第二单元 因数和倍数的认识（六个重难点突破）-2024-2025学年五年级下册数学重难点专题突破（人教版）

第二单元 因数和倍数的认识 一、因数和倍数的认识 二、找一个数的因数及因数的特征 三、根据因数的特征解决问题 四、找一个数的倍数及倍数的特征 五、根据倍数的特征解决问题 六、因数和倍数的综合应用 知识点1因数和倍数的认识 1、因数和倍数的意义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的。 注意:为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括 0）。 2、找一个数的因数的方法。 （1）找一个数的因数的方法:（1）通过列除法算式看这个数除以哪些整数的结果是整数，则除数和商都是它的因数。（2）通过列乘法算式看哪两个整数的积是这个数，则两个乘数都是它的因数。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3、找一个数的倍数的方法 （1）找一个数的倍数的方法. 通过列除法算式看哪些整数除以这个数的商是整数而没有余数，那么这些数都是它的倍数。 通过列乘法算式看这个数乘1，2，3，…的积是哪些数，那么这些数都是它的倍数。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 重难点一因数和倍数的认识 【典例1】在20，12，6，1，25，48，3，4中，6的因数有( )，6的倍数有( )。 【变式1-1】在3，5和20这三个数中，( )是( )的倍数，( )是( )的因数。 【变式1-2】，那么28是4和7的( )，4和7是28的( )。 【变式1-3】一个自然数，它的最大因数是25，这个自然数是( )；一个自然数，它的最小倍数是18，这个自然数是( )。 重难点二找一个数的因数及因数的特征 【典例2】一个数的最大因数是15，它的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【变式2-1】一个数最大的因数是36，它最小的倍数是( )。写出36的全部因数( )。 【变式2-2】一个自然数，它的因数从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝100，那么e＋d＝( )。 【变式2-3】一个数的最大因数是16，这个数的所有因数有( )，这个数的最小倍数是( )。 重难点三根据因数的特征解决问题 【典例3】找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 【变式3-1】端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【变式3-2】把36个苹果分成若干份，要使每份的苹果个数相同（最少分2份，每份最少2个），一共有多少种不同的分法？ 【变式3-3】今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树111棵，已知五（2）班人数多于20且不超过40，王老师植树的棵数和平均每位同学植树的棵数一样。五（2）班有多少位同学？平均每位同学植树多少棵？ 重难点四找一个数的倍数及倍数的特征 【典例4】一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是( )。 【变式4-1】50以内数中7的倍数一共有( )个。 【变式4-2】把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 【变式4-3】淘宝某店“双十一”前开展整时抢三折优惠券活动。每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数。店家每次可能发放( )张优惠券。 重难点五根据倍数的特征解决问题 【典例5】小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 【变式5-1】4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【变式5-2】金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【变式5-3】商店运来36瓶饮料，如果每6瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 重难点六因数和倍数的综合应用 【典例6】赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 【变式6-1】一个数既是12的倍数，又是72的因数，这个数可能是多少？ 【变式6-2】阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【变式6-3】有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 一、填空题 1．24的因数有( )个，其中最大的是( )，最小的是( )。13的倍数有( )个，其中最小的一个是( )。 2．在54÷6＝9中，6和9是54的( )，54是6的( )，54也是9的( )。 3．用30个1平方厘米的小正方形拼成长方形，一共有( )种不同的拼法，其中周长最短是( )厘米。 4．李师傅每工作7天休息2天，本次轮休时间是周五和周六，至少再过 天，李师傅能在周六周日休息。 5．24的因数共有8个。淘气写出了7个：1、2、3、4、6、12、24。按照淘气的排列方法，他漏写了( )后面的( )。 6．63÷9＝( )，我们就说63是( )和9的( )，( )和9是63的( )，除了( )和9外，63的因数还有( )。 7．规定一个新运算：对于不小于3的整数n，（n）表示n的因数个数，如5的因数是1和5，所以（5）＝2；再如8的因数是1、2、4和8，所以（8）＝4等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（6）＋（24）＝( )。 8．五年级先抽出了45名同学组成5路彩旗仪仗队，现在要改为6路彩旗仪仗队，最少需增加( )名同学，或者减少( )名同学。 9．同学们报名参加“冬奥会知识知多少”抢答赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有( )人报名参加。 10．你能写出这样的数吗？ 这样的数有( )和( )。 二、解答题 11．把56个山竹装入一些袋子中，每个袋子中都装入同样多的山竹，每袋至少装2个，且袋子数大于1，可以有几种装法？ 12．把54颗糖果装在袋子里，每个袋子装同样多的糖果，有几种装法？每种装法各需要几个袋子？ 13．盒子里有48块糖，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种不同的拿法？每次拿出多少个？ 14．体操表演队由48名同学组成，表演时要排成长方形队形，都可以怎样排？（至少写出3种排法） 15．幼儿园大班有一些小朋友（多于10人，且少于40人），李老师拿了48颗糖平均分给他们，正好分完，小朋友的人数可能是多少？ 16． 17．合唱队有32名同学，要站成若干、排表演，若每排人数相等，可以怎样站？（不包括每排一人或32人站一排的情况） 18．五（9）班有学生48人，实验课上，老师要把他们平均分组，每组多于2人，少于8人，可以怎样分组？ 19．致远书店要把80本课外书进行打包，现在有三种打包方案，选哪种打包方案刚好合适，没有剩余？ 20．学校图书馆李阿姨买回一些故事书，平均分给16个班，正好分完，这些故事书比50本多，比100本少，那么李阿姨可能买回多少本故事书？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二单元 因数和倍数的认识 一、因数和倍数的认识 二、找一个数的因数及因数的特征 三、根据因数的特征解决问题 四、找一个数的倍数及倍数的特征 五、根据倍数的特征解决问题 六、因数和倍数的综合应用 知识点1因数和倍数的认识 1、因数和倍数的意义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的。 注意:为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括 0）。 2、找一个数的因数的方法。 （1）找一个数的因数的方法:（1）通过列除法算式看这个数除以哪些整数的结果是整数，则除数和商都是它的因数。（2）通过列乘法算式看哪两个整数的积是这个数，则两个乘数都是它的因数。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3、找一个数的倍数的方法 （1）找一个数的倍数的方法. 通过列除法算式看哪些整数除以这个数的商是整数而没有余数，那么这些数都是它的倍数。 通过列乘法算式看这个数乘1，2，3，…的积是哪些数，那么这些数都是它的倍数。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 重难点一因数和倍数的认识 【典例1】在20，12，6，1，25，48，3，4中，6的因数有( )，6的倍数有( )。 【答案】6，1，3 12，6，48 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答。 【解答】6的因数有：6，1，3； 6的倍数有：12，6，48。 【点评】此题考查的目的是理解因数、倍数的意义，掌握求一个数的因数的方法、求一个数的倍数的方法及运用。 【变式1-1】在3，5和20这三个数中，( )是( )的倍数，( )是( )的因数。 【答案】20 5 5 20 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此填空即可。 【解答】因为20÷5＝4，所以20是5的倍数，5是20的因数。 【点评】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 【变式1-2】，那么28是4和7的( )，4和7是28的( )。 【答案】倍数 因数 【分析】a×b＝c（a、b、c均为非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。据此解题。 【解答】4×7＝28，那么28是4和7的倍数，4和7是28的因数。 【点评】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。 【变式1-3】一个自然数，它的最大因数是25，这个自然数是( )；一个自然数，它的最小倍数是18，这个自然数是( )。 【答案】25 18 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 【解答】一个自然数，它的最大因数是25，这个自然数是25； 一个自然数，它的最小倍数是18，这个自然数是18。 【点评】本题考查因数和倍数的知识，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身是解题的关键。 重难点二找一个数的因数及因数的特征 【典例2】一个数的最大因数是15，它的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【答案】15 1、3、5、15 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是本身。一个数的最小倍数也是本身。一个数的最大因数是15，说明这个数就是15，再通过等积式求出它的因数即可。 【解答】15＝1×15＝3×5 一个数的最大因数是15，它的最小倍数是15，它的因数有1、3、5、15。 【变式2-1】一个数最大的因数是36，它最小的倍数是( )。写出36的全部因数( )。 【答案】36 1，2，3，4，6，9，12，18，36 【分析】一个数最大因数是它本身，最小倍数是它本身，据此求出36的最小倍数；再根据求一个数的因数的方法，求出36的全部因数。 【解答】一个数最大的因数是36，它最小的倍数是36。 36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 一个数最大的因数是36，它最小的倍数是36。36的全部因数1，2，3，4，6，9，12，18，36。 【变式2-2】一个自然数，它的因数从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝100，那么e＋d＝( )。 【答案】44 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因此a＝1，f＝100－1，据此确定这个自然数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。找出这个自然数的所有因数，从小到大排列，据此确定e和d，求和即可。 【解答】100－1＝99 99＝1×99＝3×33＝9×11 99的因数有：1、3、9、11、33、99 e＝33、d＝11 e＋d＝33＋11＝44。 【变式2-3】一个数的最大因数是16，这个数的所有因数有( )，这个数的最小倍数是( )。 【答案】1，2，4，8，16 16 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此确定这个数；列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个乘数就是这个数的因数。 【解答】16＝1×16＝2×8＝4×4 一个数的最大因数是16，这个数的所有因数有1，2，4，8，16，这个数的最小倍数是16。 重难点三根据因数的特征解决问题 【典例3】找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 【答案】见详解 【分析】首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算。 【解答】因为36＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5个数是：2、3、4、6、9； 因为，60＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5个数是：3、4、5、6、10； 120＝2×3×20＝5×24 ，2＋5＋20＝3＋24，所以5个数是：2、3、5、20、24。 【点评】本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度。 【变式3-1】端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（1）2种 （2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【解答】（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 【变式3-2】把36个苹果分成若干份，要使每份的苹果个数相同（最少分2份，每份最少2个），一共有多少种不同的分法？ 【答案】7种 【分析】把36个苹果平均分成若干份，要使每份的苹果个数同样多，那么分成的份数是36的因数；先列举出36的因数，根据题意，至少分2份，每份最少2个，所以要减去分1份和分36份这两种情况，进而得出结论。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36 排除其中的1和36，还有7种不同的分法。 答：一共有7种不同的分法。 【变式3-3】今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树111棵，已知五（2）班人数多于20且不超过40，王老师植树的棵数和平均每位同学植树的棵数一样。五（2）班有多少位同学？平均每位同学植树多少棵？ 【答案】36位；3棵 【分析】根据每人植树棵数×总人数＝植树总棵数（其中总人数包含王老师），可知每人植树棵数和总人数是植树总棵数的因数，结合题中：五（2）班人数多于20且不超过40，据此确定每人植树棵数和总人数，因为王老师也参与了植树，所以总人数－1＝学生人数，据此列式解答。 【解答】111＝1×111＝3×37 学生人数多余20且不超过40，结合实际情况植树的总人数排除1、3、141。 也就是植树总人数为：37人，平均每人植树：111÷37＝3（棵） 学生人数为：37－1＝36（人） 答：五（2）班有36位同学，平均每位同学植树3棵。 重难点四找一个数的倍数及倍数的特征 【典例4】一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是( )。 【答案】15 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【解答】根据分析可知，一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是15。 【变式4-1】50以内数中7的倍数一共有( )个。 【答案】7 【分析】找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【解答】50以内数中7的倍数：7，14，21，28，35，42，49。 50以内数中7的倍数一共有7个。 【变式4-2】把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 【答案】4 【分析】把这些糖果平均装在14个盒子里，正好装完，则这些糖果的数量刚好是14的倍数，先求出14的倍数，再找出倍数在50～60之间，最后用这些糖果的总数除以14，所得结果即为每盒装了多少袋糖果。 【解答】14的倍数有：14，28，42，56，70…… 其中倍数在50～60之间的是56。 56÷14＝4（袋） 因此每盒装了4袋糖果。 【变式4-3】淘宝某店“双十一”前开展整时抢三折优惠券活动。每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数。店家每次可能发放( )张优惠券。 【答案】9，18，27，36，45 【分析】根据题意，每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数，列举出50以内9的倍数，即是店家每次可能发放优惠券的张数。 【解答】50以内9的倍数：9，18，27，36，45； 即店家每次可能发放9，18，27，36，45张优惠券。 重难点五根据倍数的特征解决问题 【典例5】小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 【答案】小明14岁；爸爸42岁 【分析】列举出42的因数、2的倍数、7的倍数，从2、7的倍数中找出既是2的倍数又是7的倍数的数，再从中找出既是14的倍数又是42的因数的数，即可求解。 【解答】42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42； 2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 7的倍数：7，14，21，28，35，42，49，56，…； 既是2的倍数又是7的倍数有：14，28，42，…； 其中既是14的倍数，又是42的因数的数是42。 所以小明今年14岁，爸爸今年是42岁。 答：小明今年14岁，爸爸今年42岁。 【变式5-1】4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【分析】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【解答】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 【变式5-2】金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【分析】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【解答】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 【变式5-3】商店运来36瓶饮料，如果每6瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】能；36是6的倍数 【分析】根据题意，求如果每6瓶装一箱，能不能正好装完，就看36能不能被6整除，即看36是不是6的倍数，据此解答。 【解答】36÷6＝6（箱） 答：36是6的倍数，则能正好装完，能装6箱。 【点评】本题考查倍数的应用。根据倍数的意义即可解答。 重难点六因数和倍数的综合应用 【典例6】赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 【答案】3.51元 【分析】 因为买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元．已知处数字相同，说明9.2是28的倍数，又因28同一个数相乘，末尾的数一定是0，2，4，6，8，故方框内的数可能是0，2，4，6，8，中的任意一个，分别填入0，2，4，6，8试一试，据此可列式解答。 【解答】 9.2元92分。 9020、9222、9424、9626均不能被28整除，9828能被28整除，所以处应该填8。（元） 答：每支钢笔3.51元。 【点评】本题考查了学生对因数和倍数的认识、小数除法，以及人民币的掌握情况，关键要弄清28同一个数相乘末尾数的特征。 【变式6-1】一个数既是12的倍数，又是72的因数，这个数可能是多少？ 【答案】12、24、36、72 【分析】根据找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；据此求出72的因数，再在其中找出12的倍数即可。 【解答】72÷1＝72 72÷2＝36 72÷3＝24 72÷4＝18 72÷6＝12 72÷8＝9 则72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72，其中是12的倍数的有：12、24、36、72。 答：这个数可能是：12、24、36、72。 【变式6-2】阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【答案】24元 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可。 【解答】48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48。 在15到25之间的是24。 答：这个文具盒的价格是24元。 【点评】关键是理解因数和倍数的意义，掌握因数和倍数的求法。 【变式6-3】有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】****﹣5054631 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；一个数的因数的个数是有限，最小的因数是1，一个数的最大因数是它本身；最小的自然数是0，1只有一个因数，据此解答。 【解答】A：5的最小倍数是5； B：最小的自然数是0； C：5的最大因数是5； D：它既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4； E：它的所有因数是1，2，3，6，这个数是6； F：它的所有因数是1，3，这个数是3； G：它只有一个因数，这个数是1； 由此得：这个电话号码是****﹣5054631。 【点评】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确一个数的最小倍数和最大因数都是它本身是解答本题的关键。 一、填空题 1．24的因数有( )个，其中最大的是( )，最小的是( )。13的倍数有( )个，其中最小的一个是( )。 【答案】8 24 1 无数 13/它本身 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此确定24的因数和13的倍数，再进行填空。可以发现一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，最小因数是1，没有最大的倍数。 【解答】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24 13×1＝13、13×2＝26、13×3＝39… 13的倍数有：13、26、39… 24的因数有8个，其中最大的是24，最小的是1。13的倍数有无数个，其中最小的一个是13。 2．在54÷6＝9中，6和9是54的( )，54是6的( )，54也是9的( )。 【答案】因数 倍数 倍数 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。先将54÷6＝9改写为6×9＝54，即可填空解答。 【解答】在54÷6＝9中，6和9是54的因数，54是6的倍数，54也是9的倍数。 3．用30个1平方厘米的小正方形拼成长方形，一共有( )种不同的拼法，其中周长最短是( )厘米。 【答案】4 22 【分析】先找所有两个乘数的积是30的算式，有几个算式就有几种拼法；用30个小正方形拼成的长方形，不论怎样拼它的面积不变，根据拼成图形的长和宽，结合长方形的周长＝（长＋宽）×2分别求出它们的周长，再进行比较，据此解答。 【解答】30×1＝30（平方厘米） 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 用30个1平方厘米的小正方形拼成长方形，一共有4种不同的拼法； （1）长30厘米，宽1厘米的长方形：（30＋1）×2＝31×2＝62（厘米） （2）长15厘米，宽2厘米的长方形：（15＋2）×2＝17×2＝34（厘米） （3）长10厘米，宽3厘米的长方形：（10＋3）×2＝13×2＝26（厘米） （4）长6厘米，宽5厘米的长方形：（6＋5）×2＝11×2＝22（厘米） 62＞34＞26＞22，周长最短是22厘米。 用30个1平方厘米的小正方形拼成长方形，一共有4种不同的拼法，其中周长最短是22厘米。 4．李师傅每工作7天休息2天，本次轮休时间是周五和周六，至少再过 天，李师傅能在周六周日休息。 【答案】36 【分析】根据题意可知，李师傅每9天里面休息2天，一周7天，所以用9的倍数除以7，当余数为1时，说明这个9的倍数天数为星期天，这天李师傅休息，前一天星期六也休息，据此即可解答。 【解答】9的倍数有9、18、27、36、45…； 9÷7＝1（个）……2（天），星期六往后数2天是星期一，说明是星期天、星期一休息； 18÷7＝2（个）……4（天），星期六往后数4天是星期三，说明是星期二、星期三休息； 27÷7＝3（个）……6（天），星期六往后数6天是星期五，说明是星期四、星期五休息； 36÷7＝5（个）……1（天），星期六往后数1天是星期天，说明是星期六、星期天休息； 所以至少再过36天，李师傅能在周六周日休息。 5．24的因数共有8个。淘气写出了7个：1、2、3、4、6、12、24。按照淘气的排列方法，他漏写了( )后面的( )。 【答案】6 8 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。 题目中淘气的排列方法是按照从小到大排列，找出24的因数之后，按照从小到大的顺序排列，即可找出漏写的数。据此即可解答。 【解答】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 所以淘气漏写了6后面的8。 6．63÷9＝( )，我们就说63是( )和9的( )，( )和9是63的( )，除了( )和9外，63的因数还有( )。 【答案】7 7 倍数 7 因数 7 1、3、21、63 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；列除法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出以这个数为被除数的所有除法算式，除法算式中的除数和商就是这个数的因数。 【解答】 63÷9＝7，我们就说63是7和9的倍数，7和9是63的因数，除了7和9外，63的因数还有1、3、21、63。 7．规定一个新运算：对于不小于3的整数n，（n）表示n的因数个数，如5的因数是1和5，所以（5）＝2；再如8的因数是1、2、4和8，所以（8）＝4等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（6）＋（24）＝( )。 【答案】12 【分析】由题意可知，（n）表示n的因数个数，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，求出6和24的因数个数，再求出（6）＋（24）的值，据此解答。 【解答】6÷1＝6 6÷2＝3 6的因数有1，2，3，6，一共4个因数。 24÷1＝24 24÷2＝12 24÷3＝8 24÷4＝6 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24，一共8个因数。 所以，（6）＋（24）＝4＋8＝12。 【点评】本题主要考查定义新运算，掌握求一个数因数的方法是解答题目的关键。 8．五年级先抽出了45名同学组成5路彩旗仪仗队，现在要改为6路彩旗仪仗队，最少需增加( )名同学，或者减少( )名同学。 【答案】3 3 【分析】共有45名同学，组成5路彩旗仪仗队，现在要改为6路仪仗队，则总人数应是6的倍数，先计算出接近45的6的倍数有哪两个，再与45名作差即可解题。 【解答】现在要改为6路仪仗队，则总人数应是6的倍数， 6×7＝42 6×8＝48 所以最少需要增加：48－45＝3（名） 最少需要减少：45－42＝3（名） 所以，最少需增加3名同学，或者减少3名同学。 【点评】解答此题的关键是明确现在改为6路仪仗队，则总人数应是6的倍数。 9．同学们报名参加“冬奥会知识知多少”抢答赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有( )人报名参加。 【答案】36 【分析】先找出72的因数，4和9的倍数，再找出其中最小的相同数即可。 【解答】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝7×9 所以，72的因数有1，2，3，4，7，9，18，24，36，72。 4和9的倍数有：36，72…… 所以，既是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有36人报名参加。 【点评】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数求法是解题的关键。 10．你能写出这样的数吗？ 这样的数有( )和( )。 【答案】12 60 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此写出60的所有因数，再写出60以内4和6的倍数，同时满足这3个条件的数即可。 【解答】60的因数：1、2、3、4、6、12、15、20、30，60。 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60。 6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60。 所以这样的数有12、60。 【点评】此题的解题关键是掌握求一个数的因数和倍数的方法。 二、解答题 11．把56个山竹装入一些袋子中，每个袋子中都装入同样多的山竹，每袋至少装2个，且袋子数大于1，可以有几种装法？ 【答案】6种 【分析】求出56的因数，根据每袋至少装2个，且袋子数大于1，去掉1和本身这一组，每对因数既可以是袋子数也可以是每袋装的数量，据此分析。 【解答】56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8 56的因数有1、2、4、7、8、14、28、56 （1）装2袋，每袋装28个； （2）装4袋，每袋装14个； （3）装7袋，每袋装8个； （4）装8袋，每袋装7个； （5）装14袋，每袋装4个； （6）装28袋，每袋装2个。 答：可以有6种装法。 【点评】找因数，从最小的自然数1找起，一直找到它本身，一对对找。 12．把54颗糖果装在袋子里，每个袋子装同样多的糖果，有几种装法？每种装法各需要几个袋子？ 【答案】7种；依次需要54、27、18、9、6、3、2个袋子 【分析】只要能整除，就是一种装法，用糖果数量分别除以它的因数，只要不全部装到一个袋子即可。 【解答】54÷1＝54（个），一个袋子装1个，需要54个袋子； 54÷2＝27（个），一个袋子装2个，需要27个袋子； 54÷3＝18（个），一个袋子装3个，需要18个袋子； 54÷6＝9（个），一个袋子装6个，需要9个袋子； 54÷9＝6（个），一个袋子装9个，需要6个袋子； 54÷18＝3（个），一个袋子装18个，需要3个袋子； 54÷27＝2（个），一个袋子装27个，需要2个袋子； 答：有7种装法，依次需要54、27、18、9、6、3、2个袋子。 【点评】注意每个袋子装同样多的糖果，至少要装到2个袋子里。 13．盒子里有48块糖，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种不同的拿法？每次拿出多少个？ 【答案】8种；每次可以拿出2个、3个、4个、6个、8个、12个、16个、24个 【分析】根据求一个数因数的方法，一对一对地找出48的所有因数，去掉1和它本身这一对，剩下有几个因数就有几种不同的拿法，每对因数对应拿法和拿出的个数。 【解答】48÷1＝48 48÷2＝24 48÷3＝16 48÷4＝12 48÷6＝8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，不一次拿出，也不一个个地拿出，所以1和48不符合题意。 答：共有8种拿法，每次可以拿出2个、3个、4个、6个、8个、12个、16个、24个。 【点评】找因数，从最小的自然数1找起，一直找到它本身，一对对地找。 14．体操表演队由48名同学组成，表演时要排成长方形队形，都可以怎样排？（至少写出3种排法） 【答案】排3行，每行16人；排4行，每行12人；排6行，每行8人 【分析】根据题意可知，就是找48的因数，根据求一个数的因数的方法，直接列举即可。 【解答】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 因为每行或每列的人数不得少于3人，所以可以排3行，每行16人、也可以排4行，每行12人、也可以排6行，每行8人。 【点评】解答本题的关键是将问题转化为求48的因数，根据找因数的方法将48的因数一一列举出来，再根据题目中的其他信息进一步解答即可。 15．幼儿园大班有一些小朋友（多于10人，且少于40人），李老师拿了48颗糖平均分给他们，正好分完，小朋友的人数可能是多少？ 【答案】可能是12，16，24。 【分析】48颗糖平均分给他们，正好分完，说明小朋友人数正好是48的因数，找出48的所有因数，大于10，小于40的即可。 【解答】48的因数有：1，2，3、4，6，8，12，16，24，48。 根据题意不可能分给1个小朋友，小朋友（多于10人，且少于40人），因此可以平均分给12，16，24个小朋友。 答：小朋友的人数可能是12，16，24。 【点评】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 16． 【答案】选择每盘放6个苹果的摆放方法 【分析】从图中可知，第一个盘子里有4个苹果，第二个盘子里有6个苹果，18能整除哪个数，说明这个数是18的因数，那么这种摆放方法可以使每个盘子里放的苹果同样多。 【解答】18÷4＝4（盘）……2（个） 18÷6＝3（盘） 答：选择每盘放6个苹果的摆放方法，才能让每个盘子里放的苹果同样多。 【点评】也可以运用列举法找因数解题。18的因数有：1，2，3，6，9，18；4不是18的因数，所以每盘放4个苹果，不能使每个盘子里的放的苹果同样多；6是18的因数，所以每盘放6个苹果，可以让每个盘子里放的苹果同样多。 17．合唱队有32名同学，要站成若干、排表演，若每排人数相等，可以怎样站？（不包括每排一人或32人站一排的情况） 【答案】每排2人，站16排； 每排16人，站2排； 每排4人，站8排； 每排8人，站4排； 【分析】要求每排多少人，可以站多少排，实际上就是求32的因数有哪些，能整除32的数就是32的因数，也就是32除以一个整数（0除外）商是整数而没有余数，这个整数就是32的因数，据此回答。 【解答】32＝1×32＝2×16＝4×8 因为不包括每排一人或32人站一排的情况， 所以可以这样排列： 每排2人，站16排； 每排16人，站2排； 每排4人，站8排； 每排8人，站4排； 答：每排2人，站16排或每排16人，站2排或每排4人，站8排或每排8人，站4排。 【点评】此题的解题关键是掌握求一个数的因数的方法，灵活运用解决问题。 18．五（9）班有学生48人，实验课上，老师要把他们平均分组，每组多于2人，少于8人，可以怎样分组？ 【答案】可以分为3、4、6人为一组。 【分析】先找出48的所有因数，只要大于2小于8的因数都可以作为每组人数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，比2大比8小的有3、4、6。 答：可以分为3、4、6人为一组。 【点评】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 19．致远书店要把80本课外书进行打包，现在有三种打包方案，选哪种打包方案刚好合适，没有剩余？ 【答案】选4本/包刚好合适，没有剩余。 【分析】根据题意，打包方案要刚好合适，没有剩余，那么每一包的本数应该是80本的因数。 【解答】80的因数有：1、2、4、5、8、10、16、20、40、80，所以三种方案里，4本/包打包方案刚好合适，没有剩余。 答：选4本/包刚好合适，没有剩余。 【点评】本题考查因数的应用，要理解因数的概念，并掌握找一个数的因数的办法。 20．学校图书馆李阿姨买回一些故事书，平均分给16个班，正好分完，这些故事书比50本多，比100本少，那么李阿姨可能买回多少本故事书？ 【答案】64本、80本或96本 【分析】根据题意，这些故事书平均分给16个班，正好分完，说明故事书的本数是16的倍数；找到50～100之间16的倍数，就是李阿姨可能买回的故事书的本数。 【解答】16×4＝64（本） 16×5＝80（本） 16×6＝96（本） 答：李阿姨可能买回64本、80本或96本故事书。 【点评】掌握求一个数的倍数的方法是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$