7.1.2 全概率公式-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第七章　 随机变量及其分布 7．1　条件概率与全概率公式 7．1．2　全概率公式　 一、 全概率公式 二、 多个事件的全概率问题 三、 贝叶斯公式(*) 课堂达标 课下巩固训练(十三) 学习目标　1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式．　2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率．　3.了解贝叶斯公式，并会简单应用． 问题　从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为 eq \f(a,a＋b) .那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 提示：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 eq \f(a,a＋b) ，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导． 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1，2.如图所示． 事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2， 利用概率的加法公式和乘法公式， 得P(R2)＝P(R1R2∪B1R2) ＝P(R1R2)＋P(B1R2) ＝P(R1)P(R2|R1)＋P(B1)P(R2|B1) ＝ eq \f(a,a＋b) × eq \f(a－1,a＋b－1) ＋ eq \f(b,a＋b) × eq \f(a,a＋b－1) ＝ eq \f(a,a＋b) . 【知识提炼】　 一般地，设A1，A2，…，An是一组 的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ ．我们称此公式为全概率公式． 两两互斥 微提醒 (1)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An). (2)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即化整为零的思想方法． 例1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 解：记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥， (1)由题意，得P(A)＝ eq \f(30,50) ＝ eq \f(3,5) ，P(B)＝ eq \f(20,50) ＝ eq \f(2,5) ， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝ eq \f(3,5) × eq \f(6,100) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(5,100) ＝ eq \f(7,125) . (2)P(A)＝ eq \f(30×100,30×100＋20×120) ＝ eq \f(5,9) ， P(B)＝ eq \f(20×120,30×100＋20×120) ＝ eq \f(4,9) ， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B) ＝ eq \f(5,9) × eq \f(6,100) ＋ eq \f(4,9) × eq \f(5,100) ＝ eq \f(1,18) . 感悟升华　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2(或A与)； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2). 【即学即用】　1.设有两箱同一种商品：第一箱内装50件，其中10件优质品；第二箱内30件，其中18件优质品. 现在随意的打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到优质品的概率是________． 解析：设A＝{取到的是优质品}，Bi＝{打开的是第i箱}(i＝1, 2)，P(B1)＝P(B2)＝ eq \f(1,2) ，P(A|B1)＝ eq \f(10,50) ＝ eq \f(1,5) ，P(A|B2)＝ eq \f(18,30) ＝ eq \f(3,5) ， 由全概率公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2)＝ eq \f(2,5) . 答案： eq \f(2,5) 例2　甲、乙、丙三人向同一飞机进行射击，击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7. 如果一人击中飞机，飞机被击落的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被击落的概率为0.6；三人击中飞机，飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设B表示事件“飞机被击落”，A0表示事件“三人均未击中飞机”，A1表示“三人中仅有一人击中飞机”，A2表示事件“三人中有两人击中飞机”，A3表示事件“三人同时击中飞机”． 根据题意有P(A0)＝(1－0.4)×(1－0.5)×(1－0.7)＝0.09， P(A1)＝0.4×(1－0.5)×(1－0.7)＋0.5×(1－0.4)×(1－0.7)＋0.7×(1－0.4)×(1－0.5)＝0.36， P(A2)＝0.4×0.5×(1－0.7)＋0.5×0.7×(1－0.4)＋0.4×0.7×(1－0.5)＝0.41， P(A3)＝0.4×0.5×0.7＝0.14， P(B|A0)＝0，P(B|A1)＝0.2， P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1， 根据全概率公式有 感悟升华　“化整为零”求多事件的全概率问题如图， 已知事件B在事件Ai(i＝1，2，…，n)发生的情况下都有可能发生，则事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． � EMBED Equations \* MERGEFORMAT ��� 【即学即用】　2.某投篮小组共有 20 名投手，其中一级投手4人，二级投手8人，三级投手8人，一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是 0.9，0.7，0.4.求任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率． 解：设Ai＝“选出的是i级投手”，i＝1，2，3，B＝“选出的投手能通过选拔进入比赛”，则A1∪A2∪A3＝Ω，且A1，A2，A3两两互斥． 由题意知P(A1)＝ eq \f(4,20) ，P(A2)＝ eq \f(8,20) ，P(A3)＝ eq \f(8,20) ，且P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.4， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝ eq \f(4,20) ×0.9＋ eq \f(8,20) ×0.7＋ eq \f(8,20) ×0.4＝0.62. 故任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率为0.62. 【知识提炼】　 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝ eq \f(P（Ai）P（B|Ai）,P（B）) ＝ ，i＝1，2，…，n. 例3　小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7. 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率为多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ 解：(1)由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则 P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3) ＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3) ＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7 ＝0.36. (2)P(L1|C)＝ eq \f(P（C|L1）×P（L1）,P（C）) ＝ eq \f(0.2×0.5,0.36) ≈0.28， 所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28. 感悟升华　(1)公式P(A1|B)＝ eq \f(P（A1B）,P（B）) ＝ eq \f(P（A1）P（B|A1）,P（B）) 反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系． (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事件A1发生的可能在各种可能原因中的比重． 【即学即用】　3.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． (1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？ 解：(1)设事件A＝“在仓库中随机地取一只元件，它是次品”， 事件Bi(i＝1，2，3)＝“所取到的产品是由第i家工厂提供”， 由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.012 5. (2)该元件来自制造厂1的概率为 P(B1|A)＝ eq \f(P（A|B1）P（B1）,P（A）) ＝ eq \f(0.02×0.15,0.012 5) ＝0.24， 该元件来自制造厂2的概率为 P(B2|A)＝ eq \f(P（A|B2）P（B2）,P（A）) ＝ eq \f(0.01×0.80,0.012 5) ＝0.64， 该元件来自制造厂3的概率为 P(B3|A)＝ eq \f(P（A|B3）P（B3）,P（A）) ＝ eq \f(0.03×0.05,0.012 5) ＝0.12. 答案：C 1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　 ) A．0.08 B．0.8 C．0.6 D．0.5 解析：因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6. 2．某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为(　　 ) A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88 解析：设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B，事件Ai表示提出的一台产品是第i车间生产的，i＝1，2， 由题意可得P(A1)＝ eq \f(2,5) ＝0.4，P(A2)＝ eq \f(3,5) ＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 所以该产品合格的概率为0.868. 答案：C 3．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为(　　) A． eq \f(2,9) B． eq \f(3,9) C． eq \f(3,10) D． eq \f(7,10) 解析：记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)， 由题设易知P(A)＝ eq \f(3,10) ，P()＝ eq \f(7,10) ， P(B|A)＝ eq \f(2,9) ，P(B|)＝ eq \f(3,9) ， 于是P(B)＝ eq \f(3,10) × eq \f(2,9) ＋ eq \f(7,10) × eq \f(3,9) ＝ eq \f(3,10) . 答案：C 4．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A厂生产的概率为________． 解析：记C＝{取得产品是A厂生产的}，D＝{取得的产品是次品}，由题意知，P(C)＝0.6, P()＝0.4，P(D|)＝0.02，P(D|C)＝0.01. 因此P(C|D)＝ eq \f(P（CD）,P（D）) ＝＝ eq \f(3,7) . 答案： eq \f(3,7) 【基础巩固】 1．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为(　　 ) A．0.068 9 B．0.049 C．0.024 8 D．0.02 解析：设“验血结果为阳性”为事件B，“是患者”为事件A1，“非患者”为事件A2，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.5%×(1－2%)＋(1－0.5%)×2%＝0.024 8. 答案：C 2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．播种一、二、三、四等种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　 ) A．0.8 B．0.532 C．0.482 5 D．0.312 5 解析：设“从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子”分别为事件A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”， � EMBED Equations \* MERGEFORMAT ��� 答案：C 3．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是(　　 ) A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.028 65 D．0.037 45 解析：用事件A，B分别表示“随机选1人为男性或女性”，用事件C表示“此人是色盲”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥， 故P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×7%＋×0.49%＝0.037 45. 答案：D 4．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为(　　) A．0.8 B．0.5 C．0.67 D．0.875 解析：设公路上经过的车为货车是事件A，经过的车是客车为事件B，车需要修理为事件C，且P(A)＝，P(B)＝＝0.02，P(C|B)＝0.01， 所以P(A|C)＝＝＝0.8. 答案：A 5．(多选)箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回．设A＝“第1次摸球，摸到红球”，B＝“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是(　　 ) A．P(A)＝ B．P(B)＝ C．P(B|A)＝ D．P＝ 解析：P(A)＝，A正确； P(B|A)＝，C错误； P＝，D正确； 由全概率公式可知，P(B)＝P(A)PP＝， B错误． 答案：AD 6．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的占比分别为90%，50%，40%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为(　　 ) A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77 解析：由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，记事件A1，A2，A3分别表示“选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1，又三种产品中绑带式口罩的占比分别为90%，50%，40%，记事件B表示“选到绑带式口罩”，则P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.5，P(B|A3)＝0.4，所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为P(B)＝ 答案：D 7．一批零件有100个，其中有10个不合格品，从中一个一个不放回取出，第三次才取出不合格品的概率为________． 解析：记Ai＝“第i次取出的是不合格品”，Bi＝“第i次取出的是合格品”，则P(B1B2A3)＝P(B1)·P(B2|B1)·P(A3|B1B2)＝. 答案： 8．某试卷只有1道选择题，但有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案而猜对的概率为. 现已知某考生答对此题，则他猜对此题的概率为________． 解析：设A＝{不知道正确答案}，B＝{答对此题}，则P(A)＝， P＝1－＝. 所以P(A|B)＝＝. 答案： 9．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到． (1)求这个人迟到的概率； (2)如果这个人迟到了，求他乘轮船迟到的概率． 解：(1)设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”， 则P(A)＝0.2, P(D|A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(D|B)＝0.2，P(C)＝0.4，P(D|C)＝0. 由全概率公式，得这个人迟到的概率为P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.2×0.5＋0.4×0.2＋0.4×0＝0.18. (2)如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得他乘轮船迟到的概率为P(B|D)＝. 10．某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔． (1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率； (2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率； (3)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率． 解：(1)设事件A＝“2个盲盒中都是钢笔”，事件B＝“2个盲盒中都是圆珠笔”，则A与B为互斥事件， 因为P(A)＝，P(B)＝， 所以2个盲盒为同一种笔的概率P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝. (2)设事件Ai＝“第i次取到的是钢笔盲盒”，i＝1，2. 因为P(A1)＝＝， 所以P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝， 即第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率为. (3)设事件Bi＝“第i次取到的是圆珠笔盲盒”，i＝1，2. 因为P(B1)＝＝＝， 所以由全概率公式可知第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率为P(B2)＝P(B1)P(B2|B1)＋P(A1)·P(B2|A1)＝. 【综合运用】 11．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品．今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：设事件A＝{从箱中任取2件都是一等品}，事件Bi＝{丢失的为i等品}(i＝1，2，3)，则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋ P(B2)P(A|B2)＋ P(B3)P(A|B3)＝，故所求的概率为P(B1|A)＝. 答案：C 12．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示“试验反应为阳性”，以B表示“被诊断者患有癌症”，则有P(A|B)＝0.95，P＝0.95. 现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P(B|A)约为(　　 ) A. 0.25 B. 0.092 C. 0.087 D. 0.4 解析：P＝1－P＝ 1－0.95＝0.05. 被试验的人患有癌症概率为0.005，就相当于P(B)＝0.005， 因此P(B|A)＝＝＝≈0.087. 答案：C 13．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则x的最大值为(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：设第一次从甲盒取出白球、红球、黑球分别为事件A1，A2，A3，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同为事件B，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝，解得x≤6，则x的最大值为6. 答案：C 14．通信渠道中可传输的字符为AAAA，BBBB，CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为ABCA，则传输的字符是AAAA的概率为________． 解析：以B表示事件“收到的字符是ABCA”，A1表示事件“传输的字符为AAAA”，A2表示事件“传输的字符为BBBB”，A3表示事件“传输的字符为CCCC”，根据题意有P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.3， P(B|A1)＝0.6×0.2×0.2×0.6＝0.014 4， P(B|A2)＝0.2×0.6×0.2×0.2＝0.004 8， P(B|A3)＝0.2×0.2×0.6×0.2＝0.004 8. 根据贝叶斯公式有 答案：0.562 5 【创新探索】 15．盒中有a朵红花，b朵黄花，现随机从中取出1朵，观察其颜色后放回，并放入同色花c朵，再从盒中随机取出1朵花，则第二次取出的是黄花的概率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：设A表示“第一次取出的是黄花”，B表示“第二次取出的是黄花”，则B＝ABB，由全概率公式知P(B)＝P(A)PP， 由题意P(A)＝＝， P＝，P＝， 所以P(B)＝＋. 答案：A 16．已知某地居民肝癌的发病率为0.000 4.通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错，具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.01，未患有肺癌但检测显示有肝癌的概率为0.05.目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现得越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者．这个主张是否合适？ 解：上述情境中，如果患有肝癌，那么检测出来的概率为99%.然而，普查的主张是否合适，主要取决于检测结果显示患有肝癌时，实际上患有肝癌的概率． 设A表示患有肝癌，B表示检测结果显示患有肝癌，则P(A)＝0.000 4，P＝0.01，P＝0.05，从而有P＝1－P(A)＝1－0.000 4＝0.999 6，P(B|A)＝1－P＝1－0.01＝0.99. 根据贝叶斯公式，则检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为P(A|B)＝＝≈0.007 9. 这就表明，检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到0.8%，也就是说，如果进行普查的话，在现有条件下，100个显示患有肝癌的人中，可能只有1人是真正患有肝癌的．从这个意义上来说，进行普查并不是一个好主意． $$