6.2 习题课 分组分配问题-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

正禾一本通 一轮总复习 多媒体课件 英语（人教版） 第六章　计数原理 6．2　排列与组合 习题课　分组分配问题　 一、 相同元素的分组分配问题 二、 分组、分配问题 课堂达标 课下巩固训练(七) 学习目标　1.了解分组、分配问题的区别．　2.掌握分组、分配问题的解题策略． 例1　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列情形的放法种数： (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 解：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板，故共有＝10种放法． (2)方法一　恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法；第二步在小球之间的5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板．由分步乘法计数原理得，共有＝40种放法． 方法二　恰有一个空盒子，插板分两步进行：先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插入一块隔板，如|○|○○○|○○|，有种插法． 然后将剩下的一块隔板与任意一块并放形成空盒，如|○|○○○||○○|，有种插法，故共有＝40种放法． (3)方法一　分两步完成：第一步任取2个盒子不放小球(取两个空盒子)有种选法，第二步在6个小球之间的5个空隙中任选一个空档插一块隔板，有种方法. 由分步乘法计数原理，共有＝30种放法． 方法二　恰有两个空盒子，插板分两步进行：先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有种插法，如|○○|○○○○|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒，有两种情况，第一种，这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||○○||○○○○|，有种插法；第二种，将两块板与前面三块板之一并放，如|○○|||○○○○|，有种插法. 故共有(＋)＝30种放法． 感悟升华　相同元素的分配策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块板． 【即学即用】　 1.(1)将5个相同的球放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有(　　) A．种 B．种 C．58种 D．85种 解析：由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可．故共有种不同的放法． 答案：B (2)6人参加一项活动，要求是“必须有人去，去几个人，谁去，自己定”，则不同的去法种数为________． 解析：按照参加的人数分类，参加的人数分别为1，2，3，4，5，6，所以不同的去法有＋＋＋＋＋＝63(种). 答案：63 eq \a\vs4\al(角度1　分组问题) 例2　已知有9本不同的书． (1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？(用数字作答) 解：(1)9本书平均分成3堆，则有3),\s\do1(9)) eq \f(C C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)) C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ,A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ) ＝280种不同的分堆方法． (2)从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，则有＝1 260种不同的分堆方法． eq \a\vs4\al(角度2　分配问题) 例3　有6本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法． (1)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (2)甲、乙、丙各得2本； (3)一人得4本，另两人各得1本． 解：(1)分三步完成：甲选1本、乙选2本、丙选剩下的3本，共有＝60种分法． (2)分两步完成：先均匀分组2),\s\do1(6)) eq \f(C C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ) ，再分给甲、乙、丙三名同学，有种，共有2),\s\do1(6)) eq \f(C C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ) ·＝90种分法． (3)部分均匀分组问题，先部分均匀分组4),\s\do1(6)) eq \f(C C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(1)) ,A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ) ，再分给甲、乙、丙三名同学，有种，故共有4),\s\do1(6)) eq \f(C C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(1)) ,A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ) ·＝90种分法． 感悟升华　“分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)将n个不同元素按某些条件分配给不同的对象，称为分配问题． 分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 【即学即用】　2.(1)某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天分早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(　　 ) A． B． C．12),\s\do1(14)) eq \f(C C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(12)) C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) ,A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ) D． 解析：首先从14人中选出12人共种，然后将12人平均分为3组共4),\s\do1(12)) eq \f(C C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)) ,A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ) 种方法，将三组分配下去，则开幕式当天不同的排班种数为 4),\s\do1(12)) eq \f(C C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)) ,A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ) ＝. 答案：A (2)高二年级的三个班去甲，乙，丙，丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有(　　) A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 解析：法一　满足题意的不同的分配方案有以下三类：①三个班中只有一个班去甲工厂有×32＝27(种)方案；②三个班中只有两个班去甲工厂有×3＝9(种)方案；③三个班都去甲工厂，有1种方案．综上可知，共有27＋9＋1＝37(种)不同方案． 法二　高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，有43种不同的分配方案，若三个班都不去甲工厂，则有33种不同的分配方案，则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种). 答案：C 答案：B 1．把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有(　　 ) A．4种 B．6种 C．21种 D．35种 解析：利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有＝6种． 2．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则不同分法的种数为(　　 ) A．12 B．36 C．24 D．48 解析：由题意，首先将甲、乙、丙、丁4名同学分成三组有种分法，然后再将三组同学分配到A，B，C三个班级中有种分法，所以不同分法的种数为＝36. 答案：B 3．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　 ) A．30 B．60 C．120 D．240 解析：先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有2),\s\do1(4)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ) (种)，再将余下的6人平均分成两组，有3),\s\do1(6)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ,A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ) (种)，然后这四个组自由搭配还有(种)，故最终分配方法有2),\s\do1(4)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)) ,A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ) ＝60(种). 答案：B 4．有6名大学生到甲、乙、丙三所学校去实习，每名大学生只去一所学校，若甲、乙、丙三所学校都需要2名大学生，则不同安排方法的种数为________．(用数字作答) 解析：利用分步乘法计数原理，不同的安排方法的种数为2),\s\do1(6)) eq \f(C C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ) ·＝90. 答案：90 【基础巩固】 1．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，则不同的分组方法种数有(　　 ) A． B． C． D． 解析：此题为平均分组问题，有 种分法． 答案：C 2．某高校举行一场智能机器人大赛．该高校理学院获得8个参赛名额．已知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额，则该理学院参赛名额的分配方法共有(　　 ) A．20种 B．21种 C．28种 D．35种 解析：将8个参赛名额看成8个元素，之间会产生7个空隙，则分配方法数共有＝35种． 答案：D 3．现有红色、黄色、蓝色、黑色小球各一个，放入编号为1，2，3的三个抽屉中，则恰好有1个抽屉为空的不同放法有(　　 ) A．24种 B．42种 C．60种 D．84种 解析：第一步，先从三个抽屉中选择一个空抽屉有种；第二步，将四个小球分为2＋2或3＋1两组，共有＋种放法；第三步，将两组小球放入不同编号的抽屉中，共有种放法．因此恰好有1个抽屉为空的不同放法有＝42种． 答案：B 4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么不同的分配方案共有(　　) A．252种 B．112种 C．20种 D．56种 解析：按分配到甲宿舍的人数进行分类，则易得不同的分配方案共有＋＋＋＝112(种)． 答案：B 5．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球全部放入编号为1，2，3，4，5，6的6个盒子里，每个盒内放一个球，恰好有2个小球的编号与盒子的编号相同，则不同的放法种数为(　　 ) A．180 B．135 C．90 D．45 解析：根据题意，有且只有2个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有＝15种选法，剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这4个盒子的编号为3，4，5，6，则3号小球可以放进4，5，6号盒子，有3种选法，剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，则每个盒内放一个球，恰好有2个小球的编号与盒子的编号相同，则不同的放法种数为15×3×3＝135. 答案：B 6．(多选)将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有(　　) 种 种 种 D．18种 解析：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个， 有两种解法： (1)分2步进行分析： ①先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法． ②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法． 则没有空盒的放法有种． (2)分2步进行分析： ①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况． ②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个盒子中，有种放法． 则没有空盒的放法有种． 答案：BC 7．有四辆不同特警车准备进驻四个编号为1，2，3，4的人群聚集地，其中有一个地方没有特警车的方法共________种. (用数字作答) 解析：由题意，四辆不同特警车准备进驻四个编号为1，2，3，4的人群聚集地，其中有一个地方没有特警车，说明必须恰有一个地方有2辆特警车，从四辆不同特警车中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故其中有一个地方没有特警车的方法共有＝144种． 答案：144 8．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________． 解析：首先排两个奇数1，3，有种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有种排法，即满足条件的四位数的个数为＝8. 答案：8 9．袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球． (1)若取出的球是两种颜色，则有多少种取法？ (2)若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种取法？ 解：(1)根据题意，袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个，有＝210(种)取法， 其中颜色相同的有2种情况：4个红球或4个白球． 若是4个红球，有＝1(种)取法， 若是4个白球，有＝15(种)取法， 则取出的球是两种颜色的取法有210－(1＋15)＝194(种)． (2)若取出的红球个数不少于白球个数，分3种情况讨论： ①4个全部是红球，有＝1(种)取法； ②有3个红球，1个白球，有＝24(种)取法； ③有2个红球，2个白球，有＝90(种)取法． 一共有1＋24＋90＝115(种)取法． 10．有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班． (1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？ (2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？ (3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？ 解：(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有＝36(种)分法． 图(1)是其中一种分法，表示分别给1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个． (2)要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每人班级至少1个名额，应用“隔板法”，可得有＝15(种)分法． 图(2)是其中一种分法，表示分别给1班、2班、3班的名额分别是3＋1＝4(个)，2＋1＝3(个)，2＋1＝3(个)． (3)因为允许某些班级没有名额，所以“隔板”可以相邻， 可以把10个名额和2个“隔板”共12个元素进行排序，只要在12个位置中选好2个位置安排“隔板”，就可把名额分成3份，然后对应地分给3个班级，(比如“隔板”相邻了，说明2班名额为0个)这样每一种安置“隔板”的方法对应一种分法，分配方案共有＝66(种)． 【综合运用】 11．(2023·浙江宁波期中)从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，每瓶不空，如果甲、乙两种种子都不许放入1号瓶子内，那么不同的放法共有(　　) A．种 B．种 C．种 D．种 解析：分两步：第1步，可在其他8种种子中选取1种放入1号瓶，则有种选法；第2步，剩下的9种种子中选5种全排列，则有种．故共有种不同的放法． 答案：C 12．甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有(　　 ) A．42种 B．30种 C．24种 D．18种 解析：若甲、乙去同一企业，则甲、乙只能去B企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有＝6(种)派遣方案； 若甲、乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲、乙两人选同伴，有种， 第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B企业，乙不去C企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得共有×1＝12(种)派遣方案， 所以不同的派遣方案共有6＋12＝18(种)． 答案：D 13．(多选)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是(　　 ) A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的安排方法种数为 C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方法的种数是＋ D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为+ 解析：根据题意，依次分析选项： 对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A错误； 对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故B错误； 对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有＋种安排方法，C正确； 对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，D错误． 答案：ABD 14．用0～9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位、十位、百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有________个． 解析：设a1，a2，a3对应个位到百位上的数字，则a3∈N*，ai∈N(i＝1，2)且a1＋a2＋a3＝9，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0，这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为a3，第二组数的和作为a2，第三组数的和作为a1，故“长久数”一共有＝45个． 答案：45 【创新探索】 15．已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________． 解析：问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为＝165. 答案：165 16．设有99本不同的书(用排列数、组合数作答)． (1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？ (2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？ (3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？ (4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？ (5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？ (6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？ (7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？ (8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？ 解：(1)甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本，有方法种．不同的分法共有种． (2)与(1)类似，不同的分法共有种． (3)不同的分法共有种． (4)先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能．不同的分法共有种． (5)99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能．不同的分法共有种． (6)99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同．不同的分法共有种． (7)99本不同的书，平均分成3份，每份33本．本问题是典型的平均分组问题，要排除重复．不同的分法共有种． (8)99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有种． $$