7.3.1 离散型随机变量的均值-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第七章　 随机变量及其分布 7．3　离散型随机变量的数字特征 7．3．1　离散型随机变量的均值　 一、 离散型随机变量的均值 二、 离散型随机变量均值的性质 三、 离散型随机变量均值的应用 课堂达标 课下巩固训练(十五) 学习目标　1.掌握离散型随机变量的均值的概念和性质．　2.掌握两点分布的均值．　3.会利用离散型随机变量的均值和性质，解决一些相关的实际问题． 问题1　某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？定价多少？ 提示：按照加权平均数定价更合理，定价＝18× eq \f(3,6) ＋24× eq \f(2,6) ＋36× eq \f(1,6) ＝23元/kg. 【知识提炼】　 1．定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝ ＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．意义 它反映了离散型随机变量取值的 ． 3．两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝ ． x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 平均水平 0×(1－p)＋1×p＝p 例1　从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值． 解：由题意知X的可能取值为2，3，4，5. 当X＝2时，表示前2次取的都是红球， ∴P(X＝2)＝2),\s\do1(2)) eq \f(A,A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(1,10) . 当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取得红球，∴P(X＝3)＝1),\s\do1(2)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(1,5) . 当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，∴P(X＝4)＝1),\s\do1(2)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ,A eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(3,10) . 当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，∴P(X＝5)＝1),\s\do1(2)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) A eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)) ,A eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(2,5) . ∴X的分布列为 X 2 3 4 5 P eq \f(1,10) eq \f(1,5) eq \f(3,10) eq \f(2,5) ∴E(X)＝2× eq \f(1,10) ＋3× eq \f(1,5) ＋4× eq \f(3,10) ＋5× eq \f(2,5) ＝4. 感悟升华　求离散型随机变量ξ的均值的步骤 【即学即用】　1.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值． 解：X的取值分别为1，2，3，4. X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6； X＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28； X＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次考试通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096； X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. 所以李明一年内参加考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 问题2　若X，η都是离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？ 提示：X，η的分布列为 X x1 x2 … xi … xn η ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 则E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b. 【知识提炼】　 如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝ ． aE(X)＋b 例2　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,5) m eq \f(1,20) (1)求m的值； (2)若Y＝－2X，求随机变量Y的均值． 解：(1)由随机变量分布列的性质， 得 eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,5) ＋m＋ eq \f(1,20) ＝1，解得m＝ eq \f(1,6) . (2)E(X)＝(－2)× eq \f(1,4) ＋(－1)× eq \f(1,3) ＋0× eq \f(1,5) ＋1× eq \f(1,6) ＋2× eq \f(1,20) ＝－ eq \f(17,30) . 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，则E(Y)＝－2×(－ eq \f(17,30) )＝ eq \f(17,15) . 变式探究　(1)本例条件不变，若“Y＝－2X”改为“Y＝2X－3”， 求E(Y). 解：方法一　由本例知E(X)＝－ eq \f(17,30) ， 则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－ eq \f(17,30) )－3＝－ eq \f(62,15) . 方法二　因为Y＝2X－3，所以Y的分布列如表： Y －7 －5 －3 －1 1 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,5) eq \f(1,6) eq \f(1,20) 故E(Y)＝(－7)× eq \f(1,4) ＋(－5)× eq \f(1,3) ＋(－3)× eq \f(1,5) ＋(－1)× eq \f(1,6) ＋1× eq \f(1,20) ＝－ eq \f(62,15) . (2)本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－ eq \f(11,2) ，求a的值． 解：因为ξ＝aX＋3，E(ξ)＝－ eq \f(11,2) ，E(X)＝－ eq \f(17,30) ， 所以E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－ eq \f(17,30) a＋3＝－ eq \f(11,2) ， 解得a＝15. 感悟升华　求随机变量η＝aξ＋b的均值的方法 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b求解即可． 例3　某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 15 15 10 (1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)； (2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考： 方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg； 方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 售价(元/kg) 25 20 15 10 从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？ 解：(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为10× eq \f(15,50) ＝3，非特级品的箱数为10－3＝7，所以ξ的所有可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝0),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)) ) ＝ eq \f(7,24) ，P(ξ＝1)＝1),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)) ) ＝ eq \f(21,40) ， P(ξ＝2)＝2),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(7)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)) ) ＝ eq \f(7,40) ，P(ξ＝3)＝3),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(0),\s\do1(7)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)) ) ＝ eq \f(1,120) ， 则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P eq \f(7,24) eq \f(21,40) eq \f(7,40) eq \f(1,120) E(ξ)＝0× eq \f(7,24) ＋1× eq \f(21,40) ＋2× eq \f(7,40) ＋3× eq \f(1,120) ＝ eq \f(9,10) . (2)方案一的单价为20元/kg， 设方案二的单价为η，则η的均值为E(η)＝25× eq \f(10,50) ＋20× eq \f(15,50) ＋15× eq \f(15,50) ＋10× eq \f(10,50) ＝17.5， 因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二． 感悟升华　实际问题中的均值解题步骤 (1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相应均值． 【即学即用】　2.冰壶是冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分；冰壶的重心落在圆环A中，得2分；冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响．甲、乙得3分的概率分别为 eq \f(1,3) ， eq \f(1,4) ；甲、乙得2分的概率分别为 eq \f(2,5) ， eq \f(1,2) ；甲、乙得1分的概率分别为 eq \f(1,5) ， eq \f(1,6) . (1)求甲、乙两人所得分数相同的概率； (2)甲、乙各掷一次，设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望． 解：(1)由题意知甲得0分的概率为1－ eq \f(1,3) － eq \f(2,5) － eq \f(1,5) ＝ eq \f(1,15) ， 乙得0分的概率为1－ eq \f(1,4) － eq \f(1,2) － eq \f(1,6) ＝ eq \f(1,12) ， 所以甲、乙两人所得分数相同的概率为 eq \f(1,3) × eq \f(1,4) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,5) × eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,15) × eq \f(1,12) ＝ eq \f(29,90) . (2)X可能取值为0，1，2，3，4，5，6， 则P(X＝0)＝ eq \f(1,15) × eq \f(1,12) ＝ eq \f(1,180) ， P(X＝1)＝ eq \f(1,15) × eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,5) × eq \f(1,12) ＝ eq \f(1,36) ， P(X＝2)＝ eq \f(1,15) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,5) × eq \f(1,6) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(1,12) ＝ eq \f(1,10) ， P(X＝3)＝ eq \f(1,15) × eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,5) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,12) ＝ eq \f(19,90) ， P(X＝4)＝ eq \f(1,5) × eq \f(1,4) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,6) ＝ eq \f(11,36) ， P(X＝5)＝ eq \f(2,5) × eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(4,15) ， P(X＝6)＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(1,12) ， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P eq \f(1,180) eq \f(1,36) eq \f(1,10) eq \f(19,90) eq \f(11,36) eq \f(4,15) eq \f(1,12) 所以E(X)＝0× eq \f(1,180) ＋1× eq \f(1,36) ＋2× eq \f(1,10) ＋3× eq \f(19,90) ＋4× eq \f(11,36) ＋5× eq \f(4,15) ＋6× eq \f(1,12) ＝ eq \f(47,12) . 答案：A 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(3,5) eq \f(3,10) eq \f(1,10) 则X的数学期望E(X)＝(　　) A． eq \f(3,2) B．2 C． eq \f(5,2) D．3 解析：E(X)＝1× eq \f(3,5) ＋2× eq \f(3,10) ＋3× eq \f(1,10) ＝ eq \f(3,2) . 2．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 则X的均值是(　　) A．2 B．2.1 C.2.3 D．随m的变化而变化 解析：由0.2＋0.5＋m＝1，得m＝0.3， ∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1. 答案：B 3．已知Y＝4X＋7，E(Y)＝15，则E(X)等于(　　 ) A．67 B．11 C．2 D．1 解析：E(Y)＝4E(X)＋7＝15，则E(X)＝2. 答案：C 4．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为 eq \f(2,3) ，乙解出该题的概率为 eq \f(4,5) ，甲、乙两人解题互不影响，设解出该题的人数为X，则E(X)＝________． 解析：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，则X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝P()＝P()P()＝(1－ eq \f(2,3) )×(1－ eq \f(4,5) )＝ eq \f(1,15) ， P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝ eq \f(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) × eq \f(4,5) ＝ eq \f(2,5) ， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝ eq \f(2,3) × eq \f(4,5) ＝ eq \f(8,15) ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(1,15) eq \f(2,5) eq \f(8,15) 故E(X)＝0× eq \f(1,15) ＋1× eq \f(2,5) ＋2× eq \f(8,15) ＝ eq \f(22,15) . 答案： eq \f(22,15) 【基础巩固】 1．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表： ξ 1 2 3 P ！ ？ ！ 现让小王同学计算ξ的数学期望，尽管“？”处的数值完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同，则E(ξ)＝(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：设P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，则a＋b＋a＝1，即2a＋b＝1，所以E(ξ)＝1×a＋2×b＋3×a＝4a＋2b＝2(2a＋b)＝2. 答案：B 2．已知随机变量ξ的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝(　　) A．2 B．4 C． D． 解析：由分布列的性质，得＋m＝1，即m＝， 所以E(ξ)＝(－1)×， 则E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝， 即－，得a＝2. 答案：A 3．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果运动员甲罚球命中的概率是0.8，记运动员甲罚球1次的得分为X，则E(X)等于(　　) A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1 解析：由题意知，X的所有可能取值为0，1， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1)＝0.8， 所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8. 答案：C 4．在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣a分．若随机选择时得分的均值为0分，则a的值为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选对得6分，选错扣a分(a>0)，则有0.25×6＋(1－0.25)(－a)＝0，解得a＝2. 答案：B 5．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则E(5X＋1)为(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：依题意，X的可能值为0, 1, 2， 则P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， 因此E(X)＝0×， 所以E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝5. 答案：B 6．某车站每天上午发出两班客车，每班客车的发车时刻和发车概率如下： 第一班车：在8：00，8：20，8：40发车的概率分别为； 第二班车：在9：00，9：20，9：40发车的概率分别为. 假设这两班客车在什么时刻发车是相互独立的，一位旅客8：10到达车站乘车，则该旅客候车的分钟数的均值为(　　 ) A．30 B．35 C．40 D．25 解析：设该旅客候车的分钟数为ξ， 则ξ的所有可能取值为10，30，50，70，90， P(ξ＝10)＝，P(ξ＝30)＝， P(ξ＝50)＝， P(ξ＝70)＝， P(ξ＝90)＝， 所以ξ的分布列为 ξ 10 30 50 70 90 P 故E(ξ)＝10×＝30， 即该旅客候车的分钟数的均值为30. 答案：A 7．随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则P(X＝1)＝________. 解析：设P(X＝1)＝p， 因为P(X＝0)＝，E(X)＝1， 故0×＋1×p＋2×＝1， 所以p＋－2p＝1，解得p＝. 答案： 8．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为________． 解析：由题意知X的可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝p， P(X＝2)＝p(1－p)， P(X＝3)＝(1－p)2， 所以E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75， 解得p>或p<. 因为p∈(0, 1)，所以p∈. 答案： 9．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格．按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数X的分布列及均值E(X)． 解：X可能的取值为0，1，2. P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×. 10．某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，举行了一次知识竞赛(竞赛试题中天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为40%，40%，20%)．某同学回答天文、航天、数字科技这三类问题中每个题的正确率分别为. (1)若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2分，回答错误不得分，设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望． 解：(1)设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件A1，A2，A3，所选的题目回答正确为事件B，则P(B)＝P(A1)P(BA1)＋P(A2)P(BA2)＋P(A3)·P(BA3)＝0.4×＋0.4×＋0.2×， 所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为. (2)X的可能取值为0，2，4，6， P(X＝0)＝＝， P(X＝2)＝＋＋， P(X＝4)＝＋， P(X＝6)＝. 则X的分布列为 X 0 2 4 6 P 所以E(X)＝0×＝3. 【综合运用】 11．为弘扬航天精神，某大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为；B通过初赛、复赛的概率分别为，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为(　　 ) A．300元 B． 元 C．350元 D． 元 解析：由题知X的所有可能取值为150，250，350，450， P(X＝150)＝＝， P(X＝250)＝＋2×＝， P(X＝350)＝2×＋， P(X＝450)＝， 所以数学期望E(X)＝150×(元)． 答案：B 12．已知实数a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b c 当a增大时，则下列说法中正确的是(　　 ) A．E(X)增大 B．E(X)减小 C．E(X)先增大后减小 D．E(X)先减小后增大 解析：因为实数a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.又由分布列的性质可得a＋b＋c＝1，所以a＋c＝，所以0≤a≤，所以E(X)＝0·a＋1×，所以当a增大时，E(X)减小． 答案：B 13．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为， 乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝6)＝，故E(ξ)＝2×. 答案：B 14．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分．某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为ξ，则E(ξ)＝________． 解析：依题意可知ξ的可能取值为2，3，4，5， P(ξ＝5)＝， P(ξ＝4)＝， P(ξ＝3)＝， P(ξ＝2)＝， 所以E(ξ)＝5×. 答案： 【创新探索】 15．某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则如下：选手根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名．现推送三首歌曲给某选手，已知该选手能否猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对歌曲的歌名的概率以及获得相应的奖金金额如表所示： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的奖金金额/元 1 000 2 000 3 000 下列猜歌名的顺序中，该选手获得的奖金总额的均值超过2 200元的是(　　 ) A．B→C→A B．C→B→A C．C→A→B D．A→B→C 解析：根据规则，记该选手获得的奖金总额为X元，若按B→C→A的顺序进行，由题意知，X的所有可能取值为0，2 000，5 000，6 000， 则P(X＝0)＝1－0.6＝0.4， P(X＝2 000)＝0.6×(1－0.4)＝0.36， P(X＝5 000)＝0.6×0.4×(1－0.8)＝0.048， P(X＝6 000)＝0.6×0.4×0.8＝0.192， 所以E(X)＝0×0.4＋2 000×0.36＋5 000×0.048＋6 000×0.192＝2 112，故A错误； 同理，按C→B→A的顺序猜歌名获得的奖金总额的均值为1 872元，故B错误； 按C→A→B的顺序猜歌名获得的奖金总额的均值为1 904元，故C错误； 按A→B→C的顺序猜歌名获得的奖金总额的均值为2 336元，故D正确． 答案：D 16．甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球，若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如下表(小球除颜色外大小质地完全相同)： 红球 蓝球 白球 A盒 2 2 1 B盒 2 2 1 (1)求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率； (2)已知每轮游戏的得分规则：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分． (ⅰ)记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列； (ⅱ)假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E(Y)． 解：(1)记“在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球”为事件C，所以由条件概率可知P(C)＝， 所以在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率为. (2)(ⅰ)由题意，可知随机变量X可以取1，3，5，可得 P(X＝1)＝， P(X＝3)＝， P(X＝5)＝， 所以随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P (ⅱ)由(ⅰ)可知E(X)＝5×， 因为每轮游戏的结果相互独立，且甲共参加了5轮游戏， 所以E(Y)＝5E(X)＝13. $$