第02讲 6.2.1排列+6.2.2排列数（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第02讲 6.2.1排列+6.2.2排列数 课程标准 学习目标 ①了解排列的意义。 ②掌握常见的排列处理方法。 ③会用排列的相关方法解决简单的排列问题。 ④理解与掌握排列数公式 ⑤熟练应用排列数公式及性质求解与排列数有关的量，并能证明恒等式，求方程的解及不等式的解。 ⑥能解决一些简单的实际问题.熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题 1.通过本节课学习，要求在掌握排列的意义基础上，能解决简单的排列问题； 2能准确判断排列问题； 3.能准确用排列数公式表达排列的关系，并能应用排列数的公式求解与排列有关的实际问题与数学问题； 知识点01：排列 （1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. （2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课前预习）从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 知识点02：排列数与排列数公式 （1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. （2）排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， （3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示. （4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示. 【即学即练2】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）计算 （    ） A．9×3 B． C．9×8×7 D．9×8×3 【即学即练3】（24-25高三·上海·课堂例题）设是大于零的自然数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（24-25高二下·全国·课后作业）计算下列各式． (1)； (2)． 题型01 排列的定义 【典例1】（多选）（23-24高二上·江西新余·阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【典例2】（23-24高二下·全国·课前预习）判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数.( ) （2）在排列的问题中，总体中的元素可以有重复.( ) （3）用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数123与321是不相同的排列.( ) （4）若，则.( ) 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）顺序是判断是否为排列问题的关键点，也是唯一的判断依据．( ) （2）在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．( ) （3）用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列．( ) （4）圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题．( ) 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【变式3】（多选）（23-24高二下·全国·课堂例题）（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 题型02排列的列举问题 【典例1】（23-24高二上·上海·课后作业）（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【典例2】（24-25高二·全国·课后作业）（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列． 【典例3】（24-25高二·全国·课后作业）写出4个元素a，b，c，d的所有排列． 【变式1】（23-24高二下·全国·课后作业）（1）从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； （2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数. 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答． 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法. 题型03 排列数的计算、化简与证明 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 【典例2】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【典例3】（24-25高二·全国·课后作业）求证：（、为大于1的自然数）． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【变式3】（24-25高二·全国·课堂例题）求证：． 题型04 全排列问题 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·广西河池·阶段练习）2名男生和3名女生站成一排照相，不同的站法为（    ） A．10种 B．12种 C．24种 D．120种 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）（1）用1、2、3、4、5、6、7组成没有重复数字的七位数，若1、3、5、7的顺序一定，则有多少个七位数符合条件？ （2）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）.这样的排列方法有多少种（用数字作答）？ 【变式1】（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 【变式2】（24-25高三上·四川成都·期中）设是数字的排列，若存在成立，则称这样的排列为“树德好排列”，则从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率是 . 【变式3】（24-25高二上·上海·假期作业）设有编号为的五个球和编号为的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 题型05 元素（位置）有限制条件的排列问题 【典例1】（24-25高三上·江苏常州·期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（    ） A．42种 B．72种 C．78种 D．120种 【典例2】（24-25高二上·全国·课前预习）用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有 个． 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）． 【变式3】（24-25高三上·湖南·期中）将2个“0”、2个“1”和2个“2”这6个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成 个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为1的所有自然数之和为 . 题型06 相邻问题的排列问题 【典例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 【典例2】（多选）（24-25高二上·福建龙岩·期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（   ） A．7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840 B．7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720 C．7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480 D．7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法 【典例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻，且3位男生相邻的排法共有 种． 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（    ） A．48 B．24 C．20 D．16 【变式2】（24-25高三上·山东青岛·期中）将0，1，2，10四个数字排成一行，可以组成不同的5位数的个数是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【变式3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 题型07 不相邻排列问题 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（    ）个．（用数字作答） A．128 B．256 C．576 D．684 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．由于文艺晚会受时间影响，需要分两场演出，若要求4个音乐节目安排在第一个晚上，舞蹈和曲艺节目安排在第二个晚上，并且舞蹈和曲艺节目各自不能相邻，原来第一个和最后一个节目位置不变，有多少种不同的排法？ 【变式1】（24-25高三上·河北邢台·开学考试）有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【变式2】（24-25高二上·上海·假期作业）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有 种． 【变式3】（24-25高二上·上海·假期作业）一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？ 题型08 相邻（不相邻）排列综合问题 【典例1】（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ (2)女生互不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 【典例3】（23-24高二下·福建福州·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： (1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 【变式1】（23-24高二下·青海海南·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，有3名同学和2名家长相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： (1)甲同学必须坐乙同学左边的坐法有多少种？ (2)2名家长互不相邻的坐法有多少种？ (3)2名家长坐一起有多少种？ 【变式2】（24-25高二上·上海·假期作业）有3名男生，4名女生，在下列不同的要求下，求不同的排法种数。 (1)全部排成一排； (2)全部排成一排，其中甲只排在中间或两头； (3)全部排成一排，甲、乙必须在两头； (4)全部排成一排，男生必须排在一起； (5)全部排成一排，男生不排在一起； 【变式3】（23-24高二下·陕西咸阳·期中）现有8个人（5男3女）站成一排． (1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？ (2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？ (3)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？ 题型09 数字排列问题 【典例1】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）用，，，，，这六个数字可以组成（   ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数” A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·山东济南·开学考试）由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（    ） A．60 B．108 C．132 D．144 【典例3】（23-24高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）由0，1，3，5，6组成的能被3整除且没有重复数字的四位数偶数个数为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【变式2】（24-25高二上·北京·阶段练习）有四个数字， (1)可以组成多少个四位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ (3)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可） 题型10 排列的综合应用 【典例1】（24-25高三上·河北·期中）如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有（    ） A．16种 B．32种 C．64种 D．96种 【典例2】（24-25高三上·浙江·期中）一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是 . 【典例3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 【变式1】（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为（    ） A．24 B．26 C．32 D．40 【变式2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）配置某种染色剂，需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂，已知不同的添加顺序对染色效果是不一样的，则其中2种无机染料添加顺序不相邻的概率为 . 【变式3】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）第21届“东盟博览会”于2024年9月24号至9月28号在南宁召开，某记者与参会的4名国际友人代表一起合影留念（5人站成一排）.若记者不站中间，国际友人甲不站两边则有 种排法. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林·阶段练习）从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有（   ）种． A．6 B．15 C．30 D．42 2．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 3．（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（    ） A．20 B．25 C．30 D．21 4．（23-24高二下·江苏淮安·期中）五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 5．（2024高三·全国·专题练习）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（   ） A．6 B．12 C．16 D．20 6．（2024·海南海口·模拟预测）海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（    ） A．24种 B．48种 C．98种 D．120种 7．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 二、多选题 9．（23-24高二下·全国·课后作业）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 10．（23-24高二下·江苏南通·期中）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 三、填空题 11．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 12．（2024·陕西宝鸡·二模）从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有 ；（用数字做答） 四、解答题 13．（24-25高二下·全国·课后作业）现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中． (1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？ (2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？ 14．（24-25高二上·全国·课前预习）某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相． (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？ B能力提升 15．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 16．（23-24高二上·天津南开·期中）6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示） (1)其中甲、乙必须相邻； (2)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (3)其中甲不站排头，乙不站排尾； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 6.2.1排列+6.2.2排列数 课程标准 学习目标 ①了解排列的意义。 ②掌握常见的排列处理方法。 ③会用排列的相关方法解决简单的排列问题。 ④理解与掌握排列数公式 ⑤熟练应用排列数公式及性质求解与排列数有关的量，并能证明恒等式，求方程的解及不等式的解。 ⑥能解决一些简单的实际问题.熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题 1.通过本节课学习，要求在掌握排列的意义基础上，能解决简单的排列问题； 2能准确判断排列问题； 3.能准确用排列数公式表达排列的关系，并能应用排列数的公式求解与排列有关的实际问题与数学问题； 知识点01：排列 （1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. （2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课前预习）从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 【答案】6种 【知识点】排列的意义理解 【详解】 由图可知，有6种不同的选法. 知识点02：排列数与排列数公式 （1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. （2）排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， （3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示. （4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示. 【即学即练2】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）计算 （    ） A．9×3 B． C．9×8×7 D．9×8×3 【答案】C 【知识点】排列数的计算 【分析】利用排列数公式列式得解. 【详解】. 故选：C 【即学即练3】（24-25高三·上海·课堂例题）设是大于零的自然数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】, 故选：D 【即学即练4】（24-25高二下·全国·课后作业）计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1)480 (2)16 【知识点】排列数的计算 【分析】（1）（2）利用排列数的计算公式直接计算即可得结果. 【详解】（1）； （2）. 题型01 排列的定义 【典例1】（多选）（23-24高二上·江西新余·阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】ACD 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的定义及相关知识逐项进行判断. 【详解】对于A项：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A项正确； 对于B项：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B项错误； 对于C项：从，，，中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C项正确； 对于D项：从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D项正确. 故选：ACD. 【典例2】（23-24高二下·全国·课前预习）判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数.( ) （2）在排列的问题中，总体中的元素可以有重复.( ) （3）用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数123与321是不相同的排列.( ) （4）若，则.( ) 【答案】 错误 错误 正确 错误 【知识点】排列的意义理解、排列数的计算 【分析】根据排列数的定义，性质和意义一一判断即可. 【详解】(1) ×.排列数是从若干个元素中取出若干个元素的排列的个数,所以排列数一定是整数. (2)×.在排列问题中总体内元素不能重复. (3)√.根据排列的定义可以判断123与321是不同的排列. (4)×.在中m表示连乘因数的个数,所以. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）顺序是判断是否为排列问题的关键点，也是唯一的判断依据．( ) （2）在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．( ) （3）用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列．( ) （4）圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题．( ) 【答案】 正确 错误 正确 错误 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的定义一一判断各小题，即得答案. 【详解】（1）判断是否为排列问题就是看是否与顺序有关，正确. （2）根据排列的定义可知，在排列问题中总体内元素不能重复，故错误. （3）根据排列的定义可以判断123与321中数字顺序不同，是不同的排列，正确. （4）在圆上任取两点作弦与顺序无关，所以不是排列问题，故错误， 故答案为：正确；错误；正确；错误； 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 【变式3】（多选）（23-24高二下·全国·课堂例题）（多选）下列问题是排列问题的是（ ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】BC 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定向量涉及顺序问题，是排列问题，C正确； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：BC 题型02排列的列举问题 【典例1】（23-24高二上·上海·课后作业）（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】（1）利用组合的定义即可得出； （2）利用排列的定义即可得出； 【详解】（1）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有组合有： ，，，，，，，，，； （2）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有排列有： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，. 【典例2】（24-25高二·全国·课后作业）（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列． 【答案】（1）12；（2）答案见解析 【知识点】排列的意义理解 【分析】 用树形图列出所有的排列，即可得答案. 【详解】 （1）由题意作“树形图”，如下． 故组成的所有两位数为，共有12个． （2）由题意作“树形图”，如下． 故所有的排列为：，. 【典例3】（24-25高二·全国·课后作业）写出4个元素a，b，c，d的所有排列． 【答案】见解析. 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据树状图写出即可. 【详解】 由树状图可知，所有排列为，，，. 【变式1】（23-24高二下·全国·课后作业）（1）从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3不同的数字排成一个三位数，写出得到的所有三位数，并求出排列数； （2）试写出由1，2，3，4四个数字组成的没有重复数字的四位数，并求出排列数. 【答案】（1）见解析，24；（2）见解析，24. 【知识点】排列的意义理解、排列数的计算 【分析】（1）写出所有三位数，利用排列数公式求出排列数； （2）写出所有四位数，利用排列数公式求出排列数. 【详解】（1）所有的三位数为123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个三位数. 故排列数是. （2）所有的四位数为1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314， 2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231， 4312，4321，共24个四位数. 故排列数是. 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答． 【答案】共6种安排方案，树状图见解析 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据题意画出树状图即可求解 【详解】树状图如图所示 ， 由树状图可知，共有6种不同的安排方案 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法. 【答案】答案见详解． 【知识点】排列的意义理解、写出基本事件 【分析】根据题意直接写出所有试验方法即可． 【详解】写出所有不同的试验方法如下： ，，，，，，，，， ，，，，，共14种. 题型03 排列数的计算、化简与证明 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 【答案】C 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 【典例2】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1) (2)6 【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式 【分析】（1）根据排列数公式计算，可得答案； （2）根据排列数公式化简可得一元二次方程，结合排列数性质，即可求得答案. 【详解】（1）； （2）由，得， 即，即， 解得或， 又因为且，故， 故的解为. 【典例3】（24-25高二·全国·课后作业）求证：（、为大于1的自然数）． 【答案】证明见解析 【知识点】用排列数公式证明 【分析】由排列数的计算公式证明即可 【详解】 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)720 (2)1 【知识点】排列数的计算 【分析】利用排列数公式化简求解即可． 【详解】（1） （2） 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】用排列数公式证明 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【变式3】（24-25高二·全国·课堂例题）求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】用排列数公式证明 【分析】根据排列数公式可得 【详解】． 题型04 全排列问题 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相邻问题的排列问题、全排列问题 【分析】根据相邻问题捆绑法，即可结合全排列求解. 【详解】在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不全相邻的方法数，即， 故选:B． 【典例2】（23-24高二下·广西河池·阶段练习）2名男生和3名女生站成一排照相，不同的站法为（    ） A．10种 B．12种 C．24种 D．120种 【答案】D 【知识点】全排列问题、排列数的计算 【分析】由5名同学的全排列直接求解即可. 【详解】根据题意，2名男生和3名女生站成一排拍照，不同的站法为种. 故选：D. 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）（1）用1、2、3、4、5、6、7组成没有重复数字的七位数，若1、3、5、7的顺序一定，则有多少个七位数符合条件？ （2）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）.这样的排列方法有多少种（用数字作答）？ 【答案】（1）210；（2）40 【知识点】排列数的计算、全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）定序问题，利用倍缩除序法可得； （2）5个元素无约束条件的全排列有种排法，再消去A，B，C不符合的排列顺序即可求解． 【详解】（1）若1，3，5，7的排列顺序，有(种)排法， 所以1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的， 所以共有个符合条件的七位数； （2）5个元素无约束条件的全排列有种排法， 由于字母A，B，C的排列顺序为A，B，C或C，B，A， 因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法有种. 【变式1】（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法， 由分步乘法计数原理得不同排法种数是. 故选：B 【变式2】（24-25高三上·四川成都·期中）设是数字的排列，若存在成立，则称这样的排列为“树德好排列”，则从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率是 . 【答案】 【知识点】全排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】先得到进行排列，共有种情况，再列举出满足要求的情况，求出概率. 【详解】进行排列，共有种情况， 其中满足存在成立的情况有， ，共10种情况， 故从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率为. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·上海·假期作业）设有编号为的五个球和编号为的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 【答案】119 【知识点】全排列问题 【分析】没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，减去即可求得答案． 【详解】由题意可得，没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有种， 而球的编号与盒子编号全相同只有1种， 所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有种. 题型05 元素（位置）有限制条件的排列问题 【典例1】（24-25高三上·江苏常州·期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（    ） A．42种 B．72种 C．78种 D．120种 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先计算，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案. 【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分， 所以这5名同学的可能排名有种. 故选：C 【典例2】（24-25高二上·全国·课前预习）用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有 个． 【答案】144 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、全排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】要使其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，只需分步完成，先排奇数位数字，再排偶数位数字即可. 【详解】依题意可分两步完成： 第一步，将四个数在奇数位上全排，有种方法， 第二步，将三个数在偶数位上全排，有种方法， 由分步乘法计数原理，共有这样的七位数个． 故答案为：144. 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ． 【答案】120 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据排列中的定序问题求解即可. 【详解】六个元素进行排序，保证甲、乙、丙三个元素顺序不变，再加入三个元素进行排序， 共（种）． 故答案为：120. 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】由排列数的计算公式，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】第一步从6个位置中选择2个位置，满足条件的选位可以是， 共有3种不同的方法； 第二步将甲、乙排到所选择的2个位置，共有种不同的方法； 第三步将丙、丁、戊、己排到剩余的4个位置，共有种不同的方法； 由分步计数原理可知，共有种． 故选：C 【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）． 【答案】20 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】分甲和乙站前排，丙站后排和甲和乙站后排，丙站后排两类情况,根据分类加法原理和分步乘法原理即可求解. 【详解】当甲和乙站前排，丙站后排时，不同站法有（种）； 当甲和乙站后排，丙站后排时，不同站法有（种）， 所以不同的站法共有（种）． 故答案为:20. 【变式3】（24-25高三上·湖南·期中）将2个“0”、2个“1”和2个“2”这6个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成 个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为1的所有自然数之和为 . 【答案】 60 3333330 【知识点】代数中的计数问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分析可知第一位数只能是1和2，根据部分平均分组问题结合组合数运算求解；分析可知第一位数为1共有30个自然数，第2位至第6位，每位均可排0，1，2，且均分别有12、6、12种排法，进而运算求解. 【详解】因为要构成自然数，所以第一位数只能是1和2，故共有个自然数； 第一位数为1共有30个自然数， 第二位排0，1，2，分别有、、种排法； 根据对称性可知：第2位至第6位，每位均可排0，1，2，且均分别有12、6、12种排法； 所以，所有第一位数为1的自然数之和为. 故答案为：60；3333330. 【点睛】关键点点睛：根据对称性可知：第2位至第6位，每位均可排0，1，2，且均分别有12、6、12种排法，进而可得结果. 题型06 相邻问题的排列问题 【典例1】（24-25高二上·上海·阶段练习）6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 【答案】A 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】按照相邻问题，采用捆绑法，即可求解. 【详解】因为甲和乙两人相邻，所以将两人看成一个整体，有种方法， 将这两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法， 所以甲，乙两人相邻的排法共有种方法. 故选：A 【典例2】（多选）（24-25高二上·福建龙岩·期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（   ） A．7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840 B．7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720 C．7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480 D．7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法 【答案】AD 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】A先从7个位置中选3个排小明等3人，随后排列剩下4人，可得排法总数； B将小明，小红两人捆绑为1人，随后与剩下5人一起排列，可得排法总数； C先排剩下5人，随后将小明小红排进5人的空隙中，可得排法总数； D先将7人按2+2+3形式分为3组，再给每组安排训练，可得安排总数. 【详解】A选项，先从7个位置中选3个排小明等3人，有种方法， 随后排列剩下4人，有种方法，则共有种方法，故A正确； B选项，将小明，小红两人捆绑为1人，有2种排列方法，随后与剩下5人一起排列， 有种方法，则共有种方法，故B错误； C选项，先排剩下5人，有种方法，再将小明小红排进5人产生的6个空隙中， 有种方法，则共有种方法，故C错误； D选项，由题分组情况为2人的2组，3人的一组，则有种方法， 随后安排训练，有种方法，则共有种方法，故D正确. 故选：AD 【典例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻，且3位男生相邻的排法共有 种． 【答案】 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据相邻问题捆绑即可求解. 【详解】2位女生不相邻，且3位男生相邻，则只能3位男生一起站中间，2名女生站两端， 故总的排法有, 故答案为：12 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（    ） A．48 B．24 C．20 D．16 【答案】A 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】根据捆绑法即可求解. 【详解】由相邻问题捆绑法可得, 故选：A 【变式2】（24-25高三上·山东青岛·期中）将0，1，2，10四个数字排成一行，可以组成不同的5位数的个数是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】首先求出数字0不在首位，再求出数字1和0相邻且1在0之前的排法，即可得解. 【详解】将0，1，2，10四个数字排成一行，且数字0不在首位， 则有种， 数字1和0相邻且1在0之前的排法有种， 去掉重复的（类似10102这样的数），满足题意的不同的5位数的个数为， 故选：C 【变式3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 【答案】A 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】根据题意和首位非零的要求，将六位数分成三类，在每一类中，再运用相邻元素捆绑法求出方法数，最后根据分类加法计数原理即可求得. 【详解】依题意，可将这样的六位数分成三类： 第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种， 再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法. 由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个. 故选：A. 题型07 不相邻排列问题 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】B 【知识点】不相邻排列问题 【分析】利用不相邻问题插空法即可求解. 【详解】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种排法． 故选：B 【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（    ）个．（用数字作答） A．128 B．256 C．576 D．684 【答案】C 【知识点】不相邻排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法、插空法可得答案. 【详解】1和2，3与4，5与6，分别捆绑在一起，看作三个元素进行排列， 7与8利用插空法，可得 故选：C. 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．由于文艺晚会受时间影响，需要分两场演出，若要求4个音乐节目安排在第一个晚上，舞蹈和曲艺节目安排在第二个晚上，并且舞蹈和曲艺节目各自不能相邻，原来第一个和最后一个节目位置不变，有多少种不同的排法？ 【答案】种 【知识点】不相邻排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理，结合不相邻问题即可由排列求解. 【详解】解：第一步先排音乐节目，有种排法； 第二步再排曲艺节目，有种排法； 第三步再排舞蹈节目，把舞蹈放到曲艺节目之间，有种排法， 所以共有种排法． 【变式1】（24-25高三上·河北邢台·开学考试）有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【答案】B 【知识点】不相邻排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】先用捆绑法排列（女生不需要内部排列），然后利用间接法再分配2个道具． 【详解】根据题意4名男生､3名女生的排列方法为，然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：，总方法数为， 故选：B． 【变式2】（24-25高二上·上海·假期作业）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有 种． 【答案】604800 【知识点】不相邻排列问题 【分析】根据题意，先将6个歌唱节目全排列，再从7个空格中选出4个舞蹈节目插空，再由分步乘法计数原理代入计算，即可求解. 【详解】先将6个歌唱节目全排列，有种排法， 再从7个空格中选出4个舞蹈节目插入，有种排法， 故有种排法. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·上海·假期作业）一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？ 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】先排2个相声节目和3个独唱节目，再由插空法排4个舞蹈节目. 【详解】第一步，排2个相声节目和3个独唱节目，共有种， 第二步，将4舞蹈节目插入第一步排好的5个节目形成的6个空中，共有种不同的方法， 由分步计数原理，节目的不同出场顺序共有种. 题型08 相邻（不相邻）排列综合问题 【典例1】（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 【答案】(1)480 (2)480 (3)144 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）由插空法及分步乘法计数原理计算即可； （2）由插空法及分步计数乘法原理计算即可； （3）由捆绑法，插空法及分步计数乘法原理计算即可． 【详解】（1）甲不站排头也不站排尾，则先排其余5人，有种排法， 甲插空，有种，故共有种不同排法． （2）甲、乙不相邻，则先排其余4人，有种不同排法， 甲乙两人再插空，有种，故共有种不同排法． （3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲乙捆绑在一起，有种排法， 先排列其余3人，有种，甲乙与丙再插空，有种排法， 故共有种不同排法． 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ (2)女生互不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 【答案】(1)576 (2)144 (3)960 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）根据相邻问题捆绑法即可求解， （2）根据不相邻问题插空法即可求解， （3）结合捆绑法和插空法即可求解. 【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有（种）排法． （2）先将3名男生排好，共有种排法，在这3名男生中间以及两边共4个空位中插人4名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，可得共有（种）排法． （3）先将甲、乙、丙以外的其余4人排好，共有种排法，由于甲、乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲、乙这个整体与丙分别插人原先排好的4人产生：的5个空隙中，共有种排法， 由分步乘法计数原理，可得共有（种）排法． 【典例3】（23-24高二下·福建福州·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： (1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)576 (2)1440 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）由捆绑法及分步乘法计数原理即可求解； （2）由插空法及分步乘法计数原理，即可求解． 【详解】（1）根据题意，先将4名男教师排在一起，有种坐法， 将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有24×24=576种坐法． （2）根据题意，先将4名男教师排好，有种坐法， 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有60×24=1440种坐法． 【变式1】（23-24高二下·青海海南·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，有3名同学和2名家长相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： (1)甲同学必须坐乙同学左边的坐法有多少种？ (2)2名家长互不相邻的坐法有多少种？ (3)2名家长坐一起有多少种？ 【答案】(1)60 (2)72 (3)48 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）由排列数的意义即可求解； （2）由分步乘法计数原理以及插空法即可求解； （3）由分步乘法计数原理以及捆绑法即可求解. 【详解】（1）因为甲同学必须坐乙同学左边，又一共有5人， 故所求坐法有种. （2）根据题意，先将3名同学排好，有种坐法， 再在这3名同学之间及两头的4个空位中插入2名家长，有种坐法， 由分步乘法计数原理可知，共有种坐法. （3）两名家长捆绑有种，然后与三名学生和整体进行全排，所以有种. 【变式2】（24-25高二上·上海·假期作业）有3名男生，4名女生，在下列不同的要求下，求不同的排法种数。 (1)全部排成一排； (2)全部排成一排，其中甲只排在中间或两头； (3)全部排成一排，甲、乙必须在两头； (4)全部排成一排，男生必须排在一起； (5)全部排成一排，男生不排在一起； 【答案】(1)5040 (2)2160 (3)240 (4)720 (5)1440 【知识点】全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】（1）利用全排列可求排法数； （2）先排特殊元素甲，再排余下的6名同学可得排法数； （3）先甲、乙站在两端，再排余下的同学，利用分步计数原理可求排法数； （4）利用捆绑法可求解； （5）利用插空法可求解. 【详解】（1）有3名男生，4名女生排成一排有种排法； （2）第一步，先排特殊元素甲，共有3种选择；第二步，余下的6名同学进行全排列有种. 则共有种排列方法； （3）根据分步计数原理：第一步，甲、乙站在两端有种； 第二步，余下的5名同学进行全排列有种，则共有种排列方法. （4）先将三个男生捆在一起看成一个元素与其余的4个元素（女生）一起进行全排列有种方法； 再把三个男生内部进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种. （5）先将四个女生排好有种方法，此时他们留下五个“空”， 再将三个生分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有种. 【变式3】（23-24高二下·陕西咸阳·期中）现有8个人（5男3女）站成一排． (1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？ (2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？ (3)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？ 【答案】(1)5040 (2)4320 (3)14400 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】（1）采用“特殊元素优先法”可求解. （2）采用“元素相邻捆绑法”可求解. （3）采用“特殊元素优先法”可求解. 【详解】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况， 则甲必须站在排头有种排法. （2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况， 将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种. （3）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有种情况， 将剩下的6人全排列，有种情况，甲、乙不能排在前3位，有种不同排法． 题型09 数字排列问题 【典例1】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）用，，，，，这六个数字可以组成（   ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数” A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意，分千位小于，千位为，百位小于，千位为，百位等于，当十位小于时，然后根据分类计数原理可得． 【详解】当千位小于时，有种， 当千位是，百位小于时，有种， 当千位是，百位是，十位小于时，有种， 由分类计数原理，可得小于的四位偶数共有， 故选：B. 【典例2】（24-25高三上·山东济南·开学考试）由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（    ） A．60 B．108 C．132 D．144 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据插空法先排奇数，再排偶数去除0在首位的情况计算即可. 【详解】先排3个奇数，有种排法， 排完奇数后形成4个空，插入余下3个偶数，有种排法， 但此时0放在首位的情况有种，故满足条件的排法有. 故选：B 【典例3】（23-24高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 【答案】(1)600； (2)288； (3)216； (4)310245. 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）先排首位，再排其它位的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果. （2）先排个位，然后排首位，再利用分步乘法计数原理可求得结果. （3）按个位数是0或5分类，结合两个原理列式计算即可. （4）讨论首位是1，首位是2和首位是3时的不同个数，再求出第264个数即可得解. 【详解】（1）先排首数，有种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位数有种. （2）先排个位数，有种， 由0不能在首位，则排首位有4种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位奇数有个. （3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5， 个位数是0，则有种， 个位数是5，先排首位，0不作为首位，则有种排法，其余位置有种排法， 所以共有个. （4）首位数字不能为0，首位数字为1有种， 首位数字为2，有种， 首位数字为3，万位数字上为0，有种，此时所有6位数有个， 所以第264个数是，第265个数是. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）由0，1，3，5，6组成的能被3整除且没有重复数字的四位数偶数个数为（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】能被3整除的数，则需要各位数字和为3的倍数，结合四位数是偶数，根据分类计数原理可得. 【详解】能被3整除且没有重复数字的四位数可以由1，3，5，0或1，5，6，0或1，3，5，6组成， 因为组成的四位数为偶数，所以个位数是6或0． 当个位数为6时，由1，3，5，6组成时，对1，3，5三个数进行全排列，共有个； 由1，5，6，0组成时，因为0不能排首位，所以从1，5两个数中选一个排在首位，共有2种情况， 再对剩下两个数进行全排列，共有个，所以共有个； 当个位数为0时，对1，3，5或1，5，6进行全排列，共有个． 综上，这样的四位数共有22个． 故选：B 【变式2】（24-25高二上·北京·阶段练习）有四个数字， (1)可以组成多少个四位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ (3)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可） 【答案】(1)192 (2)10 (3)2130 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理可得答案； （2）分个位是0、2两种情况计算可得答案； （3）分千位数字是1、2两种情况计算可得答案. 【详解】（1）依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理， 共有个； （2）当个位是0时，共有个无重复数字的四位偶数； 当个位是2时，千位是1或3，共有个无重复数字的四位偶数， 因此，共有个； （3）当千位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个； 当千位数字是2百位数字是0时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个， 当千位数字是2百位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个， 所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列， 则第10个四位数是2130． 题型10 排列的综合应用 【典例1】（24-25高三上·河北·期中）如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有（    ） A．16种 B．32种 C．64种 D．96种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意按照分步计数原理对表格中的数据分步填写并保证符合题意即可得出结果. 【详解】根据题意，分三步进行； 第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为7”，则中间的数字为三组数1，6或2，5或3，4中的一组，共有种排法； 第二步，排第一步中剩余的两组数，且这两数字之和不为7，共有种排法； 第三步，排剩下的两个数字，共有种排法. 由分步计数原理知，共有不同的排法种数为. 故选：D. 【典例2】（24-25高三上·浙江·期中）一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是 . 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果. 【详解】标有数字的4只球排序共有种情况. 要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况： ①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况. ②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出， 其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为. 故答案为：. 【典例3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 【答案】(1)4320 (2)720 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置． （2）相邻问题用捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列 【详解】（1）先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排列有种排法， 则符合条件的排法共有种. （2）将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法，与其他元素进行全排列，有种排法， 则符合条件的排法共有种. 【变式1】（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为（    ） A．24 B．26 C．32 D．40 【答案】D 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】按照甲排第一，第二，第三位分类求解． 【详解】按甲的安排进行分类讨论.①甲排第一，则乙，丙等四人有（种）；②甲排第二，则乙、丙排后3位中的两位，有（种）； ③甲第三，则乙，丙排最后2位；有（种）.故共有（种）. 故选：D. 【变式2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）配置某种染色剂，需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂，已知不同的添加顺序对染色效果是不一样的，则其中2种无机染料添加顺序不相邻的概率为 . 【答案】 【知识点】不相邻排列问题 【分析】先计算出总的排列方式，然后利用插空法计算出2种无机染料添加顺序不相邻的排列方式，然后求其概率即可. 【详解】一共有种添加顺序，由插空法可知，2种无机染料添加顺序不相邻的种数有, 所以其中2种无机染料添加顺序不相邻的概率为. 故答案为： 【变式3】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）第21届“东盟博览会”于2024年9月24号至9月28号在南宁召开，某记者与参会的4名国际友人代表一起合影留念（5人站成一排）.若记者不站中间，国际友人甲不站两边则有 种排法. 【答案】60 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】首先计算出没有任何限制条件时的全排列数，然后减去不符合条件的排列数，就可以得到满足条件的排法数. 【详解】5个人全排列的总数为种. 当记者站中间时，其余4人全排列，排法数为种. 当国际友人甲站两边（有两种站法），其余4人全排列，排法数种. 当记者站中间且国际友人甲站两边时（甲有两种站法），其余3人全排列，排法数为种. 满足条件的排法数等于全排列数减去记者站中间的排法数减去国际友人甲站两边的排法数再加上记者站中间且国际友人甲站两边的排法数，即种. 故答案为：60. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林·阶段练习）从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有（   ）种． A．6 B．15 C．30 D．42 【答案】C 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数的公式计算即可. 【详解】从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有种． 故选：C． 2．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】根据排列、组合的定义判断即可. 【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 3．（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（    ） A．20 B．25 C．30 D．21 【答案】A 【知识点】排列的意义理解 【分析】除法是有序的，故直接利用排列数求解即可. 【详解】任意两个数作除法，可得到不同的商的个数为. 故选：A. 4．（23-24高二下·江苏淮安·期中）五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题 【分析】运用相邻元素“捆绑法”易得. 【详解】运用相邻元素“捆绑法”，将甲和乙看成一个元素与其他三个同学全排，有种排法， 再对甲乙“松绑”，有种排法， 由分步乘法计数原理可得，排队方案共有种. 故选：C. 5．（2024高三·全国·专题练习）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（   ） A．6 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】利用相邻问题“捆绑法”列式计算得解. 【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则两者“捆绑”， 所以不同的排列种数为. 故选：B 6．（2024·海南海口·模拟预测）海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（    ） A．24种 B．48种 C．98种 D．120种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先排特殊，再一般，最后按照计数原理计算即可. 【详解】先安排美舍河湿地公园的考察时间，方式有种； 再安排剩下四天的行程有，所以一共有种安排方法. 故选：B 7．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法可求得结果. 【详解】将本语文书捆绑、本数学书捆绑， 则相同科目的书相邻的排法种数为种. 故选：C. 8．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【答案】D 【知识点】不相邻排列问题 【分析】先排红色棋子，再将黑色棋子插空，求出答案. 【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择， 3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择， 则同色棋子不相邻的排列方式有种. 故选：D 二、多选题 9．（23-24高二下·全国·课后作业）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 【答案】ABD 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论A的位置即可判断D． 【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法， 故A正确； 对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法， 故共有种站法，故B正确； 对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况， 捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误； 对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法； 当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种， 共有种， 故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确； 故选：ABD． 10．（23-24高二下·江苏南通·期中）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 【答案】AC 【知识点】全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】利用全排列即可判断A；利用捆绑法即可判断B；利用插空法即可判断C；先排两端，其余再排，即可判断D. 【详解】对于A，共有种不同的排法，故A正确； 对于B，共有种不同的排法，故B错误； 对于C，共有种不同的排法，故C正确； 对于D，共有种不同的排法，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 11．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共 种. 【答案】48 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题 【分析】元素相邻问题运用捆绑法求解. 【详解】第一步：把捆绑当作一个元素与进行排列共有种； 第二步：之间进行排列共有种； 根据分步计数原理可知：排法的总数共有种. 故答案为： 12．（2024·陕西宝鸡·二模）从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有 ；（用数字做答） 【答案】120 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】根据相邻问题“捆绑法”和排列数公式，利用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】先将“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排， 再考虑在的左边，最后“解绑”，故有种方法. 故答案为：120. 四、解答题 13．（24-25高二下·全国·课后作业）现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中． (1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？ (2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？ 【答案】(1)625 (2)24 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）每个窗格都有5种，由分步乘法计数原理计算可得； （2）特殊的先放，即甲乙有4种，再依次放剩下的即可，最后由分步乘法计算原理计算即可； 【详解】（1）第1个窗格，从五类书中任选一类，有5种选法， 同理，第2，3，4个窗格也分别有5种选法， 由分步乘法计数原理可得，共有种放法． （2）先放甲、乙，有4种放法； 再放丙，有3种放法； 然后放丁，有2种放法； 最后放戊，剩1种放法． 由分步乘法计数原理可得，共计种放法． 14．（24-25高二上·全国·课前预习）某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相． (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？ 【答案】(1)20种 (2)10种 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）先计算无约束条件的全排列，然后除以不符合题意的“重复”，从而求得正确答案. （2）通过无约束条件的全排列，以及不符合题意的“重复”列方程，由此求得正确答案. 【详解】（1）5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定， 因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有（种）． （2）设符合条件的顺序共有种，用（1）的方法可得，解得， 所以符合条件的出场顺序有10种． B能力提升 15．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】(1)先对女生排列再用插空法可得答案； (2)先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果； (3)根据间接法总的减去对立面可求得结果； (4)先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果. 【详解】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法； （2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； （3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； （4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种， 然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法. 16．（23-24高二上·天津南开·期中）6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示） (1)其中甲、乙必须相邻； (2)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (3)其中甲不站排头，乙不站排尾； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）． 【答案】(1)240 (2)144 (3)504 (4)192 (5)120 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）采用捆绑法，把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素，再和其余4人全排； （2）采用插空法，先排除了甲、乙、丙之外的3人，形成四个空，再进行插空； （3）分两类，第一类甲站排尾，第二类，甲不站排尾，根据分类计数原理可得结果； （4）从另外4人选一人排在甲乙之间，再和另外4人全排； （5）先从6个位置中选3个位置，把甲乙丙按从左到右的顺序排列，再让剩余3人在3个位置全排. 【详解】（1）甲乙相邻，直接将甲乙捆绑，有种排法； （2）将除甲、乙、丙之外的3人进行全排列，有种情况，排好后，有个空位， 在4个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有种情况， 则共有种排法． （3）甲站在排尾时，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法， 甲不站在排尾时，则甲有4个位置可选，有种排法， 乙不能在排尾，也有4个位置可选，有种排法， 剩余4人进行全排列，安排在其他4个位置，有种排法， 此时有种排法； 故甲不站排头，乙不站排尾的排法有种． （4）先将甲、乙全排列，有种情况， 在剩余的4个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法， 将三人看成一个整体，与其他3人进行全排列，有种排法， 则甲、乙中间有且只有1人共有种排法． （5）在6个位置中任取3个，安排除甲、乙、丙之外的3人，有种排法， 将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有种排法， 则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有种． / 学科网（北京）股份有限公司 $$