精品解析：广东省清远市清新区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024~2025学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学科试题 说明：1．全卷共6页，满分120分，考试为120分钟． 2．答题前，考生务必在答题卡相应位置上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、姓名、准考证号，再用2B铅笔把准考证号的对应数字涂黑． 3．用黑色墨水的钢笔或签字笔作答． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴最大的数是， 故选：B 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题运用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 解得：或， 故选：C． 3. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可． 本题考查了三视图的意义，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键． 【详解】解：根据俯视图的意义，得． 故选：B． 4. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：， ，，， 故不符合题意， 故选A． 5. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解，把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入，得， 解得， 故选：D． 6. 两个相似多边形的相似比是，其中较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质即可求出较大多边形的面积． 【详解】解：设较小多边形的面积为， ∵两个相似多边形的相似比是，较大多边形的面积为， ∴， 解得：，即较小多边形的面积为． 故选：B． 7. 我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设长为步，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．设长为x步，则宽为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设长为x步，则长为步， 由题意得，， 故选：C． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将的横坐标代入得出相应的值，再比较大小，本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，熟练掌握函数值的计算是解题的关键． 【详解】解：∵，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：B． 9. 若，则函数与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质及反比例函数的性质，根据图象所在象限，正确判断、的符号是解题关键．根据得出、同号，根据一次函数和反比例函数所在象限，分别判断、的符号，根据、同号判断即可得答案． 【详解】解：∵， ∴、同号， A．一次函数图象在一、三、四象限，则，，故该选项不符合题意， B．一次函数图象经过原点，则，故该选项不符合题意， C．一次函数图象在一、二、三象限，则，，反比例函数图像在一、三象限，则，故该选项符合题意， D．一次函数图象在一、二、四象限，则，，故该选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据三角形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长． 【详解】连接AC，交EF于点H，如图， ∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°， ∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4， ∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点， ∴ ∴H是AC的中点，F是AG的中点， ∴EH是△ABC的中位线，FH是△ACG的中位线， ∴，， 而FH=EF-FH=4-， ∴CG=2FH=3， 又∵CD＝AB＝5， ∴DG＝5﹣3＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关性质是解题的关键． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果，那么代数式的值等于________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，因为，则，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ， 故答案为：1 12. 如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的周长，由菱形可得，进而得到为等边三角形，得到，即可求出菱形的周长，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 13. 一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有________个白球． 【答案】9 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，先求出黑球的频率，再求出口袋中球的总数，用总数减去红球的个数，剩下的就是白球的个数． 【详解】300次中摸到红球的频率为=0.4，而这个口袋中有红球6个，则总球数为6÷0.4=15个，所以白球的个数为15-6=9， 故答案9． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，主要掌握利用样本的频率来估计总体的数量．关键是得到球的总数；用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率． 14. 如图点P是双曲线上的一点，过P点分别向x轴，y轴引垂线，得到图中的阴影部分的矩形面积为3，则这个反比例函数的表达式为_________． 【答案】y=﹣． 【解析】 【详解】试题分析：设如图所示是双曲线的解析式为：y=（k＜0），点P的坐标，阴影部分面积等于点P的横纵坐标的积，把相关数值代入即可． 解：设如图所示是双曲线的解析式为：y=（k＜0），点P的坐标为（x，y）． ∵P（x，y）在反比例函数y=（k＜0）的图象上， ∴k=xy． ∴|k|=|xy|=3， ∵k＜0， ∴k=﹣3． 则该双曲线的解析式为：y=﹣． 故答案是：y=﹣． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 15. 如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理．利用数形结合思想是解题关键．由折叠的性质可知，，再根据矩形的性质得出，，，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，算术平方根，化简绝对值，先整理零次幂，算术平方根以及化简绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 17. 如图，在中， （1）尺规作图：过C点作，交于点E； （2）在（1）的条件下，，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，二次根式的乘法，作垂线，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）以为圆心，大于到的距离为半径画弧，得到与的两个交点，再作这两个交点的连线段的垂直平分线即可； （2）利用勾股定理求解，，再利用面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示：为所求图形 【小问2详解】 解：由（1）可得， 在，， 在中，， ． 18. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】（1）100+200x；（2）1 【解析】 【分析】（1）销售量=原来销售量+增加销售量，列式即可得到结论； （2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论． 【详解】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元， 则每天的销售量是100+×20=100+200x斤； 故答案为：100+200x； （2）根据题意得：， 解得：x=或x=1， ∵每天至少售出260斤， ∴100+200x≥260， ∴x≥0.8， ∴x=1． 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “探索科技乐趣，体验智慧生活”．在清远研学活动中，某研学基地提供了四类适合学生选择的兴趣场馆：A国防军事馆，B航空航天馆，C模拟法庭馆，D生命科学实验室．为了解学生选择的兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 兴趣类别 A国防军事馆 B航空航天馆 C模拟法庭馆 D生命科学实验室 学生人数/名 240 m 140 100 （1）本次抽查的学生人数是________人，统计表中的________． （2）在扇形统计图中如图所示，“D生命科学实验室”对应的圆心角的度数是________． （3）若该校共有2600名学生，请你估计该校学生选择“C模拟法庭馆”兴趣的学生人数． （4）在“A国防军事馆”“B航空航天馆”“C模拟法庭馆”“D生命科学实验室”四个场馆中，若小文、小明随机选取四个场馆中的一个去参观，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一场馆参观的概率． 【答案】（1）800，320 （2） （3）455人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、由样本估计总体、列表法或画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用A类别人数及其所占百分比即可得出本次抽查的学生人数，总人数乘以B类别人数所占比例即可得出的值； （2）用乘以D类别人数所占比例即可得解； （3）总人数乘以样本C类别人数所占比例即可得解； （4）列表得出所有等可能出现的结果，找出其中符合题意的结果，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽查的学生人数是人，统计表中的； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中如图所示，“D生命科学实验室”对应的圆心角的度数是； 【小问3详解】 解：若该校共有2600名学生，估计该校学生选择“C模拟法庭馆”兴趣学生人数为（人）； 【小问4详解】 解：列表得： 共有16种等可能出现的结果，其中他们选择同一场馆参观的情况有种， ∴． 20. 【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； （2）【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． （3）【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系直接计算即可； （2）根据根与系数的关系求出，，再代入，解一元二次方程即可得到答案； （3）由题意：可看成方程的两个根，利用根与系数的关系，并把式子变形后即可求解． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ， ， 解得； 【小问3详解】 解：由题意：可看成方程的两个根， ， ． 21. 垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． （1）如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； （2）如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； 【答案】（1）1； （2），见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识； （1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； 【小问1详解】 解：∵平行四边形， ，， ∵为的中点， ∴ ， ， ∴，即，解得， ， ； 故答案为：1；； 【小问2详解】 解：，理由如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 综合与实践 【主题】反比例函数图象与三等分角 【素材】我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分……那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？ 公元前5世纪，古希腊的学者们就提出了这个问题．为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不可能用尺规完成的．在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300-350）给出了一种方法． 【实践与操作】 步骤1：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合． 步骤2：在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P． 步骤3：以P为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点R． 步骤4：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M． 步骤5：连接，得到． 【实践探索】 （1）过P作轴于点H且交于Q，连接，，请证明四边形为矩形． （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）设，，则，得到的直线解析式，证明四边形为平行四边形，即可得到结论； （2）设矩形的对角线交于点，则，证明，根据平行的性质得到，，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：设，，则， 所以直线解析式为， 轴， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形； 【小问2详解】 证明：设矩形的对角线交于点，则， ， ， ， 又， ， 又， ， 又轴， ． ， 即． 23. 小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值． （1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的证明过程． 【尝试应用】 （2）如图图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，求证：． 【拓展提高】 （3）如图图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例等知识， （1）根据平行线分线段成比例定理和中点的定义进行解答即可； （2）连接交于点，则点为的中点，点为的中点．根据（1）问可得．同理可得,由点为的中点得到，即可证明结论成立； （3）求出，得到，．根据即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 是的中点 ． 又 （2）证明：连接交于点，则点为的中点，点为的中点． 为的中点，根据（1）问可得 ． 同理可得 点为的中点 ． （3）由第（1）问可知 ， 同理可得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学科试题 说明：1．全卷共6页，满分120分，考试为120分钟． 2．答题前，考生务必在答题卡相应位置上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、姓名、准考证号，再用2B铅笔把准考证号的对应数字涂黑． 3．用黑色墨水的钢笔或签字笔作答． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 3 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 6. 两个相似多边形的相似比是，其中较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设长为步，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则函数与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　） A. B. C. 3 D. 2 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果，那么代数式的值等于________． 12. 如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为______． 13. 一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有________个白球． 14. 如图点P是双曲线上的一点，过P点分别向x轴，y轴引垂线，得到图中的阴影部分的矩形面积为3，则这个反比例函数的表达式为_________． 15. 如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 如图，在中， （1）尺规作图：过C点作，交于点E； （2）在（1）条件下，，，，求的面积． 18. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “探索科技乐趣，体验智慧生活”．在清远研学活动中，某研学基地提供了四类适合学生选择的兴趣场馆：A国防军事馆，B航空航天馆，C模拟法庭馆，D生命科学实验室．为了解学生选择的兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 兴趣类别 A国防军事馆 B航空航天馆 C模拟法庭馆 D生命科学实验室 学生人数/名 240 m 140 100 （1）本次抽查的学生人数是________人，统计表中的________． （2）在扇形统计图中如图所示，“D生命科学实验室”对应的圆心角的度数是________． （3）若该校共有2600名学生，请你估计该校学生选择“C模拟法庭馆”兴趣的学生人数． （4）在“A国防军事馆”“B航空航天馆”“C模拟法庭馆”“D生命科学实验室”四个场馆中，若小文、小明随机选取四个场馆中的一个去参观，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一场馆参观的概率． 20. 【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； （2）【类比运用】已知关于x一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． （3）【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 21. 垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． （1）如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； （2）如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 综合与实践 【主题】反比例函数图象与三等分角 【素材】我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分……那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？ 公元前5世纪，古希腊的学者们就提出了这个问题．为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不可能用尺规完成的．在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300-350）给出了一种方法． 【实践与操作】 步骤1：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合． 步骤2：在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P． 步骤3：以P为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点R． 步骤4：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M． 步骤5：连接，得到． 【实践探索】 （1）过P作轴于点H且交于Q，连接，，请证明四边形为矩形． （2）求证：． 23. 小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值． （1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的证明过程． 【尝试应用】 （2）如图图2，在中，E、F分别是、中点，连接分别交、于M、N，求证：． 【拓展提高】 （3）如图图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$