第80天 搞定三角函数（9考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第80天-搞定三角函数（9考点） 第80天寄语： 用青春的速度和激情，跨越高考的障碍。 识·必备知识 1. 特殊角的三角函数值 2. 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 3. 三角函数的图象与性质 函 数 性 质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 4. 三角函数型函数的图象和性质 （1） 正弦型函数、余弦型函数性质 ， 振幅，决定函数的值域，值域为 决定函数的周期， 叫做相位，其中叫做初相 （2） 正切型函数性质 的周期公式为： 5. 三角函数的伸缩平移变换 （1） 伸缩变换（，是伸缩量） 振幅，决定函数的值域，值域为； 若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比 决定函数的周期， 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2） 平移变换（，是平移量） 平移法则：左右，上下 明·直击考点 序号 考点 考点01 扇形的弧度、弧长及面积的计算 考点02 三角函数线的应用 考点03 弦切互化 考点04 三角函数的图象与性质 考点05 图象交点个数问题 考点06 三角函数的伸缩平移变换 考点07 三角函数的综合的图象问题 考点08 求参数的值或取值范围 考点09 三角函数的应用 考点01 扇形的弧度、弧长及面积的计算 通·模考通透 1．（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，根据，得到，. 【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则， 所以，得，又，所以.    故选：A 2．（2024·陕西安康·模拟预测）《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积（弦矢+矢）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，且，半径等于的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据半角公式求出，再分别求出弦长和矢长，再根据弧田的面积公式即可得解. 【详解】由，可得， 故弦长为，矢长为， 所以所求弧田面积为. 故选：A. 3．（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出劣弧的长，再利用扇形面积公式计算即得． 【详解】由圆与圆外切，得， 又圆，圆与轴分别相切于原点和点，则， 所以劣弧长等于， 所以劣弧对应的扇形面积为. 故选：B 考点02 三角函数线的应用 通·模考通透 4．（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可证，，得结论. 【详解】先证明：当时，.    如图，角终边为OP，其中点P为角的终边与单位圆的交点，轴，交x轴于点M， A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点T， 则有向线段MP为角的正弦线，有向线段AT为角的正切线， 设弧长， 由图形可知：，即， 所以，即. 则，所以． 而，所以， 所以. 故选：D． 5．（2024·安徽马鞍山·三模）已知角，则数据的中位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合诱导公式对已知式子进行化简，然后结合三角函数的性质判断各式的大小，结合中位数的概念即可判断． 【详解】因为角， 所以，，， ，， 所以，， 按照从小到大的顺序排列时，前个数为，，， 则中位数为（或）． 其中当时的证明过程如下： 构造单位圆，如图所示：    则，设，则， 过点作直线垂直于轴，交所在直线于点， 由，得，所以， 由图可知， 即， 即. 故选：A． 6．（2023·浙江宁波·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，，得到，再构造函数，比较出，得到结论. 【详解】， ，， 下证时，， 设，射线与单位圆相交于点，过点作⊥轴于点D， 单位圆与轴正半轴交于点，过点作⊥轴，交射线于点，连接， 则， 设扇形的面积为，因为， 所以，即， 故，所以，， 所以， 因为，令，， 则，其中， 令，则，， 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，又， 故在上恒成立， 所以在上单调递增，又， 故在上恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以，即， 则 因为， 令，， 则，令， 则，令， 则，令， 则在上恒成立， 所以在单调递减， 又，故在上恒成立， 所以在上单调递减， 又，故在上恒成立， 所以在上单调递减， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 又，故，即， 故， 其中， 则，D正确. 故选：D 【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下： ，， ， ， ， 考点03 弦切互化 通·模考通透 7．（2024·福建福州·模拟预测）若，则（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用切化弦的思想求解即可. 【详解】因为，所以 . 故选：C. 8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 9．（2024·山东威海·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式和余弦二倍角公式得到，化弦为切，代入求值即可. 【详解】， 故 . 故选：A 考点04 三角函数的图象与性质 通·模考通透 10．（2025·贵州黔东南·模拟预测）若函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的单调递减区间为 D．的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是 【答案】C 【分析】根据三角恒等变换化简函数，再根据正弦型函数的周期性、对称性、单调性逐项判断即可得结论. 【详解】因为，则的最小正周期，故A错误； 因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误； 令，解得， 则的单调递减区间为，故C正确； 令，得， 设，，则或， 解得或，所以，故D错误. 故选：C. 11．（2025·山东潍坊·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用给定最小正周期及单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到， 故其最小正周期为，当时，在上单调递增，A是； 对于B，由A的分析同理可知的最小正周期为， 当时，在上单调递减，B不是； 对于C，的最小正周期为，在上单调递减，C不是； 对于D，的最小正周期为，D不是. 故选：A 12．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 【答案】C 【分析】对A，利用偶函数定义判断；对B，利用函数对称性的定义判断；对C，根据周期函数的定义判断；对D，令，则 ，利用基本不等式求出最小值. 【详解】对于A，的定义域为 R ， 因为 ， 所以是 R 上的偶函数，所以函数的图象关于 y 轴对称，故A正确； 对于B，对于任意的， ， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为 ， 所以 为函数的一个周期，故不是函数的最小正周期，故C错误； 对于D，因为，设 ， 则 ，因为 ，当且仅当 ，即时等号成立， 所以函数 的最小值为2，故 D 正确. 故选：C. 13．（2025·广东·一模）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求函数的周期，举例说明函数的单调性不满足要求，排除A，证明为函数的周期，再判断函数在上的单调性，判断B，举例说明函数的单调性不满足要求，排除C，结合函数定义域，排除D. 【详解】对于A，，但，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于B，， 所以函数的周期为， 当时，，因为， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，同理可得函数在上单调递减， ，所以函数的最小正周期为，B正确； 对于C，因为，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于D，函数的定义域为，， 所以结论函数在单调递增错误，不符合题意； 故选：B. 以下多选 14．（2025·山西临汾·一模）如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（   ） A．函数的周期是 B．点是函数图象的一个对称中心 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 【答案】AB 【分析】根据函数图象求出、，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由图可得，所以，则，解得， 即函数的最小正周期是，故A正确； 又，所以，所以， 因为，所以， 所以， 又，所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确； 因为， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误； 将函数的图象向右平移个单位得到， 显然为非奇非偶函数，故D错误. 故选：AB 15．（2025·陕西榆林·二模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上有最小值 D．函数在内有3个零点 【答案】ABD 【分析】由图可知函数的最值与周期性，再代入最高点，可得A的正误；利用整体思想，代入已知点的坐标，结合正弦函数的对称性，可得B的正误；利用整体思想，明确括号整体取值，结合正弦函数的单调性，可得C的正误；利用整体思想，明确括号整体取值，结合正弦函数的图象，可得D的正误. 【详解】由图知，，所以， 过点，即， 所以，， 因为，所以，，A正确. 因为，所以函数的图象关于点中心对称，B正确. 由得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，，C错误. 由得，的图象在上有3个零点， 所以函数在内有3个零点，D正确. 16．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为T，则（    ）    A． B． C．的一个单调递增区间为 D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】根据图象过点求出的值可判断A；求出周期可判断B；求出函数的单调增区间可判断C；求出的解析式，结合诱导公式和奇偶性的概念可判断D. 【详解】由题图可得，所以， 因为，所以当时，，所以，故A正确； ，故B正确； 由，得， 取，可得函数的一个单调递增区间为，故C错误； 因为，，且定义域关于原点对称， 所以为奇函数，故D正确． 故选：ABD 17．（2025·湖南岳阳·一模）如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象 D．当时， 【答案】AD 【分析】对A，根据过判断即可；对B，由相邻可得，，再根据求解；对C，由的函数解析式与平移变化分析即可；对D，根据正弦函数的值域判断即可. 【详解】对A，由过可得，即，由图结合可得，故A正确； 对B，由可得，即或， 由相邻可得，， 故，又，则，可得，故B错误； 对C，由AB可得，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，故C错误； 对D，当时，，故， 则，故D正确. 故选：AD 18．（2025·江苏南通·一模）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出即得解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断. 【详解】， 由关于原点对称，得，， 而，则，， 对于A，的最小正周期，A正确； 对于BC，由，得，直线是的图象一条对称轴，B正确，C错误； 对于D，由，得，而在上有极大值点又有极小值点， 则，解得，D正确 故选：ABD 19．（2025·吉林长春·二模）函数的最小正周期为，则（   ） A．的值为2 B．是函数图象的一条对称轴 C．函数在单调递减 D．当时，方程存在两个根，则 【答案】AD 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，根据最小正周期为可得选项A 正确；根据可得选项B错误；令，分析函数的单调性可得选项C错误；把问题转化为直线与函数图象交点个数问题可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，， 由得，，A正确； B.由A得，，故， ∴不是函数图象的一条对称轴，B错误； C.令，当时，， 根据函数在上不是单调递减函数，可得C错误. D.令，由得，， 由得，，问题转化为直线与函数的图象在区间上有两个交点， 结合图象可得，故，即，D正确. 故选：AD. 考点05 图象交点个数问题 通·模考通透 20．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】作出两函数在上的图象，结合图象即可得答案. 【详解】时，， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 时，， 函数的周期， 结合周期，利用五点法作出图象，    由图知，共有4个交点. 故选：. 21．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）当时，曲线与的公共点个数为（    ） A．9 B．7 C．5 D．11 【答案】A 【分析】在同一个直角坐标系中作图，观察即得函数的交点个数. 【详解】在同一个直角坐标系中结合五点法画出两函数在上的图象，如图所示． 由图可知，两函数的图象有9个公共点． 故选：A. 22．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数与函数的图象交点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】在同一坐标系内作出函数的图象即可得解. 【详解】函数定义域为，最小正周期为，，当时，， 函数在定义域上是增函数，当时，，当时，， 因此函数与函数的图象交点横坐标只能在区间上， 在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图： 观察图象知，函数与函数的图象交点个数为5. 故选：B 考点06 三角函数的伸缩平移变换 通·模考通透 23．（2024·辽宁本溪·一模）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的伸缩平移变换可得函数的解析式，进而可得函数值. 【详解】将函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 得， 再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数， 所以， 故选：A. 24．（2025·四川德阳·二模）已知函数，现将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数伸缩变换得到，即可求解； 【详解】将函数的图象横坐标变为原来的， 可得：， 所以， 故选：B 25．（2025·广东汕头·一模）要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【分析】根据函数平移性质判定即可. 【详解】向右平移个单位， 将函数的图像得到函数的图象 故选：C. 26．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（    ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】由题意可知得，将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，即，得，即可求出，将代入即可得解. 【详解】设的最小正周期为，依题意得， 则，所以， 因为将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称， 则，可得， 则，当时，，故， 将代入可得. 故选：D. 27．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数，将的图象向右平移个单位后，关于轴对称，此时与轴最接近的一个极大值坐标为，下列说法错误的是（    ） A．的一条对称轴为 B．在有个根 C．与直线有个交点 D．关于中心对称 【答案】A 【分析】根据条件得到，利用的图象与性质，直接求出的对称轴和对称中心，即可判断选项A和D的正误；对于选项B，直接求出在内的根，即可求解；对于C，在同一坐标系中作出与的图象，数形结合，即可求解. 【详解】因为，将的图象向右平移个单位后，得到， 由题知关于轴对称，得到，且与轴最接近的一个极大值坐标为， 所以，又，得到，， 所以， 对于选项A，由，得到，即的对称轴为， 由，得到，所以选项A错误， 对于选项B，由，得到，或， 得到，或，令，得到或，所以选项B正确， 对于选项C，在同一坐标系中作出与的图象， 又，，，，， 注意到当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，， 结合图象可知与直线有个交点，所以选项C正确， 对于选项D，因为，得到， 令，得到，所以是的一个对称中心，故选项D正确， 故选：A. 考点07 三角函数的综合的图象问题 通·模考通透 28．（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（   ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性和取自变量接近于0的函数值来判断正负即可得到选项. 【详解】由奇偶性判断可知： 是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数， 而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误； 再当时，可知，故A错误； 所以C正确， 故选：C. 29．（2025·安徽合肥·一模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的奇偶性和单调性,利用排除法求解. 【详解】解：由 ，解得 ， 所以函数 的定义域为 ， 因为，所以函数为奇函数，排除C项； 设，显然该函数单调递增，故当时，， 则当时，，故， 当时，，故， 当时，，故故排除D项； 当时，，故故排除B项， 故选：A. 30．（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，B，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C； 又由当时，排除A，B; 故选：D． 31．（2024·四川内江·一模）函数的部分图象如图所示，若、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出的值，代值计算可得出的值. 【详解】由图可知，函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，且函数在附近单调递减， 所以，，解得， 又因为，所以，，则， 因为，可得， 所以，， 因为、，则，， 因为，则，所以，， 故. 故选：C. 32．（2024·广东韶关·一模）已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，与轴交于点，得点坐标，点也在函数的图象上，由直线方程（斜率）求得点坐标，可得周期，从而求得，再利用点坐标求得，从而得解析式． 【详解】连接，与轴交于点， 由图象的对称性，知点也在函数的图象上，所以点的坐标为. 设，由，得， 所以的最小正周期满足， 解得，即，解得， ，.因为点是图象的一个最高点， 所以，结合， 解得， 故选：C. 33．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】先根据函数图象确定的值，再利用、两点坐标及距离公式求出点纵坐标，进而确定，然后求出得到函数表达式，最后根据计算. 【详解】由正弦函数的图象可知，， 则. 已知，设，根据两点间距离公式，因为， 所以，即， 解得（由图象可知点纵坐标为负）. 因为在的图象上，所以， 即， 又因为，所以，则. 因为在的图象上，所以， 即，，，，. 由图象可知，（为函数周期），，又，所以，， 当时，满足条件，所以. 因为的最大值为，最小值为， 已知，所以，一个为，一个为. 不妨设，，则，，解得；，，解得. 所以. 将代入得： . 故选：C. 考点08 求参数的值或取值范围 通·模考通透 33．（2024·贵州铜仁·模拟预测）将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得. 【详解】函数的图象向右平移， 得到， 由于偶函数，所以， 由于，所以取，得. 故选：D 34．（2025·陕西·一模）已知函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数周期及，可得，然后分别验证 和可得答案. 【详解】由已知得的最小正周期：，因为，， 而，所以的图象关于坐标原点对称，所以， 所以．不妨令， 若，则，符合题意， 若，则，不符合题意， 故． 故选：C 35．（2025·福建厦门·一模）已知函数的图象经过，两点，若在区间上单调递减，则 ； ． 【答案】 / / 【分析】由条件可得，结合列方程，结合的范围解不等式可得结论. 【详解】依题意，， 所以， 即， 解得，所以， 因为，所以， 故答案为：，. 36．（2024·河南新乡·一模）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的变换求出函数，再求出相位所在区间，结合零点情况列出不等式求解即得. 【详解】依题意，，当时，， 由在区间上恰有5个零点，得，解得. 故选：B 37．（2024·广东·二模）已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调， 所以列出不等式，计算出，判断即可. 【详解】由题意知，，则， 因为，所以，又因为在区间上单调， 所以，解得，则的最大值为. 故选：B. 38．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦函数的单调性结合为正弦函数递增区间的子区间求解即可； 【详解】由正弦函数的单调递增区间为，， 所以， 因为在区间单调递增， 所以，解得，， 因为，所以， 故选：A 39．（2025·辽宁·模拟预测）若函数在区间内恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题设且函数在区间内恰有两个零点，列不等式求参数范围即可. 【详解】由余弦函数的图象，知， 所以，解得． 因为，所以， 所以原问题等价于函数在区间内恰有两个零点， 注意到，所以，解得， 故答案为： 40．（2024·西藏拉萨·一模）若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可判断当时函数的极值点情况，再结合函数图像列不等式即可. 【详解】由题得， 即是偶函数， 又在上有个极值点， 易知是极值点，则在上有个极值点， 当时，，， 设，则， 则，，在上的前个极值点依次为，，，，， 所以， 故选：A. 41．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值. 【详解】由，为图象的对称轴，得，则， 由在上单调，得，解得， 当时，，由，得，此时， 当时，，当时取得最大值1， 即在上不单调，不满足题意； 当时，，由，得，此时， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 所以的最大值为9. 故选：B 42．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，，若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出解析式并化简，由范围求得的范围，由条件建立不等式，解得实数的取值范围. 【详解】根据题意可得： ， 由于，可得： 由于函数恰好有5个最大值，4个最小值， 则，解得 故选：B. 43．（2024·湖南邵阳·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案. 【详解】由题意可得：， 因为在区间上单调递增， 因为，， 所以，解得：， 又在区间上有且仅有1个零点， 所以，， 结合，所以， 所以这个零点可能为或或， 当时，，， 解得：， 当时，，， 解得：， 当时，无解， 综上：的取值范围为. 故选：A. 44．（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】C 【分析】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在，单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值． 【详解】函数，，为的零点，为图象的对称轴， ，，且，， 相减可得，，即，即为奇数． 在单调， ①若在单调递增， 则，且，， 即①，且，②， 把①②可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，，，，， 此时在上单调递减，不满足题意； 故此时无解． ②若在单调递减， 则，且，， 即③，且，④， 把③④可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，由①在上单调递减，满足题意； 故的最大值为9． 故选：C. 考点09 三角函数的应用 通·模考通透 45．（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了个周期，由计算出图中（小于平角的那个），然后由勾股定理计算． 【详解】由已知，， 经过45秒后，即旋转了个周期，因此，如图， 所以， 故选：A．    46．（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（    ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 【答案】D 【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案. 【详解】假设所在直线垂直于水面，且米，如下示意图， 由已知可得， 所以，处在劣弧时高度不低于米， 转动的角速度为/每秒， 所以水筒P距离水面的高度不低于的时间为秒， 故选：D. 47．（2024·河南·模拟预测）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，其中，振幅为2，则前3秒该质点走过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，分别令、和，求得相应的函数值，进而求得前3秒该质点走过的路程，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得，周期为， 可得，所以， 因为在函数图象上，可得，即， 又因为，所以， 因为时，，所以，所以， 令，则， 故函数图像在轴右侧第一条对称轴和第二条对称轴分别为, 令，则；令，则； 令，则， 所以质点在的路程分别， 所以前3秒该质点走过的路程为. 故选：D 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·广东惠州·三模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正切型函数性质求最小正周期即可. 【详解】由正切型函数的性质知，最小正周期为. 故选：B 2．（2025·湖北·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用余弦函数的性质计算即可. 【详解】由不等式，化简得， 由余弦函数的性质得. 故选：C. 3．（2025·陕西汉中·二模）若是第二象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知根据二倍角公式和同角三角函数的基本关系可得，由是第二象限角，可得，即可求解. 【详解】由得， 因为，所以， 因为是第二象限角，所以， 所以， 所以. 故选：A. 4．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成一个整体，找出其范围，再根据正弦函数的图像和性质列出不等式求解. 【详解】， 令，得. ，. 令，由的图象得： ，化简得. 故选：D.    5．（2025·山东·模拟预测）已知函数在区间内无零点，其图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据条件，确定函数的解析式，再求的值. 【详解】当时，． 由在区间内无零点，得，解得． 由的图象关于直线对称，得，解得，， 所以当时，，满足，从而， 所以. 故选：C 二、多选题 6．（2025·海南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．的最小正周期为 D．在区间上单调递增 【答案】AC 【分析】先根据图象求出函数解析式，结合选项逐个验证性质即可. 【详解】对于A，由图可知的最大值为4，又因为，所以，故A正确； 对于B，因为的图象过点，所以，即， 所以，故B错误； 对于C，因为，由“五点法”，可令和分别对应和， 所以解得1，所以的最小正周期为，故C正确； 对于D，结合，可得， 当时，，此区间包含了（函数的一个极值点）， 所以不可能在区间上单调递增，故D错误. 故选：AC 7．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用平移变换和诱导公式即可推理判断；对于BC，将看成整体角，借助于余弦函数的图象性质即可判断；对于D，先求出时，的范围，结合余弦函数的图象单调性即可计算判断. 【详解】对于A，将的图象向左平移个单位长度，得 的图象，故A正确； 对于B，因，所以B不正确： 对于C，由，可得， 因在上单调递增，故在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，则， 因在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，故D正确. 故选：ACD． 8．（2025·广东·一模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据可得选项C错误；根据二倍角公式结合可得选项D正确. 【详解】由题意得，. A.∵函数的定义域为，， ∴是奇函数，选项A正确. B.∵， ∴不是函数的周期，选项B错误. C.∵， ∴在上不是单调递增函数，选项C错误. D. ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为，选项D正确. 故选：AD. 三、填空题 9．（2025·浙江温州·模拟预测）若角的终边逆时针旋转后经过点，则 ． 【答案】/0.6 【分析】根据三角函数的定义可得，即可根据诱导公式求解. 【详解】由题意可知， 故， 故答案为： 10．（2025·湖南永州·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【分析】先由题意结合诱导公式得，再由倍角公式和常数“1”的代换结合分式齐次式弦化切即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第80天-搞定三角函数（9考点） 第80天寄语： 用青春的速度和激情，跨越高考的障碍。 识·必备知识 1. 特殊角的三角函数值 2. 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 3. 三角函数的图象与性质 函 数 性 质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 4. 三角函数型函数的图象和性质 （1） 正弦型函数、余弦型函数性质 ， 振幅，决定函数的值域，值域为 决定函数的周期， 叫做相位，其中叫做初相 （2） 正切型函数性质 的周期公式为： 5. 三角函数的伸缩平移变换 （1） 伸缩变换（，是伸缩量） 振幅，决定函数的值域，值域为； 若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比 决定函数的周期， 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2） 平移变换（，是平移量） 平移法则：左右，上下 明·直击考点 序号 考点 考点01 扇形的弧度、弧长及面积的计算 考点02 三角函数线的应用 考点03 弦切互化 考点04 三角函数的图象与性质 考点05 图象交点个数问题 考点06 三角函数的伸缩平移变换 考点07 三角函数的综合的图象问题 考点08 求参数的值或取值范围 考点09 三角函数的应用 考点01 扇形的弧度、弧长及面积的计算 通·模考通透 1．（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 2．（2024·陕西安康·模拟预测）《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积（弦矢+矢）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，且，半径等于的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（    ）    A．2 B．1 C． D． 考点02 三角函数线的应用 通·模考通透 4．（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽马鞍山·三模）已知角，则数据的中位数为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江宁波·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 考点03 弦切互化 通·模考通透 7．（2024·福建福州·模拟预测）若，则（    ） A．3 B． C． D．6 8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山东威海·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点04 三角函数的图象与性质 通·模考通透 10．（2025·贵州黔东南·模拟预测）若函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的单调递减区间为 D．的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是 11．（2025·山东潍坊·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 13．（2025·广东·一模）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 以下多选 14．（2025·山西临汾·一模）如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（   ） A．函数的周期是 B．点是函数图象的一个对称中心 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 15．（2025·陕西榆林·二模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上有最小值 D．函数在内有3个零点 16．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为T，则（    ）    A． B． C．的一个单调递增区间为 D．为奇函数 17．（2025·湖南岳阳·一模）如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象 D．当时， 18．（2025·江苏南通·一模）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 19．（2025·吉林长春·二模）函数的最小正周期为，则（   ） A．的值为2 B．是函数图象的一条对称轴 C．函数在单调递减 D．当时，方程存在两个根，则 考点05 图象交点个数问题 通·模考通透 20．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 21．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）当时，曲线与的公共点个数为（    ） A．9 B．7 C．5 D．11 22．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）函数与函数的图象交点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 考点06 三角函数的伸缩平移变换 通·模考通透 23．（2024·辽宁本溪·一模）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 24．（2025·四川德阳·二模）已知函数，现将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数，则值为（   ） A． B． C． D． 25．（2025·广东汕头·一模）要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 26．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（    ） A． B．3 C．4 D．2 27．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数，将的图象向右平移个单位后，关于轴对称，此时与轴最接近的一个极大值坐标为，下列说法错误的是（    ） A．的一条对称轴为 B．在有个根 C．与直线有个交点 D．关于中心对称 考点07 三角函数的综合的图象问题 通·模考通透 28．（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（   ） A． B． B． C． D． 29．（2025·安徽合肥·一模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·四川内江·一模）函数的部分图象如图所示，若、，且，则（   ） A． B． C． D． 32．（2024·广东韶关·一模）已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 33．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（   ） A． B．0 C． D．2 考点08 求参数的值或取值范围 通·模考通透 33．（2024·贵州铜仁·模拟预测）将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为（ ） A． B． C． D． 34．（2025·陕西·一模）已知函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 35．（2025·福建厦门·一模）已知函数的图象经过，两点，若在区间上单调递减，则 ； ． 36．（2024·河南新乡·一模）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（2024·广东·二模）已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 38．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 39．（2025·辽宁·模拟预测）若函数在区间内恰有两个零点，则的取值范围为 ． 40．（2024·西藏拉萨·一模）若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 42．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，，若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（2024·湖南邵阳·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 考点09 三角函数的应用 通·模考通透 45．（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 46．（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（    ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 47．（2024·河南·模拟预测）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，其中，振幅为2，则前3秒该质点走过的路程为（    ） A． B． C． D． 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·广东惠州·三模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西汉中·二模）若是第二象限角，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·模拟预测）已知函数在区间内无零点，其图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025·海南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．的最小正周期为 D．在区间上单调递增 7．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D． 8．（2025·广东·一模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的最小值为 三、填空题 9．（2025·浙江温州·模拟预测）若角的终边逆时针旋转后经过点，则 ． 10．（2025·湖南永州·模拟预测）已知，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$