6.2 习题课 分组分配问题-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

习题课　分组分配问题 学习目标　1.了解分组、分配问题的区别．　2.掌握分组、分配问题的解题策略． 一、相同元素的分组分配问题 例1　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列情形的放法种数： (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 解：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板，故共有C＝10种放法． (2)方法一　恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法；第二步在小球之间的5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板．由分步乘法计数原理得，共有CC＝40种放法． 方法二　恰有一个空盒子，插板分两步进行：先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插入一块隔板，如|○|○○○|○○|，有C种插法． 然后将剩下的一块隔板与任意一块并放形成空盒，如|○|○○○||○○|，有C种插法，故共有CC＝40种放法． (3)方法一　分两步完成：第一步任取2个盒子不放小球(取两个空盒子)有C种选法，第二步在6个小球之间的5个空隙中任选一个空档插一块隔板，有C种方法. 由分步乘法计数原理，共有CC＝30种放法． 方法二　恰有两个空盒子，插板分两步进行：先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C种插法，如|○○|○○○○|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒，有两种情况，第一种，这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||○○||○○○○|，有C种插法；第二种，将两块板与前面三块板之一并放，如|○○|||○○○○|，有C种插法. 故共有C(C＋C)＝30种放法． 感悟升华　相同元素的分配策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块板． 【即学即用】　 1.(1)将5个相同的球放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有(　　) A．A种 B．C种 C．58种 D．85种 解析：选B.由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可．故共有C种不同的放法． (2)6人参加一项活动，要求是“必须有人去，去几个人，谁去，自己定”，则不同的去法种数为________． 解析：按照参加的人数分类，参加的人数分别为1，2，3，4，5，6，所以不同的去法有C＋C＋C＋C＋C＋C＝63(种). 答案：63 二、分组、分配问题 例2　已知有9本不同的书． (1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？(用数字作答) 解：(1)9本书平均分成3堆，则有＝280种不同的分堆方法． (2)从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，则有CCC＝1 260种不同的分堆方法． 例3　有6本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法． (1)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (2)甲、乙、丙各得2本； (3)一人得4本，另两人各得1本． 解：(1)分三步完成：甲选1本、乙选2本、丙选剩下的3本，共有CCC＝60种分法． (2)分两步完成：先均匀分组，再分给甲、乙、丙三名同学，有A种，共有·A＝90种分法． (3)部分均匀分组问题，先部分均匀分组，再分给甲、乙、丙三名同学，有A种，故共有·A＝90种分法． 感悟升华　“分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)将n个不同元素按某些条件分配给不同的对象，称为分配问题． 分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 【即学即用】　2.(1)某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天分早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(　　 ) A．CCC B．CAA C． D．CCCA 解析：选A.首先从14人中选出12人共C种，然后将12人平均分为3组共种方法，将三组分配下去，则开幕式当天不同的排班种数为C A＝ CCC. (2)高二年级的三个班去甲，乙，丙，丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有(　　) A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 解析：选C.法一　满足题意的不同的分配方案有以下三类：①三个班中只有一个班去甲工厂有C×32＝27(种)方案；②三个班中只有两个班去甲工厂有C×3＝9(种)方案；③三个班都去甲工厂，有1种方案．综上可知，共有27＋9＋1＝37(种)不同方案． 法二　高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，有43种不同的分配方案，若三个班都不去甲工厂，则有33种不同的分配方案，则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种). 1．把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有(　　 ) A．4种 B．6种 C．21种 D．35种 解析：选B.利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有C＝6种． 2．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则不同分法的种数为(　　 ) A．12 B．36 C．24 D．48 解析：选B.由题意，首先将甲、乙、丙、丁4名同学分成三组有C种分法，然后再将三组同学分配到A，B，C三个班级中有A种分法，所以不同分法的种数为CA＝36. 3．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　 ) A．30 B．60 C．120 D．240 解析：选B.先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有(种)，再将余下的6人平均分成两组，有(种)，然后这四个组自由搭配还有A(种)，故最终分配方法有＝60(种). 4．有6名大学生到甲、乙、丙三所学校去实习，每名大学生只去一所学校，若甲、乙、丙三所学校都需要2名大学生，则不同安排方法的种数为________．(用数字作答) 解析：利用分步乘法计数原理，不同的安排方法的种数为·A＝90. 答案：90 学科网（北京）股份有限公司 $$