第十七章《勾股定理》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

第十七章《勾股定理》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A．3， 4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】A、∵32+42=52， ∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确； B、∵22+32≠42， ∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵42+62≠72， ∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误； D、∵52+112≠122， ∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． 2．如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M表示点数为． 故选A． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长． 3．直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱， ∴直棱柱的高， ∴，，，， ∵， ∴选B． 【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键． 4．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可知，，，设，则，，在中，由勾股定理得，求出即为所求． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点E为射线BC上一点，若△ABE是等腰三角形，则△ABE的面积不可能是（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出AC，分三种情况：①BE=AB，②AE=AB，③当AE=BE，分别求出BE，分别根据三角形的面积公式求出△ABE的面积即判断到选项． 【详解】在中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴， 当时， ； 当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ， 综上所述：的面积是10或12或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，能够正确分类是解决 问题的关键． 6．下列条件：①；②；③；④．其中能判定是直角三角形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴能判定是直角三角形； ②∵， ∵， ∴能判定是直角三角形； ③∵， ∴， ∴， ∴能判定是直角三角形； ④∵，， ∴， ∴能判定是直角三角形； 综上所述，能判定是直角三角形的有4个． 故选：A． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ， ； 故选：C． 8．如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：是四个全等的直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 9．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（  ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】A 【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可． 【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF， 在△BAF和△EAF中， ， ∴△BAF≌△EAF(SAS)， ∴BF=EF， ∴AF⊥BE， 又∵AF＝4，AB＝5， ∴， 在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在Rt△BDF中，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键． 10．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可． 【详解】设中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求解． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，以数轴的单位长线段为边作一个长方形，以数轴的原点为圆心，矩形对角线长度为半径画圆弧，交数轴负半轴的点A处，则点A表示的数是 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，进而得到的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴点A表示的数是， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． 12．已知，如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ．    【答案】/36平方厘米 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理求边长，勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法是解题的关键． 如图所示，连接，根据可得是直角三角形，可求出的面积和的长，在中，根据，即勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，可求出的面积，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵， ∴是直角三角形，且， ∴，且， 在中，，，， ∵，即， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 13．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 14．如图，在中，若将沿折叠，使得点C与上的点D重合，则的面积为 【答案】15 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判定是直角三角形，由翻折不变性可知：设，在中，根据勾股定理列出方程，求出的值，根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形． 由翻折不变性可知：， 设， 在中，∵， ∴， 解得． ∴， ∴=． 故答案为． 【点拨】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，翻折的性质，以及三角形的面积公式等，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 15．如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．分三种情况讨论，当、和，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：设与交于点，由折叠知是线段的垂直平分线，，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论， 当时， ，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得（舍去负值），即； 当时，如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，即； 当时，点在线段的垂直平分线上， ∵点、都在线段的垂直平分线上， ∴点、重合， 此时，； 综上，的长是或或， 故答案为：或或． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)需要购买的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买的地毯才能铺满所有台阶． 17．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图，小明据此构造出该岛的一个数学模型 (如图四边形)来求岛屿的面积，其中 千米， 千米， 千米，请求出四边形的面积 (结果保留根号)． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先用勾股定理计算出，再证是直角三角形，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 是直角三角形， ， 即四边形的面积为． 18．如图，．    (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴ 即； （2）证明：如图所示， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴ ∴ （3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，    ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，      即， ∴， 又，则， 在中， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts． (1)出发3s后，求PQ的长； (2)当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1)PQ＝cm (2)出发秒后△PQB能形成等腰三角形 (3)当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形． 【分析】（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，由勾股定理即可得出结论； （2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）当t＝3时，则AP＝3，BQ＝2t＝6， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm）， 在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝（cm）． （2）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16， ∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t， 当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ， 即16﹣t＝2t，解得t＝， ∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形； （3）①当CQ＝BQ时，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10， ∴BC+CQ＝22， ∴t＝22÷2＝11秒． ②当CQ＝BC时，如图2所示， 则BC+CQ＝24， ∴t＝24÷2＝12秒． ③当BC＝BQ时，如图3所示， 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE＝， ∴CE＝＝＝， ∴CQ＝2CE＝14.4， ∴BC+CQ＝26.4， ∴t＝26.4÷2＝13.2秒． 综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 20．陕西剪纸在中国及世界上都享有较高的声誉，有着“民族母体艺术”“源头文化历史活化石”的美誉．小华热爱剪纸，课后他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究． (1)图1是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形，测得，，求该飞镖状图形的面积． (2)图2是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求的值． 【答案】(1)飞镖状图案的面积为； (2)． 【分析】本题考查勾股定理，以直角三角形的三边构成的图形的面积问题： （1）根据周长公式和勾股定理求出的长，分割法求出面积即可； （2）利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可． 【详解】（1）解：设，，由题意，得：， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴飞镖状图案的面积为； （2）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：，，， ∴ ， ∴． 21．已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，．    (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，若点在第一象限且满足，线段交轴于点，求线段的长； (3)如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点，满足．请探究之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据，，在中，有：，进而有，问题随之得解； （2）求出，即，可得，接着求出，证明，即有，可得，得出，进而有，可得，即有，问题随之得解； （3）由（2）可知：，可得，进而有，延长至F，使，连接，过A点作于M点，根据，即有，进一步有，即可证明，接着证明，问题随之得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴在中，有：， ∴， ∵， ∴， ∴，，； （2）解：∵，， ∴在中，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； （3）解：，理由如下： 由（2）可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 延长至F，使，连接，过A点作于M点，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴， 即． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23．综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： (1)【问题情境】如图1，平面内有三个点，，，，，则的长度的最小值为___________，最大值为___________． (2)【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、点在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． (3)【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角三角形，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，10 (2) (3)线段的长度存在最大值，最大值为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解答本题的关键． （1）根据、的长度即可求出长度的取值范围，即可得解； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明得到，，再利用等腰三角形的三线合一得到，，然后利用勾股定理分别求解即可； （3）过D作，且，连接，，则，要使最大，只需最大即可；证明得到，由，当B、A、E共线时取等号得到的最大值为28，进而可求解． 【详解】（1）解：∵，（当C点在线段上和在的延长线上时取等号） ∵，， ∴，即， ∴的长度的最小值为2，最大值为10， 故答案为：2，10； （2）解：如图，设与相交于F， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，又， ∴，， ∴， ∴， 在中，； （3）解：线段的长度存在最大值． 如图，在上方，过D作，且，连接，， ∴，即， 要使的长最大，只需的长最大即可， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，当B、A、E共线时取等号， ∴的长的最大值为28， 则的长的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章《勾股定理》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A．3， 4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12 2．如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 4．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点E为射线BC上一点，若△ABE是等腰三角形，则△ABE的面积不可能是（　　） A．10 B．12 C． D． 6．下列条件：①；②；③；④．其中能判定是直角三角形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 8．如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 9．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（  ） A．13 B．12 C．11 D．10 10．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，以数轴的单位长线段为边作一个长方形，以数轴的原点为圆心，矩形对角线长度为半径画圆弧，交数轴负半轴的点A处，则点A表示的数是 ．    12．已知，如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ．    13．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    14．如图，在中，若将沿折叠，使得点C与上的点D重合，则的面积为 15．如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶． 17．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图，小明据此构造出该岛的一个数学模型 (如图四边形)来求岛屿的面积，其中 千米， 千米， 千米，请求出四边形的面积 (结果保留根号)． 18．如图，．    (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts． (1)出发3s后，求PQ的长； (2)当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 20．陕西剪纸在中国及世界上都享有较高的声誉，有着“民族母体艺术”“源头文化历史活化石”的美誉．小华热爱剪纸，课后他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究． (1)图1是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形，测得，，求该飞镖状图形的面积． (2)图2是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求的值． 21．已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，．    (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，若点在第一象限且满足，线段交轴于点，求线段的长； (3)如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点，满足．请探究之间的数量关系． 23．综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： (1)【问题情境】如图1，平面内有三个点，，，，，则的长度的最小值为___________，最大值为___________． (2)【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、点在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长． (3)【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角三角形，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$