6.2.1 6.2.2 第2课时 排列的综合应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　计数原理 6．2　排列与组合 6．2．1　排列　6．2．2　排列数 第2课时　排列的综合应用　 一、 特殊元素或特殊位置问题 二、 组数问题 课堂达标 课下巩固训练(四) 学习目标　1.掌握几种有限制条件的排列．　2.能应用排列数公式解决简单的实际问题． 例1　有3名男生、4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数． (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (6)排成前后两排，前排3人，后排4人． 解：(1)(元素分析法)甲为特殊元素，故先安排甲，最左、最右、中间共三个位置可供甲选择，有种排法，其余6人全排列，有种排列方法． 由分步乘法计数原理得＝2 160种排列方法． (2)(位置分析法)先排最左边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排列有种，但应剔除乙在最右边的排法数有种排法． 则符合条件的排法共有－＝3 720种． (3)(捆绑法)将男生看成一个整体，进行全排列有种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4名女生进行全排列有种排法，共有＝720种排列方法． (4)(插空法)先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位中，共有＝144种排列方法． (5)(定序排列用除法)第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列， 因此有＝N×，所以N＝7),\s\do1(7)) eq \f(A,A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ) ＝840种排列方法． (6)(直接法)由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有＝ 5 040种排列方法． 感悟升华　解决排队问题的方法 (1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑． (2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素． (3)捆绑法：相邻问题可以采用捆绑的方法求解，将要求相邻的元素捆绑在一起作为一个整体，和余下的元素按照要求进行排列，最后解绑． (4)插空法：不相邻问题可以采用插空的方法求解，先将不相邻的元素拿出来，余下的元素按要求排列，找出满足要求的空，再将不相邻的元素插入． (5)顺序给定的元素的排列问题，只需考虑其余元素的排列即可. 【即学即用】　1.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间，乙必在两端； (2)甲不在左端，乙不在右端； (3)男、女生分别排在一起； (4)男女相间； (5)男生不全相邻． 解：(1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有2×7×＝70 560种不同的排法． (2)按甲在不在右端分类讨论． 甲站右端有种排法，甲不在右端有7×7×种排法， 共有＋7×7×＝×(8＋49)＝287 280种不同的排法． (3)(捆绑法)＝5 760种． (4)(插空法)先排4名男生有种排法，再将5名女生插空，有种排法，故共有＝2 880种排法． (5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有－＝ 345 600种． 例2　用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． 解：(1)第一步，排个位数，有种排法； 第二步，排十万位，有种排法； 第三步，排其他位，有种排法． 故共有＝288个六位奇数． (2)方法一(直接法)　十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类． 第一类，当个位排0时，有个； 第二类，当个位不排0时，有个． 故符合题意的六位数共有+＝504个． 方法二(排除法)　0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况． 故符合题意的六位数共有－2＋＝504个． (3)分三种情况，具体如下： ①当千位上排1，3时，有个． ②当千位上排2时，有个． ③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有个； 形如41××的偶数有个； 形如43××的偶数只有4 310和4 302这两个数． 所以不大于4 310的四位偶数有＋＋2＋＋2＝110个． 变式探究　用0，1，3，5，7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数． 解：本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时5不在十位位置上，所以五位数的个数为＝24； 第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以十位位置上只能排1，3，7中的一个，有＝3种方法． 又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1，3，7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有＝3种． 十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，有＝6种． 根据分步乘法计数原理得，第二类中所求五位数的个数为＝54. 由分类加法计数原理得，符合条件的五位数共有24＋54＝78个． 感悟升华　排数字问题常见的解题方法 (1)两优先排法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充. 如“0”不排首位． (2)分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行计算. 要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏． (3)排除法：全排列数减去不符合条件的排列数． (4)位置分析法：按位置来进行讨论，把要求数字的每个数位排好． 【即学即用】　2.用0，1，2，3，4五个数字， (1)可组成多少个五位数？ (2)可组成多少个无重复数字的五位数？ 解：(1)各个数位上数字允许重复，故采用分步乘法计数原理，可组成4×5×5×5×5＝2 500个五位数． (2)方法一　考虑特殊位置“万位”，从1，2，3，4中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列为，故共有＝96个． 方法二　考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列为种，故共有＝96个无重复数字的五位数． 答案：C 1．五声音阶(汉族古代音律)是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫、商、角、徵、羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，则可排成不同的音序的种数为(　　 ) A．12 B．48 C．72 D．120 解析：先排其他三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为＝72. 2．(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　 ) A．共计有720种不同的排法 B．男生甲排在两端的排法种数为120 C．男生甲、乙相邻的排法种数为120 D．男、女生相间的排法种数为72 解析：3男3女排成一排共计有＝720(种)不同的排法；男生甲排在两端的排法种数为2＝240；男生甲、乙相邻的排法种数为＝240；男、女生相间的排法种数为2＝72. 答案：BC 3．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有(　　 ) A．66种 B．60种 C．36种 D．24种 解析：五名学生进行全排列共有种站法，而甲站在乙的左边，或乙的右边，故甲不排在乙的左边的情况共有5),\s\do1(5)) eq \f(A,A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ) ＝60(种). 答案：B 4．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个. 解析：先排奇数位有种，再排偶数位有种，故共有这样的七位数有＝144个． 答案：144 【基础巩固】 1．有5名同学分别被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有(　　 ) A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 解析：因为同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日顺序的编排方案共有＝24种． 答案：B 2．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位数字小于十位数字的有(　　 ) A．210个 B．300个 C．464个 D．600个 解析：没有重复数字的五位数有＝600个，个位数字小于十位数字的有＝300个． 答案：B 3．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有(　　 ) A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 解析：由题意得，先排穿红色衣服的2人，构成三个空，再把一个穿黄色衣服的安排在最中间的空中，把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中，所以共有＝8(种)． 答案：C 4．在学校的一次数学讲题比赛中，高一、高二、高三分别有2名、2名、3名同学获奖，将这七名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有(　　) A．12种 B．36种 C．72种 D．144种 解析：先把同年级的同学“捆绑”，并“内部”全排列，然后看成三个元素的全排列问题，共有不同的排法＝144(种)． 答案：D 5．(多选)把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则(　　 ) A．A与B相邻有36种摆法 B．A与C相邻有48种摆法 C．A，B相邻且A，C相邻，有12种摆法 D．A与B相邻，且A与C不相邻有36种摆法 解析：产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有种摆法，而A，B可交换位置，所以有＝48种摆法，故A项错误；同理A与C相邻也有48种摆法；当A，B相邻且A，C相邻时，有＝12种摆法；A与B相邻，且A与C不相邻有48－12＝36种摆法． 答案：BCD 6．在由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位上的数字之和为奇数的数共有(　　) A．36个 B．24个 C．18个 D．6个 解析：数字之和为奇数有两种可能：①“三奇”，可组成的数有＝6(个)；②“两偶一奇”，可组成的数有＝18(个)．由分类加法计数原理得，各数位上的数字之和为奇数的数共有6＋18＝24(个)． 答案：B 7．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案共有________种． 解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，则不同的选派方案共有－＝186种． 答案：186 8．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．(用数字作答) 解析：先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有种，因此不同的分法为＝96种． 答案：96 9．某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相． (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？ 解：(1)5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有＝20种． (2)设符合条件的排法共有x种， 用(1)的方法可得＝，解得x＝10. 10．从集合A＝{1，3，5，7}中取三个数字，从集合B＝{0，2，4，6，8}中取两个数字，组成没有重复数字的五位数，分别求出满足下列条件的五位数个数，要求答案用数字表示． (1)集合A中的数字必须在奇数位上； (2)集合A中的数字必须相邻，且组成的五位数是偶数． 解：(1)依题意，集合A中的数字必须在奇数位上，则集合B中的数字只能在十位和千位上， 所以集合A中的数字必须在奇数位上的五位数个数是＝24×20＝480. (2)因为集合A中的数字必须相邻，且组成的五位数是偶数，则此五位数的个位必须是集合B中的数字， 当万位是集合A中取出的数字时，有个， 当万位是集合B中取出的数字时，排万位有种，排个位有种，排另3个数位有种，共有， 由分类加法计数原理得＋＝24×20＋4×4×24＝864， 所以集合A中的数字必须相邻，且组成的五位数是偶数的个数有864个． 【综合运用】 11．某校迎春晚会由6个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　 ) A．112种 B．120种 C．144种 D．180种 解析：利用间接法求解，先考虑将丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，共有＝240(种)编排方案．若甲排在第一位或最后一位，且丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，此时共有＝96(种)编排方案．综上所述，符合条件的编排方案共有240－96＝144(种)． 答案：C 12．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次，讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相邻，“射”和“御”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有(　　 ) A．36种 B．48种 C．64种 D．84种 解析：由题意，“礼”排第一，当“射”排第二或第六时，“数”只有一种次序，其余全排列，有种次序；当“射”排第三、四、五时，“数”有两种次序可选，“御”也有两种次序可选，其余全排列，有种次序．故“六艺”讲座不同的次序共有＝12＋24＝36(种)． 答案：A 13．某公司计划在如图的田字区域内种植不同颜色的花卉，要求相邻区域种植的花卉颜色不同．已知供选择的花卉颜色最多有4种，则不同的种植方案有________种． 解析：按照种植了多少种不同颜色的花卉分类： 第一类：种植了2种颜色的花卉，则1与4同色，且2与3同色，则有＝12种不同的种植方案； 第二类：种植了3种颜色的花卉，则1与4同色，或2与3同色，则有＝48种不同的种植方案； 第三类：种植了4种颜色的花卉，则有＝24种不同的种植方案． 根据分类加法计数原理可得共有12＋48＋24＝84种不同的种植方案． 答案：84 14．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有________种不同的答题顺序． 解析：将6只灯笼全排列，即种， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 故取谜题的方法有＝60(种)． 答案：60 【创新探索】 15．(多选)用0到9这10个数字，可组成没有重复数字的四位偶数的个数为(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．－－ 解析：法一　先排个位，若个位是0，则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排，有种，若个位不是0，则个位有4种选择，再排千位，有8种方法，再排百位和十位有种方法，所以没有重复数字的四位偶数共有＋＝2 296(个)． 法二　个位是0的不同四位偶数共有种，个位不是0的不同四位偶数有个，其中包含个位是偶数且千位为0的有种，故没有重复数字的四位偶数共有＋＝2 296(个)． 法三　若千位为奇数，则有个，若千位是偶数，有个，故共有＋ ＝2 296(个)． 法四　没有重复数字的四位数有－个，没有重复数字的四位奇数有个，故没有重复数字的四位偶数有－－＝2 296(个)． 答案：ABCD 16．用单词hippopotamus(河马)的12个字母，回答下列问题： (1)可以产生多少个不同的排列？ (2)3个p相连的排列有多少个？ (3)字母a，i，u依照这一顺序出现(不要求它们相邻)的排列有多少个？ 解：(1)我们暂且把hippopotamus中的三个p看作是不同的字母p1，p2，p3，两个o 看作o1，o2.这样共有12！种排列． 取消p1，p2，p3，o1，o2的下标，这实际上是一种映射， 从有下标的排列到无下标的排列的映射． ∵p1，p2，p3有3！种排列，o1，o2有2！种排列， ∴在上述映射(取消下标)下，每3！×2！个有下标的排列映射成同一个无下标的排列，即这个映射是倍数映射，故答案为：＝39 916 800. (2)将三个p当作一个字母，这样共有10个字母，其中有两个字母是相同的o，于是有多重集的全排列，故答案为：＝1 814 400. (3)a，i，u有3！种不同的排列，因此在(1)所得的个排列中，每3！个排列里有1个排列，a，i，u是依照这样的顺序的(保留其他字母的位置不变，而将a，i，u排来排去，共得3！个排列)． ∴这又是一个与倍数映射有关的问题，故答案为：＝6 652 800. $$