7.4.1 二项分布-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．4　二项分布与超几何分布 7．4．1　二项分布 学习目标　1.理解n重伯努利试验的概念，记住n重伯努利试验的公式．　2.理解并熟记二项分布的随机变量的概率、均值以及方差，能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 一、n重伯努利试验 问题1　下列随机试验有什么共同的特点？ (1)投掷一枚质地均匀的骰子3次，每次正面数字为奇数的概率为0.5； (2)某运动员射击目标靶，射击10次，每次射击击中的概率为0.9； (3)乒乓球运动员甲与乙比赛，甲在一局中赢球的概率为0.6，打5场比赛． 提示：(1)相同条件下的试验：3次、10次、5次； (2)每次试验相互独立； (3)每次试验只有两种可能的结果：某事件发生或不发生； (4)每次试验某事件发生的概率相同，为p，不发生的概率也相同，为1－p. 【知识提炼】　 1．概念 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立． 微提醒 在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验． 例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 解：(1)因为硬币的质地不同，所以试验的条件不同，所以不是n重伯努利试验． (2)某篮球队员罚球命中概率是稳定的，且结果只有两种可能，因此是n重伯努利试验． (3)每次抽取试验的结果有三种可能，因此不是 n重伯努利试验． 感悟升华　n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下重复进行； (2)每次试验相互独立，互不影响； (3)每次试验都只有两种结果(每种结果发生的概率稳定)，即事件发生或不发生. 【即学即用】　1.(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是(　　 ) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两名运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次 解析：选ABC.A选项，C选项是互斥事件；B选项是相互独立事件；D选项是n重伯努利试验． 二、二项分布 问题2　某运动员连续投篮3次，且每次投篮命中的概率为p，不中的概率为q，则仅投中1次的概率是多少？ 提示：连续投篮3次，就是做3次伯努利试验，用Ai(i＝1，2，3)表示“第i次投篮命中”的事件，用B1表示“仅投中1次”的事件，则B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3).由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p. 问题3　类似地，连续投篮3次，出现k(k＝0，1，2，3)次投中的概率是多少？有什么规律？ 提示：用Ai(i＝1，2，3)表示事件“第i次投篮命中”，用Bk(k＝0，1，2，3)表示事件“投篮命中k次”， P(B0)＝P(123)＝q3＝Cp0q3， P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝3q2p＝Cp1q2， P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)＝3qp2＝Cp2q1， P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3＝Cp3q0， 规律：P(Bk)＝Cpkq3-k，k＝0，1，2，3. 【知识提炼】　 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 微提醒 二项分布的关键点 (1)对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一． (2)重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p. (3)X的取值从0到n，中间不间断． 例2　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答) (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－＝. (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×＝，P(B2)＝C××＝， 由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝. 变式探究　(1)(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次均击中目标1次的概率． 解：记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C××(1－)＝， P(B3)＝C××(1－)＝， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝×＝. (2)(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次，甲未击中、乙击中2次的概率． 解：记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C＝，P(B4)＝C＝， 所以甲未击中，乙击中目标2次的概率为P(A4B4)＝×＝. 感悟升华　求n重伯努利试验概率的三个步骤 (1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验． (2)分析：判断所求事件是否需要拆分． (3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算． 【即学即用】　2.“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的． (1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率； (2)若玩家甲、乙两方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列． 解：(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个样本点．玩家甲胜玩家乙的样本点分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共3个． 所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝. (2)由题意知，X＝0，1，2，3. 因为P(X＝0)＝C×＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C×＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 三、二项分布的均值与方差 问题4　若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？ 提示：当n＝1时，X服从两点分布，分布列为 X 0 1 P 1－p p 则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). 一般地，设q＝1－p，则二项分布的分布列为 X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn-1 … Cpkqn－k … Cpnq0 则E(X)＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn-1＋2×Cp2qn-2＋…＋kCpkqn－k＋…＋nCpnq0， 由kC＝nC， 可得E(X)＝n×Cp1qn-1＋n×Cp2qn-2＋…＋nCpkqn－k＋…＋nCpnq0 ＝np(Cp0qn-1＋Cp1qn-2＋…＋Cpk-1qn－k＋…＋Cpn-1q0) ＝np(p＋q)n-1＝np， 同理可得D(X)＝np(1－p). 【知识提炼】　 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 特别地，若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 例3　(1)已知X～B(10，0.5)，Y＝2X－8，则E(Y)等于(　　 ) A．6 B．2 C．4 D．3 解析：选B.由题意，随机变量X～B(10，0.5)，可得E(X)＝10×0.5＝5，因为Y＝2X－8，所以E(Y)＝2E(X)－8＝2×5－8＝2. (2)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，. ①分别求出小球落入A袋和B袋中的概率； ②在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差． 解：①设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”， 则P(M)＝××＋××＝， 所以P(N)＝1－P(M)＝1－＝. ②易知ξ～B， 则ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4)， 故P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝， P(ξ＝4)＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P E(ξ)＝4×＝， D(ξ)＝4××(1－)＝. 感悟升华　解决此类问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步是代入相应的公式进行求解． 【即学即用】　3.(1)(2023·哈师大附中高二检测)设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4，5)，则D(3ξ)＝(　　) A．10 B．30 C．15 D．5 解析：选A.由ξ的分布列知ξ～B. ∴D(ξ)＝5××＝， ∴D(3ξ)＝9D(ξ)＝10. (2)福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架；第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求．已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为是一次成功制作． ①求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率； ②若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，求X分布列及期望． 解：①由题意可知，制作一件优秀作品的概率为××＝，所以该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率P＝C××(1－)2＝. ②该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由题意知X～B(4，)， 则P(X＝0)＝C()0×(1－)4＝， P(X＝1)＝C()1×(1－)3＝， P(X＝2)＝C()2×(1－)2＝， P(X＝3)＝C()3×(1－)1＝， P(X＝4)＝C()4×(1－)0＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以数学期望为E(X)＝4×＝. 1．打靶时，某人中靶的概率为0.8，则他打100发子弹有4发中靶的概率为(　　 ) A．C×0.84×0.296 B．0.84 C．0.84×0.296 D．0.24×0.296 答案：A 2．如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则D(X)＝(　　 ) A． B． C．2 D．4 解析：选B.伯努利试验中随机变量服从二项分布，即X～B(n, p)，因为出现“成功”的概率为，所以p＝，因为6次独立重复试验，所以n＝6，所以D(X)＝np(1－p)＝6××(1－)＝. 3．某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题20道，已知该同学每道题答对的概率为0.6，则该同学答对题目数量的均值和方差分别为(　　 ) A．16，7.2 B．12，7.2 C．12，4.8 D．16，4.8 解析：选C.设该同学答对题目的数量为ξ，因为该同学每道题答对的概率为0.6，共答20道题，所以ξ～B(20，0.6)，所以E(ξ)＝20×0.6＝12，D(ξ)＝20×0.6×(1－0.6)＝4.8. 4．某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格．若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为________． 解析：4道题目中，答对的题目数X～B，所以P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C××＋C×＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$