结合，在同一直角坐标系中画出、 ，通过判断两函数在上的交点个数即可求出函数的实根和. 【解】因为，则， 所以的图象关于对称，因为，此时不成立， 当时，由，即，则， ，，， 在同一平面直角坐标系中画出与，的图象如下所示： 由图可得与在上有且仅有个交点，且图象都关于对称， 所以所有的实根之和为；故选：A 【点睛】关键是判断出关于对称，根据对称性计算. 13. (2024·广东·高三专题练习)(多选)下列函数中存在零点的函数有(    ) A． B． C． D． 【答案】BC【分析】利用函数的值域求解进行判断选项. 【解】对于选项A，的值域为，则不存在零点，故A错误； 对于选项B，的值域为，则存在零点，故B正确； 对于选项C，的值域为，则存在零点，故C正确； 对于选项D，的值域为，则不存在零点，故D不正确；故选：BC 考点四 比较零点的大小 【例4-1】(2023·蚌埠模拟)已知，,－log2x3＝0，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1 【答案】A【解】设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增， ，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0，由函数零点存在定理可知，－1<x1<0. 设函数g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，，g(1)＝1，即， 由函数零点存在定理可知，， 设函数，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝，h(x3)＝0， 因为h(1)>h(x3)，由函数单调性可知，x3>1，即－1<x1<0<x2<1<x3. 【例4-2】(2024·新疆乌鲁木齐·二模)设，函数的零点分别为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】由题意分别为函数与函数图象交点的横坐标，作出函数的图象，结合函数图象即可得解. 【解】分别令， 则， 则分别为函数与函数图象交点的横坐标， 分别作出函数的图象，如图所示，由图可知，；故选：A. 1. (2024·湖南·模拟预测)已知正实数满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】利用数形结合法，根据题意结合图象交点分析判断. 【解】因为，即，由题意可知：为与的交点横坐标； 为与的交点横坐标；为与的交点横坐标； 在同一平面直角坐标系中作出的图象，由图可得：；故选：D. 2.(2024·重庆沙·模拟)已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据的图象，应用数形结合法判断不同取值情况a、b、c的大小关系，即可得结果. 【解】由的图象如下：由图知：当时，，D可能； 当时，，B可能； 当时，，A可能；故选：C 考点五 已知零点情况求参数的取值范围 【例5-1】函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) 　　　　　　　B．(1，2) 　　　　　　　C．(0，3) 　　　　　　　D．(0，2) 【答案】C【解】f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内， 则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0<a<3． 【例5-2】若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】(－∞，2－2]【解】由方程得a＝－，设t＝2x(t>0)， 则a＝－＝－＝2－，其中t＋1>1， 由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2． 【例5-3】函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　) A．(－∞，－1　　　　　B．(－∞，1)　　　　　C．(－1，0) 　　　　　D．[－1，0) 【答案】D【解】(1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝． 因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0． 【例5-4】已知函数f(x)＝若f(x)在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是________． 【答案】【解】当0≤x≤1时，2x2＋2mx－1＝0，易知x＝0不是方程2x2＋2mx－1＝0的解， m＝－x在(0，1]上是减函数，故m≥－1＝－；即m≥－时，方程f(x)＝0在[0，1]上有且只有一个解， 当x>1时，令mx＋2＝0得，m＝－，故－2<m<0，即当－2<m<0时，f(x)＝0在(1，＋∞)上有且只有一个解， 综上所述，若f(x)在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是． 【例5-5】(2024高三下·重庆·阶段练习)(多选)函数的零点为，的零点为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】BCD【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可. 【解】∵函数的零点为，的零点为， ∴函数与函数图象的交点的横坐标为， 函数与函数图象的交点的横坐标为， 作函数、函数、函数的图象如图，点A的横坐标为，点B的横坐标为， ∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称， ∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称， 对于A：∴，故选项A错误；对于B：易知，故选项B正确； 对于C：∵，，，∴，即选项C正确； 对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确，故选:BCD． 【思维升华】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． (3)数形结合法：转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 1．设函数f(x)＝x3－3x，若函数g(x)＝f(x)＋f(t－x)有零点，则实数t的取值范围是(　　) A．(－2，2)　　　B．(－，)　　　C．[－2，2]　　　D．[－，] 【答案】C【解】由题意，g(x)＝x3－3x＋(t－x)3－3(t－x)＝3tx2－3t2x＋t3－3t，当t＝0时，显然g(x)＝0恒成立；当t≠0时，只需Δ＝(－3t2)2－4×3t×(t3－3t)≥0，化简得t2≤12，即－2≤t≤2，t≠0． 综上可知，实数t的取值范围是[－2，2]． 2．已知函数f(x)＝－a在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，－log32)　　　　B．(0，log52)　　　　C．(log32，1)　　　　D．(1，log34) 【答案】C【解】∵函数f(x)＝－a在区间(1，2)内有零点，且f(x)在(1，2)内单调，∴f(1)·f(2)<0， 即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1． 3．若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞)　　　　B．[2，＋∞)　　　　C．　　　　D． 【答案】D【解】由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，即a＝x＋在上有解， 设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是．所以实数a的取值范围是． 4．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(　　) A．(1，2)　　B．(－∞，－2]　　C．(－∞，1)∪(2，＋∞)　　D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 【答案】D【解】当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1； 当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)． 5.(2024·陕西榆林·二模)函数恰有3个零点，则整数的取值个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【分析】根据题意解出，，分别画出函数图像，数形结合求解即可. 【解】令，得或； 作出的大致图象，如图所示， 这两个函数的图象的交点为，因为， 所以由图可知的取值范围是.故整数或2，个数为2；故选：B 6.(多选)(2023·廊坊模拟)已知函数f(x)＝|x2＋3x＋1|－a|x|，则下列结论正确的是(　　) A.若f(x)没有零点，则a∈(－∞，0) B.若f(x)恰有2个零点，则a∈(1，5) C.若f(x)恰有3个零点，则a＝1或a＝5 D.若f(x)恰有4个零点，则a∈(5，＋∞) 【答案】AC【解】当x＝0时，f(0)＝1≠0，所以x＝0不是f(x)的零点； 当x≠0时，由f(x)＝0，整理得，令g(x)＝， 则函数f(x)的零点个数即为函数g(x)＝的图象与直线y＝a的交点个数， 作出函数g(x)＝的大致图象(如图). 由图可知，若f(x)没有零点，则a∈(－∞，0)，故A正确； 若f(x)恰有2个零点，则a∈{0}∪(1，5)，故B不正确； 若f(x)恰有3个零点，则a＝1或a＝5，故C正确； 若f(x)恰有4个零点，则a∈(0，1)∪(5，＋∞)，故D不正确.故选AC. 7．(2024·河北·模拟预测)(多选)已知函数的零点分别为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD【分析】对于A，由题意得，进而得即可求解判断； 对于B，先明确零点取值范围，由取值范围再结合即即可求解判断； 对于C，由即以及零点的取值范围即可求解判断； 对于D，结合AB以及将转化成即可判断. 【解】对于A，由题，，所以即， 所以，故，故A正确； 对于B，由得，故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点， 如图，由图象性质可知， 又由A得，故，所以，故B错； 对于C，由上即，以及得： ，故C对； 对于D，由AB得，，， 所以，故D对；故选：ACD. 8．(2023高三上·河北张家口·期末)(多选)已知，方程，在区间的根分别为a，b，以下结论正确的有(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD【分析】分别是和的图象与的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线对称得，， 直接变形判断AB，利用不等式知识判断C，由零点存在定理确定，构造函数，确定其单调性，由单调性判断D． 【解】已知两方程化为，，所以分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，易知和的图象关于直线对称， 而函数的图象可以看作是由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的， 因此的图象也关于直线对称，所以点与关于直线对称， ，， ，A正确； 又，所以，，从而，B正确； ，当且仅当即时取等号， 由于，而，因此，等号不成立，即，C错误， ， 设，则， ，，所以，所以， 时，是减函数，所以由得，所以，D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键是确定分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线对称得出的关系． 9．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是__________． 【答案】【解】由题意方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解． 方程a＝4x－2x可变形为a＝－， 因为x∈[－1，1]，所以2x∈，所以2－∈．所以实数a的取值范围是． 10．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 【答案】(0，1]【解】当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1． 因为f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点， 令f(x)＝0得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以实数a的取值范围是0<a≤1． 11．函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________． 【答案】【解】由于当x≤0时，f(x)＝|x2＋2x－1|的图象与x轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x－1＋a＝0有1个正根即可，变形为2x＝－2a，结合图形只需－2a>1⇒a<－即可． 考点六 嵌套函数的零点 【例6-1】(2024·安徽合肥·三模)设，函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】设，当时，，此时， 由得，即，解得或，所以在上有2个零点； 时，若，对称轴为，函数的大致图象如图： 此时，即，则，所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如图：令，解得(舍去)， 显然在上存在唯一负解，所以要使恰有5个零点， 需，即，解得，所以．故选：D 【例6-2】(2023·南通联考)函数，若关于x的方程f2(x)－(k＋1)xf(x)＋kx2＝0有且只有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为(　　) A. B. C.(0，1)∪(1，2) D.(2，＋∞) 【答案】B【解】因为由f2(x)－(k＋1)x·f(x)＋kx2＝0；可得[f(x)－x]·[f(x)－kx]＝0， 所以关于x的方程f(x)＝x，f(x)＝kx共有3个不同的实数解. 先讨论方程f(x)＝x的解的个数. 当x≤0时，由，可得x＝0；当0＜x≤时，由f(x)＝2x＝x，可得方程无解； 当x＞时，由f(x)＝2－2x＝x，可得；所以方程f(x)＝x只有两解x＝0和. 讨论方程f(x)＝kx的解的个数；当x≤0时，由f(x)＝x2＋x＝kx可得，可得x＝0或x＝k－； 当0＜x≤时，由f(x)＝2x＝kx，可得k＝2，此时方程f(x)＝kx有无数个解，不符合题意； 当x＞时，由f(x)＝2－2x＝kx可得， 因为k＞0，所以由题意可得解得≤k＜1或1＜k＜2， 故正实数k的取值范围是.故选B. 【例6-3】(2022·泉州模拟)R上的函数，则关于x的函数y＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　) A．3 B．7 C．5 D．6 【答案】B【解】根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或. 作出f(x)的简图如图所示，由图象可得当f(x)＝1和时，分别有3个和4个交点， 1. ，其中e为自然对数的底数，则g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为(　) A.4 B.5 C.6 D.3 【答案】A【解】当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x， 当0<x<1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x>1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1， 作出函数f(x)的图象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3， 可令g(t)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或， 当t＝，即时，g(x)有三个零点；当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根， 即g(x)有一个零点，综上，g(x)共有四个零点. 2.(2023·山东省实验中学诊断)函数，则函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D【解】令 当t＞0时，，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(1)＝－1＜0，，所以由函数零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0； 当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0. 作出函数t＝f(x)＋1的图象，直线t＝t1，t＝－2，t＝0如图所示， 由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点； 直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点； 直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点. 综上，函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5. 3.，若g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_____. 【答案】[－1，＋∞)【解】设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t). 在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图). 当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点；设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1. 当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解. 综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点. 4.(2024·陕西西安·一模) ，若有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】【分析】先求函数的值域，单调性，并画出图象，再设，结合复合函数的零点个数求实数的取值范围即可. 【解】易知函数在R上增函数，函数在上减函数， 所以，当时，，当时，，于是函数的值域为， 又函数的在上单调递增，在上单调递减，函数图象如图所示： 设，由可知，，则. 因为有两个零点，所以，即， 于是，则方程，即有两个零点， 所以，由的图象可知，使方程有两个零点， 则满足，解得；综上所述，实数的取值范围是；故答案为：. 1.(2024新高考I卷)当时，曲线与的交点个数为(    ) A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C【解】因为函数的的最小正周期为，函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点；故选：C 2.(2024新高考Ⅱ卷T6)设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则( ) A. B. C. 1 D. 2 【答案】D【解】解法一：令，即，可得， 令，原题等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0， 即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：. 解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点， 因为，则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得， 若，则，又因为当且仅当时，等号成立， 得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D. 3.(多选)(2024新高考II卷·高考真题)对于函数和，下列说法正确的有(    ) A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 【答案】BC【解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误；故选：BC 4.(2024·全国·高考真题)曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ，因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以；故答案为： 5.(2023·全国·高考真题)函数存在3个零点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，，当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B. 6.(2023·全国·高考真题)在有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：. 7.(2023·天津)设,函数,若恰有两个零点，则的取值范为 ． 【答案】【解】(1)当时， ， 即， 若时，，此时成立；若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． (2)当时， ，即， 若时，，显然不成立；若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上，当时，零点为，；当时，零点为，； 当时，只有一个零点；当时，零点为，； 当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且．故答案为：． 8. (多选)(2022·全国·高考真题)已知函数，则(    ) A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【解】由题，，令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 9.(2021·北京·高考真题)已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时， 直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得， 由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确； 故答案为：①②④. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-9 函数的零点 讲义 一、函数零点有关概念 1．函数零点的定义：一般地，把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． 2．函数零点存在性定理 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点， 即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0． 3．函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。 4．几个常用结论：若在区间连续 (1)若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。 此时如果单调，则“一定”只有一个零点 (2)若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。 此时如果单调，那么“一定”没有零点 (3)如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的。 此时如果单调，则一定有. 5．函数的零点，方程的根，两函数图象交点之间的联系 (1)函数有零点⇔方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点(横坐标为). (2)方程有实数根函数与函数有交点(横坐标为). 二、二分法 1.定义：对于区间上连续且的函数，不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法. 注：求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 2.用二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定区间，验证，给定精度. (2)求区间的中点. (3)计算，若，则就是函数的零点； 若，则令(此时零点). 若，则令(此时零点) (4)判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为(或)； 否则重复第(2)~(4)步. 三、常用结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)连续不断的函数f(x)在闭区间上有零点，不一定能推出. 考点一 求简单函数的零点 命题点1 求简单函数的零点 【例1-1-1】(2024·山东青岛·二模)函数的零点为(   ) A．0 B．1 C． D． 【例1-1-2】(2022·江西萍乡·二模)已知函数，则的所有零点之和为( ) A． B． C． D． 【思维升华】求函数零点的值，可通过解方程得到. 1．(2023·上海徐汇·一模)函数的零点是 ． 2.(2023·陕西西安·模拟预测)函数的零点为(    ) A． B．2 C． D． 命题点2 用二分法求零点零点 【例1-2-1】下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是(    ) A． B． C． D．   【例1-2-2】用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(    ) A．， B．， C．， D．， 【例1-2-3】已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是(    ) A． B． C． D． 1.设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为(   ) A．或都可以 B． C． D．不能确定 2.(多选)设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为(    ) A． B． C． D． 考点二 判断函数零点所在区间 【例2-1】已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) －4 －2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2) 　　　　　　B．(2，3) 　　　　　　C．(3，4) 　　　　　　D．(4，5) 【例2-2】(2024高三上·浙江宁波·期末)函数的零点所在区间为(    ) A． B． C． D． 【例2-3】函数的零点所在的大致区间是(    ) A． B． C． D． 【例2-4】 (2023·荆州调研)若x0是方程的根，则x0属于区间(　　) A. B. C. D. 【例2-5】设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 【例2-6】函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a<3 B．1<a<3 C．1<a<2 D．a≥2 1．已知自变量和函数值的对应值如下表： x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 则方程2x＝x2的一个根位于区间(　　) A．(0.6，1.0)　　　　B．(1.4，1.8)　　　　C．(1.8，2.2)　　　　D．(2.6，3.0) 2．(23-24高三下·北京·阶段练习)函数的一个零点所在的区间是(    ) A． B． C． D． 3．在下列区间中，函数f(x)＝＋4x－3的零点所在的区间可能为(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 4．(2024·陕西安康·模拟预测)函数的零点所在区间是(    ) A． B． C． D． 5．若x0是方程的解，则x0属于区间(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 6．已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1)　　　　　B．(－1，0)　　　　　C．(0，1) 　　　　　D．(1，2) 7．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，其零点分别为x1，x2，…，x2 017，且x1＋x2＋…＋x2 017＝m，方程2x＋x－2＝m的根所在区间是(　　) A．(0，1)　　　　　B．(1，2)　　　　　C．(2，3)　　　　　D．(3，4) 8．已知函数f(x)＝，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　B．(1，2)　　　　　　C．(2，4)　　　　　　D．(4，＋∞) 9．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　) A．(0，1)　　　　　B．(1，2)　　　　　C．(2，3)　　　　　D．(3，4) 11．函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(　　) A．　　　　　　B．(1，2)　　　　　　C．(2，e)　　　　　　D．(e，3) 12. (多选) (2024·广东·高三专题练习)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 13．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________． x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 14．f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝_____． 考点三 判断函数零点的个数 【例3-1】函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 【例3-2】函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4 【例3-3】函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．0 【例3-4】已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4 【例3-5】(2024·浙江温州·三模)已知函数则关于方程的根个数不可能是(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思维升华】函数零点个数的判断方法 (1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则方程解的个数即为函数零点的个数． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点所具有的性质． (3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题．即将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断． 1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 2．(2022·长春二模)已知函数，则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3．已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点的个数为(　　) A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．5 4．设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是(　　) A．4　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．1 5．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 6．函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4 7.(2024·江苏盐城·模拟预测)函数与的图象的交点个数是(    ) A．2 B．3 C．4 D．6 8. (2022广东汕头)是R上的偶函数，，当]时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 9.(多选) (2024·广东深圳·模拟预测)已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，其中正确的是(    ) A．当时，有2个零点 B．当时，至少有2个零点 C．当时，有1个零点 D．当时，可能有4个零点 10．函数f(x)＝的零点个数是________． 11．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________． 12.(2024高三下辽宁阶段练习)，则方程在区间上的所有实根之和为(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 13. (2024·广东·高三专题练习)(多选)下列函数中存在零点的函数有(    ) A． B． C． D． 考点四 比较零点的大小 【例4-1】(2023·蚌埠模拟)已知，,－log2x3＝0，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1 【例4-2】(2024·新疆乌鲁木齐·二模)设，函数的零点分别为，则(    ) A． B． C． D． 1. (2024·湖南·模拟预测)已知正实数满足，则(    ) A． B． C． D． 2.(2024·重庆沙·模拟)已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为(    ) A． B． C． D． 考点五 已知零点情况求参数的取值范围 【例5-1】函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) 　　　　　　　B．(1，2) 　　　　　　　C．(0，3) 　　　　　　　D．(0，2) 【例5-2】若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为 ． 【例5-3】函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　) A．(－∞，－1　　　　　B．(－∞，1)　　　　　C．(－1，0) 　　　　　D．[－1，0) 【例5-4】已知函数f(x)＝若f(x)在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是________． 【例5-5】(2024高三下·重庆·阶段练习)(多选)函数的零点为，的零点为，则(   ) A． B． C． D． 【思维升华】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． (3)数形结合法：转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 1．设函数f(x)＝x3－3x，若函数g(x)＝f(x)＋f(t－x)有零点，则实数t的取值范围是(　　) A．(－2，2)　　　B．(－，)　　　C．[－2，2]　　　D．[－，] 2．已知函数f(x)＝－a在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，－log32)　　　　B．(0，log52)　　　　C．(log32，1)　　　　D．(1，log34) 3．若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞)　　　　B．[2，＋∞)　　　　C．　　　　D． 4．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(　　) A．(1，2)　　B．(－∞，－2]　　C．(－∞，1)∪(2，＋∞)　　D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 5.(2024·陕西榆林·二模)函数恰有3个零点，则整数的取值个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 6.(多选)(2023·廊坊模拟)已知函数f(x)＝|x2＋3x＋1|－a|x|，则下列结论正确的是(　　) A.若f(x)没有零点，则a∈(－∞，0) B.若f(x)恰有2个零点，则a∈(1，5) C.若f(x)恰有3个零点，则a＝1或a＝5 D.若f(x)恰有4个零点，则a∈(5，＋∞) 7．(2024·河北·模拟预测)(多选)已知函数的零点分别为，则(    ) A． B． C． D． 8．(2023高三上·河北张家口·期末)(多选)已知，方程，在区间的根分别为a，b，以下结论正确的有(    ) A． B． C． D． 9．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是__________． 10．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 11．函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________． 考点六 嵌套函数的零点 【例6-1】(2024·安徽合肥·三模)设，函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【例6-2】(2023·南通联考)函数，若关于x的方程f2(x)－(k＋1)xf(x)＋kx2＝0有且只有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为(　　) A. B. C.(0，1)∪(1，2) D.(2，＋∞) 【例6-3】(2022·泉州模拟)R上的函数，则关于x的函数y＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　) A．3 B．7 C．5 D．6 1. ，其中e为自然对数的底数，则g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为(　) A.4 B.5 C.6 D.3 2.(2023·山东省实验中学诊断)函数，则函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 3.，若g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_____. 4.(2024·陕西西安·一模) ，若有两个零点，则的取值范围是 . 1.(2024新高考I卷)当时，曲线与的交点个数为(    ) A．3 B．4 C．6 D．8 2.(2024新高考Ⅱ卷T6)设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则( ) A. B. C. 1 D. 2 3.(多选)(2024新高考II卷·高考真题)对于函数和，下列说法正确的有(    ) A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 4.(2024·全国·高考真题)曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 5.(2023·全国·高考真题)函数存在3个零点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6.(2023·全国·高考真题)在有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 7.(2023·天津)设,函数,若恰有两个零点，则的取值范为 ． 8. (多选)(2022·全国·高考真题)已知函数，则(    ) A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 9.(2021·北京·高考真题)已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$