6.2.1 6.2.2 第1课时 排列与排列数公式-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．2　排列与组合 6．2.1　排列　6.2.2　排列数 第1课时　排列与排列数公式 学习目标　1.理解并掌握排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．　2.掌握排列数公式并会应用． 一、排列概念的理解 问题1　从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 提示： 如图所示，共有6种不同的选法． 【知识提炼】　 1．排列的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列的两个条件 (1)两个排列的元素完全相同； (2)元素的排列顺序相同． 微提醒 在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，不考虑顺序就不是排列． 例1　给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10名同学，假期约定每两人通一次电话，共需通话多少次？ ⑤从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于排列问题的是________．(填序号) 解析：①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； ②有10个车站，共有多少种不同的票价？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题； ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； ④有10名同学，假期约定每两人通一次电话，共需通话多少次？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题； ⑤从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题． 综上，以上问题中，属于排列问题的是①③⑤. 答案：①③⑤ 感悟升华　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 (1)“取”，检验取出的m个元素是否重复； (2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个元素的位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 【即学即用】　1.下列问题是排列问题的是(　　 ) A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．10个人互相通信一次，共写了多少封信 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 解析：选B.对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，10个人互相通信，涉及顺序问题，是排列问题，B正确； 对于C，5个点中任取2点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误． 二、排列数公式 问题2　排列数A怎样计算？ 提示：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球： 第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法； 第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法； 第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法； … 第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如表所示． 盒子 1 2 3 … m 方法数 n n－1 n－2 … n－(m－1) 因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]种方法． 【知识提炼】　 1．排列数 排列数定 义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示 全排列 的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列 2.排列数公式 阶乘的 概念 把n(n－1)…2×1记作n！，读作n的阶乘 排列数 公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1)，阶乘式A＝(n，m∈N*，m≤n) 特殊 情况 A＝n！，1！＝1，0！＝1 微提醒 (1)乘积是m个连续正整数的乘积； (2)第一个数最大，是A的下标n； (3)第m个数最小，是n－m＋1. 例2　(1)计算：＝________． 解析：＝＝＝＝. 答案： (2)解方程：3A＝4A. 解：由排列数公式，得原方程可化为3×＝4×， 化简得3＝，即x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x＝6. (3)解不等式：A<6A. 解：原不等式可转化为<6×， 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12. 因为即3≤x≤8，且x∈N*， 所以x＝8. (4)证明：A－A＝mA. 证明：∵A－A ＝－ ＝·(－1) ＝· ＝m· ＝mA， ∴A－A＝mA. 变式探究　将本例(2)中的方程改为“A＝2A”呢？ 解：因为A＝2A， 所以2n(2n－1)(2n－2)＝2(n＋1)n(n－1)(n－2)， 化简得n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0. 由题意知n≥3，整理方程，可得n＝5. 感悟升华　(1)排列数公式的阶乘式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． (2)在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意A中m∈N*，n∈N*且m≤n这些限制条件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉． 【即学即用】　2.(1)不等式A＋n≤10的解集为________． 解析：原不等式化为(n－1)(n－2)＋n≤10，即n2－2n－8≤0，解得－2≤n≤4，又n－1≥2，且n∈N*，所以3≤n≤4，所以n＝3或n＝4. 答案：{3, 4} (2)证明：A＋kA＝A. 证明：左边＝＋k· ＝ ＝＝， 右边＝A＝， 所以A＋kA＝A. 三、排列数公式的简单应用 例3　用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解：方法一　分两步完成： (1)从1到9这九个数中任选一个占据百位，有A种方法． (2)从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位，个位，有A种方法． 由分步乘法计数原理可得，所求的三位数的个数为AA＝9×9×8＝648. 方法二　符合条件的三位数可以分三类： (1)每一位数字都不是0的三位数有A个； (2)个位数字是0的三位数有A个； (3)十位数字是0的三位数有A个． 由分类加法计数原理可得，所求的三位数的个数为A＋A＋A＝648. 方法三　不考虑任何限制条件求出所有的三位数的个数，再减去不符合条件的三位数的个数，即A－A＝648. 感悟升华　对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．对于情况较多的情形，可以先进行分类讨论再计算． 【即学即用】　3.将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车均有1位司机和1位售票员，则共有________种不同的分配方案． 解析：解决这个问题可以分为两步： 第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A种方法； 第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有A种方法． 由分步乘法计数原理知，分配方案共有A·A＝576(种). 答案：576 1．89×90×91×…×100可表示为(　　 ) A．A B．A C．A D．A 解析：选C.由排列数公式可知选C. 2．计算2A＋3！的值为(　　 ) A．100 B．123 C．126 D．128 解析：选C.原式＝2×5×4×3＋3×2×1＝126. 3．3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为(　　 ) A．3 B．24 C．34 D．43 解析：选B.3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2＝24. 4．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A=12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36(种)选法． 答案：36 学科网（北京）股份有限公司 $$