6.2.1 6.2.2 第1课时 排列与排列数公式-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　计数原理 6．2　排列与组合 6．2．1　排列　6．2．2　排列数 第1课时　排列与排列数公式　 一、 排列概念的理解 二、 排列数公式 三、 排列数公式的简单应用 课堂达标 课下巩固训练(三) 学习目标　1.理解并掌握排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．　2.掌握排列数公式并会应用． 问题1　从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 提示：如图所示，共有6种不同的选法． 【知识提炼】　 1．排列的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列的两个条件 (1)两个排列的 完全相同； (2)元素的排列 相同． 一定的顺序 元素 顺序 微提醒 在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，不考虑顺序就不是排列． 例1　给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10名同学，假期约定每两人通一次电话，共需通话多少次？ ⑤从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于排列问题的是________．(填序号) 解析：①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； ②有10个车站，共有多少种不同的票价？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题； ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 答案：①③⑤ ④有10名同学，假期约定每两人通一次电话，共需通话多少次？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题； ⑤从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题． 综上，以上问题中，属于排列问题的是①③⑤. 感悟升华　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 (1)“取”，检验取出的m个元素是否重复； (2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个元素的位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 【即学即用】　1.下列问题是排列问题的是(　　 ) A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．10个人互相通信一次，共写了多少封信 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 解析：对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，10个人互相通信，涉及顺序问题，是排列问题，B正确； 对于C，5个点中任取2点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误． 答案：B 问题2　排列数A怎样计算？ 提示：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球： 第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法； 第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法； 第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法； … 第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如表所示． 盒子 1 2 3 … m 方法数 n n－1 n－2 … n－(m－1) 因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]种方法． 【知识提炼】　 1．排列数 排列数定 义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示 全排列 的概念 n个不同的元素 的一个排列 不同排列的个数 全部取出 1 1 2.排列数公式 阶乘的 概念 把 记作n！，读作n的阶乘 排列数 公式 A＝ ，阶乘式 A＝ eq \f(n！,（n－m）！) (n，m∈N*，m≤n) 特殊 情况 A＝ ，1！＝ ，0！＝ n(n－1)…2×1 n(n－1)…(n－m＋1) n！ 微提醒 (1)乘积是m个连续正整数的乘积； (2)第一个数最大，是A的下标n； (3)第m个数最小，是n－m＋1. 例2　(1)计算：5),\s\do1(9)) eq \f(A ＋A eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(9)) ,A eq \o\al(\s\up1(6),\s\do1(10)) －A eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)) ) ＝________． 解析：5),\s\do1(9)) eq \f(A ＋A eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(9)) ,A eq \o\al(\s\up1(6),\s\do1(10)) －A eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)) ) ＝ eq \f(\f(9！,4！)＋\f(9！,5！),\f(10！,4！)－\f(10！,5！)) ＝ eq \f(5×9！＋9！,5×10！－10！) ＝ eq \f(6×9！,4×10！) ＝ eq \f(3,20) . 答案： eq \f(3,20) (2)解方程：3A＝4A. 解：由排列数公式，得原方程可化为3× eq \f(8！,（8－x）！) ＝4× eq \f(9！,（10－x）！) ， 化简得3＝ eq \f(4×9,（10－x）（9－x）) ，即x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x＝6. (3)解不等式：A<6A. 解：原不等式可转化为 eq \f(8！,（8－x）！) <6× eq \f(8！,（10－x）！) ， 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12. 因为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8≥x，,x－2≥1，)) 即3≤x≤8，且x∈N*， 所以x＝8. (4)证明：A－A＝mA. 证明：∵A－A ＝ eq \f(（n＋1）！,（n＋1－m）！) － eq \f(n！,（n－m）！) ＝ eq \f(n！,（n－m）！) ·( eq \f(n＋1,n＋1－m) －1) ＝ eq \f(n！,（n－m）！) · eq \f(m,n＋1－m) ＝m· eq \f(n！,（n＋1－m）！) ＝mA， ∴A－A＝mA. 变式探究　将本例(2)中的方程改为“A＝2A”呢？ 解：因为A＝2A， 所以2n(2n－1)(2n－2)＝2(n＋1)n(n－1)(n－2)， 化简得n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0. 由题意知n≥3，整理方程，可得n＝5. 感悟升华　(1)排列数公式的阶乘式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． (2)在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意A中m∈N*，n∈N*且m≤n这些限制条件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉． 【即学即用】　2.(1)不等式A＋n≤10的解集为________． 解析：原不等式化为(n－1)(n－2)＋n≤10，即n2－2n－8≤0，解得－2≤n≤4，又n－1≥2，且n∈N*，所以3≤n≤4，所以n＝3或n＝4. 答案：{3, 4} (2)证明：＋k＝. 证明：左边＝ eq \f(n！,（n－k）！) ＋k· eq \f(n！,（n－k＋1）！) ＝ eq \f(n！[（n－k＋1）＋k],（n－k＋1）！) ＝ eq \f(（n＋1）n！,（n－k＋1）！) ＝ eq \f(（n＋1）！,（n－k＋1）！) ， 右边＝＝ eq \f(（n＋1）！,（n－k＋1）！) ， 所以＋k＝. 例3　用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解：方法一　分两步完成： (1)从1到9这九个数中任选一个占据百位，有A种方法． (2)从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位，个位，有A种方法． 由分步乘法计数原理可得，所求的三位数的个数为AA＝9×9×8＝648. 方法二　符合条件的三位数可以分三类： (1)每一位数字都不是0的三位数有A个； (2)个位数字是0的三位数有A个； (3)十位数字是0的三位数有A个． 由分类加法计数原理可得，所求的三位数的个数为A＋A＋A＝648. 方法三　不考虑任何限制条件求出所有的三位数的个数，再减去不符合条件的三位数的个数，即A－A＝648. 感悟升华　对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．对于情况较多的情形，可以先进行分类讨论再计算． 【即学即用】　3.将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车均有1位司机和1位售票员，则共有________种不同的分配方案． 解析：解决这个问题可以分为两步： 第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A种方法； 第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有A种方法． 由分步乘法计数原理知，分配方案共有A·A＝576(种). 答案：576 答案：C 1．89×90×91×…×100可表示为(　　 ) A． B． C． D． 解析：由排列数公式可知选C. 2．计算2＋3！的值为(　　 ) A．100 B．123 C．126 D．128 解析：原式＝2×5×4×3＋3×2×1＝126. 答案：C 3．3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为(　　 ) A．3 B．24 C．34 D．43 解析：3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2＝24. 答案：B 4．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有=12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36(种)选法． 答案：36 【基础巩固】 1．下面问题中，是排列问题的是(　　 ) A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 解析：对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题； 对于B，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关，不是排列问题； 对于C，从100人中选2人抽样调查，与顺序无关，不是排列问题； 对于D，从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关，不是排列问题． 答案：A 2．排列数(n>r>1，n，r∈Z)恒等于(　　 ) A． B．(n＋1) C． D． 解析：由题意得. 答案：D 3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　　 ) A．8 B．12 C．16 D．24 解析：设车站数为n，则＝132，n(n－1)＝132，解得n＝12. 答案：B 4．已知，则n等于(　　 ) A．5 B．7 C．10 D．14 解析：由×4，得(11－n)(10－n)＝12，解得n＝7或n＝14(舍去)． 答案：B 5．(多选)下列等式中，正确的是(　　 ) A．＝ B．＝(n－2)! C．＝ D．＝ 解析：结合排列数的两个公式，通过计算可知选项A，B，D均正确． 答案：ABD 6．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同的值的个数是(　　 ) A．9 B．10 C．18 D．20 解析：lg a－lg b＝lg ，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有5×4＝20(种)，其中lg ＝lg ，lg ＝lg ，故其可得到18种结果． 答案：C 7．若集合P＝{x|x＝，m∈N*}，则集合P中共有________个元素. 解析：因为x＝，所以有m∈N*且m≤4，所以P中的元素为＝＝24，即集合P中有3个元素． 答案：3 8．若S＝＋＋＋＋…＋，则S的个位数字是________． 解析：∵当n≥5时的个位数是0，故S的个位数取决于前四个排列数，又＋＋＋＝33，故S的个位数字是3. 答案：3 9．解不等式. 解：原不等式可化为<6×，即1<6×， 化简得m2－15m＋50<0，即(m－5)(m－10)<0，解得5<m<10， 又即m≤6，且m∈N*，所以m＝6. 所以不等式的解集为{6}． 10．求证：＋m＝(n，m∈N*，n≥m>2)． 证明：因为左边＝＋m(m－1) ＝ ＝ ＝＝＝右边， 所以原等式成立． 【综合运用】 11．将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有(　　 ) A．12种 B．18种 C．24种 D．30种 解析：志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方案，将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有种分配方案，根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有＝18(种)． 答案：B 12．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2，3，4，5，6，9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(　　 ) A．120个 B．80个 C．40个 D．20个 解析：由题意知，可按十位数字的取值进行分类： 第一类，十位数字取9，有个； 第二类，十位数字取6，有个； 第三类，十位数字取5，有个； 第四类，十位数字取4，有个． 所以“伞数”的个数为＋＋＋＝40. 答案：C 13．古代“五行”学说认为“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列有________种． 解析：第一步不妨先排第一个位置，共有5种选择，设第1个位置排了金，由题意知金克木，火克金，则第2个位置只能从土、水中选，有两种选择，设选择了土，则第3个位置只能为火，所以这样的排列方法有5×2＝10种． 答案：10 14．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则可以表示不同的信号共有________种． 解析：分3类：第1类，用1面旗表示的信号有种； 第2类，用2面旗表示的信号有种； 第3类，用3面旗表示的信号有种， 由分类加法计数原理，所求的信号种数为＋＋＝3＋3×2＋3×2×1＝15. 答案：15 【创新探索】 15．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数． (1)若x＝9，则其中能被3整除的共有________个； (2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x＝________． 解析：(1)因为当各数位上的数字之和能被3整除时，该数就能被3整除， 所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，所以共有＝12(个)． (2)显然x≠0，因为1，2，4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现次，所以这样的数字之和是， 即＝252，所以7＋x＝14，解得x＝7. 答案：(1)12　(2)7 16．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”．从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有多少种？ 解：根据题意，甲、乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论： ①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有＝6种情况，此时有3×6＝18种名次排列情况； ②甲不是最后一名，甲、乙需要排在第二、三、四名，有＝6种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有＝6种情况，此时有6×6＝36种名次排列情况．则一共有36＋18＝54种不同的名次排列情况． $$