第三单元第6讲 长方体和正方体的体积公式推导与应用 （讲义+课件）-五年级数学下册同步知识点讲练（人教版）

第6讲： 第三单元 长方体和正方体的体积公式推导与应用 50 ◈长方体和正方体体积公式的推导 知识点① (1)在长方体纸盒内放棱长为1cm的 小正方体，沿着长、宽、高摆放的 情况如图，这个纸盒内一共可以放( )个小正方体。 (2)上图长方体的体积= × × =( )(cm³)。 ◉◉1.填一填 96 8 4 3 96 (3)把下图所示的棱长为2cm的 正方体锯成棱长为1cm的小正 方体，可以锯成( )个，正 方体的体积= × × =( )(cm³)。 ◉◉1.填一填 8 2 8 2 2 ◈举一反三1 (1)长方体的体积计算公式是____________。 (2)用棱长1分米的小正方体摆成长6分米、宽5分米、高4分米的长方体，需要______个小正方体。 (3)一个正方体的棱长是3厘米，它的体积是_____立方厘米。 ◉◉1.填空题 长×宽×高 120 27 (1)长方体的长、宽、高分别为a米、b米、c米，它的体积是（ ）立方米。 A.a+b+c B.abc C.2(ab+bc+ac) D.3abc ◉◉2.选择题。 B (2)正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 A.3 B.6 C.9 D.27 ◉◉2.选择题。 D (3)计算一个长方体的体积，必须知道（ ）。 A.长和宽 B.长、宽、高 C.底面积和高 D.无法确定 ◉◉2.选择题。 B (1)长方体的体积可以用底面积乘以高来计算。（ ） (2)两个长方体底面积相等，高也相等，体积不一定相等。（ ） (3)正方体的体积公式是棱长×棱长×6。（ ） ◉◉3.判断题。 × √ × ◈运用长方体和正方体体积公式计算 知识点② ◉◉ 1. 填一填。 (1)用一根长36cm的铁丝做一个长4cm,宽3cm的长方体框架，并在表面糊上彩纸，这个长方体的体积是( )cm³。 (2)一个正方体的棱长是6cm,它的体积是( )cm³。 (3)一个长方体的体积是72m³,长是6m,高是3m,宽是( )m。 24 216 4 ◉◉ 2. 解决问题。 秦始皇陵兵马俑的一号俑坑是长方体形状，东西长230m,南北宽62m,深5m。一号俑坑占用的空间是多少立方米? 230×62×5=71300(m³) 答：一号俑坑占用的空间是71300m³。 ◈举一反三2 (1)一个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，高是3厘米，它的体积是________立方厘米。 (2)棱长为4分米的正方体，体积是_____立方分米。 (3)一个长方体的体积是240立方厘米，长是10厘米，宽是6厘米，高是________厘米。 ◉◉1.填空题 120 64 4 (1)计算一个长6米、宽4米、高2米的长方体体积，正确列式是（ ）。 A.6+4+2 B.6×4×2 C.6×4+2 D.2×(6×4+4×2+6×2) ◉◉2.选择题。 B (2)正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积会扩大到原来的（ ）倍。 A.3 B.6 C.9 D.27 ◉◉2.选择题。 D (3)两个长方体，甲的长、宽、高分别是5cm、3cm、4cm，乙的长、宽、高分别是6cm、2cm、5cm，它们的体积（ ）。 A.甲大 B.乙大 C.一样大 D.无法比较 ◉◉2.选择题。 C (1)体积单位比面积单位大。（ ） (2)正方体棱长扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的6倍。（ ） (3)体积相等的长方体和正方体，它们的表面积也一定相等。（ ） ◉◉3.判断题。 × × × ◈根据正方体表面积推算棱长求体积 知识点③ ◉◉同同用小刀从一个长方体的右边截去一个宽是2cm的长方体，剩下的部分正好是一个表面积为384cm²的正方体。原来长方体的体积是多少? 384÷6=64(cm²)；64=8×8, 原来长方体的宽和高都是8cm。 8+2=10(cm) 8×8×10=640(cm³) 答：原来长方体的体积是640cm³。 ◈举一反三3 (1)一个正方体的表面积是54平方厘米，它的体积是______立方厘米。 (2)正方体的表面积为96平方米，它的棱长是____米，体积是______立方米。 (3)若一个正方体的表面积是37.5平方分米，它的体积是______立方分米。 ◉◉1.填空题 27 4 64 15.625 (1)一个正方体的表面积是150平方厘米，它的体积是（ ）。 A.25cm³ B.125cm³ C.150cm³ D.75cm³ ◉◉2.选择题。 B (2)正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大 倍，体积扩大 倍。正确的答案是（ ） A.3，9 B.6，9 C.9，27 D.12，54 ◉◉2.选择题。 C (3)一个正方体的表面积是13.5平方厘米，它的体积是（ ）。 A.1.5cm³ B. 3.375cm³ C.2.25cm³ D. 5cm³ ◉◉2.选择题。 B (1)小明的生日礼物是一个正方体礼盒，包装纸的总面积是600平方厘米。这个礼盒的体积是多少立方厘米？ ◉◉3.解决实际问题 600÷6=100（平方厘米） 10×10=100（厘米） 体积：10×10×10=1000（立方厘米） 答：这个礼盒的体积是1000立方厘米。 (2)工人叔叔用木板制作一个正方体木箱，已知木箱的表面积是294平方分米。这个木箱最多能装多少立方分米的物品？ ◉◉3.解决实际问题 294÷6=49（平方分米） 7×7=49（分米） 体积：7×7×7=343（立方分米） 答：这个木箱最多能装343立方分米的物品。 (3)学校花园里有一个正方体花坛，表面积是73.5平方分米。花坛内填满泥土后，泥土的体积是多少？ ◉◉3.解决实际问题 73.5÷6=12.25（平方分米） 3.5×3.5=12.25（分米） 体积：3.5×3.5×3.5=42.875（立方分米） 答：泥土的体积是42.875立方分米。 ◈根据长方体三个面面积推算长、宽、高，并求体积 知识点④ ◉◉一个长方体，不同的三个面的面积分别是10cm²、15cm²、6cm²,如果长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方厘米? 10=2×5 15=3×5 6=2×3 5×3×2=30(cm³) 答：这个长方体的体积是30cm³。 ◈举一反三4 (1)一个长方体的前面面积是12平方厘米，右面面积是8平方厘米，上面面积是6平方厘米。这个长方体的长是______厘米，宽是______厘米，高是______厘米，体积是______立方厘米。 (2)一个长方体的三个相邻面的面积分别是10、15和6平方分米，它的体积是______立方分米。 ◉◉1.填空题 3 2 4 24 30 (3)一个长方体的前面面积是18平方厘米，侧面面积是12平方厘米，上面面积是24平方厘米。它的长、宽、高分别是______、______、______厘米，体积是______立方厘米。 ◉◉1.填空题 6 4 3 72 (1)已知一个长方体的三个面的面积分别是6、8、12平方厘米，它的体积是（ ）立方厘米。 A.26 B.24 C.48 D.576 ◉◉2.选择题。 B (2)一个长方体的前面面积是15平方分米，右面面积是10平方分米，上面面积是6平方分米，体积是（ ）立方分米。 A.30 B.31 C.60 D.900 ◉◉2.选择题。 A (3)已知长方体的三个面面积分别为3、4、12平方厘米，它的体积是（ ）立方厘米。 A.12 B.19 C.24 D.36 ◉◉2.选择题。 A (1)一个长方体的三个相邻面的面积分别是2、3、6平方厘米，它的体积是6立方厘米。（ ） (2)长方体的体积等于三个不同面面积之和。（ ） (3)已知一个长方体的三个面的面积分别是8、10、20平方分米，它的体积是40立方分米。（ ） ◉◉3.判断题。 × √ √ 如图，一个长方体沿高截去2cm后，表面积减少了48cm²,剩下部分成为一个正方体，求原来长方体的体积。 ◉◉◈能力提升 48÷4÷2=6(cm)；6×6×(6+2)=288(cm³) 答：原来长方体的体积是288cm³。 ◉◉体积和表面积不是同类量，两者之间不能比较大小。 $$ 五年级数学下册同步知识点讲练 第三单元第6讲：长方体和正方体的体积公式推导与应用 ◈新知解析 知识点① ◈ 长方体和正方体体积公式的推导 ◉◉填一填。 (1)在长方体纸盒内放棱长为1cm的小正方体， 沿着长、宽、高摆放的情况如图，这个纸盒内一 共可以放( )个小正方体。 (2)上图长方体的体积= × × =( )(cm³)。 (3)把下图所示的棱长为2cm的正方体锯成棱 长为1cm的小正方体，可以锯成( )个，正方体 的体积= × × =( )(cm³)。 ◈【答案】： ◉◉ (1)96 (2)8 4 3 96 【点拨】第(1)(2)小题，盒子内沿着长、宽、高分别放了8个、4个、3个小正方体，它们的积就是一共可以放小正方体的个数。每个小正方体的体积是1cm³,所以长方体的体积就是小正方体的总体积。 (3)8 2 2 2 8 ◈举一反三1 1.填空题 (1)长方体的体积计算公式是______。 (2)用棱长1分米的小正方体摆成长6分米、宽5分米、高4分米的长方体，需要______个小正方体。 (3)一个正方体的棱长是3厘米，它的体积是______立方厘米。 2.选择题 (1)长方体的长、宽、高分别为a米、b米、c米，它的体积是（ ）立方米。 A.a+b+c B.abc C.2(ab+bc+ac) D.3abc (2)正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 A.3 B.6 C.9 D.27 (3)计算一个长方体的体积，必须知道（ ）。 A.长和宽 B.长、宽、高 C.底面积和高 D.无法确定 3.判断题 (1)长方体的体积可以用底面积乘以高来计算。（ ） (2)两个长方体底面积相等，高也相等，体积不一定相等。（ ） (3)正方体的体积公式是棱长×棱长×6。（ ） 知识点② ◈ 运用长方体和正方体体积公式计算 ◉◉ 1. 填一填。 (1)用一根长36cm的铁丝做一个长4cm,宽3cm的长方体框架，并在表面糊上彩纸，这个长方体的体积是( )cm³。 (2)一个正方体的棱长是6cm,它的体积是( )cm³。 (3)一个长方体的体积是72m³,长是6m,高是3m,宽是( )m。 ◉◉ 2.秦始皇陵兵马俑的一号俑坑是长方体形状，东西长230m,南北宽62m,深5m。一号俑坑占用的空间是多少立方米? ◈【答案】： ◉◉ 1. (1)24 【点拨】铁丝的长度就是棱长总和，根据高=棱长总和÷4-长-宽，代入数据求出高后，再根据长方体的体积=长×宽×高，代入数据计算。 (2)216 (3)4 【点拨】逆用长方体的体积公式，宽=体积÷长÷高。 ◉◉ 2. 230×62×5=71300(m³) 答：一号俑坑占用的空间是71300m³。 【点拨】求一号俑坑占用的空间就是求长230m、宽62m、高5m的长方体的体积，代入长方体体积公式求解。 ◈举一反三2 1.填空题 (1)一个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，高是3厘米，它的体积是________立方厘米。 (2)棱长为4分米的正方体，体积是________立方分米。 (3)一个长方体的体积是240立方厘米，长是10厘米，宽是6厘米，高是________厘米。 2.选择题 (1)计算一个长6米、宽4米、高2米的长方体体积，正确列式是（ ）。 A.6+4+2 B.6×4×2 C.6×4+2 D.2×(6×4+4×2+6×2) (2)正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积会扩大到原来的（ ）倍。 A.3 B.6 C.9 D.27 (3)两个长方体，甲的长、宽、高分别是5cm、3cm、4cm，乙的长、宽、高分别是6cm、2cm、5cm，它们的体积（ ）。 A.甲大 B.乙大 C.一样大 D.无法比较 3.判断题 (1)体积单位比面积单位大。（ ） (2)正方体棱长扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的6倍。（ ） (3)体积相等的长方体和正方体，它们的表面积也一定相等。（ ） 知识点③ ◈ 根据正方体表面积推算棱长求体积 ◉◉ 同同用小刀从一个长方体的右边截去一个宽是2cm的长方体，剩下的部分正好是一个表面积为384cm²的正方体。原来长方体的体积是多少? ◈【答案】： ◉◉ 384÷6=64(cm²)；64=8×8, 原来长方体的宽和高都是8cm。 8+2=10(cm)；8×8×10=640(cm³) 答：原来长方体的体积是640cm³。 【点拨】根据剩下部分正好是一个表面积为384cm²的正方体，可以求出这个正方体一个面的面积，从而推出这个正方体的棱长。观察题图可知，正方体的棱长也就是原长方体的宽和高，原长方体的长=正方体棱长+截去的2cm。 ◈举一反三3 1.填空题 (1)一个正方体的表面积是54平方厘米，它的体积是______立方厘米。 (2)正方体的表面积为96平方米，它的棱长是______米，体积是______立方米。 (3)若一个正方体的表面积是37.5平方分米，它的体积是______立方分米。 2.选择题 (1)一个正方体的表面积是150平方厘米，它的体积是（ ）。 A.25cm³ B.125cm³ C.150cm³ D.75cm³ (2)正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大 倍，体积扩大 倍。正确的答案是（ ）。 A.3，9 B.6，9 C.9，27 D.12，54 (3)一个正方体的表面积是13.5平方厘米，它的体积是（ ）。 A.1.5cm³ B.3.375cm³ C.2.25cm³ D.5cm³ 3.解决实际问题 (1)小明的生日礼物是一个正方体礼盒，包装纸的总面积是600平方厘米。这个礼盒的体积是多少立方厘米？ (2)工人叔叔用木板制作一个正方体木箱，已知木箱的表面积是294平方分米。这个木箱最多能装多少立方分米的物品？ (3)学校花园里有一个正方体花坛，表面积是73.5平方分米。花坛内填满泥土后，泥土的体积是多少？ 知识点 ④ ◈ 根据长方体三个面面积推算长、宽、高，并求体积 ◉◉ 一个长方体，不同的三个面的面积分别是10cm²、15cm²、6cm²,如果长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方厘米? ◈【答案】： ◉◉ 10=2×5；15=3×5；6=2×3；5×3×2=30(cm³) 答：这个长方体的体积是30cm³。 【点拨】把10,15,6分别分解成两个质因数的乘积的形式，从而求出这个长方体的长、宽、高的值，再利用长方体的体积公式代人求解。 ◈举一反三4 1.填空题 (1)一个长方体的前面面积是12平方厘米，右面面积是8平方厘米，上面面积是6平方厘米。这个长方体的长是______厘米，宽是______厘米，高是______厘米，体积是______立方厘米。 (2)一个长方体的三个相邻面的面积分别是10、15和6平方分米，它的体积是______立方分米。 (3)一个长方体的前面面积是18平方厘米，侧面面积是12平方厘米，上面面积是24平方厘米。它的长、宽、高分别是______、______、______厘米，体积是______立方厘米。 2.选择题 (1)已知一个长方体的三个面的面积分别是6、8、12平方厘米，它的体积是（ ）立方厘米。 A.26 B.24 C.48 D.576 (2)一个长方体的前面面积是15平方分米，右面面积是10平方分米，上面面积是6平方分米，体积是（ ）立方分米。 A.30 B.31 C.60 D.900 (3)已知长方体的三个面面积分别为3、4、12平方厘米，它的体积是（ ）立方厘米。 A.12 B.19 C.24 D.36 3.判断题 (1)一个长方体的三个相邻面的面积分别是2、3、6平方厘米，它的体积是6立方厘米。（ ） (2)长方体的体积等于三个不同面面积之和。（ ） (3)已知一个长方体的三个面的面积分别是8、10、20平方分米，它的体积是40立方分米。（ ） ◈能力提升 ◉◉ 如图，一个长方体沿高截去2cm后，表面积减少了48cm²,剩下部分成为一个正方体，求原来长方体的体积。 ◈归纳总结 ◉◉体积和表面积不是同类量，两者之间不能比较大小。 参考答案 ◈举一反三1 1.填空题 (1)长×宽×高 (2)120 (3)27 2.选择题 (1)B (2)D (3)B 3.判断题 (1)√ (2)× (3)× ◈举一反三2 1.填空题 (1)120 (2)64 (3)4 2.选择题 (1)B (2)D (3)C 3.判断题 (1)× (2)× (3)× ◈举一反三3 1.填空题 (1)27 (2)4 64 (3)15.625 2.选择题 (1)B (2)C (3)B 3.解决实际问题 (1)1000立方厘米 (2)343立方分米 (3)42.875立方分米 ◈举一反三4 1.填空题 (1)3 2 4 24 (2)30 (3)6 4 3 72 2.选择题 (1)B (2)A (3)A 3.判断题 (1)√ (2)× (3)√ ◈能力提升 ◉◉ 48÷4÷2=6(cm)；6×6×(6+2)=288(cm³) 答：原来长方体的体积是288cm³。 【点拨】高截去2cm,表面积减少了48cm²,减少的是4个侧面的面积，减少的每个侧面的面积是48÷4=12(cm²),长是12÷2=6(cm),也就是原长方体的长和宽是6cm,原长方体的高=6+2=8(cm)。 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $$