6.2.1 6.2.2 第2课时 排列的综合应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　排列的综合应用 学习目标　1.掌握几种有限制条件的排列．　2.能应用排列数公式解决简单的实际问题．　 一、特殊元素或特殊位置问题 例1　有3名男生、4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数． (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (6)排成前后两排，前排3人，后排4人． 解：(1)(元素分析法)甲为特殊元素，故先安排甲，最左、最右、中间共三个位置可供甲选择，有A种排法，其余6人全排列，有A种排列方法． 由分步乘法计数原理得AA＝2 160种排列方法． (2)(位置分析法)先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排列有A种，但应剔除乙在最右边的排法数有AA种排法． 则符合条件的排法共有AA－AA＝3 720种． (3)(捆绑法)将男生看成一个整体，进行全排列有A种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4名女生进行全排列有A种排法，共有AA＝720种排列方法． (4)(插空法)先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位中，共有AA＝144种排列方法． (5)(定序排列用除法)第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列， 因此有A＝N×A，所以N＝＝840种排列方法． (6)(直接法)由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A＝5 040种排列方法． 感悟升华　解决排队问题的方法 (1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑． (2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素． (3)捆绑法：相邻问题可以采用捆绑的方法求解，将要求相邻的元素捆绑在一起作为一个整体，和余下的元素按照要求进行排列，最后解绑． (4)插空法：不相邻问题可以采用插空的方法求解，先将不相邻的元素拿出来，余下的元素按要求排列，找出满足要求的空，再将不相邻的元素插入． (5)顺序给定的元素的排列问题，只需考虑其余元素的排列即可. 【即学即用】　1.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间，乙必在两端； (2)甲不在左端，乙不在右端； (3)男、女生分别排在一起； (4)男女相间； (5)男生不全相邻． 解：(1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有2×7×A＝70 560种不同的排法． (2)按甲在不在右端分类讨论． 甲站右端有A种排法，甲不在右端有7×7×A种排法， 共有A＋7×7×A＝A×(8＋49)＝287 280种不同的排法． (3)(捆绑法)AAA＝5 760种． (4)(插空法)先排4名男生有A种排法，再将5名女生插空，有A种排法，故共有AA＝2 880种排法． (5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A－AA＝345 600种． 二、组数问题 例2　用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． 解：(1)第一步，排个位数，有A种排法； 第二步，排十万位，有A种排法； 第三步，排其他位，有A种排法． 故共有AAA＝288个六位奇数． (2)方法一(直接法)　十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类． 第一类，当个位排0时，有A个； 第二类，当个位不排0时，有AAA个． 故符合题意的六位数共有A+AAA＝504个． 方法二(排除法)　0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况． 故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504个． (3)分三种情况，具体如下： ①当千位上排1，3时，有AAA个． ②当千位上排2时，有AA个． ③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个； 形如41××的偶数有AA个； 形如43××的偶数只有4 310和4 302这两个数． 所以不大于4 310的四位偶数有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110个． 变式探究　用0，1，3，5，7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数． 解：本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时5不在十位位置上，所以五位数的个数为A＝24； 第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以十位位置上只能排1，3，7中的一个，有A＝3种方法． 又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1，3，7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有A＝3种． 十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，有A＝6种． 根据分步乘法计数原理得，第二类中所求五位数的个数为AAA＝54. 由分类加法计数原理得，符合条件的五位数共有24＋54＝78个． 感悟升华　排数字问题常见的解题方法 (1)两优先排法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充. 如“0”不排首位． (2)分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行计算. 要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏． (3)排除法：全排列数减去不符合条件的排列数． (4)位置分析法：按位置来进行讨论，把要求数字的每个数位排好． 【即学即用】　2.用0，1，2，3，4五个数字， (1)可组成多少个五位数？ (2)可组成多少个无重复数字的五位数？ 解：(1)各个数位上数字允许重复，故采用分步乘法计数原理，可组成4×5×5×5×5＝2 500个五位数． (2)方法一　考虑特殊位置“万位”，从1，2，3，4中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列为A，故共有AA＝96个． 方法二　考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有A种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列为A种，故共有AA＝96个无重复数字的五位数． 1．五声音阶(汉族古代音律)是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫、商、角、徵、羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，则可排成不同的音序的种数为(　　 ) A．12 B．48 C．72 D．120 解析：选C.先排其他三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为AA＝72. 2．(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　 ) A．共计有720种不同的排法 B．男生甲排在两端的排法种数为120 C．男生甲、乙相邻的排法种数为120 D．男、女生相间的排法种数为72 解析：选BC.3男3女排成一排共计有A＝720(种)不同的排法；男生甲排在两端的排法种数为2A＝240；男生甲、乙相邻的排法种数为AA＝240；男、女生相间的排法种数为2AA＝72. 3．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有(　　 ) A．66种 B．60种 C．36种 D．24种 解析：选B.五名学生进行全排列共有A种站法，而甲站在乙的左边，或乙的右边，故甲不排在乙的左边的情况共有＝60(种). 4．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个. 解析：先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有这样的七位数有AA＝144个． 答案：144 学科网（北京）股份有限公司 $$