专题15 解直角三角形模型之实际应用模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（广东专用）

专题15 解直角三角形模型之实际应用模型模型 目录 1 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 1 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 4 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 10 15 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2025·陕西·一模）如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为，已知乙的位置A到商场的距离，商场的高度，，，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，，，） 例2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    模型2.解直角三角形模型之叠合模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1．（2024·河南驻马店·三模）郑州东站(图1)是京广高速铁路和徐兰高速铁路的交汇站，也是以高速铁路为中心，集高速铁路、城际铁路、城市地铁、公路客运、城市公交、机场巴士、出租车等多种交通方式为一体的交通枢纽．某数学兴趣小组想要用无人机测量东站入口 的高度(垂直于水平地面)，测量方案如图2，先将无人机垂直上升至距水平地面高的点 P，在此处测得东站入口顶端A的俯角为 再将无人机沿水平方向向东站入口飞行到达点Q，此时测得东站入口底端B的俯角为 ，求东站入口 的高度．（直线l，点A，B，P，Q均在同一平面内．参考数据： ，，) 例2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，． (1)求小山的高度； (2)求避雷塔的高度．（结果精确到，，） 例3．（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 例4．（2024·福建泉州·模拟预测）某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为，点在圆锥底面、地面上的正投影分别为点，，点为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即米），圆锥底面离地面的高度为3米（即米）． (1)若米，求圆锥的侧面积； (2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量的高度，工人先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），利用测角仪分别测得点的仰角为，，其中，，再测得，两点间的距离为米（即米），已知测角仪的高为1米（即米），求亭盖的外部面积（用含的代数式表示）． 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（2024·山西大同·模拟预测）如图，某兴趣小组想利用所学过的测量知识来测量学校内旗杆和居民楼的高度，首先在旗杆与居民楼之间的A点放置测角仪，记为，测得点C和点E的仰角分别为和，然后向居民楼方向前进米到达点B处放置测角仪，记作，测得点C和点E的仰角分别为和，已知所有点都在同一竖直平面内，且点D、B、A、F在同一直线上，测角仪的高度为米，求旗杆的高度和居民楼的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 例2．（2024·贵州·模拟预测）黔东南“村超”足球赛自开赛以来，持续火爆，每场球赛吸引万名观众到场观看．如图，榕江县体育馆内一看台与地面所成夹角为，看台最低点到最高点的距离，，两点正前方有垂直于地面的旗杆，在，两点处用仪器测量旗杆顶端的仰角分别为和． (1)求的长； (2)求旗杆的高．（结果精确到，，，，） 例3．（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，） (1)的高度为__________，的长为__________； (2)求“美”字的高度． 一、单选题 1．（2024·吉林长春·三模）如图，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2024·吉林长春·三模）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（　）． A．米 B． 米 C．米 D． 米 3．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）如图，水库边有一段长300米，高8米的大坝，大坝的横截面为梯形，其中，背水坡坡角．现要对大坝进行维修，维修方案是：将大坝上底加宽2米，并使背水坡坡角为，则维修此大坝需要土石（  ）立方米． A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，两幢建筑物和，，，．和之间有一景观池，某同学在D点测得池中喷泉处E点的俯角为，在C点测得E点的俯角为，点A、E、B在同一直线上．求得两幢建筑物之间的距离约为（    ）（结果精确到，参考数据：，， A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·贵州遵义·模拟预测）小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了 米． 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼的顶部B的仰角为，底部C的俯角为，观测点与楼的水平距离为，则楼的高度约为 （结果取整数）．（参考数据：） 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，某高速公路建设中需要确定隧道的长度．已知在离地面高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为和．则隧道的长为 ．（参考数据：） 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角，若小华的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离的长是 米．（结果保留根号） 三、解答题 9．（2020·天津红桥·二模）如图，一艘小船以的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向，航行后到达B处，测得灯塔C在南偏东方向，求B处与灯塔C的距离（结果保留1位小数，参考数据：，，）． 10．（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 11．（2024九年级下·河南·学业考试）在学习完解直角三角形的应用后，某校初三数学学习兴趣小组的同学们开展了测量学校旗杆高度的活动． 他们在旗杆前升起无人机，当无人机在点C位置时，测得旗杆顶端A的仰角为 ，测得旗杆底端B的俯角为 ，测得与旗杆的水平距离．（参考数据： ， ，） (1)求点C到旗杆顶端A的距离；（结果保留根号） (2)求学校旗杆的高度．（精确到） 12．（2024·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）； (2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 13．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段． (1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 14．（2024·贵州黔东南·二模）某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 15．（2024·贵州黔东南·二模）榕江的增冲鼓楼是我国侗寨现存最老的鼓楼之一．如图①，是某校兴趣小组测量鼓楼高度的示意图，先将无人机垂直上升至点C处，测得鼓楼底端点 B的俯角为 无人机距鼓楼的水平距离． ．再将无人机沿水平线向正东方向飞行到达点D处，测得鼓楼顶端点 A的俯角为 已知点A，B ， C， D， E在同一平面内． (1)无人机在 C处的高度是 ； (2)求鼓楼的高度． (结果精确到；参考数据： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 解直角三角形模型之实际应用模型模型 目录 1 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 1 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 4 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 10 15 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2025·陕西·一模）如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为，已知乙的位置A到商场的距离，商场的高度，，，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，，，） 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 过点作，则四边形是矩形，根据，设，，分别表示相关边，，，代入三角函数值并求解x即可． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ， 设， 则，，． 在中， ，即， 解得， ， 此时无人机的高度为． 例2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    【答案】米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴四边形和四边形为矩形， ∴米，米，，， ∴（米）， 设，则米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1．（2024·河南驻马店·三模）郑州东站(图1)是京广高速铁路和徐兰高速铁路的交汇站，也是以高速铁路为中心，集高速铁路、城际铁路、城市地铁、公路客运、城市公交、机场巴士、出租车等多种交通方式为一体的交通枢纽．某数学兴趣小组想要用无人机测量东站入口 的高度(垂直于水平地面)，测量方案如图2，先将无人机垂直上升至距水平地面高的点 P，在此处测得东站入口顶端A的俯角为 再将无人机沿水平方向向东站入口飞行到达点Q，此时测得东站入口底端B的俯角为 ，求东站入口 的高度．（直线l，点A，B，P，Q均在同一平面内．参考数据： ，，) 【答案】东站入口的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．延长 交 的延长线于点 C，在中，可求得，所以，，在 中，根据，即可求得，由此即得答案． 【详解】延长 交 的延长线于点 C， 由题意，得，，， 在中，， ， ， ， ， 在 中， ， ， ． 答: 东站入口的高度约为． 例2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，． (1)求小山的高度； (2)求避雷塔的高度．（结果精确到，，） 【答案】(1)小山的高度为； (2)避雷塔的高度约为． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由小山的斜坡的坡度为，则可得出，故有，然后代入求解即可； （）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形，则，，在中求出，则有，然后证明是等腰直角三角形，则，在中，，最后由，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，， ∴， ∴， ∴中，， 则小山的高度为； （2）解：如图，过点作，垂足为点， ∴则， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 又∵在中，， ∴， 又∵在同一条垂直于地面的直线上，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵在中，， ∴， 则避雷塔的高度约为． 例3．（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】(1)山脚到河岸的距离为 (2)河宽的长度约 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得； （2）在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度． 【详解】（1）解：在中，， 的坡度， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：山脚到河岸的距离为； （2）解：在中，，，， ， ， ， 答：河宽的长度约． 例4．（2024·福建泉州·模拟预测）某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为，点在圆锥底面、地面上的正投影分别为点，，点为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即米），圆锥底面离地面的高度为3米（即米）． (1)若米，求圆锥的侧面积； (2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量的高度，工人先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），利用测角仪分别测得点的仰角为，，其中，，再测得，两点间的距离为米（即米），已知测角仪的高为1米（即米），求亭盖的外部面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)圆锥的侧面积为平方米 (2)亭盖的外部面积为平方米 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、求圆锥侧面积 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆锥的侧面积．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．用到的知识点为：圆锥的侧面积母线长底面半径． （1）利用勾股定理求得圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积母线长底面半径，可得圆锥的侧面积； （2）设长米，根据的值，可得的值，进而根据的值可得用表示的．计算出的值后利用勾股定理求得的长度，根据圆锥的侧面积公式求得圆锥的侧面积即可． 【详解】（1）解：由题意得：． 米，米， （米． 圆锥的侧面积（米． 答：圆锥的侧面积为平方米； （2）解：由题意得：． 设长米． ， 米． 米， 米． ， ． 解得：． 米，米， 米． 米，． （米． 圆锥的侧面积（米． 答：亭盖的外部面积为平方米． 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（2024·山西大同·模拟预测）如图，某兴趣小组想利用所学过的测量知识来测量学校内旗杆和居民楼的高度，首先在旗杆与居民楼之间的A点放置测角仪，记为，测得点C和点E的仰角分别为和，然后向居民楼方向前进米到达点B处放置测角仪，记作，测得点C和点E的仰角分别为和，已知所有点都在同一竖直平面内，且点D、B、A、F在同一直线上，测角仪的高度为米，求旗杆的高度和居民楼的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】旗杆高度为米，居民楼高度为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，连接并延长分别交于点H、G，证明，再证明，得到.在中，，得到.证明四边形是矩形，则，即可得到，在中，，设，，则，在中，.则.得到，解得，则，由四边形是矩形，得到，即可得到． 【详解】解：连接并延长分别交于点H、G， 则，， ∴四边形是矩形. ∴， 根据题意得到，. ∴. ∴， ∴. 在中，， ∴. ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 在中，，设，， ∴， 在中，. ∴. ∴ ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴. 答：旗杆高度为米，居民楼高度为米 例2．（2024·贵州·模拟预测）黔东南“村超”足球赛自开赛以来，持续火爆，每场球赛吸引万名观众到场观看．如图，榕江县体育馆内一看台与地面所成夹角为，看台最低点到最高点的距离，，两点正前方有垂直于地面的旗杆，在，两点处用仪器测量旗杆顶端的仰角分别为和． (1)求的长； (2)求旗杆的高．（结果精确到，，，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，在中，根据角的正切值的计算即可求解； （2）在中，，，根据正弦值的计算可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的长约为． （2）解：由题意得，在中，，， ， 旗杆的高约为． 例3．（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，） (1)的高度为__________，的长为__________； (2)求“美”字的高度． 【答案】(1)，2 (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）证明是等腰直角三角形，即可求得，解直角三角形即可求得； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进一步求得，然后解直角三角形即可求得，即可求得． 【详解】（1）解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， ， ； 故答案为：，2； （2）， ， ， ， 由题意可知， ， ， 在中， ， ， 即“美”字的高度约为． 一、单选题 1．（2024·吉林长春·三模）如图，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：由题意，在中，，由三角函数关系可知， （米）． 故选． 2．（2024·吉林长春·三模）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（　）． A．米 B． 米 C．米 D． 米 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了坡度，熟知坡度是坡面的垂直高度和水平距离的比成为解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据的坡度即为，然后根据勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：如图：由题意可知, ∵坡度， ∴, 设，则， ∵, ∴，解得：． ∴． 故选A． 3．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）如图，水库边有一段长300米，高8米的大坝，大坝的横截面为梯形，其中，背水坡坡角．现要对大坝进行维修，维修方案是：将大坝上底加宽2米，并使背水坡坡角为，则维修此大坝需要土石（  ）立方米． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，进而求出，根据梯形的面积公式求出梯形的面积，进而求出需要土石的立方数． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 米，米， 在中，，米， 则米， 在中，，米， ， （米）， 米， 维修此大坝需要土石：（立方米）， 故选：D． 4．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，两幢建筑物和，，，．和之间有一景观池，某同学在D点测得池中喷泉处E点的俯角为，在C点测得E点的俯角为，点A、E、B在同一直线上．求得两幢建筑物之间的距离约为（    ）（结果精确到，参考数据：，， A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题．在中，，解得，在中，，可得，由可得出答案． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， 解得， 在中，， ， ． 故选：A． 二、填空题 5．（2024·贵州遵义·模拟预测）小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了 米． 【答案】50 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出上升高度和水平前进距离.根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：设垂直距离为x米，则水平距离为米， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴她实际上升了50米， 故答案为：50 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼的顶部B的仰角为，底部C的俯角为，观测点与楼的水平距离为，则楼的高度约为 （结果取整数）．（参考数据：） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．在中，根据正切函数求得，在中，求得，再根据，代入数据计算即可． 【详解】在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故楼的高度大约为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，某高速公路建设中需要确定隧道的长度．已知在离地面高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为和．则隧道的长为 ．（参考数据：） 【答案】/米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，首先过点C作，交的延长线于点O，根据求出的长度，根据求出的长度，然后进行计算即可. 【详解】如图，过点C作，交的延长线于点O，则 ∵    ∴ ∴在中， 在中， ∴ 即隧道的长约为． 故答案为： 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角，若小华的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离的长是 米．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 把和都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点和点到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得长度即为长度. 【详解】过点作于点， 延长交于点， 得和矩形. 米， 米， 米， 米， 米， (米)， (米)， 在中， 米， 米， 又， 即 (米)， 故答案为： 三、解答题 9．（2020·天津红桥·二模）如图，一艘小船以的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向，航行后到达B处，测得灯塔C在南偏东方向，求B处与灯塔C的距离（结果保留1位小数，参考数据：，，）． 【答案】处距离灯塔的距离约为 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过作，垂足为，根据题意将和用表示出来，再结合得出方程，求得，在中，利用正弦求出． 【详解】解：如图，过作，垂足为， 根据题意，，，， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：处距离灯塔的距离约为． 10．（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)1米 (2)米 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活应用所学知识成为解题的关键． （1）如图：过点D作交于点H，设米，米，在中运用勾股定理列方程求解即可； （2）如图，过点作交于点，设米，再证四边形为矩形可得米、， 进而得到，最后根据正切函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作交于点H， 由题意知米， 斜面的坡度为， ， 设米，米， 在中，， ，解得：，舍， 米． 答：王刚同学从点到点的过程中上升的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点， 设米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， ， 在中，， ，解得：， 米． 答：大树的高度是米． 11．（2024九年级下·河南·学业考试）在学习完解直角三角形的应用后，某校初三数学学习兴趣小组的同学们开展了测量学校旗杆高度的活动． 他们在旗杆前升起无人机，当无人机在点C位置时，测得旗杆顶端A的仰角为 ，测得旗杆底端B的俯角为 ，测得与旗杆的水平距离．（参考数据： ， ，） (1)求点C到旗杆顶端A的距离；（结果保留根号） (2)求学校旗杆的高度．（精确到） 【答案】(1) (2)学校旗杆的高度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据等角对等边求边长、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等角对等边的性质以及勾股定理的应用，掌握解直角三角形的知识是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得出，根据等角对等边可得出，最后根据勾股定理即可求出． （2）由正切的定义即可得出， 最后即可得出的值． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴， ∴， ∴ ∴点C到旗杆顶端A的距离为． （2）根据题意可知：， ∴， 故学校旗杆的高度为． 12．（2024·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）； (2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 【答案】(1)的长约为600m (2)的长为1049m 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）通过解可求得的长； （2）延长交于G，证明四边形是矩形，可得，，再解可求解的长，进而可求解． 【详解】（1）在中，，，， ∴， 即的长约为600m； （2）延长交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即的长为1049m． 13．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段． (1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答； （2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点， 则，， 由题意可知，，， ， ， ， 答：测角仪与塔身的水平距离为； （2）解：由（1）可知，， 由题意可知，，，， ， ， ， 答：塔身的高度约为． 14．（2024·贵州黔东南·二模）某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．    (1)求点到水平地面的距离． (2)求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】(1)米； (2)米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】（1）延长交于，作于，直接利用坡度的定义和勾股定理，得出的长， （2）根据矩形的判定和性质得出的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：延长交于，作于，    在中，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴点到水平地面的距离米． （2）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：建筑物高约米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，坡度问题，勾股定理，矩形的判定和性质，正确得出的长是解题关键． 15．（2024·贵州黔东南·二模）榕江的增冲鼓楼是我国侗寨现存最老的鼓楼之一．如图①，是某校兴趣小组测量鼓楼高度的示意图，先将无人机垂直上升至点C处，测得鼓楼底端点 B的俯角为 无人机距鼓楼的水平距离． ．再将无人机沿水平线向正东方向飞行到达点D处，测得鼓楼顶端点 A的俯角为 已知点A，B ， C， D， E在同一平面内． (1)无人机在 C处的高度是 ； (2)求鼓楼的高度． (结果精确到；参考数据： 【答案】(1)61 (2)鼓楼的高度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角形得应用， 根据题意得和，则即可求得答案； 延长交的延长线于点H，则，在中，由，求得，结合（1）知：，即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得，， 则， 故答案为：61； （2）解：延长交的延长线于点H，如图， ∵， ∴， 在中，由， 即， ∴， 由（1）知：， ∴， 答：鼓楼的高度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$