第二单元 比例的认识及应用（五个重难点突破）-2024-2025学年六年级下册数学重难点专题突破（北师大版）

第二单元 比例的认识及应用 一、比例的意义 二、判断是否能够组成比例 三、比例的基本性质 四、解比例 五、比例的应用 知识点1比例的认识 1、表示两个比相等的式子叫作比例。组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 2、在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，这叫做比例的基本性质。 重难点一比例的意义 【典例1】在下面各比中，与∶能组成比例的是（    ）。 A．5∶2 B．2∶5 C．∶2 D．2∶ 【变式1-1】下面能组成比例的是（    ）。 A．和3∶4 B．8∶3和0.6∶0.3 C．7∶8和14∶16 D．∶6和∶18 【变式1-2】（    ）能与组成比例。 A．3∶4 B．4∶3 C．3∶1 D．3∶2 【变式1-3】（    ）组的两个比可以组成比例。 A．0.6∶0.2和 B．40∶20和10∶20C．0.5∶和0.5∶ D．6∶8和4∶7 重难点二判断是否能够组成比例 【典例2】应用比例内项与外项的积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 （1）4∶9和3∶2            （2）和7∶24 【变式2-1】应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例。把组成的比例写出来。 6∶9和9∶12                     1.4∶2和∶1 和2.4∶2.5                 和 【变式2-2】利用比例的内项之积与外项之积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 5∶8和20∶24        ∶和∶ 【变式2-3】根据比例的内项与外项积的关系，判断下面哪组中的两个比可以组成比例？并将组成的比例写出来。 （1）3∶5和6∶7          （2）0.8∶1.2和12∶18 （3）4.5∶5和     （4）和 重难点三比例的基本性质 【典例3】如果6，7，8，A四个数可以组成一个比例，那么A最大是( )，用这四个数组成的比例是( )（写出一个即可）。 【变式3-1】用0.4、24、20和组成一个比例：( )。 【变式3-2】甲数的和乙数的相等（甲、乙均不为0），甲数和乙数的比是( )∶( )，如果甲数比乙数少18，甲数与乙数分别是( )和( )。 【变式3-3】把下面的等式改写成比例式（写出四个即可）。 1.5×12＝20×0.9           知识点2比例的应用 1、求比例中的未知项的过程，叫作解比例。

 2、解比例的方法：根据比例的基本性质，先把比例转化成外项的积与内项的积相等的形式（即方程），再通过解方程求出未知项的值。

 3、当已知两个量的比或两个量的比不变时，可以设要求的一个量为x，然后根据比例的意义列出比例，再求出x的值。 4、对于一些具体的实际问题可以列算式求解，也可以根据比例的意义，列出比例（方程），然后解比例，求出实际问题的答案，其关键是理解题意，正确地列出比例。
 重难点四解比例 【典例4】解方程或比例。 （1）x－85%x＝750    （2）16＋4x＝40  （3）＝   （4）1.2∶x＝5∶1.5 【变式4-1】解方程。 x∶3.2＝5∶8        43%x－18%x＝13.3        5x－3×11＝42 【变式4-2】解方程。          【变式4-3】解方程。 20%x＋x＝15               －0.11x＝            x∶1.6＝15∶0.8 重难点五比例的应用 【典例5】一堆黑白围棋子，从中取走了15粒白子，余下黑子数与白子数之比为2∶1，此后又从中取走了45粒黑子，余下黑子数与白子数之比为1∶5，那么这堆棋子原来共有( )粒。 【变式5-1】中华人民共和国国旗是五星红旗。其长与高之比是3∶2，国旗之通用尺度定有五种，各界酌情使用。其中一种规格长为144cm，它的高是( )cm。 【变式5-2】张家与李家本月的收入钱数之比是，本月开支的钱数之比是，月底张家结余630元，李家结余700元，则本月两家共收入( )元。 【变式5-3】淘气用10个饮料瓶换了4.5元钱，照这样计算，用30个饮料瓶可以换( )元钱，想换得18元钱，需要( )个饮料瓶。 一、填空题 1．如果7x＝8y，那么＝( )。 2．一个数与3、6、9正好可以组成比例，那么这个数可能( )。（不止一种情况，请写完整哟。） 3．已知1、4、12三个数，再添一个数能组成比例的数，所组成的比例是( )。 4．在一个比例中，两个外项，一个是最小的质数，一个是最小的合数，两个内项中，一个是，另一个是( )。 5．如果5颗星星可换2根棒棒糖，淘气得了15颗星星，可换( )根棒棒糖，写成比例是( )。 6．在一个比例中，已知两个比的比值都等于3，这个比例的两个外项分别是和，这个比例是( )。 7．一项工程，甲队单独12天完成，乙队单独15天完成。甲乙两队工作时间的比是( )；工作效率的比是( )；它们( )（选能或不能）组成比例。 8．配制一种农药，药液和水的质量比是，现有2千克药液，能配制这种农药( )千克。 9．六（1）班布置舞台需要红、黄两种颜色的气球，红色和黄色气球的数量比是3∶1，如果有25个黄色气球，那么需要( )个红色气球。 10．王师傅加工一批零件，第一天加工了，第二天又加工了30个，这时已加工的与未加工的个数比是2∶5，这批零件一共有( )个。 二、选择题 11．一个圆锥和一个圆柱体积的比是，圆柱的底面积比圆锥的底面积多，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是（    ）cm。 A．10 B．20 C．30 D．40 12．调制蜂蜜水，蜂蜜与水的质量比是3∶7，丽丽有蜂蜜360克，都用来调制蜂蜜水，需要（    ）克水。 A．840 B．740 C．770 D．700 13．下面各数中，不能与8、10和12组成比例的是（    ）。 A．15 B．9.6 C．2.5 14．我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 15．男生人数的等于女生人数的，则男、女生人数的比是（    ）。 A． B． C． 16．把∶3＝∶9改写成3××9是根据（    ）。 A．小数的性质 B．分数的基本性质 C．比例的基本性质 D．比的基本性质 17．在下面各比中，与∶能组成比例的是（    ）。 A．5∶2 B．2∶5 C．∶2 18．与4∶5能组成比例的是（    ）。 A．1∶20 B．2∶1 C．5∶4 D．8∶10 19．比例“3∶2＝12∶8”的内项2增加4，要使比例仍然成立，外项8应该增加（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．20 20．在比例里，两个内项分别是最小的质数和最小的合数，一个外项是最小的两位数，另一个外项是（    ）。 A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1.0 三、计算题 21．计算。 四、解答题 22．（1）写出下图中图A、图B两个正方形的边长与边长的比以及周长与周长的比，这两个比能组成比例吗？ （2）写出两个正方形面积与面积的比，这个比与边长之间的比能组成比例吗？ 23．淘气和笑笑收集的卡片张数的比是3∶4，淘气有120张，笑笑有多少张？ 24．广州塔高600米，是目前中国第一高的电视塔。星星公司设计制作了这座电视塔的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶300。模型的高度是多少米？ 25．相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决） 26．甲、乙两人在同一条公路上沿直线滚铁环，甲的铁环一共可以滚50圈，乙的铁环一共可以滚40圈。如果一个铁环的周长比另一个铁环的周长少44厘米，那么这条公路全长多少米？ 27．师徒二人合作加工168个零件，师傅加工9个零件的时间和徒弟加工5个零件的时间相同。完成任务时师傅比徒弟多加工多少个零件？ 28．学校运来240棵树苗，老师栽种了10%，余下的按5∶4∶3分配给甲、乙、丙三个班级，丙班分到多少棵？ 29．两袋大米共重130千克，如果将甲袋的倒入乙袋，这时甲、乙两袋的质量之比是7∶6，原来甲袋有大米多少千克？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二单元 比例的认识及应用 一、比例的意义 二、判断是否能够组成比例 三、比例的基本性质 四、解比例 五、比例的应用 知识点1比例的认识 1、表示两个比相等的式子叫作比例。组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 2、在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，这叫做比例的基本性质。 重难点一比例的意义 【典例1】在下面各比中，与∶能组成比例的是（    ）。 A．5∶2 B．2∶5 C．∶2 D．2∶ 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【解答】∶＝÷＝×5＝ A．5∶2＝5÷2＝ ＝，比值相等，5∶2能与∶组成比例； B．2∶5＝2÷5＝ ≠，比值不相等，2∶5不能与∶组成比例； C．∶2＝÷2＝×＝ ≠，比值不相等，∶2不能与∶组成比例； D．2∶＝2÷＝2×5＝10 10≠，比值不相等，2∶不能与∶组成比例。 故答案为：A 【变式1-1】下面能组成比例的是（    ）。 A．和3∶4 B．8∶3和0.6∶0.3 C．7∶8和14∶16 D．∶6和∶18 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此分别求出各选项中比的比值，找到比值相等的一组即可。 【解答】A．、3∶4＝3÷4＝，和3∶4比值不相等，不能组成比例； B．8∶3＝8÷3＝、0.6∶0.3＝0.6÷0.3＝2，8∶3和0.6∶0.3比值不相等，不能组成比例； C．7∶8＝7÷8＝、14∶16＝14÷16＝＝，7∶8和14∶16比值相等，能组成比例7∶8＝14∶16； D．∶6＝÷6＝×＝、∶18＝÷18＝×＝，∶6和∶18比值不相等，不能组成比例。 能组成比例的是7∶8和14∶16。 故答案为：C 【变式1-2】（    ）能与组成比例。 A．3∶4 B．4∶3 C．3∶1 D．3∶2 【答案】B 【分析】求出题干中比的比值，再分别求出选项中的比值，选出与题干中比的比值相等的选项即可。 【解答】∶ ＝÷ ＝×2 ＝ A．3∶4 ＝3÷4 ＝ B．4∶3 ＝4÷3 ＝ C．3∶1 ＝3÷1 ＝3 D．3∶2 ＝3÷2 ＝ 4∶3的比值与∶的比值相等，所以4∶3能与组成比例。 故答案为：B 【变式1-3】（    ）组的两个比可以组成比例。 A．0.6∶0.2和 B．40∶20和10∶20C．0.5∶和0.5∶ D．6∶8和4∶7 【答案】A 【分析】判断两个比能否组成比例，可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积；据此逐项分析再选择。 【解答】A．因为0.6×＝0.15，0.2×＝0.15，所以0.6∶0.2和能组成比例； B．40×20＝800，20×10＝200，因为800≠200，所以40∶20和10∶20不能组成比例； C．0.5×＝0.3，×0.5＝，因为0.3≠，所以0.5∶和0.5∶不能组成比例； D．6×7＝42，8×4＝32，因为42≠32，所以6∶8和4∶7不能组成比例。 故答案为：A 【点评】此题考查比例性质的运用：验证两个比能否组成比例，就看两内项的积是否等于两外项的积。 重难点二判断是否能够组成比例 【典例2】应用比例内项与外项的积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 （1）4∶9和3∶2            （2）和7∶24 【答案】（1）不能组成比例 （2）能组成比例；∶7∶24 【分析】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。据此假设两个比能组成比例，分别计算两个内项和外项的积，看它们是否相等即可解答。 【解答】（1）因为9×3≠4×2，所以4∶9和3∶2不能组成比例； （2）因为247，所以∶和7∶24能组成比例，组成的比例是∶7∶24。 【点评】掌握并会运用比例的基本性质是解题的关键。 【变式2-1】应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例。把组成的比例写出来。 6∶9和9∶12                     1.4∶2和∶1 和2.4∶2.5                 和 【答案】6∶9和9∶12不能组成比例； 1.4∶2和∶1能组成比例，即1.4∶2＝∶1； 和2.4∶2.5能组成比例，即＝2.4∶2.5； 和能组成比例，即＝。 【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式。 【解答】（1）因为6×12≠9×9， 所以6∶9和9∶12不能组成比例； （2）因为1.4×1＝×2， 所以1.4∶2和∶1能组成比例，即1.4∶2＝∶1； （3）因为×2.5＝×2.4， 所以和2.4∶2.5能组成比例，即＝2.4∶2.5 （4）因为×＝×， 所以和能组成比例，即＝。 【点评】此题主要考查了根据比例的基本性质构造比例的能力。 【变式2-2】利用比例的内项之积与外项之积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 5∶8和20∶24        ∶和∶ 【答案】5∶8和20∶24不能组成比例 ∶和∶能组成比例；∶＝∶ 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。 【解答】5∶8和20∶24 5×24＝120 8×20＝160 120≠160，所以5∶8和20∶24不能组成比例。 ∶和∶ ×＝ ×＝ ＝，所以∶和∶能组成比例。 ∶＝∶ 【点评】熟练掌握比例的基本性质是解答本题的关键。 【变式2-3】根据比例的内项与外项积的关系，判断下面哪组中的两个比可以组成比例？并将组成的比例写出来。 （1）3∶5和6∶7          （2）0.8∶1.2和12∶18 （3）4.5∶5和     （4）和 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。 【解答】（1）3×7≠5×6，所以3∶5和6∶7不能组成比例； （2）0.8×18＝1.2×12，所以0.8∶1.2和12∶18能组成比例。 （3）4.5×＝5×，4.5∶5和能组成比例。 （4）×≠×，和不能组成比例。 重难点三比例的基本性质 【典例3】如果6，7，8，A四个数可以组成一个比例，那么A最大是( )，用这四个数组成的比例是( )（写出一个即可）。 【答案】 6∶7＝8∶ 【分析】要使A最大，只要用给出的三个数中比较大的两个数7和8做这个比例的两个外项或两个内项；那么6和A就做比例的两个内项或外项，根据比例的基本性质：两个外项之积等于两个内项之积，据此求出A的值，再写出比例，（比例的答案不唯一），据此解答。 【解答】A最大： 7×8÷6 ＝56÷6 ＝ 比例：6∶7＝8∶。 如果6，7，8，A四个数可以组成一个比例，那么A最大是，用这四个数组成的比例是6∶7＝8∶。 【变式3-1】用0.4、24、20和组成一个比例：( )。 【答案】24∶20＝0.4∶ 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，用0.4、24、20和四个数中的最大数与最小数相乘，剩下的两个数相乘，如果它们的积相等，就可以组成比例，否则不可以组成比例。 【解答】24＞20＞0.4＞ 24×＝8 20×0.4＝8 积相等，可组成比例： 24∶20＝0.4∶（答案不唯一） 【变式3-2】甲数的和乙数的相等（甲、乙均不为0），甲数和乙数的比是( )∶( )，如果甲数比乙数少18，甲数与乙数分别是( )和( )。 【答案】4 5 72 90 【分析】根据分数乘法的意义，可知甲数×＝乙数×，根据比例的基本性质，可知甲数∶乙数＝∶，再化简可得甲数∶乙数＝4∶5，把甲数看作4份，乙数看作5份，甲数比乙数少（5－4）份，用18÷（5－4）即可求出每份是多少，进而用乘法求出4份和5份，也就是甲和乙。 【解答】∶ ＝（×20）∶（×20） ＝4∶5 18÷（5－4） ＝18÷1 ＝18 甲数：18×4＝72 乙数：18×5＝90 甲数和乙数的比是4∶5，如果甲数比乙数少18，甲数与乙数分别是72和90。 【变式3-3】把下面的等式改写成比例式（写出四个即可）。 1.5×12＝20×0.9           【答案】1.5∶20＝0.9∶12 1.5∶0.9＝20∶12 12∶20＝0.9∶1.5 12∶0.9＝20∶1.5 【分析】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，即可写出比例。 【解答】由分析可得：可以改写为 1.5∶20＝0.9∶12 1.5∶0.9＝20∶12 12∶20＝0.9∶1.5 12∶0.9＝20∶1.5 知识点2比例的应用 1、求比例中的未知项的过程，叫作解比例。

 2、解比例的方法：根据比例的基本性质，先把比例转化成外项的积与内项的积相等的形式（即方程），再通过解方程求出未知项的值。

 3、当已知两个量的比或两个量的比不变时，可以设要求的一个量为x，然后根据比例的意义列出比例，再求出x的值。 4、对于一些具体的实际问题可以列算式求解，也可以根据比例的意义，列出比例（方程），然后解比例，求出实际问题的答案，其关键是理解题意，正确地列出比例。
 重难点四解比例 【典例4】解方程或比例。 （1）x－85%x＝750    （2）16＋4x＝40  （3）＝   （4）1.2∶x＝5∶1.5 【答案】（1）x＝5000；（2）x＝6；（3）x＝2；（4）x＝0.36 【分析】（1）先把85%化成0.85，再把方程左边化简为0.15x，最后根据等式的基本性质给方程两边同时除以0.15即可； （2）先给方程两边同时减去16，再同时除以4即可； （3）先根据比例的基本性质把方程化成3x＝1.2×5，再给方程两边同时除以3即可； （3）先根据比例的基本性质把方程化成5x＝1.2×1.5，再给方程两边同时除以5即可。 【解答】（1）x－85%x＝750 解：x－0.85x＝750 0.15x＝750 x＝750÷0.15 x＝5000 （2）16＋4x＝40 解：4x＝24 x＝24÷4 x＝6 （3）＝ 解；3x＝1.2×5 3x＝6 x＝6÷3 x＝2 （4）1.2∶x＝5∶1.5 解：5x＝1.2×1.5 5x＝1.8 x＝1.8÷5 x＝0.36 【变式4-1】解方程。 x∶3.2＝5∶8        43%x－18%x＝13.3        5x－3×11＝42 【答案】x＝2；x＝53.2；x＝15 【分析】（1）利用比例的基本性质，把比例方程转化成普通方程，方程左右两边同时除以8，求出方程的解； （2）化简含字母的式子，再把方程左右两边同时除以0.25，求出方程的解； （3）方程左右两边同时加上33，再把方程左右两边同时除以5，求出方程的解。 【解答】 解： 解： 解： 【变式4-2】解方程。          【答案】；； 【分析】（1）首先，我们把百分数150%化为小数，150%等于1.5。原方程x＋150%x＝30就可以转化为x＋1.5x＝30，即为2.5x＝30，根据方程性质2，两边同时除2.5即可。 （2）根据比例的基本性质：两个内项积等于两个外项积。在方程中8∶27＝x∶54，27和x是内项，8和54是外项。根据比例的基本性质，可以列出等式27x＝8×54，计算出结果后，根据方程性质2，等式两边同时除27即可。 （3）根据比例的基本性质：两个内项积等于两个外项积。在方程中，和是内项，和x是外项，可以列出等式x＝×，将等式右边计算出结果，然后根据方程性质2，等式两边同时除，计算出结果即可。 【解答】x ＋ 150%x ＝ 30 解：x ＋ 1.5x ＝ 30 2.5x ＝ 30 x ＝ 30÷2.5 x ＝ 12 8∶27＝x∶54 解：27x＝8×54 27x＝432 27x÷27＝432÷27 27x×＝432× x＝16 解：x＝× x＝ x÷＝÷ x×4＝×4 x＝ 【变式4-3】解方程。 20%x＋x＝15               －0.11x＝            x∶1.6＝15∶0.8 【答案】x＝12.5；x＝5；x＝30 【分析】20%x＋x＝15，先化简方程左边含有x的算式，即求出20%＋1的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以20%＋1的和即可； －0.11x＝，根据等式的性质1，方程两边同时加上0.11x，再同时减去，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.11即可； x∶1.6＝15∶0.8，解比例，原式化为：0.8x＝1.6×15，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.8即可。 【解答】20%x＋x＝15 解：1.2x＝15 1.2x÷1.2＝15÷1.2 x＝12.5 －0.11x＝ 解：－0.11x＋0.11x－＝－＋0.11x 0.11x＝－ 0.11x＝－ 0.11x＝ 0.11x÷0.11＝÷0.11 x＝÷ x＝× x＝5 x∶1.6＝15∶0.8 解：0.8x＝1.6×15 0.8x＝24 0.8x÷0.8＝24÷0.8 x＝30 重难点五比例的应用 【典例5】一堆黑白围棋子，从中取走了15粒白子，余下黑子数与白子数之比为2∶1，此后又从中取走了45粒黑子，余下黑子数与白子数之比为1∶5，那么这堆棋子原来共有( )粒。 【答案】90 【分析】设白子的数量为x粒，余下的黑子数与白子数之比为2∶1，那么黑子的数量为2（x－15）粒，再根据“又取走黑子45粒，余下的黑子数与白子数之比是1∶5，”可列比例式（x－15）∶[2（x－15）－45]＝5∶1，再解出未知数就是原来白子的数量，再用原来白子数量减去15，再乘2就是原来黑子的数量，再用原来白子的数量加上原来黑子的数量就是原来这堆棋子的数量。 【解答】解：设原来白子的数量为x粒，那么黑子的数量为2（x－15）粒。 （x－15）∶[2（x－15）－45]＝5∶1 （x－15）∶[2x－30－45]＝5∶1 （x－15）∶（2x－75）＝5∶1 x－15＝（2x－75）×5 x－15＝10x－375 x－15＋15＝10x－375＋15 x＝10x－360 x＋360＝10x－360＋360 x＋360＝10x x＋360－x＝10x－x 9x＝360 9x÷9＝360÷9 x＝40 2×（40－15） ＝2×25 ＝50（粒） 40＋50＝90（粒） 所以这堆棋子原来共有90粒。 【变式5-1】中华人民共和国国旗是五星红旗。其长与高之比是3∶2，国旗之通用尺度定有五种，各界酌情使用。其中一种规格长为144cm，它的高是( )cm。 【答案】96 【分析】题目中给出了中华人民共和国国旗长与高的比例关系为3∶2，并且已知其中一种规格的国旗长为144cm。我们需要根据比例的性质来求出对应的高。比例的性质是两个比的内项之积等于两个外项之积。在这个问题中，可以设国旗的高为x厘米，长与高的比例可以表示为3∶2＝144∶x，其中3和 x 是外项，2和144是内项。通过这个比例关系，我们可以列出相应的方程来求解高的值。 【解答】解：设国旗的高为x厘米。 144∶x＝3∶2 3x＝144×2 3x＝288 x＝96 它的高是96cm。 【变式5-2】张家与李家本月的收入钱数之比是，本月开支的钱数之比是，月底张家结余630元，李家结余700元，则本月两家共收入( )元。 【答案】4080 【分析】张家与李家本月的收入钱数之比是，可以设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元，本月开支的钱＝本月收入的钱－结余的钱，再根据题意列出比例，然后解比例。两家的总收入＝张家收入钱＋李家收入钱 【解答】设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元。 （7x－630）∶（5x－700）＝7∶4 （5x－700）×7＝（7x－630）×4 35x－4900＝28x－2520 7x＝2380 x＝2380÷7 x＝340 340×7＋340×5 ＝2380＋1700 ＝4080（元） 则本月两家共收入4080元。 【变式5-3】淘气用10个饮料瓶换了4.5元钱，照这样计算，用30个饮料瓶可以换( )元钱，想换得18元钱，需要( )个饮料瓶。 【答案】13.5 40 【分析】第一个空先算出现在饮料瓶的数量是原来的倍数：30÷10＝3，那么换得的钱数也是原来钱数的3倍，即现在可换：4.5×3＝13.5（元）；第二个空先算出现在换得的钱数是原来的倍数：18÷4.5＝4，那么现在需要饮料瓶的数量也是原来的4倍，即现在需要饮料瓶个数：10×4＝40（个）。 【解答】由分析可知： 30÷10＝3 4.5×3＝13.5（元） 18÷4.5＝4 10×4＝40（个） 所以用30个饮料瓶可以换13.5元钱，想换得18元钱，需要40个饮料瓶。 【点评】本题考查比例的应用，注意：这两种交换的量的比始终不变。 一、填空题 1．如果7x＝8y，那么＝( )。 【答案】/ 【分析】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，7、x为比例的外项，8、y为比例的内项，写出比例即可。 【解答】因为7x＝8y，所以＝。 2．一个数与3、6、9正好可以组成比例，那么这个数可能( )。（不止一种情况，请写完整哟。） 【答案】4.5、2、18 【分析】比值相等的两个比组成比例，比的比值等于前项除以后项，可先将3、6、9三个数组成一个比，得到比值后，再计算得出另一个比。据此可得出答案。 【解答】一个数与3、6、9可以组成比例：3∶6＝，，即3∶6＝4.5∶9； 3∶9＝，，即组成比例：； 6∶9＝，，即组成比例：。 3∶6＝,，即组成比例： 即这个数可能是：4.5、2、18。 3．已知1、4、12三个数，再添一个数能组成比例的数，所组成的比例是( )。 【答案】1∶4＝3∶12 【分析】先从已知的1、4、12三个数中任选两个数作为比例的两个外项，如1和12，那么4就是这个比例的一个内项； 根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，用1和12的乘积除以4，即可求出另一个内项，据此组成比例。 【解答】1×12÷4 ＝12÷4 ＝3 所组成的比例是1∶4＝3∶12。（答案不唯一） 4．在一个比例中，两个外项，一个是最小的质数，一个是最小的合数，两个内项中，一个是，另一个是( )。 【答案】16 【分析】最小的质数是2，最小的合数是4，然后根据“在比例中，两个内项的积等于两个外项的积”，用两个外项的积除以已知的内项，求出未知的内项即可。 【解答】2×4÷ ＝8÷ ＝8×2 ＝16 另一个是16。 5．如果5颗星星可换2根棒棒糖，淘气得了15颗星星，可换( )根棒棒糖，写成比例是( )。 【答案】6 5∶2＝15∶6 【分析】已知5颗星星可换2根棒棒糖，求15颗星星可换多少根棒棒糖，先用除法求出15里面有几个5，再乘2即可。 表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，求出两个比的比值，相等即可组成比例。 【解答】15÷5×2 ＝3×2 ＝6（根） 可换6根棒棒糖。 5∶2＝5÷2＝ 15∶6＝15÷6＝ 比值相等，可以组成比例。 写成比例是5∶2＝15∶6。（答案不唯一） 6．在一个比例中，已知两个比的比值都等于3，这个比例的两个外项分别是和，这个比例是( )。 【答案】 【分析】根据比的前项、后项与比值之间的关系，先用除以3，求出其中一个内项；再用乘3，求出另一个内项，然后写出这个比例式即可。 【解答】， 所以这个比例式为：（比例式不唯一） 7．一项工程，甲队单独12天完成，乙队单独15天完成。甲乙两队工作时间的比是( )；工作效率的比是( )；它们( )（选能或不能）组成比例。 【答案】4∶5 5∶4 不能 【分析】两数相除又叫两个数的比，据此写出甲乙两队工作时间的比，化简即可； 将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，写出甲乙两队工作效率的比，化简即可； 根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫比例，分别求出两个比的比值，比值相等能组成比例，比值不相等，不能组成比例。 【解答】12∶15＝（12÷3）∶（15÷3）＝4∶5 ∶＝（×60）∶（×60）＝5∶4 4∶5＝4÷5＝0.8 5∶4＝5÷4＝1.25 比值不相等。 甲乙两队工作时间的比是4∶5；工作效率的比是5∶4；它们不能组成比例。 8．配制一种农药，药液和水的质量比是，现有2千克药液，能配制这种农药( )千克。 【答案】302 【分析】药液：水=1∶150，先根据比例求出2千克药液需要的水，然后用药液的重量加上水的重量就是农药的重量。 【解答】需要水的重量是： 150×2÷1＝300（千克） 300＋2＝302（千克） 配制一种农药，药液和水的质量比是，现有2千克药液，能配制这种农药302千克。 【点评】本题先根据比例关系求出水的重量，然后加上药液的重量就是农药的重量。 9．六（1）班布置舞台需要红、黄两种颜色的气球，红色和黄色气球的数量比是3∶1，如果有25个黄色气球，那么需要( )个红色气球。 【答案】75 【分析】根据题意，可设有x个红气球，则根据已知可得x∶25＝3∶1；然后根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，即可求出x。 【解答】解：设有x个红气球。 根据题意可得：x∶25＝3∶1 x＝25×3 x＝75 所以还需要75个红气球。 故答案为：75。 【点评】这是一道比例应用的题目，关键是根据题意列出比例式。 10．王师傅加工一批零件，第一天加工了，第二天又加工了30个，这时已加工的与未加工的个数比是2∶5，这批零件一共有( )个。 【答案】350 【分析】根据题意，这时已加工的与未加工的个数比是2∶5，即此时已加工的占全部的，又第一天加工了，所以第二天加工了全部的－，根据分数除法的意义，这批零件一共：30÷（－）个。 【解答】30÷（－） ＝30÷（－） ＝30÷（－） ＝30÷ ＝30× ＝350（个） 王师傅加工一批零件，第一天加工了，第二天又加工了30个，这时已加工的与未加工的个数比是2∶5，这批零件一共有350个。 【点评】首先根据两天后已加工的与未加工的个数比求出此时已加工的占全部的分率是完成本题的关键。 二、选择题 11．一个圆锥和一个圆柱体积的比是，圆柱的底面积比圆锥的底面积多，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是（    ）cm。 A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】圆柱的底面积比圆锥的底面积多，圆柱的底面积等于圆锥的底面积×（1＋）；即圆柱的底面积＝圆锥的底面积；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；由此可知，圆柱的体积＝圆锥底面积×高；圆锥的体积＝圆锥底面积×36×；圆锥的体积与圆柱的体积比是4∶5，进而求出圆柱的高，据此解答。 【解答】设圆柱的高是hcm；圆锥的底面积是scm2。 圆柱的底面积：（1＋）s＝s（cm2） s×36×∶s×h＝4∶5 s×4×h＝12×s×5 6h＝60 h＝60÷6 h＝10 一个圆锥和一个圆柱体积的比是4∶5，圆柱的底面积比圆锥的底面积多，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是10cm。 故答案为：A 【点评】熟练掌握比的意义，圆柱的体积公式、圆锥的体积公式，以及比例的基本性质是解答本题的关键。 12．调制蜂蜜水，蜂蜜与水的质量比是3∶7，丽丽有蜂蜜360克，都用来调制蜂蜜水，需要（    ）克水。 A．840 B．740 C．770 D．700 【答案】A 【分析】设360克蜂蜜需要加水克，根据蜂蜜与水的质量比是3∶7，列比例解答即可求出加水的克数，据此回答即可。 【解答】解：设360克蜂蜜需要加水克。 360∶＝3∶7 3＝2520 ＝840 故答案为：A 【点评】此题是考查比和比例的应用。关键是根据蜂蜜与水的质量比是3∶7，其中蜂蜜用了360克，列比例求出加水的克数。 13．下面各数中，不能与8、10和12组成比例的是（    ）。 A．15 B．9.6 C．2.5 【答案】C 【分析】可以根据比例的基本性质来判断，只要两个数的积等于另外两个数的积，就能组成比例。 【解答】A.8×15＝10×12＝120，能组成比例； B.8×12＝10×9.6＝96，能组成比例； C.2.5与任何一个数的积都不等于另外两个数的积，不能组成比例。 故答案为：C 【点评】本题考查了比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积。 14．我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设乙每年缴纳养老保险为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x＋0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金18万元和12万元可知，18比上（x＋0.2）万元等于12比上x万元。 【解答】根据题意可列出比例为。 故答案为：B 15．男生人数的等于女生人数的，则男、女生人数的比是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】比例的性质：两内项之积等于两外项之积。根据题意，写出等积式，男生×＝女生×，再根据比例的性质，直接写出男生和女生的人数比，从而化简求出最简比。 【解答】因为男生×＝女生×，那么， 男生∶女生＝∶＝（×20）∶（×20）＝5∶4 所以，男生、女生的人数比是5∶4。 故答案为：B 16．把∶3＝∶9改写成3××9是根据（    ）。 A．小数的性质 B．分数的基本性质 C．比例的基本性质 D．比的基本性质 【答案】C 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，据此解答。 【解答】通过分析，把∶3＝∶9改写成3××9是根据比例的基本性质。 故答案为：C 17．在下面各比中，与∶能组成比例的是（    ）。 A．5∶2 B．2∶5 C．∶2 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例。 分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例，反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【解答】∶＝÷＝×5＝ A．5∶2＝5÷2＝ ＝，比值相等，5∶2与∶能组成比例； B．2∶5＝2÷5＝ ≠，比值不相等，2∶5与∶不能组成比例； C．∶2＝÷2＝×＝ ≠，比值不相等，∶2与∶不能组成比例； 故答案为：A 【点评】掌握比例的意义及比值的求法是解题的关键。 18．与4∶5能组成比例的是（    ）。 A．1∶20 B．2∶1 C．5∶4 D．8∶10 【答案】D 【分析】分别求出题干及选项中五个比的比值，看哪个选项中比的比值与4∶5的比值相等即可。 【解答】4∶5＝ A．1∶20＝ B．2∶1＝2 C．5∶4＝ D．8∶10＝＝ 8∶10与4∶5的比值相等，可以组成比例。 故答案为：D 【点评】解答本题需熟练掌握比例的意义。 19．比例“3∶2＝12∶8”的内项2增加4，要使比例仍然成立，外项8应该增加（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】C 【分析】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。比例“3∶2＝12∶8”的内项2增加4，变成了6，是2乘3。要使比例仍然成立，外项8应该乘3，再求出外项增加了多少。 【解答】2＋4＝6 6÷2＝3 3×8＝24 24－8＝16 比例“3∶2＝12∶8”的内项2增加4，要使比例仍然成立，外项8应该增加16。 故答案为：C 20．在比例里，两个内项分别是最小的质数和最小的合数，一个外项是最小的两位数，另一个外项是（    ）。 A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1.0 【答案】C 【分析】最小的质数是2，最小的合数是4，最小的两位数是10，根据比例的基本性质，10×另一个外项＝2×4，所以另一个外项＝，据此解答。 【解答】 所以另一个外项是0.8； 故答案为：C 三、计算题 21．计算。 【答案】；； 【分析】（1）根据比例的基本性质化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解； （2）根据比例的基本性质化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.3求解； （3）根据比例的基本性质化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.4求解。 【解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 四、解答题 22．（1）写出下图中图A、图B两个正方形的边长与边长的比以及周长与周长的比，这两个比能组成比例吗？ （2）写出两个正方形面积与面积的比，这个比与边长之间的比能组成比例吗？ 【答案】（1）边长与边长的比1∶2，周长与周长的，1∶2；能 （2）1∶4；不能 【分析】（1）分别计算出两个正方形的边长比、周长比，并判断这些比是否能组成比例；如果两个比的比值相等，那么这两个比就能组成比例。 （2）正方形的面积＝边长×边长，据此分别计算出两个正方形的面积，看它们的比值是否等于边长的比，如果相等就能组成比例，否则不能组成比例。 【解答】（1）3∶6＝（3÷3）∶（6÷3）＝1∶2＝ 3×4＝12（cm） 6×4＝24（cm） 12∶24＝（12÷12）∶（24÷24）＝1∶2＝ 答：这两个比能组成比例。 3×3＝9（） 6×6＝36（） 9∶36＝（9÷9）∶（36÷9）＝1∶4＝ ≠ 答：这个比与边长之间的比不能组成比例。 23．淘气和笑笑收集的卡片张数的比是3∶4，淘气有120张，笑笑有多少张？ 【答案】有160张 【分析】通过观察可知，淘气和笑笑收集卡片的张数的比是3∶4，淘气有120张，设笑笑收集了x张；根据比的意义可得：3∶4＝120∶x，解答即可。 【解答】解：设笑笑收集了x张，根据比的意义可得： 3∶4＝120∶x 3x＝120×4 3x＝480 3x÷3＝480÷3 x＝480÷3 x＝160 答：笑笑有160张。 【点评】本题考查了比的应用，理解淘气和笑笑收集卡片的张数的比是3∶4是解答本题的关键。 24．广州塔高600米，是目前中国第一高的电视塔。星星公司设计制作了这座电视塔的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶300。模型的高度是多少米？ 【答案】2米 【分析】由题意可知，设模型的高度是x米，再根据模型的高度与实际的高度比是1300，列出比例解比例即可。 【解答】解：设模型的高度是x米。 x∶600＝1∶300 300x＝600 300x÷300＝600÷300 x＝2 答：模型的高度是2米。 25．相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决） 【答案】90立方分米 【分析】设这块冰的体积是多少立方分米，已知相同质量的水和冰的体积比约是9∶10，据此可列出比例：81∶＝9∶10，再根据比例的基本性质解出比例即可。 【解答】解：设这块冰的体积是多少立方分米 81∶＝9∶10 9＝81×10 ＝81×10÷9 ＝90 答：这块冰的体积是90立方分米。 26．甲、乙两人在同一条公路上沿直线滚铁环，甲的铁环一共可以滚50圈，乙的铁环一共可以滚40圈。如果一个铁环的周长比另一个铁环的周长少44厘米，那么这条公路全长多少米？ 【答案】88米 【分析】 甲、乙两人在同一条公路上沿直线滚铁环，则甲、乙的铁环运动的总路程是相等的。甲的铁环一共可以滚50圈，乙的铁环一共可以滚40圈，滚动铁环一圈就是铁环的周长，则50×甲的一个铁环的周长＝40×乙的一个铁环的周长。根据比例的基本性质：内项积等于外项积，甲的一个铁环的周长∶乙的一个铁环的周长＝40∶50，化简成最简整数比是4∶5。则甲的一个铁环的周长比乙的一铁环的周长多了1份，1份就是44厘米。而甲占了这样的4份，用乘法得出甲的一个铁环的周长，最后再×50得出这条公路的长度。注意最后要进行单位换算，1米＝100厘米，低级单位转化为高级单位用除法。 【解答】40∶50＝4∶5 ＝44÷1×4 ＝176（厘米） 176×50＝8800（厘米） 8800厘米＝88米 答：这条公路全长88米。 27．师徒二人合作加工168个零件，师傅加工9个零件的时间和徒弟加工5个零件的时间相同。完成任务时师傅比徒弟多加工多少个零件？ 【答案】48个 【分析】设师傅加工了x个零件，则徒弟加工了（168－x）个零件，因为两人加工的时间相同，所以师傅与徒弟加工的零件个数之比＝9∶5，据此列比例解答。 【解答】解：设师傅加工了x个零件。 x∶（168－x）＝9∶5 168×9－9x＝5x 14x＝1512 x＝108 168－108＝60（个） 108－60＝48（个） 答：完成任务时师傅比徒弟多加工48个零件。 【点评】此题考查了比例的实际应用，明确相同时间内，两人加工的零件个数比是9∶5是解题关键。 28．学校运来240棵树苗，老师栽种了10%，余下的按5∶4∶3分配给甲、乙、丙三个班级，丙班分到多少棵？ 【答案】丙班分到54棵 【分析】要求余下的按5∶4∶3分配给甲、乙、丙三个班级，求丙班分到多少棵。先要求出余下多少棵树苗，老师栽种了10％，则余下这批树苗总数的（1－10％），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法即可求出，然后运用按比例分配知识解答即可。 【解答】240×（1－10％） ＝240×0.9 ＝216（棵） ＝216× ＝54（棵） 答：丙班分到54棵。 【点评】在解答按比例分配问题时，要善于找准分配的总量和分配的比，然后把分配的比转化成分数或份数来解答。 29．两袋大米共重130千克，如果将甲袋的倒入乙袋，这时甲、乙两袋的质量之比是7∶6，原来甲袋有大米多少千克？ 【答案】84千克 【分析】设原来甲袋有大米x千克；则乙袋有（130－x）千克；甲袋的是x千克，将甲袋的倒入乙袋，甲袋还剩：（x－x）千克，乙袋有（130－x＋x）千克；这时甲、乙两袋的质量之比是7∶6，列比例：（x－x）∶（130－x＋x）＝7∶6，解比例，即可解答。 【解答】解：设原来甲袋有大米x千克，则乙袋有（130－x）千克。 （x－x）∶（130－x＋x）＝7∶6 （x－x）×6＝（130－x＋x）×7 x×6＝130×7－x×7 5x＋x＝910 x＋x＝910 x＝910 x＝910÷ x＝910× x＝84 答：原来甲袋有大米84千克。 【点评】利用比例的实际应用，根据两袋大米质量之间的比，设出未知数，找出相关的量，列比例，解比例。 学科网（北京）股份有限公司 $$