6.2.3 6.2.4 第2课时 排列、组合的综合应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　计数原理 6．2　排列与组合 6．2．3　组合　6．2．4　组合数 第2课时　排列、组合的综合应用　 一、 有限制条件的组合问题 二、 多面手问题 三、 排列、组合的简单综合应用 课堂达标 课下巩固训练(六) 学习目标　1.能利用组合数公式解决实际问题．　2.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法． 例1　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解：(1)从余下的34种商品中选取2种，有＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种． (2)从34种可选商品中选取3种，有种或者－＝＝5 984(种). ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种． (3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有＝2 100(种). ∴恰有2种假货在内的不同取法有2 100种． (4)选取2种假货有种，选取3种假货有种，共有＋＝2 100＋455＝2 555(种). ∴至少有2种假货在内的不同取法有2 555种． (5)选取3种的总数为种，选取3种假货有种，因此共有选取方式－＝6 545－455＝6 090(种). ∴至多有2种假货在内的不同取法有6 090种． 感悟升华　常见的限制条件的组合问题的解题方法 (1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据． (2)含有“至多、至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解． (3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解． 【即学即用】　1.某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名专家中有4名是骨科专家． (1)抽调的6名专家中恰有2名是骨科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名骨科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名骨科专家的抽调方法有多少种？ 解：(1)分两步：第一步，从4名骨科专家中任选2名，有种选法；第二步，从除去骨科专家的6人中任取4人，有种选法，所以抽调方法共有＝90种． (2)方法一(直接法)　第一类：有2名骨科专家，共有种选法；第二类：有3名骨科专家，共有种选法；第三类：有4名骨科专家，共有种选法．根据分类加法计数原理，所以抽调方法共有＋＋＝185种． 方法二(间接法)　不考虑是否有骨科专家，共有种选法；选取1名骨科专家，有种选法；没有骨科专家，有种选法，所以抽调方法共有－－＝185种． (3)“至多”2名包括“没有”“有1名”“有2名”三类情况：第一类：没有骨科专家，共有种选法；第二类：有1名骨科专家，共有种选法；第三类：有2名骨科专家，共有种选法．根据分类加法计数原理，所以抽调方法共有＋＋＝115种． 例2　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ 解：由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语． 方法一　分两类． 第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法，此时共有6×3＝18(种)选法． 第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法． 所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)不同的选法． 方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语． 第一类：甲入选． (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法； (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法． 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种). 第二类：甲不入选，可分两步： 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法． 综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法． 感悟升华　解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理． 【即学即用】　2.某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？ 解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有＝75(种)； 第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为＝100(种)； 第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为＝10(种). 由分类加法计数原理得，共有75＋100＋10＝185(种)不同的选法． 例3　已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止． (1)若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有＝种测法，再排余下4件的测试位置，有种测法．根据分步乘法计数原理，不同测试方法数为＝103 680. (2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次中有一件正品出现．所以共有不同测试方法数为()＝576. 感悟升华　解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 (1)按事情发生的过程进行分步； (2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑： ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数． 【即学即用】　3.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表． 解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有＋种，后排有种，故选法数为(＋)·＝5 400种． (2)除去该女生后，选法数为＝840. (3)先选后排，但先安排该男生的选法数为＝3 360. (4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其余3人全排有种，共＝360种选法． 答案：B 1．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是(　　 ) A．20 B．9 C． D．＋ 解析：分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定个平面；第二类，在直线b上任取一点，与直线a可确定个平面．故可确定的平面个数是+=9. 2．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(　　 ) A．种 B．种 C．种 D．种 解析：每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有种选法；第二步，选男工，有种选法．根据分步乘法计数原理得，不同的选法有种． 答案：D 3．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数为(　　 ) A．5 040 B．36 C．18 D．20 解析：最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法的种数为＝20. 答案：D 4．某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种．(用数字作答) 解析：由题意得，不同的乘坐方式有＝36(种). 答案：36 【基础巩固】 1．0，1，2，4组成没有重复数字的四位数，共有(　　 ) A．24个 B．20个 C．18个 D．12个 解析：0不能排在千位，先从1，2，4中取一个数排在千位，再对其余三位数全排列，故共有＝18个． 答案：C 2．空间中有10个点，无三点共线，其中有5个点在同一个平面内，其余点无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为(　　 ) A．205 B．110 C．204 D．200 解析：方法一　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则可构成四面体的个数为＋＋＋＝205. 方法二　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为－＝205. 答案：A 3．从10名大学毕业生中选出3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　) A．85 B．56 C．49 D．28 解析：∵丙没有入选，∴要把丙去掉，总的元素个数变为9. ∵甲、乙至少有1人入选，∴由条件可分为两类： ①甲、乙两人只有一人入选的选法有＝42(种)， ②甲、乙都入选的选法有＝7(种)． 根据分类加法计数原理知，共有42＋7＝49(种)选法． 答案：C 4．某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有(　　 ) A．10种 B．12种 C．18种 D．36种 解析：本题为相邻排列问题，可先排相邻的．由题意知，3名职工中有1人值班一天，此时有＝3种安排方法，把另外2人排好，有3个空，将值班一天的职工，从3个空中选一个排上，另外2人全排列有＝6种，所以不同的安排方法有3×6＝18种． 答案：C 5．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　) A． 种 B．＋ 种 C．－ 种 D．－ 种 解析：至少2件次品包含两类：①2件次品，3件正品，共种抽法；②3件次品，2件正品，共种抽法．由分类加法计数原理得，抽法共有＋种． 答案：B 6．某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有(　　 ) A．216种 B．108种 C．72种 D．36种 解析：由题可知，先安排4名男主任医师，他们中有两位一起去了同一个医院，故有＝36种方法，再将3名女主任医师安排到这3家医院，有＝6种方法，所以根据分步乘法计数原理，则不同的安排方法有36×6＝216种. 答案：A 7．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线互不平行． (1)它们共能构成________个平行四边形； (2)共有________个交点． 解析：(1)第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有＝1 260(个)． (2)第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有＝80(个)． 答案：(1)1 260　(2)80 8．将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧不一定相邻，则不同的排法有________种． 解析：甲、乙、丙等六位同学排成一排，可以看成甲、乙、丙等六位同学在一排6个座位上就座. 先安排甲、乙、丙三位同学：在6个座位中任选3个座位有种方法，让甲、乙坐在丙的两侧，有种方法．接下来安排余下的三位同学：余下的三位同学在剩下的3个座位上任意坐有种方法. 则不同的排法共有＝240种． 答案：240 9．(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ (2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法． 解：(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有＋3＝33(种)． (2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面，有＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：－(60＋6＋3)＝141(种)． 10．如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 解：(1)可分三种情况处理： ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点构成一个三角形，有个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取一点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取两点构成一个三角形，有个； ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取一点构成一个三角形，有个． 所以共有＋＋＝116(个)． 其中含点C1的三角形有＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线， 因此可分三种情况处理： ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取四点构成一个四边形，有个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取一点构成一个四边形，有个； ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取两点构成一个四边形，有个． 所以共有＋＋＝360(个)． 【综合运用】 11．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为(　　) A．208 B．204 C．200 D．196 解析：任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为；二是4条竖线上的3个点，其组数为；三是4条对角线上的3个点，其组数为，所以可以构成三角形的组数为＝200. 答案：C 12．学校音乐团共有10人，其中4人只会弹吉他，2人只会打鼓，3人只会唱歌，另有1人既能弹吉他又会打鼓. 现需要1名主唱，2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队，则不同的组合方案共有(　　 ) A．36种 B．78种 C．87种 D．90种 解析：根据题意有三种情况：(1)从只会弹吉他的4人中选2人，只会打鼓的2人中选1人，只会唱歌的3人中选1人，则组合方案有＝36种；(2)从只会弹吉他的4人中选2人，只会唱歌的3人中选1人，鼓手从多面手中选，则组合方案有＝18种；(3)从只会弹吉他的4人中选1人，只会打鼓的2人中选1人，只会唱歌的3人中选1人，多面手作为吉他手，则组合方案有＝24种．故不同的组合方案共有36＋18＋24＝78种． 答案：B 13．将红橙黄绿紫五个大小一样颜色不同的灯笼自上而下首尾相连挂在一起，要求红色和紫色相邻，橙色和绿色不相邻，橙色不能挂在最上面，则不同的挂法种数是________. 解析：将红色和紫色捆绑在一起，若红色或紫色挂在最上面，则有＝4种；若黄色挂在最上面，则有＝4种；若绿色挂在最上面，则有＝8种．综上所述，不同的挂法种数是4＋4＋8＝16. 答案：16 14．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人的队列，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有________种． 解析：先从7个人中选2人调整到前排有种选法，调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列有种站法，其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，按照分步乘法计数原理得不同的调整方法有＝420种方法． 答案：420 【创新探索】 15．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有(　　 ) A．8种 B．14种 C．20种 D．116种 解析：按照甲是否在天和核心舱划分， ①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有＝6(种)安排方案； ②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有＝8(种)安排方案； 根据分类加法计数原理，共有6＋8＝14(种)安排方案． 答案：B 16．如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系(a－b)(c－d)<0，则称其为“彩虹四位数”，例如2 012就是一个“彩虹四位数”，那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数是多少？ 解：构成“彩虹四位数”可以分为两类： 一类是a>b且c<d，先选a和b，因为选出后大的放在千位上，故可以从0—9这10个数字中任选两个可以完成有＝45，再选c和d，因为选出后大的放在个位上，故可以从0—9这10个数字中任选两个可以完成有＝45，此时共可得到45×45＝2 025个“彩虹四位数”； 另类是a<b且c>d，先选a和b，因为选出后小的放在千位上，最高位不能为0，故可以从1—9这9个数字中选2个有＝36种，再选c和d，因为选出后小的放在个位上，故可以从0—9这10个数字中任选两个可以完成有＝45，此时共可得到36×45＝1 620个“彩虹四位数”． 据分类加法计数原理得，正四位数中“彩虹四位数”的个数为2 025＋1 620＝3 645. $$