6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数公式-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　计数原理 6．2　排列与组合 6．2．3　组合　6．2．4　组合数 第1课时　组合与组合数公式　 一、 组合概念的理解 二、 组合数公式 三、 组合数的性质 四、 组合数的简单应用 课堂达标 课下巩固训练(五) 学习目标　1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．　2.掌握组合数公式及性质的应用，会用组合知识解决一些简单的组合问题． 【知识提炼】　 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 微提醒 (1)组合中取出的元素没有顺序； (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． 一组 例1　判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？ 解：(1)因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，所以是组合问题． (2)因为甲队获得冠军、乙队获得亚军，与乙队获得冠军、甲队获得亚军是不一样的，与顺序有关，所以是一个排列问题． (3)因为三个代表之间没有顺序的区别，所以这是一个组合问题． (4)因为三个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的，所以这是一个排列问题． 感悟升华　排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可． (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 【即学即用】　 1.(多选)给出下列问题，其中是组合问题的是(　　) A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合 B．从7名班委中选2人担任班长和团支书 C．从数学组的10名教师中选3人去参加市里的新课程研讨会 D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数 解析：A中，选出的元素构成集合，是组合问题；B中，2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；C中，选出的3人去参加研讨会，是组合问题；D中，2个数字组成两位数，有十位数和个位的区分，是排列问题． 答案：AC 1 【知识提炼】　 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 2．组合数公式 (1)公式：C＝m),\s\do1(n)) eq \f(A,A eq \o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)) ) ＝ ． (2)规定：＝ ． 所有不同组合 eq \f(n！,m！（n－m）！) 微提醒 常见组合数恒等式 (1)C＝ eq \f(n－m＋1,m) C； (2)C＝ eq \f(n,n－m) C； (3)C＝ eq \f(n,m) C. 例2　(1)计算：C＋C. 解：由组合数定义知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤5－n≤n，,0≤9－n≤n＋1，)) 所以4≤n≤5.又因为n∈N*，所以n＝4或5. 当n＝4时，C＋C＝＋＝5； 当n＝5时，C＋C＝＋＝16. (2)求证：C＝ eq \f(m＋1,n＋1) C. 证明：∵右边＝ eq \f(m＋1,n＋1) C＝ eq \f(m＋1,n＋1) · eq \f(（n＋1）！,（m＋1）！（n－m）！) ＝ eq \f(n！,m！（n－m）！) ＝C， 左边＝C，∴左边＝右边， ∴原式成立． 变式探究　(1)(变条件、变设问)若将例2(1)改为＝6，求m. 解：因为＝6， 所以m(m－1)(m－2)＝6· eq \f(m（m－1）（m－2）（m－3）,4×3×2×1) ， 所以m－3＝4，m＝7. (2)(变设问)将例2(2)改为证明C＝ eq \f(n,n－m) C. 证明：右边＝ eq \f(n,n－m) C＝ eq \f(n,n－m) · eq \f(（n－1）！,m！（n－1－m）！) ＝ eq \f(n！,m！（n－m）！) ＝C， 左边＝C，所以左边＝右边，所以原式成立． 感悟升华　应用组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条件“m≤n且m，n∈N*”，即上标不大于下标且均为正整数的应用． 【即学即用】　2.(1)解方程：＝. 解：由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13， 解得x＝4或x＝5. 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x＋1≤13，,0≤2x－3≤13，,x∈N*，)) 得 eq \f(3,2) ≤x≤8且x∈N*. 故原方程的解为x＝4或x＝5. (2)若3),\s\do1(n)) eq \f(1,C) －4),\s\do1(n)) eq \f(1,C) ＜5),\s\do1(n)) eq \f(2,C) ，求n的取值集合． 解：由 eq \f(6,n（n－1）（n－2）) － eq \f(24,n（n－1）（n－2）（n－3）) ＜ eq \f(240,n（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）) ， 可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12. 又n∈N*，且n≥5，所以n∈{5，6，7，8，9，10，11}． 所以n的取值集合为{5，6，7，8，9，10，11}． 问题1　从10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？选出4人参加比赛，共有多少种选法？通过计算有什么发现？ 问题2　从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？通过计算，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？ 提示：＝210，＝126，＝84，＝＋. 【知识提炼】　 组合数公式的性质 (1)性质1：C＝C； (2)性质2：C＝C＋C. 注意：(1)性质1反映了组合数的对称性．若m> eq \f(n,2) ，通常不直接计算C，而改为计算C，这样可以减少计算量． (2)①性质2的特点是左端下标为n＋1，右端下标都为n，相差1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1. ②体现了“含”与“不含”的分类思想． 例3　(1)若＝，则x＝(　　 ) A．－1 B．4 C．－1或4 D．1或5 解析：由＝，得x－2＝2x－1或x－2＋2x－1＝9，解得x＝－1(不合题意，舍去)或x＝4. 答案：B (2)计算＋＋＋…＋的值为(　　 ) A． B． C．－1 D．－1 解析：＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋－＝＋＋…＋－1＝…＝＋－1＝－1. 答案：C 感悟升华　与排列组合有关的方程或求值问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意． 【即学即用】　 3.(1)(多选)下列等式正确的是(　　 ) A．若＝，则n＝8 B．＝＋ C．＋＋＝7 D．7－4＝0 解析：对于A，由＝，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝2或n＝8(舍去)，A不正确； 对于B，由组合数的性质知B正确； 对于C，＋＋＝1＋3＋3＝7，C正确； 对于D，7－4＝7× eq \f(6×5×4,3×2×1) －4× eq \f(7×6×5×4,4×3×2×1) ＝140－140＝0，D正确． 答案：BCD (2)计算：＋＋＋＋＋＋＝________． 解析：＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋－5＝－5＝－5＝ eq \f(12×11×10×9,4×3×2×1) －5＝490. 答案：490 例4　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即＝ eq \f(10×9,2×1) ＝45. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有种方法； 第2类，选出的2名是女教师有种方法． 根据分类加法计数原理，共有＋＝21种不同选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法为×＝90种． 感悟升华　解答简单的组合问题的思路 (1)弄清楚做的这件事是什么； (2)分析这件事是否需分类或分步完成； (3)结合两个计数原理利用组合数公式求出结果． 【即学即用】　4.已知一个口袋里装有除颜色外完全相同的7个白球和1个红球，从中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？ (2)其中恰有1个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？ 解：(1)从一个口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是＝＝ eq \f(8×7×6,3×2×1) ＝56. (2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有1个红球，可以分两步完成： 第一步，从7个白球中任取4个白球，有种取法； 第二步，把1个红球取出，有种取法． 故不同取法的种数是＝＝＝35. (3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是＝＝21. 答案：D 1．已知＝，则x的取值为(　　 ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：∵＝，∴x＋2＋x－4＝18或x＋2＝x－4，解得x＝10或无解，故x的取值为10. 2．若＝36，则n的值为(　　 ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：∵＝36，∴ eq \f(n（n－1）,2×1) ＝36， 即n2－n－72＝0，∴(n－9)(n＋8)＝0. ∵n∈N*，∴n＝9. 答案：C 3．学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，则不同的选法有(　　 ) A．200种 B．400种 C．100种 D．300种 解析：从6门选修课中任意选择3门有种方法，从5种课外活动小组中选择2种有种方法，由分步乘法计数原理得＝20×10＝200(种)，所以不同的选法有200种． 答案：A 4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次． 解析：每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手＝15. 答案：15 【基础巩固】 1．下列四个命题，属于组合问题的是(　　 ) A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13名司机中任选出2名开同一辆车往返于甲、乙两地 解析：C选项中从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 答案：C ．＋的值为(　　 ) A．36 B．45 C．120 D．720 解析：＋＝＝＝120. 答案：C 3．某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选择共有(　　 ) A．140种 B．120种 C．35种 D．34种 解析：从7人中选4人，共有＝35(种)选法，4人全是男生的选法有＝1(种)，故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34(种)． 答案：D 4．如图，在由开关组A与B组成的电路中，闭合开关使灯泡发光的方法有(　　 ) A．6种 B．5种 C．18种 D．21种 解析：A开关能闭合的情况有＋＝3种，B开关能闭合的情况有＋＋＝7种，则能使灯泡发光的方法有3×7＝21种． 答案：D 5．(多选)下列式子成立的是(　　 ) A． B． C．＝＋ D． 解析：根据排列和组合数公式，可知A成立； ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)， ＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)， 所以，故B不成立； 由组合数的性质，可知C成立； ，故D成立． 答案：ACD 6．如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为(　　 ) A．220 B．200 C．190 D．170 解析：任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形的数量为＝190. 答案：C ．＋＋＋…＋＝________． 解析：原式＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＝＝＝7 315. 答案：7 315 8．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条． 解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条． 答案：126 9．现有1，3，7，13这4个数． (1)从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和？ (2)从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差？ 解：(1)从这4个数中任取2个相加有：1＋3＝4，1＋7＝8，1＋13＝14，3＋7＝10，3＋13＝16，7＋13＝20，可以得到6个不相等的和． (2)从这4个数中任取2个相减有：1－3＝－2，3－1＝2，1－7＝－6，7－1＝6，1－13＝－12，13－1＝12，3－7＝－4，7－3＝4，3－13＝－10，13－3＝10，7－13＝－6，13－7＝6，其中6和－6分别出现两次，故有10个不相等的差． 10．解不等式＋. 解：∵＝， ∴原不等式可化为＋(＋)， 即＋，可得， ∴＞， 即(n－3)(n－4)>20，解得n>8或n<－1. 又n∈N*，n≥5，∴n≥9且n∈N*. ∴原不等式的解集为{n|n≥9且n∈N*}． 【综合运用】 11．男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，其中女生有(　　 ) A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人 解析：设男生有x人，则女生有(8－x)人． ∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法， ∴＝30， ∴x(x－1)(8－x)＝30×2＝2×6×5，或x(x－1)(8－x)＝3×4×5. ∴x＝6，8－6＝2，或x＝5，8－5＝3. ∴女生有2人或3人． 答案：A 12．(多选)下列有关排列数、组合数计算正确的是(　　 ) A． B．(n＋2)＝ C．＋＋＋…＋＝ D．＋是一个常数 解析：对于A，＝·m！，A错误；易知B正确；对于C，结果应为－1，C错误；对于D，由组合数定义可得解得n＝2. 所以＋＝＋＝2，D正确． 答案：BD 13．甲、乙、丙三人值班，从周一到周六按每人分别值班2天，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有(　　 ) A．15种 B．30种 C．45种 D．60种 解析：甲从周二至周六5天中选2天值班，有种选法；乙可从剩下的4天中任选2天值班，有种选法；丙选剩下的2天即可，有种选法，故不同的排班方案共有＝60(种)． 答案：D 14．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答) 解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题， 共有＝210(种)分法． 答案：210 【创新探索】 15．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________． 解析：因为1≤m<n≤5，所以可以是，，，，，，，，，，其中＝，＝，＝，＝，故方程x2＋y2＝1能表示的不同椭圆有6个． 答案：6 16．规定，其中x∈R，m是正整数，且＝1，这是组合数(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①＝； ②＋＝是否都能推广到(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由． 解：＝－＝－11 628. (2)性质①不能推广，例如当x＝时有意义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是＋＝，x∈R，m为正整数． ②证明：当m＝1时，有＋＝x＋1＝； 当m≥2时，＋＋ ＝＝＝. 综上，性质②的推广得证． $$