第二单元 圆柱和圆锥的体积（十一个重难点突破）-2024-2025学年六年级下册数学重难点专题突破（苏教版）

第二单元 圆柱和圆锥的体积 一、圆柱的体积 二、圆锥的容积 三、圆柱体积和圆锥体积的关系 四、圆锥的体积或容积 五、立体图形的切拼（圆柱） 六、立体图形的切拼（圆锥） 七、体积的等积变形 八、组合体的体积 九、测量不规则物体的体积 十、计算圆柱和圆锥的体积 十一、计算组合体的体积 知识点1圆柱的体积 1、圆柱的体积=底面积x高。如果用V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱 的高，圆柱的体积公式可以写成：V=Sh。 由此进一步可知V=Sh=Πr2h=Π（）2h=Π（）2h。 2、在圆柱中，已知底面积（或底面半径、直径、周长）和高，就可以利用公式计算出圆柱的体积。 重难点一 圆柱的体积 【典例1】有一个圆柱的底面半径是3厘米，高是7厘米，它的侧面积是( )，表面积是( )，体积是( )。 【变式1-1】把一个圆柱体的侧面展开，得到一个长6.28cm，宽3cm的长方形，这个圆柱体的侧面积是( )cm2，当高是3cm时，体积是( )cm3。 【变式1-2】把一个高5cm的圆柱，沿底面直径将它锯成两半，表面积增加40cm2，原来圆柱的体积是( )cm3。 【变式1-3】一个圆柱的侧面展开图是边长为31.4厘米的正方形，这个圆柱的底面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 重难点二圆柱的容积 【典例2】一个圆柱形蓄水池的容积是31.4立方米，已知蓄水池的内直径是4米，它深( )米，如果在蓄水池的内壁及底由抹上水泥，抹水泥的面积是( )平方米。 【变式2-1】一张长方形铁皮，按照下图剪下阴影部分，制成一个圆柱状的油漆桶，它的容积是( )升。 【变式2-2】一张长方形铁皮，按照图剪下阴影部分，制成一个圆柱状的油漆桶，它的容积是( )升。 【变式2-3】有等底等高圆柱和圆锥模具各一个，现测量得知圆柱的底面半径是3分米，高是10分米，在不考虑厚度的情况下，装满这两个模具一共要用水( )升。 知识点2圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 重难点三 圆柱体积和圆锥体积的关系 【典例3】如图，先将圆锥形容器注满水，再将水倒入圆柱形容器中。这时，圆柱形容器中水的高度是( )厘米。 【变式3-1】如图，一个容器的高与地面垂直，用20升水刚好把这个容器装满。如果只把圆锥部分装满，则需要( )升水；如果水深2.5分米，则容器有( )升水。（容器的厚度忽略不计） 【变式3-2】两个同样的量杯原来各盛有640mL水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )mL。 【变式3-3】一个容积为240毫升的圆柱形容器里面盛有的水，如果把这个圆柱形容器里面的水倒入一个与它等底等高的圆锥形容器里，那么水溢出( )毫升。 重难点四圆锥的体积或容积 【典例4】一个圆锥形沙堆，底面直径是6米，且是高的2倍，这个圆锥形沙堆的体积是( )立方米。 【变式4-1】一个长方体和一个圆锥的底面积相等，高也相等，那么长方体的体积是圆锥体积的( )倍。 【变式4-2】一个直角三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm，若以直角边为轴旋转一周，可以形成的立体图形是( )；以两条不同的直角边为轴旋转一周后，形成的立体图形体积相差( )立方厘米。 【变式4-3】如图，有一种圆锥形沙漏，沙子匀速落下。当它从左边的状态变成右边的状态时，经过了7分钟，若沙子全部流完，共需要( )分钟。 重难点五立体图形的切拼（圆柱） 【典例5】把一根长4米、横截面直径是40厘米的圆木沿直径和高锯成两半，表面积增加了( )平方米。 【变式5-1】把一根长2.4米的圆柱体木材截成同样长的三个圆柱体，表面积增加了12平方分米，这根木料的体积是( )立方米。 【变式5-2】把一个底面积是6.28平方厘米的圆柱切成3个同样大小的圆柱，表面积增加了( )平方厘米。 【变式5-3】有一个圆柱，高是底面半径的3倍，将它分成大小两个圆柱，大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，那么小圆柱的体积是大圆柱的( )。 重难点六立体图形的切拼（圆锥） 【典例6】一个底面直径是8厘米的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，（如图所示）表面积增加72平方厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【变式6-1】把一个底面直径是10cm的圆锥沿高切开后表面积增加了60cm2，这个圆锥的高是( )cm，体积是( )cm3。 【变式6-2】把一个底面周长是31.4厘米的圆锥体木料，沿底面直径割开，表面积增加了60平方厘米，这个圆锥体的体积是( ) 立方厘米。 【变式6-3】如图，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，小三角形和原三角形的面积比是( )∶( )；从一个圆锥顶部切下一个小圆锥，如果小圆锥的高是原来圆锥高的，小圆锥与剩余部分的体积比是( )∶( )。 重难点七体积的等积变形 【典例7】把一块底面直径是2厘米、高是3厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面直径是2厘米的圆锥，这个圆锥的高是( )厘米。 【变式7-1】手工课上，湛湛用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是( )立方厘米，底面积是( )平方厘米。 【变式7-2】把一块体积是78.5立方厘米的长方体钢块，熔铸成一个底面周长是6.28厘米的圆锥。这个圆锥的高是( )厘米。（π取3.14） 【变式7-3】一个圆锥形钢坯，底面半径是6dm，高是3dm。如果把它熔铸成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是( )dm；如果把它熔铸成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是( )dm2。 重难点八组合体的体积 【典例8】整流罩是运载火箭的重要组成部分，位于运载火箭顶部，通常是由近似的圆柱和圆锥组成，起到有效保护的作用。下图是某型号运载火箭整流罩的示意图，这个整流罩的容积约是( )m3（得数保留整数，整流罩的厚度忽略不计）。 【变式8-1】如图，将直角梯形以CD边为轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是( )。 【变式8-2】下边是一个零件，它的体积是600 cm3，那么上面圆锥的体积是( ) cm3。 【变式8-3】如图，以梯形的上底所在直线为轴，将梯形旋转一周，得到的几何体的体积是( )。 重难点九测量不规则物体的体积 【典例9】如图，将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中，水面由原来的600mL上升到800mL。放进去的圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【变式9-1】程程借助一个盛有水的圆柱形水槽测量一个小铁球的体积，他先把一个棱长为3cm的正方体铁块浸没在水槽中，水面上升了1.5cm，接着他又把小铁球浸没在水槽中，水面又上升了2cm。这个小铁球的体积是( )cm3。（两次浸没过程中，水均没有溢出） 【变式9-2】一个装有水的圆柱形烧杯，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里，量得水深是9cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是（    ）cm3。 【变式9-3】底面直径是10厘米的圆柱形鱼缸里盛了一些水，水里养了一条鱼（如下图）。如果把鱼捉出来，水面下降到8厘米，这条鱼的体积是( )立方厘米。 重难点十计算圆柱和圆锥的体积 【典例10】计算下面立体图形的体积。（单位：cm）                    【变式10-1】求下列物体的体积。（单位：分米） 【变式10-2】计算下图中圆柱的表面积和体积，圆锥的体积。     （1）（2） 【变式10-3】计算下面圆柱和圆锥的体积。 重难点十一计算组合体的体积 【典例11】求下面立体图形的体积。（单位：厘米）     【变式11-1】求体积。（单位：分米） 【变式11-2】下图中圆柱的底面周长是12.56厘米，高是9厘米，求阴影部分的体积。 【变式11-3】求组合体的体积。（单位：cm） 一、填空题 1．把桌面上水平放置的一个半径为的圆形纸片，垂直向上平移，所形成立体图形的体积是( )。 2．如图所示，把一个高是6厘米的圆柱沿半径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了48平方厘米，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 3．一个圆柱形茶叶罐的底面半径是8厘米，高是15厘米，它的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 4．有四个完全相同的圆柱体容器，先装入同样多的水，再分别往容器②、③、④中放入大小不同的两种钢球，水面高度变化如下图所示。现在容器④中的水面高度是( )厘米。 5．把一个高20厘米的圆柱底面分成很多相等扇形，沿扇形切开并拼成近似长方体（如图）。已知拼成长方体的表面积比原来圆柱表面积多400平方厘米，原来圆柱的体积是( )立方厘米。 6．一根圆柱体的木料长6米。王明用了5分钟把它锯成了5段，表面积增加了20平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。如果把它锯成8段要用( )分钟。 7．一个圆柱形容器里面盛有的水，恰好是180毫升，若把这个容器里的水倒入一个与它等底等高的圆锥容器里面，水会溢出( )毫升。 8．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是( )m3。 9．如图，一个圆柱形容器的底面直径是40厘米，容器中水面的高度为10厘米，把底面直径为24厘米，高40厘米的铁块竖直放入后，铁块的上底面仍高于水面，这时水面升高了( )厘米。 10．一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱的体积是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米；如果圆锥的体积是12立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米；如果它们的体积和是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米；如果它们的体积差是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米。 二、计算题 11．求（1）的表面积和体积，求（2）的体积。（单位：cm） （1）   （2） 三、解答题 12．洗碗机洗碗真的费水吗？为了解决这个问题，小妍妈妈做了一个实验。洗碗机洗6套碗筷，按说明书介绍，需要9升水。如果采用手洗的方式，6套碗筷先用洗洁精擦拭，再用流水迅速冲洗，至少需要流水冲洗2分钟。常见的自来水管的内直径是0.2分米，假设自来水的流速是每秒5分米，那么，手洗6套碗筷需要用水多少升？洗碗机洗碗真的费水吗？（π取3） 13．一个圆柱形电饭煲，从里面量，底面直径是3分米，高是2.4分米。这个电饭煲的容积大约是多少升？（得数保留一位小数） 14．某雕塑的底座如图（单位：米），做这个底座至少需要多少立方米混凝土？ 15．劳动活动周，幸福路小学组织学生回收废旧垃圾。下面是同学们收集到的一个未喝完的废旧饮料瓶。同学们准备将它做成一个精美的手工笔筒。如图，底面是圆形，半径是3厘米，这个饮料瓶的容积是多少立方厘米？ 16．一个易拉罐的形状是圆柱形，从外面量得这个易拉罐的高是10厘米，底面直径是6厘米。 （1）商家在易拉罐的包装上印了“净含量282毫升”，请计算说明，商家这样标注合理吗？ （2）做这样一个易拉罐，至少需要铝合金材料多少平方厘米？（接头处忽略） 17．把一个长、宽、高分别是16厘米、12厘米、8厘米的长方体削成一个体积最大的圆柱，这个圆柱的底面半径、高分别是多少厘米？ 18．一块正方体木料，棱长是4分米，把它加工成一个最大的圆柱。这个圆柱的体积是多少立方分米？ 19．一个圆柱形橡皮泥，底面周长是62.8cm，高是9cm。如果把它捏成底面直径是24cm的圆锥，这个圆锥的高是多少厘米？ 20．陶泥社团课上，小明做了一个圆柱和一个圆锥，底面直径都是8厘米，高都是15厘米。它们的体积一共是多少立方厘米？ 21．一个圆锥形小麦堆，已知底面积为28.26平方米，高4米，如果每立方米小麦重500千克，这堆小麦重多少千克？ 22．水平桌面上放着高度同为40厘米的两个圆柱形容器，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管容积忽略不计），容器A和B底面直径分别为32厘米和24厘米。先关闭连通管，将容器A注满，再打开连通管，容器B中水的高度最终是多少厘米？（π取3.14） 23．将一个圆锥沿底面直径和高切成形状、大小完全一样的两部分，结果表面积之和比原来增加了48平方分米。已知圆锥的高为6分米，求原来圆锥的体积。 24．哈萨克毡房给夏明留下了深刻的印象，它独具异域风情，由围墙、房杆、顶圈、房毡、门组合而成。如图所示，主体近似圆柱形，高2米，底面周长大约37.68米，上面是一个近似圆锥的屋顶，高1米。这样一个毡房里面的空间大约是多少立方米？ 25．如图，粮囤上面是圆锥形，下面是圆柱形，圆柱的底面周长是12.56米，高是2米，圆锥的高是1.2米。一个粮囤的体积是多少立方米？ 26．小刚进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图⑥）；放入土豆A，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图⑦）；再放入土豆B，此时有部分水溢出（如图⑧）；取出土豆B，这时水面距离容器口4厘米（如图⑨）。 根据实验情况，请你解决以下问题：（圆周率取3.14） （1）请求出土豆A的体积？ （2）土豆B的体积呢？ （3）放入土豆B后，溢出了多少毫升水？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二单元 圆柱和圆锥的体积 一、圆柱的体积 二、圆锥的容积 三、圆柱体积和圆锥体积的关系 四、圆锥的体积或容积 五、立体图形的切拼（圆柱） 六、立体图形的切拼（圆锥） 七、体积的等积变形 八、组合体的体积 九、测量不规则物体的体积 十、计算圆柱和圆锥的体积 十一、计算组合体的体积 知识点1圆柱的体积 1、圆柱的体积=底面积x高。如果用V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱 的高，圆柱的体积公式可以写成：V=Sh。 由此进一步可知V=Sh=Πr2h=Π（）2h=Π（）2h。 2、在圆柱中，已知底面积（或底面半径、直径、周长）和高，就可以利用公式计算出圆柱的体积。 重难点一 圆柱的体积 【典例1】有一个圆柱的底面半径是3厘米，高是7厘米，它的侧面积是( )，表面积是( )，体积是( )。 【答案】131.88平方厘米/131.88cm2 188.4平方厘米/188.4cm2 197.82立方厘米/197.82cm2 【分析】根据圆柱的侧面积公式：S侧＝2πrh，圆柱的表面积公式：S＝2πrh＋2πr2，圆柱的体积公式：V＝πr2h，将数据代入这些公式中求解即可。 【解答】侧面积是：3.14×3×2×7 ＝9.42×2×7 ＝18.84×7 ＝131.88（平方厘米） 表面积是：3.14×32×2＋131.88 ＝3.14×9×2＋131.88 ＝28.26×2＋131.88 ＝56.52＋131.88 ＝188.4（平方厘米） 体积是：3.14×32×7 ＝3.14×9×7 ＝18.84×7 ＝197.82（立方厘米） 它的侧面积是131.88平方厘米，表面积是188.4平方厘米，体积是197.82立方厘米。 【变式1-1】把一个圆柱体的侧面展开，得到一个长6.28cm，宽3cm的长方形，这个圆柱体的侧面积是( )cm2，当高是3cm时，体积是( )cm3。 【答案】18.84 9.42 【分析】圆柱的侧面积就是展开的长方形的面积，运用“长×宽＝面积”求出这个长方形的面积即可。 长方形的长就是圆柱的底面圆的周长，运用周长÷3.14÷2求出圆柱底面半径，再运用圆柱的体积公式：即可求得圆柱的体积。 【解答】(cm2） ＝2÷2 ＝1（cm） ＝ ＝9.42（cm3） 这个圆柱体的侧面积是18.84cm2，当高是3cm时，体积是9.42cm3。 【变式1-2】把一个高5cm的圆柱，沿底面直径将它锯成两半，表面积增加40cm2，原来圆柱的体积是( )cm3。 【答案】62.8 【分析】把圆柱沿底面直径锯成两半，表面积增加40cm2，增加的是两个长是5cm，宽是底面直径的长方形的面积和，则圆柱底面直径是40÷2÷5＝4（cm），再根据圆柱的体积公式，将数值代入即可求得圆柱的体积。是：3.14×（4÷2）2×5＝62.8（cm3）。 【解答】40÷2÷5 ＝20÷5 ＝4（cm） 3.14×（4÷2）2×5 ＝ ＝ ＝62.8（cm3） 原来圆柱的体积是（62.8）cm3。 【变式1-3】一个圆柱的侧面展开图是边长为31.4厘米的正方形，这个圆柱的底面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】78.5 2464.9 【分析】根据题意，圆柱的底面周长为31.4厘米，高为31.4厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，则r＝C÷π÷2，据此算出圆柱的底面半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，计算出圆柱的底面积。圆柱的体积＝底面积×高，据此解答。 【解答】 （厘米） 底面积： （平方厘米） 圆柱的体积：（立方厘米） 即这个圆柱的底面积是78.5平方厘米，体积是2464.9立方厘米。 重难点二圆柱的容积 【典例2】一个圆柱形蓄水池的容积是31.4立方米，已知蓄水池的内直径是4米，它深( )米，如果在蓄水池的内壁及底由抹上水泥，抹水泥的面积是( )平方米。 【答案】2.5 43.96 【分析】根据圆柱的容积公式，V＝Sh，得出h＝V÷S＝V÷（πr2），由此代入数据，求出水深； 根据圆柱的侧面积公式和圆的面积公式，分别求出圆柱形蓄水池的侧面积和底面积，就是在蓄水池的内壁及底面抹上水泥抹水泥的面积。 【解答】4÷2＝2（米） 31.4÷（3.14×22） ＝31.4÷3.14÷4 ＝10÷4 ＝2.5（米） 3.14×4×2.5＋3.14×（4÷2）2 ＝31.4＋12.56 ＝43.96（平方米） 【点评】考查了圆柱的表面积和容积的实际应用，计算时要认真。 【变式2-1】一张长方形铁皮，按照下图剪下阴影部分，制成一个圆柱状的油漆桶，它的容积是( )升。 【答案】100.48 【分析】根据图可知，两个圆的直径是8分米，那么一个圆的直径就是8÷2＝4分米，则阴影部分中长方形的长是16.56－4＝12.56分米，由于圆的周长：3.14×4＝12.56分米，由此可知长方形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。求它的容积，根据圆柱的体积公式：底面积×高，之后再换算单位即可。 【解答】8÷2＝4（分米） 3.14×4＝12.56（分米） 由此可知，长方形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。 4÷2＝2（分米） 3.14×2×2×8 ＝6.28×2×8 ＝12.56×8 ＝100.48（立方分米） 100.48立方分米＝100.48升 【点评】解答此题要明确：长方形的长等于一个圆的周长，宽等于两个圆直径的和；同时熟练掌握圆柱的体积公式并灵活运用。 【变式2-2】一张长方形铁皮，按照图剪下阴影部分，制成一个圆柱状的油漆桶，它的容积是( )升。 【答案】100.48 【分析】如图：设圆的直径是d分米，大长方形的长是16.56分米，等于小长方形的长加上圆的直径，小长方形的宽等于两个等圆直径之和，也就是圆柱的高，小长方形是圆柱侧面展开图，所以长应等于圆周长，根据“大长方形的长等于圆的周长与直径的和”求出圆的直径，进而求出圆柱的高，由于没说铁皮厚度，所以油桶的容积就是圆柱体积，根据“圆柱的体积＝πr2h”进行解答即可。 【解答】设圆的直径为d分米，则： 3.14d＋d＝16.56 4.14d＝16.56 d＝4 r＝d÷2 ＝4÷2 ＝2（分米） h＝2d ＝2×4 ＝8（分米） 圆柱的容积： 3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方分米） 100.48立方分米＝100.48升 【点评】解答此题应明确：大长方形的长等于圆的周长与直径的和；据此求出底面半径和高，再根据圆柱的容积公式进行解答即可。 【变式2-3】有等底等高圆柱和圆锥模具各一个，现测量得知圆柱的底面半径是3分米，高是10分米，在不考虑厚度的情况下，装满这两个模具一共要用水( )升。 【答案】376.8 【分析】由题意可知：圆柱与圆锥等底等高，圆柱的底面半径是3分米，高是10分米，则圆锥的底面半径是3分米，高是10分米；将数据代入圆柱的容积公式：V＝πr2h，圆锥的容积公式：V＝πr2h求出容积，最后求和即可。 【解答】3.14×32×10＋3.14×32×10× ＝3.14×9×10＋3.14×9×10× ＝3.14×（9×10＋9×10×） ＝3.14×120 ＝376.8（立方分米） 376.8立方分米＝376.8升 即在不考虑厚度的情况下，装满这两个模具一共要用水376.8升。 【点评】本题主要考查圆柱、圆锥的体积（容积）公式，牢记公式是解题的关键。 知识点2圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 重难点三 圆柱体积和圆锥体积的关系 【典例3】如图，先将圆锥形容器注满水，再将水倒入圆柱形容器中。这时，圆柱形容器中水的高度是( )厘米。 【答案】4 【分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆锥与圆柱的底面积相等，高也相等时，把圆锥容器装满水倒入圆柱形容器中，这时圆柱形容器中水面的高是圆锥高的。据此解答即可。 【解答】（厘米） 圆柱形容器中水的高度是4厘米。 【变式3-1】如图，一个容器的高与地面垂直，用20升水刚好把这个容器装满。如果只把圆锥部分装满，则需要( )升水；如果水深2.5分米，则容器有( )升水。（容器的厚度忽略不计） 【答案】5 15 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以整个容器的容积相当于圆锥容器容积的倍，把装满整个容器的容积看作单位“1”，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥容器的容积；如果水深2.5分米，也就是上面圆柱容器内水深是分米，也就是1分米。又因等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的容积看作1份，高1.5dm的圆柱体积就是3份，高1dm的圆柱体积就是2份。即上面圆柱容器的水深1分米时是下面圆锥容器的2倍，再加上下面圆锥容器容积，据此解答即可。 【解答】 （升） （分米） （升） （升） 则需要5升水，如果水深2.5分米，容器有15升水。 【变式3-2】两个同样的量杯原来各盛有640mL水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )mL。 【答案】720 【分析】由图①可得，880mL＝原来水640mL＋圆柱的体积，因此用880－640即可求出圆柱的体积。等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此用圆柱的体积除以3，求出圆锥的体积，最后用量杯原来的水的体积加圆锥的体积，可得出图②量杯水面刻度。 【解答】（880－640）÷3＋640 ＝240÷3＋640 ＝80＋640 ＝720（mL） 所以图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是720mL。 【变式3-3】一个容积为240毫升的圆柱形容器里面盛有的水，如果把这个圆柱形容器里面的水倒入一个与它等底等高的圆锥形容器里，那么水溢出( )毫升。 【答案】40 【分析】先用240×，求出圆柱形容器里有水的容积；再根据等底等高的圆锥的容积是圆柱的，用圆柱形容器的容积×，求出圆锥形容积的容积，再用圆柱形容器里面盛水的容积－圆锥形容器的容积，即可求出水溢出的容积。 【解答】240×－240× ＝120－80 ＝40（毫升） 一个容积为240毫升的圆柱形容器里面盛有的水，如果把这个圆柱形容器里面的水倒入一个与它等底等高的圆锥形容器里，那么水溢出40毫升。 重难点四圆锥的体积或容积 【典例4】一个圆锥形沙堆，底面直径是6米，且是高的2倍，这个圆锥形沙堆的体积是( )立方米。 【答案】28.26 【分析】根据已知一个数的几倍是多少，用这个数÷几，据此求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】 ×3.14×（6÷2）2×（6÷2） ＝×3.14×32×3 ＝×3.14×9×3 ＝28.26（立方米） 这个圆锥形沙堆的体积是28.26立方米。 【变式4-1】一个长方体和一个圆锥的底面积相等，高也相等，那么长方体的体积是圆锥体积的( )倍。 【答案】3 【分析】 长方体体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，那么如果一个长方体和一个圆锥等底等高，那么长方体的体积是圆锥体积的3倍。 【解答】一个长方体和一个圆锥的底面积相等，高也相等，那么长方体的体积是圆锥体积的3倍。 【变式4-2】一个直角三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm，若以直角边为轴旋转一周，可以形成的立体图形是( )；以两条不同的直角边为轴旋转一周后，形成的立体图形体积相差( )立方厘米。 【答案】圆锥 12.56 【分析】根据圆锥的意义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；当以3厘米长的直角边为轴旋转一周时，得到的圆锥高为3厘米，底面半径为4厘米；当以4厘米长的直角边为轴旋转一周时，得到的圆锥高为4厘米，底面半径为3厘米；根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，分别求出两个圆锥的体积，进而解答。 【解答】一个直角三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm，若以直角边为轴旋转一周，可以形成的立体图形是圆锥。 高为3厘米，底面半径为4厘米的圆锥： 3.14×42×3× ＝3.14×16×3× ＝50.24×3× ＝150.72× ＝50.24（立方厘米） 高为4厘米，底面半径为3厘米的圆锥： 3.14×32×4× ＝3.14×9×4× ＝28.26×4× ＝113.04× ＝37.68（立方厘米） 50.24－37.68＝12.56（立方厘米） 一个直角三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm，若以直角边为轴旋转一周，可以形成的立体图形是圆锥；以两条不同的直角边为轴旋转一周后，形成的立体图形体积相差12.56立方厘米。 【变式4-3】如图，有一种圆锥形沙漏，沙子匀速落下。当它从左边的状态变成右边的状态时，经过了7分钟，若沙子全部流完，共需要( )分钟。 【答案】8 【分析】设圆锥形沙漏的底面直径为d，则已知右边的状态时，沙子上面的直径为d。左边的状态时，圆锥形沙漏的上面沙子的容积为π（）2h＝πd2h；右边的状态时，圆锥形沙漏的上面沙子的容积为π（÷2）2×h。沙子每分钟流出的容积为：利用两个体积差除以7即可求出。根据工作总量除以工作效率求出右边状态时的沙子流完需要的时间再加上原来的7分钟即可得解。 【解答】左边：π（）2h＝πd2h 右边：π（÷2）2×h＝πd2h （πd2h−πd2h）÷7＝πd2h 7＋πd2h÷πd2h ＝7＋1 ＝8（分钟） 需要8分钟流完。 【点评】解答此题的关键是表示出左、右体积，利用工作总量与工作效率之间的关系解答。 重难点五立体图形的切拼（圆柱） 【典例5】把一根长4米、横截面直径是40厘米的圆木沿直径和高锯成两半，表面积增加了( )平方米。 【答案】3.2 【分析】由题意可知，沿圆柱的直径和高锯成两半，增加了两个长是4米，宽是40厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算长方形的面积，再乘2即可得解。单位统一为米，再计算。 【解答】40厘米＝0.4米 （平方米） 把一根长4米、横截面直径是40厘米的圆木沿直径和高锯成两半，表面积增加了3.2平方米。 【变式5-1】把一根长2.4米的圆柱体木材截成同样长的三个圆柱体，表面积增加了12平方分米，这根木料的体积是( )立方米。 【答案】0.072/ 【分析】根据题意可知，截成同样长的三个圆柱体，总共切了2次，则增加了（2×2）个底面积，用12÷（2×2），即可求出一个底面积的面积，再根据公式：圆柱的体积＝底面积×高，代入数据即可解答。 【解答】12÷（2×2） ＝12÷4 ＝3（平方分米） 3平方分米＝0.03平方米 0.03×2.4＝0.072（立方米）＝（立方米） 即这根木料的体积是0.072（或）立方米。 【变式5-2】把一个底面积是6.28平方厘米的圆柱切成3个同样大小的圆柱，表面积增加了( )平方厘米。 【答案】25.12 【分析】想要把一个圆柱切成3个同样大小的圆柱，应该以与底面平行的方向去切，需要切两刀。切一刀会增加两个底面圆的面积，切两刀就会增加4个底面圆的面积，用底面积乘4即可。 【解答】需要切：3－1＝2（刀） 增加面：2×2＝4（个） 共增加：6.28×4＝25.12（平方厘米） 表面积增加了25.12平方厘米。 【变式5-3】有一个圆柱，高是底面半径的3倍，将它分成大小两个圆柱，大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，那么小圆柱的体积是大圆柱的( )。 【答案】 【分析】设圆柱的底面半径是1，则圆柱的高是1×3＝3，分成的两个圆柱，增加两个底面面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积。代入数据，求出两个圆柱的面积和；再根据大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，进而求出小圆柱的表面积和大圆柱的表面积，进而求出小圆柱的高和大圆柱的高，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出小圆柱的体积和大圆柱的体积，再用小圆柱的体积÷大圆柱的体积，即可解答。 【解答】设圆柱的底面半径是1，则圆柱的高是1×3＝3。 两个圆柱的表面积： π×12×2＋π×2×3＋π×12×2 ＝π×2＋2π×3＋π×2 ＝2π＋6π＋2π ＝10π 大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，即大圆柱表面积∶小圆柱表面积＝3∶1；即把大圆柱表面积与小圆柱表面积的和分成了：3＋1＝4（份） 小圆柱表面积： 10π÷4×1 ＝2.5π×1 ＝2.5π 大圆柱表面积：10π－2.5π＝7.5π 小圆柱的高： （2.5π－π×12×2）÷（π×1×2） ＝（2.5π－2π）÷2π ＝0.5π÷2π ＝0.25 大圆柱的高：3－0.25＝2.75 （π×12×0.25）÷（π×12×2.75） ＝0.25π÷2.75π ＝0.25÷2.75 ＝ 有一个圆柱，高是底面半径的3倍，将它分成大小两个圆柱，大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，那么小圆柱的体积是大圆柱的。 【点评】根据大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍，表示出大圆柱体的高与小圆柱体的高是解答此题的关键。 重难点六立体图形的切拼（圆锥） 【典例6】一个底面直径是8厘米的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，（如图所示）表面积增加72平方厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】150.72 【分析】观察图形可知，增加的表面积是两个相等的等腰三角形的面积，三角形的底是圆锥底面的直径，利用三角形面积公式，求出三角形的高，也就是圆锥的高，用增加的表面积÷2，求出一个三角形面积，再求出高，再根据圆锥的体积公式，即可解答。 【解答】高：72÷2×2÷8 ＝36×2÷8 ＝72÷8 ＝9（厘米） 圆锥体积： 3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×16×9× ＝50.24×9× ＝452.16× ＝150.72（立方厘米） 【点评】本题考查三角形面积、圆锥体积公式的应用，熟记公式，灵活运用。 【变式6-1】把一个底面直径是10cm的圆锥沿高切开后表面积增加了60cm2，这个圆锥的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】6 157 【分析】根据题意可知，表面积增加了两个相同的三角形的面积，其三角形的底是底面直径，高等于圆锥的高，据此求出圆锥的高，再根据圆锥的体积＝ ×底面积×高，代入数据计算即可。 【解答】60÷2×2÷10 ＝60÷10 ＝6（厘米） ×3.14×（10÷2）2×6 ＝ ×3.14×25×6 ＝157（立方厘米） 这个圆锥的高是6厘米，体积是157立方厘米。 【点评】此题考查立体图形的切拼，明确表面积增加的部分包含哪些面是解题关键。 【变式6-2】把一个底面周长是31.4厘米的圆锥体木料，沿底面直径割开，表面积增加了60平方厘米，这个圆锥体的体积是( ) 立方厘米。 【答案】157 【分析】圆锥体木料沿底面直径竖直剖开，增加了2个三角形，三角形的底就是圆锥体的底面直径，即31.4÷3.14＝10（厘米），每个三角形的面积是60÷2＝30（平方厘米）；三角形的高就是圆锥体的高，三角形的高为30×2÷10＝6（厘米）；所以圆锥体的体积是：3.14×（10÷2）2×6×，计算即可。 【解答】圆锥体的底面直径：31.4÷3.14＝10（厘米）； 圆锥体的高：60÷2×2÷10 ＝30×2÷10 ＝60÷10 ＝6（厘米） 圆锥体的体积是：3.14×（10÷2）2×6× ＝3.14×25×6× ＝157 （立方厘米） 这个圆锥的体积是157立方厘米。 【点评】此题主要考查圆锥的体积计算公式：V＝πr2h，同时考查了学生空间想象力。 【变式6-3】如图，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，小三角形和原三角形的面积比是( )∶( )；从一个圆锥顶部切下一个小圆锥，如果小圆锥的高是原来圆锥高的，小圆锥与剩余部分的体积比是( )∶( )。 【答案】1 4 1 7 【分析】（3）根据题意可知，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，说明小三角形的高：大三角形的高＝1∶2，小三角形的底∶大三角形的底＝1∶2，又因为三角形的面积＝底×高÷2，所以小三角形和原三角形的面积比＝1∶（2×2）＝1∶4 （2）小圆锥的高∶大圆锥的高＝1∶2，则小圆锥底面半径：大圆锥底面半径＝1∶2，即小圆锥底面积∶大圆锥底面面积＝1∶4，又因为圆锥的体积＝底面积×高×，所以小圆锥体积∶大圆锥的体积＝1∶（2×4）＝1∶8，据此可以求出小圆锥与剩余部分的体积比。 【解答】（1）小三角形的高：大三角形的高＝1∶2 小三角形的底∶大三角形的底＝1∶2 因为三角形的面积＝底×高÷2 所以小三角形和原三角形的面积比＝1∶（2×2）＝1∶4 （2）小圆锥的高∶大圆锥的高＝1∶2 小圆锥底面半径：大圆锥底面半径＝1∶2 则小圆锥底面积∶大圆锥底面面积＝（π×）∶（π×）＝1∶4 因为圆锥的体积＝底面积×高× 所以小圆锥体积∶大圆锥的体积 ＝（1×1×）∶（4×2×） ＝ ＝1∶8 小圆锥与剩余部分的体积比＝1∶（8－1）＝1∶7 【点评】根据比的意义找出剪切后图形与原来的图形的对应边长的倍数关系是解决此题的关键，利用高或底的比推算出面积比，掌握三角形面积和圆锥体积的计算公式。 重难点七体积的等积变形 【典例7】把一块底面直径是2厘米、高是3厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面直径是2厘米的圆锥，这个圆锥的高是( )厘米。 【答案】9 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，则圆柱的高＝体积÷底面积；圆锥的体积＝×底面积×高，则圆锥的高＝3×体积÷底面积。根据题意可知，圆柱和圆锥的体积相等，底面直径相等，也就是底面积相等，则圆锥的高＝3×圆柱的高，代入数据计算即可。 【解答】由分析得： 3×3＝9（厘米） 把一块底面直径是2厘米、高是3厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面直径是2厘米的圆锥，这个圆锥的高是9厘米。 【变式7-1】手工课上，湛湛用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是( )立方厘米，底面积是( )平方厘米。 【答案】75.36 25.12 【分析】将圆柱形橡皮泥捏成圆锥形状，橡皮泥的大小不变，那么这个圆锥的体积也是75.36立方厘米。圆锥体积＝底面积×高÷3，那么圆锥底面积＝圆锥体积×3÷高，将数据代入求出这个圆锥的底面积即可。 【解答】75.36×3÷9 ＝226.08÷9 ＝25.12（平方厘米） 所以，它的体积是75.36立方厘米，底面积是25.12平方厘米。 【变式7-2】把一块体积是78.5立方厘米的长方体钢块，熔铸成一个底面周长是6.28厘米的圆锥。这个圆锥的高是( )厘米。（π取3.14） 【答案】75 【分析】把长方体钢块熔铸成一个圆锥，体积不变，即这个圆锥的体积是78.5立方厘米。圆锥的底面周长是6.28，根据圆的周长＝2πr，用6.28除以2π即可求出圆锥的底面半径，再根据圆的面积＝πr2即可求出圆锥的底面积。最后根据圆锥的体积＝底面积×高×，用78.5除以和底面积，即可求出圆锥的高。 【解答】6.28÷3.14÷2＝1（厘米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 78.5÷÷3.14 ＝78.5×3÷3.14 ＝235.5÷3.14 ＝75（厘米） 则这个圆锥的高是75厘米。 【变式7-3】一个圆锥形钢坯，底面半径是6dm，高是3dm。如果把它熔铸成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是( )dm；如果把它熔铸成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是( )dm2。 【答案】1 9.42 【分析】根据题意可知：把圆锥形钢材铸成圆柱体，只是形状变了，但体积不变，首先根据圆锥的体积公式：，求出圆锥形钢材的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh可得h＝V÷S、S＝V÷h，把数据代入公式解答即可。 【解答】 ＝3.14×9×1 ＝28.26（立方分米） ＝ ＝ ＝1（分米） 28.26÷3＝9.42（平方分米） 这个圆柱的高是1dm；如果把它熔铸成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是9.42dm2。 重难点八组合体的体积 【典例8】整流罩是运载火箭的重要组成部分，位于运载火箭顶部，通常是由近似的圆柱和圆锥组成，起到有效保护的作用。下图是某型号运载火箭整流罩的示意图，这个整流罩的容积约是( )m3（得数保留整数，整流罩的厚度忽略不计）。 【答案】113 【分析】观察图形可知，这个整流罩的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求解。 【解答】3.14×22×8＋×3.14×22×3 ＝3.14×4×8＋×3.14×4×3 ＝100.48＋12.56 ≈113（m3） 这个整流罩的容积约是113m3。 【变式8-1】如图，将直角梯形以CD边为轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是( )。 【答案】251.2 【分析】由题意可知：这个立体图形由1个圆柱和1个圆锥组成，圆柱和圆锥的底面半径都是4cm，圆柱的高是4cm，圆锥的高是（7﹣4）cm，利用圆柱和圆锥的体积公式即可求解。 【解答】3.14×42×4＋×3.14×42×（7－4） ＝50.24×4＋3.14×16 ＝200.96＋50.24 ＝251.2（） 这个立体图形的体积是251.2。 【点评】此题主要考查圆柱和圆锥的体积的计算方法，关键是弄清楚计算所需要的数据。 【变式8-2】下边是一个零件，它的体积是600 cm3，那么上面圆锥的体积是( ) cm3。 【答案】300 【分析】设圆锥和圆柱相同的底面积是xcm2，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，根据圆柱体积＋圆锥体积＝零件体积，列出方程求出底面积，再根据圆锥体积公式求出圆锥体积即可。 【解答】解：设圆锥和圆柱相同的底面积是xcm2。 4x＋12x÷3＝600 4x＋4x＝600 8x÷8＝600÷8 x＝75 75×12÷3＝300（cm3） 【点评】关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【变式8-3】如图，以梯形的上底所在直线为轴，将梯形旋转一周，得到的几何体的体积是( )。 【答案】122.46 【分析】由题图可知，旋转后的几何体相当于一个圆柱挖去一个圆锥。圆柱的底面半径等于原梯形的高，圆柱的高等于原梯形的下底，根据圆柱的体积公式“”，求出其体积；圆锥的底面半径等于原梯形的高，圆锥的高等于原梯形的下底与上底的差，根据圆锥的体积公式“”求出圆锥的体积，再用圆柱的体积减去圆锥的体积就是梯形旋转一周后得到的几何体的体积，由此解答即可。 【解答】 ＝28.26×5 ＝141..3（立方厘米）； ＝28.26×2÷3 ＝18.84（立方厘米）； ； 【点评】解答本题的关键是明确旋转后的几何体相当于一个圆柱挖去一个圆锥；圆柱和圆锥的底面半径和高分别相当于梯形的哪一部分。 重难点九测量不规则物体的体积 【典例9】如图，将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中，水面由原来的600mL上升到800mL。放进去的圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】150 50 【分析】800mL＝800 cm3，600mL＝600 cm3。由题意可知：等底等高的圆柱和圆锥的体积和是800－600＝200 cm3，而等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。根据和倍公式和÷（倍＋1）求出圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积；据此解答。 【解答】800mL＝800cm3，600mL＝600cm3 800－600＝200（cm3） 200÷（3＋1） ＝200÷4 ＝50（cm3） 50×3＝150（cm3） 放进去的圆柱的体积是150cm3，圆锥的体积是50cm3。 【变式9-1】程程借助一个盛有水的圆柱形水槽测量一个小铁球的体积，他先把一个棱长为3cm的正方体铁块浸没在水槽中，水面上升了1.5cm，接着他又把小铁球浸没在水槽中，水面又上升了2cm。这个小铁球的体积是( )cm3。（两次浸没过程中，水均没有溢出） 【答案】36 【分析】水面上升的体积就是铁块与铁球的体积，利用正方体的体积＝棱长×棱长×棱长计算出铁块的体积，然后铁块的体积除以第一次水面上升的高度来计算水槽的底面积，铁球的体积＝水槽的底面积×第二次水面上升的高度，由此解答本题。 【解答】3×3×3÷1.5×2 ＝18×2 ＝36（） 所以，这个小铁球的体积是36。 【变式9-2】一个装有水的圆柱形烧杯，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里，量得水深是9cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是（    ）cm3。 【答案】157 【分析】根据题意，取出石头后，水面下降（9－7）cm，那么水面下降部分的体积等于这块石头的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这块石头的体积。 【解答】3.14×（10÷2）2×（9－7） ＝3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝157（cm3） 这块石头的体积是157cm3。 【变式9-3】底面直径是10厘米的圆柱形鱼缸里盛了一些水，水里养了一条鱼（如下图）。如果把鱼捉出来，水面下降到8厘米，这条鱼的体积是( )立方厘米。 【答案】157 【分析】把这条鱼捉出来，水面下降到8厘米，原来鱼缸中水的深度是10厘米；把鱼捉出来后水面下降了（10－8）厘米，因此这条鱼的体积等于下降的这部分水的体积；利用圆柱的体积＝底面积×高，代入相应数值计算即可解答。 【解答】3.14×（10÷2）2×（10－8） ＝3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（立方厘米） 因此这条鱼的体积是157立方厘米。 重难点十计算圆柱和圆锥的体积 【典例10】计算下面立体图形的体积。（单位：cm）                    【答案】 251.2cm3；75.36cm3 【分析】圆柱的体积＝，圆锥的体积＝，将数据代入公式计算即可。 【解答】（1） （cm3） 圆柱的体积为251.2cm3。 （2） （cm3） 圆柱的体积为75.36cm3。 【变式10-1】求下列物体的体积。（单位：分米） 【答案】4710立方分米；1059.75立方分米 【分析】圆柱的体积＝底面积×高；圆锥的体积＝×底面积×高，据此解答。 【解答】3.14×102×15 ＝3.14×100×15 ＝4710（立方分米） ×3.14×（15÷2）2×18 ＝3.14×7.52×6 ＝1059.75（立方分米） 【点评】圆柱、圆锥的体积公式是解答此题的关键，注意计算时，要细心，不要出错。 【变式10-2】计算下图中圆柱的表面积和体积，圆锥的体积。     （1）（2） 【答案】（1）18.84cm；6.28cm；（2）7.065 【分析】（1）已知圆柱的底面直径d和高h，先求出底面半径r，用公式：r＝d÷2，求表面积，用公式：S＝2πrh＋2πr，求体积，用公式：V＝πrh，据此列式解答； （2）已知圆锥的底面直径d和高h，先求出底面半径r，用公式：r＝d÷2，求圆锥的体积V，用公式：V＝πrh，据此列式解答。 【解答】（1）2÷2＝1（cm） 3.14×2×2＋3.14×12×2 ＝6.28×2＋3.14×2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（cm） 3.14×12×2 ＝3.14×2 ＝6.28（cm） （2）3÷2＝1.5 ×3.14×1.52×3 ＝×3.14×2.25×3 ＝3.14×2.25 ＝7.065 【点评】此题主要考查学生对圆柱的侧面积、表面积，圆柱的体积（容积），圆锥的体积（容积）的公式运用和解答能力。 【变式10-3】计算下面圆柱和圆锥的体积。 【答案】9420cm3；0.2355m3 【分析】第一个图形是求底面直径是20cm，高是30cm的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答； 第二个图形是求底面半径是0.5m，高是0.9m的圆锥的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（20÷2）2×30 ＝3.14×102×30 ＝3.14×100×30 ＝314×30 ＝9420（cm3） 3.14×0.52×0.9× ＝3.14×0.25×0.9× ＝0.785×0.9× ＝0.7065× ＝0.2355（m3） 重难点十一计算组合体的体积 【典例11】求下面立体图形的体积。（单位：厘米）     【答案】157立方厘米；635.5立方厘米 【分析】图一：用大圆柱的体积减去中间部分小圆柱的体积，根据圆柱的体积V＝πr2h，代入数据解答即可； 图二：用圆锥的体积加上长方体的体积，根据圆锥的体积V＝πr2h，长方体的体积V＝abh，代入数据解答即可。 【解答】1＋4＋1＝6（厘米） 3.14×（6÷2）2×10－3.14×（4÷2）2×10 ＝3.14×32×10－3.14×22×10 ＝3.14×9×10－3.14×4×10 ＝28.26×10－12.56×10 ＝282.6－125.6 ＝157（立方厘米） 3.14×（10÷2）2×9×＋10×8×5 ＝3.14×52×9×＋80×5 ＝3.14×25×9×＋400 ＝78.5×9×＋400 ＝706.5×＋400 ＝235.5＋400 ＝635.5（立方厘米） 图一的体积是157立方厘米，图二的体积是635.5立方厘米。 【变式11-1】求体积。（单位：分米） 【答案】75.36立方分米 【分析】由图可知，此图形是由一个底面直径是4分米、高是6分米的圆柱和一个底面半径是4分米、高是3分米的圆锥组成的图形，根据圆柱的体积＝和圆锥的体积＝，把数据代入公式即可求解。 【解答】3.14××5＋ ＝3.14×4×5＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（立方分米） 答：这个图形的体积是75.36立方分米。 【变式11-2】下图中圆柱的底面周长是12.56厘米，高是9厘米，求阴影部分的体积。 【答案】75.36立方厘米 【分析】已知圆柱的底面周长是12.56厘米，根据圆柱的底面周长C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 观察图形可知，阴影部分的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【解答】圆柱的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 阴影部分的体积： 3.14×22×9－×3.14×22×9 ＝3.14×4×9－×3.14×4×9 ＝113.04－37.68 ＝75.36（立方厘米） 答：阴影部分的体积是75.36立方厘米。 【变式11-3】求组合体的体积。（单位：cm） 【答案】60.56cm3 【分析】组合体是由一个长方体和一个圆锥组成，则组合体的体积＝长方体的体积＋圆锥的体积； 根据长方体的体积公式V＝abh，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解。 【解答】长方体的体积： 4×4×3 ＝16×3 ＝48（cm3） 圆锥的体积： ×3.14×（4÷2）2×3 ＝×3.14×22×3 ＝×3.14×4×3 ＝12.56（cm3） 一共：48＋12.56＝60.56（cm3） 组合体的体积是60.56cm3。 一、填空题 1．把桌面上水平放置的一个半径为的圆形纸片，垂直向上平移，所形成立体图形的体积是( )。 【答案】471 【分析】根据题意可知形成的立体图形为圆柱，根据，代入数值进行计算即可。 【解答】 （） 所形成立体图形的体积是471。 2．如图所示，把一个高是6厘米的圆柱沿半径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了48平方厘米，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】150.72 301.44 【分析】根据题干，拼组后表面积是增加了两个以圆柱的底面半径和高为边长的长方形面的面积，由此先求出圆柱的底面半径，再利用圆柱的侧面积S＝2πrh和体积V＝πr2h，代入数据计算即可。 【解答】48÷2÷6 ＝24÷6 ＝4（厘米） 3.14×4×2×6 ＝12.56×2×6 ＝25.12×6 ＝150.72（平方厘米） 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（立方厘米） 这个圆柱的侧面积是150.72平方厘米，体积是301.44立方厘米。 3．一个圆柱形茶叶罐的底面半径是8厘米，高是15厘米，它的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】753.6 3014.4 【分析】已知圆柱形茶叶罐的底面半径和高，根据圆柱的侧面积S侧＝2πrh，圆柱的体积V＝πr2h，代入数据计算即可求解。 【解答】3.14×8×2×15 ＝25.12×2×15 ＝50.24×15 ＝753.6（平方厘米） 3.14×82×15 ＝3.14×64×15 ＝200.96×15 ＝3014.4（立方厘米） 一个圆柱形茶叶罐的底面半径是8厘米，高是15厘米，它的侧面积是753.6平方厘米，体积是3014.4立方厘米。 4．有四个完全相同的圆柱体容器，先装入同样多的水，再分别往容器②、③、④中放入大小不同的两种钢球，水面高度变化如下图所示。现在容器④中的水面高度是( )厘米。 【答案】13 【分析】 由容器、可知，放入1个大球，水面上升了（12－8）厘米，由容器、可知，放入4个小球，水面上升的高度相当于放入1个大球水面上升的高度，那么只放入1个小球，水面上升的高度是放入1个大球水面上升高度的，所以用放入1个大球水面上升的高度除以4就是放入1个小球水面上升的高度，据此用容器水面的高度加上放入1个大球水面上升的高度，再加上放入1个小球水面上升的高度即可求解。 【解答】12－8＝4（厘米） 4÷4＝1（厘米） 8＋4＋1 ＝12＋1 ＝13（厘米） 所以现在容器④中的水面高度是13厘米。 5．把一个高20厘米的圆柱底面分成很多相等扇形，沿扇形切开并拼成近似长方体（如图）。已知拼成长方体的表面积比原来圆柱表面积多400平方厘米，原来圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】6280 【分析】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，圆柱的体积等于长方体的体积，拼成的长方体表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（即长方体的左右面）；这两个长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高； 先用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出原来圆柱的体积。 【解答】圆柱的底面半径： 400÷2÷20 ＝200÷20 ＝10（厘米） 圆柱的体积： 3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝6280（立方厘米） 原来圆柱的体积是6280立方厘米。 6．一根圆柱体的木料长6米。王明用了5分钟把它锯成了5段，表面积增加了20平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。如果把它锯成8段要用( )分钟。 【答案】150 8.75 【分析】锯成5段，增加了个面，用增加的面积除以增加的面数，即可求出一个面的面积，再乘圆柱的长，即可求出这根木料的体积，用了5分钟把它锯成了5段，可以理解为锯了4次，用时间除以次数，即可求出锯一次需要的时间，锯成8段，需要锯次，乘锯一次需要的时间，即可求出锯成8段要用的时间。 【解答】 （平方分米） 6米分米 （立方分米） （分钟） （分钟） 这根木料的体积是150立方分米。如果把它锯成8段要用8.75分钟。 7．一个圆柱形容器里面盛有的水，恰好是180毫升，若把这个容器里的水倒入一个与它等底等高的圆锥容器里面，水会溢出( )毫升。 【答案】90 【分析】先把圆柱的容积看成单位“1”，它的是180毫升，根据分数除法的意义，意求出整个圆柱的容积，再根据圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的，求出圆锥的体积，最后用圆柱中原来的水的体积减去圆锥的体积就可以求出溢出多少水了。 【解答】180÷× ＝270× ＝90（毫升） 180－90＝90（毫升） 水会溢出 90毫升。 8．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是( )m3。 【答案】65.94 【分析】求这个蒙古包内的空间，也就是求圆柱和圆锥体积和，根据圆柱体积公式，和圆锥体积公式，将相关数据代入计算即可。 【解答】3.14×（6÷2）2×2+×3.14×（6÷2）2×1 =3.14×9×2+×3.14×9×1 =3.14×18+3.14×3 =65.94（） 所以，这个蒙古包内的空间大约是65.94。 9．如图，一个圆柱形容器的底面直径是40厘米，容器中水面的高度为10厘米，把底面直径为24厘米，高40厘米的铁块竖直放入后，铁块的上底面仍高于水面，这时水面升高了( )厘米。 【答案】5.625 【分析】根据圆柱的体积V＝πr2h可以求出容器内水的体积；放进去底面半径24厘米的圆柱体铁块后，铁块的上底面仍高于水面，说明这时候水的体积没变，但是水箱的底面积变小了，利用h＝V÷S，从而可以求出水此时的高度，最后用现在的水面高度减去原来的水面高度，由此解决问题。 【解答】3.14×（40÷2）2 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 1256×10＝12560（立方厘米） 3.14×（24÷2）2 ＝3.14×144 ＝452.16（平方厘米） 1256－452.16＝803.84（平方厘米） 12560÷803.84＝15.625（厘米） 15.625－10＝5.625（厘米） 这时水面升高5.625厘米。 【点评】抓住前后水的体积不变，原来底面积减少了圆柱体铁块的底面积部分，利用圆柱的体积公式即可求得底面积减少后的水深，由此即可解决问题。 10．一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱的体积是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米；如果圆锥的体积是12立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米；如果它们的体积和是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米；如果它们的体积差是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】4 36 3 6 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，已知圆柱的体积，求圆锥的体积，用圆柱的体积×解答； 已知圆锥的体积，求圆柱的体积，用圆锥的体积÷解答； 已知它们的体积和是12立方厘米，求圆锥的体积；设圆柱的体积为x立方厘米，则圆锥的体积是x立方厘米；列方程：x＋x＝12，先求出圆柱的体积，进而求出圆锥的体积； 已知它们的体积差是12立方厘米，求圆锥的体积，设圆柱的体积为y立方厘米，则圆锥的体积是y立方厘米，列方程：y－y＝12，解方程，求出圆柱的体积，进而求出圆锥的体积。 【解答】12×＝4（立方厘米） 12÷ ＝12×3 ＝36（立方厘米） 解：设圆柱的体积是x立方厘米，则圆锥的体积是x立方厘米。 x＋x＝12 x＝12 x＝12÷ x＝12× x＝9 圆锥的体积：9×＝3（立方厘米） 解：设圆柱的体积是y立方厘米，则圆锥的体积是y立方厘米。 y－y＝12 y＝12 y＝12÷ y＝12× y＝18 圆锥的体积：18×＝6（立方厘米） 一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱的体积是12立方厘米，那么圆锥的体积是4立方厘米；如果圆锥的体积是12立方厘米，那么圆柱的体积是36立方厘米；如果它们的体积和是12立方厘米，那么圆锥的体积是3立方厘米；如果它们的体积差是12立方厘米，那么圆锥的体积是6立方厘米。 二、计算题 11．求（1）的表面积和体积，求（2）的体积。（单位：cm） （1）   （2） 【答案】（1）324平方厘米；360立方厘米；（2）16.956立方厘米 【分析】第一个图是长方体，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求解；第二个图是一个圆柱体和一个圆锥体的组合，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，代入数据即可求解。 【解答】（1）表面积：（12×5＋12×6＋6×5）×2 ＝（60＋72＋30）×2 ＝162×2 ＝324（平方厘米） 体积：12×6×5 ＝12×30 ＝360（立方厘米） （2）半径：3÷2＝1.5（厘米）， 3.14×1.5×1.5×2＋×3.14×1.5×1.5×1.2 ＝3.14×1.5×1.5×（2＋0.4） ＝7.065×2.4 ＝16.956（立方厘米） 【点评】解决此题的关键是熟练掌握长方体的表面积和体积公式以及圆柱、圆锥的体积公式。 三、解答题 12．洗碗机洗碗真的费水吗？为了解决这个问题，小妍妈妈做了一个实验。洗碗机洗6套碗筷，按说明书介绍，需要9升水。如果采用手洗的方式，6套碗筷先用洗洁精擦拭，再用流水迅速冲洗，至少需要流水冲洗2分钟。常见的自来水管的内直径是0.2分米，假设自来水的流速是每秒5分米，那么，手洗6套碗筷需要用水多少升？洗碗机洗碗真的费水吗？（π取3） 【答案】18升；不费水 【分析】根据题意可知，每秒的水流长度是5分米，水流是圆柱状的，所以每秒水流的高是5分米，底面直径是0.2分米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出每秒水流的体积，再换算成升；因为2分钟等于120秒，所以用乘法求出120秒的水流体积，也就是手洗6套碗筷需要用水的量。最后和9升水比较即可，如果小于9升，说明洗碗机洗碗费水，反之则不是。 【解答】3×（0.2÷2）2×5 ＝3×0.12×5 ＝3×0.01×5 ＝0.15（立方分米） 0.15立方分米＝0.15升 2分＝120秒 0.15×120＝18（升） 18升＞9升 答：手洗6套碗筷需要用水18升；洗碗机洗碗不费水。 13．一个圆柱形电饭煲，从里面量，底面直径是3分米，高是2.4分米。这个电饭煲的容积大约是多少升？（得数保留一位小数） 【答案】17.0升 【分析】求电饭煲的容积就是求电饭煲的体积，也就是求圆柱体的体积，根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可。最后的结果保留一位小数，只需要看小数点后的第二位，再四舍五入保留即可。最后再根据1升＝1立方分米进行单位换算。 【解答】3÷2＝1.5（分米） ≈17.0（立方分米） 17.0立方分米＝17.0升 答：这个电饭煲的容积大约是17.0升。 14．某雕塑的底座如图（单位：米），做这个底座至少需要多少立方米混凝土？ 【答案】3.2956立方米 【分析】从图中可知：这个底座的体积＝圆柱的体积＋长方体的体积，根据圆柱的体积：V＝sh＝πr2h，长方体的体积＝长×宽×高，分别代入数据计算，求出体积再相加即可。 【解答】（1.2÷2）2×3.14×1.5＋2×2×0.4 ＝0.62×3.14×1.5＋2×2×0.4 ＝0.36×3.14×1.5＋2×2×0.4 ＝1.6956＋1.6 ＝3.2956（立方米） 答：做这个底座至少需要3.2956立方米混凝土 15．劳动活动周，幸福路小学组织学生回收废旧垃圾。下面是同学们收集到的一个未喝完的废旧饮料瓶。同学们准备将它做成一个精美的手工笔筒。如图，底面是圆形，半径是3厘米，这个饮料瓶的容积是多少立方厘米？ 【答案】226.08立方厘米 【分析】观察图形可知，饮料瓶的容积＝底面半径是3厘米，高是6厘米的圆柱的容积＋底面半径是3厘米，高是2厘米的圆柱容积，根据圆柱的容积：容积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×32×6＋3.14×32×2 ＝3.14×9×6＋3.14×9×2 ＝28.26×6＋28.26×2 ＝169.56＋56.52 ＝226.08（立方厘米） 答：这个饮料瓶的容积是226.08立方厘米。 16．一个易拉罐的形状是圆柱形，从外面量得这个易拉罐的高是10厘米，底面直径是6厘米。 （1）商家在易拉罐的包装上印了“净含量282毫升”，请计算说明，商家这样标注合理吗？ （2）做这样一个易拉罐，至少需要铝合金材料多少平方厘米？（接头处忽略） 【答案】（1）合理 （2）244.92平方厘米 【分析】（1）判断标注“净含量282毫升”是否合理，也就是求这个圆柱的容积，求容积和体积的方法一样，，据此即可求出圆柱的体积，再根据“1立方厘米＝1毫升”把单位“立方厘米”换算成“毫升”，即可算出这个易拉罐的容积，最后与282毫升比较，大于等于282毫升即为合理，小于282毫升即为不合理，据此解答。 （2）要求“做这样一个易拉罐，至少需要铝合金材料多少平方厘米”，即求这个圆柱形易拉罐的表面积，，据此解答。 【解答】由分析可知： （1） ＝282.6（立方厘米） 282.6立方厘米＝282.6毫升 282.6＞282，所以标注合理。 答：商家这样标注合理。 （2） ＝244.92（平方厘米） 答：做这样一个易拉罐，至少需要铝合金材料244.92平方厘米。 【点评】本题考查圆柱表面积和体积（容积）公式的灵活运用，记住公式是关键。 17．把一个长、宽、高分别是16厘米、12厘米、8厘米的长方体削成一个体积最大的圆柱，这个圆柱的底面半径、高分别是多少厘米？ 【答案】6厘米；8厘米 【分析】长方体削成最大的圆柱有三种情况： 圆柱的底面直径是12厘米，高为8厘米； 圆柱的底面直径是8厘米，高为16厘米； 圆柱的底面直径是8厘米，高为12厘米； 根据圆柱的体积分别计算出三种情况下的圆柱的体积，再比较体积大小选出即可。 【解答】12÷2＝6（厘米） ＝π×36×8 ＝288π（立方厘米） 8÷2＝4（厘米） ＝π×16×16 ＝256π（立方厘米） 8÷2＝4（厘米） ＝π×16×12 ＝192π（立方厘米） ＞＞ 所以当圆柱底面直径是12厘米，高为8厘米时，圆柱的体积最大。 答：这个圆柱的底面半径是6厘米，高是8厘米。 18．一块正方体木料，棱长是4分米，把它加工成一个最大的圆柱。这个圆柱的体积是多少立方分米？ 【答案】50.24立方分米 【分析】根据正方体的特征、圆柱的特征可知，把一块正方体木料削成一个最大的圆柱，也就是削成的圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】 （立方分米） 答：这个圆柱的体积是50.24立方分米。 19．一个圆柱形橡皮泥，底面周长是62.8cm，高是9cm。如果把它捏成底面直径是24cm的圆锥，这个圆锥的高是多少厘米？ 【答案】18.75厘米 【分析】先依据圆柱体体积＝πr2h，求出橡皮泥的体积，再根据圆锥的高＝橡皮泥体积×3÷（πr2）即可解答。 【解答】圆柱的体积：3.14×（62.8÷3.14÷2）2×9 ＝3.14×100×9 ＝2826（立方厘米） 圆锥的底面半径：24÷2＝12（厘米） 2826×3÷（3.14×122） ＝8478÷452.16 ＝18.75（厘米） 答：这个圆锥的高是18.75厘米。 【点评】此题考查的是圆柱和圆锥的体积的计算，解答此题的关键是先求出圆柱的体积。 20．陶泥社团课上，小明做了一个圆柱和一个圆锥，底面直径都是8厘米，高都是15厘米。它们的体积一共是多少立方厘米？ 【答案】1004.8立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的体积和即可。 【解答】8÷2＝4（厘米） 3.14×42×15＋3.14×42×15× ＝3.14×16×15＋3.14×16×15× ＝50.24×15＋50.24×15× ＝753.6＋753.6× ＝753.6＋251.2 ＝1004.8（立方厘米） 答：它们的体积一共是1004.8立方厘米。 21．一个圆锥形小麦堆，已知底面积为28.26平方米，高4米，如果每立方米小麦重500千克，这堆小麦重多少千克？ 【答案】18840千克 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出小麦堆的体积，小麦体积×每立方米重量＝这堆小麦总重量，据此列式解答。 【解答】28.26×4÷3×500 ＝37.68×500 ＝18840（千克） 答：这堆小麦重18840千克。 22．水平桌面上放着高度同为40厘米的两个圆柱形容器，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管容积忽略不计），容器A和B底面直径分别为32厘米和24厘米。先关闭连通管，将容器A注满，再打开连通管，容器B中水的高度最终是多少厘米？（π取3.14） 【答案】25.6厘米 【分析】将容器A注满，水的体积是圆柱A的体积，圆柱的体积＝。在高度的一半处有一连通管相连，将容器A注满，再打开连通管后，这时两个容器水面的高度是一样的，则底面积比就是体积比。A和B容器都是圆柱，则底面是圆，圆的面积＝，就是底面积。即两个圆柱的底面积比是16∶9，则两个圆柱的水的体积比也是16∶9，按比例分配，B圆柱容器的水的体积占水总体积的，得出B圆柱的水的体积，再根据水面的高＝水的体积÷底面积。 【解答】 （立方厘米） ＝ （立方厘米） （厘米） 答：容器B中水的高度最终是25.6厘米。 【点评】计算量比较大的时候，可以不要将先算出来，这样更简便。注意将容器A注满，再打开连通管时两个容器的高度是一样的，那么底面积的比就是体积的比。 23．将一个圆锥沿底面直径和高切成形状、大小完全一样的两部分，结果表面积之和比原来增加了48平方分米。已知圆锥的高为6分米，求原来圆锥的体积。 【答案】100.48立方分米 【分析】根据题意，48÷2＝24（平方厘米），增加了两个切面，一个面的面积是24平方厘米，因为切面是三角形，圆锥的底面直径和高就是三角形的底和高，根据三角形面积公式，三角形的底即圆锥的底面直径是24×2÷6＝8（厘米），然后根据圆锥体积公式，即可解决问题。 【解答】一个切面的面积：48÷2＝24（平方厘米） 圆锥的底面直径：24×2÷6 ＝48÷6 ＝8（厘米） 圆锥的体积：×3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×16×2 ＝100.48（立方厘米） 答：原来圆锥的体积是100.48立方厘米。 【点评】此题考查了学生空间想象力以及对圆锥体积公式的运用情况，解题的关键是“理解切面是三角形，圆锥的底面直径和高就是三角形的底和高”。 24．哈萨克毡房给夏明留下了深刻的印象，它独具异域风情，由围墙、房杆、顶圈、房毡、门组合而成。如图所示，主体近似圆柱形，高2米，底面周长大约37.68米，上面是一个近似圆锥的屋顶，高1米。这样一个毡房里面的空间大约是多少立方米？ 【答案】263.76立方米 【分析】毡房里面的空间＝圆柱容积＋圆锥容积，根据底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆柱容积＝底面积×高，圆锥容积＝底面积×高÷3，列式解答即可。 【解答】（米） （立方米） 答：这样一个毡房里面的空间大约是263.76立方米。 25．如图，粮囤上面是圆锥形，下面是圆柱形，圆柱的底面周长是12.56米，高是2米，圆锥的高是1.2米。一个粮囤的体积是多少立方米？ 【答案】30.144立方米 【分析】 粮囤的体积可以看作是一个圆柱的体积加上一个圆锥的体积，其中圆柱的底面积和圆锥的底面积相等，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，代入相应数值计算，据此解答。 【解答】 底面积：3.14×（12.56÷3.14÷2）2 ＝3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） （立方米） 答：一个粮囤的体积是30.144立方米。 26．小刚进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图⑥）；放入土豆A，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图⑦）；再放入土豆B，此时有部分水溢出（如图⑧）；取出土豆B，这时水面距离容器口4厘米（如图⑨）。 根据实验情况，请你解决以下问题：（圆周率取3.14） （1）请求出土豆A的体积？ （2）土豆B的体积呢？ （3）放入土豆B后，溢出了多少毫升水？ 【答案】（1）157立方厘米 （2）314立方厘米 （3）235.5毫升 【分析】（1）把土豆A放入圆柱形容器中，上升部分水的体积就等于土豆A的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 （2）根据题意可知，土豆B的体积等于把土豆B取出后下降部分水的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 （3）溢出水的体积等于土豆B 的体积减去图⑦中无水部分的体积。据此解答即可。 【解答】（1）3.14×（10÷2）2×（11－9） ＝3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157 （立方厘米） 答：土豆A的体积是157立方厘米。 （2）3.14×（10÷2）2×4 ＝3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 答：土豆B的体积是314立方厘米。 （3）314－3.14×（10÷2）2×1 ＝314－3.14×52×1 ＝314－3.14×25×1 ＝314－78.5×1 ＝314－78.5 ＝235.5（立方厘米） 235.5立方厘米＝235.5毫升 答：溢出了235.5毫升水。 学科网（北京）股份有限公司 $$