7.1.2 全概率公式-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．1.2　全概率公式 学习目标　1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式．　2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率．　3.了解贝叶斯公式，并会简单应用． 一、全概率公式 问题　从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 提示：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导． 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1，2.如图所示． 事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2， 利用概率的加法公式和乘法公式， 得P(R2)＝P(R1R2∪B1R2) ＝P(R1R2)＋P(B1R2) ＝P(R1)P(R2|R1)＋P(B1)P(R2|B1) ＝×＋×＝. 【知识提炼】　 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)．我们称此公式为全概率公式． 微提醒 (1)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An). (2)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即化整为零的思想方法． 例1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 解：记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥， (1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝. (2)P(A)＝＝， P(B)＝＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋ P(B)P(C|B)＝×＋×＝. 感悟升华　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2(或A与)； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2). 【即学即用】　1.设有两箱同一种商品：第一箱内装50件，其中10件优质品；第二箱内30件，其中18件优质品. 现在随意的打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到优质品的概率是________． 解析：设A＝{取到的是优质品}，Bi＝{打开的是第i箱}(i＝1, 2)，P(B1)＝P(B2)＝，P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝， 由全概率公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2)＝. 答案： 二、多个事件的全概率问题 例2　甲、乙、丙三人向同一飞机进行射击，击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7. 如果一人击中飞机，飞机被击落的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被击落的概率为0.6；三人击中飞机，飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设B表示事件“飞机被击落”，A0表示事件“三人均未击中飞机”，A1表示“三人中仅有一人击中飞机”，A2表示事件“三人中有两人击中飞机”，A3表示事件“三人同时击中飞机”． 根据题意有P(A0)＝(1－0.4)×(1－0.5)×(1－0.7)＝0.09， P(A1)＝0.4×(1－0.5)×(1－0.7)＋0.5×(1－0.4)×(1－0.7)＋0.7×(1－0.4)×(1－0.5)＝0.36， P(A2)＝0.4×0.5×(1－0.7)＋0.5×0.7×(1－0.4)＋0.4×0.7×(1－0.5)＝0.41， P(A3)＝0.4×0.5×0.7＝0.14， P(B|A0)＝0，P(B|A1)＝0.2， P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1， 根据全概率公式有P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)＝0.458. 感悟升华　“化整为零”求多事件的全概率问题如图，P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). 已知事件B在事件Ai(i＝1，2，…，n)发生的情况下都有可能发生，则事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 【即学即用】　2.某投篮小组共有 20 名投手，其中一级投手4人，二级投手8人，三级投手8人，一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是 0.9，0.7，0.4.求任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率． 解：设Ai＝“选出的是i级投手”，i＝1，2，3，B＝“选出的投手能通过选拔进入比赛”，则A1∪A2∪A3＝Ω，且A1，A2，A3两两互斥． 由题意知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，且P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.4， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×0.9＋×0.7＋×0.4＝0.62. 故任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率为0.62. 三、贝叶斯公式(*) 【知识提炼】　 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. 例3　小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7. 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率为多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ 解：(1)由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则 P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3) ＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3) ＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7 ＝0.36. (2)P(L1|C)＝＝≈0.28， 所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28. 感悟升华　(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系． (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事件A1发生的可能在各种可能原因中的比重． 【即学即用】　3.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． (1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？ 解：(1)设事件A＝“在仓库中随机地取一只元件，它是次品”，事件Bi(i＝1，2，3)＝“所取到的产品是由第i家工厂提供”， 由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.012 5. (2)该元件来自制造厂1的概率为P(B1|A)＝＝＝0.24， 该元件来自制造厂2的概率为P(B2|A)＝＝＝0.64， 该元件来自制造厂3的概率为P(B3|A)＝＝＝0.12. 1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　 ) A．0.08 B．0.8 C．0.6 D．0.5 解析：选C.因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6. 2．某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为(　　 ) A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88 解析：选C.设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B，事件Ai表示提出的一台产品是第i车间生产的，i＝1，2， 由题意可得P(A1)＝＝0.4，P(A2)＝＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 所以该产品合格的概率为0.868. 3．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)， 由题设易知P(A)＝，P()＝， P(B|A)＝，P(B|)＝， 于是P(B)＝×＋×＝. 4．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A厂生产的概率为________． 解析：记C＝{取得产品是A厂生产的}，D＝{取得的产品是次品}，由题意知，P(C)＝0.6, P()＝0.4，P(D|)＝0.02，P(D|C)＝0.01. 因此P(C|D)＝＝ ＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$