第74天 （解答题）搞定解三角形综合计算（6考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第74天- （解答题）搞定解三角形综合计算 （6考点） 第74天寄语： 十七八岁的青春，高考是绕不开的热血征程。 识·必备知识 1. 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 ① ② ③ ④ （3） 应用：边角互化 ① ② ③ 或（舍） 2. 三角形中三个内角的关系 ，， 3. 余弦定理 （1） 边的余弦定理 ，， （2） 角的余弦定理 ，， 4. 三角形的面积公式 5. 角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 6. 张角定理 7. 倍角定理 在中,三个内角的对边分别为, (1)如果,则有: (2)如果,则有: (3)如果,则有: 倍角定理的逆运用 在中,三个内角A、B、C的对边分别为, (1)如果,则有:。 (2)如果,则有:。 (3)如果,则有:。 8. 中线长定理 为的中线,则中线定理: 证明: 在和中,用余弦定理有: 明·直击考点 序号 考点 考点01 边长、周长的值及最值 考点02 面积及最值 考点03 线段（含半径）及最值 考点04 三角函数值及取值范围 考点05 中线、角平分线、高线 考点06 三角形中的证明问题 考点01 边长、周长的值及最值 通·模考通透 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC的周长的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边及余弦定理即可求解； （2）由数量积可求出，结合（1）可求出，进而可知△ABC的周长. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以， 因为，所以 （2）因为，所以，即，所以， 由（1）知，所以 又，所以，解得， 所以△ABC的周长为， 所以△ABC的周长为. 2．（2025·广东佛山·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求A； (2)若BC边上的中线，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理的边角变换即可得解； （2）利用三角形的面积公式，结合向量数量积的运算律依次求得，再利用完全平方公式与（1）中结论分别求得，从而得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 又因为，所. （2）在中，因为， 所以，又因为BC边上的中线， 所以，则， 即，即， 所以，即， 所以， 由（1）知，则， 所以的周长为. 3．（2025·新疆·模拟预测）在中，角所对的边分别为，其面积. (1)求的值； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式，结合正弦定理即可求解， （2）根据正弦定理边化角可求解，进而利用同角关系求解的正余弦，即可根据余弦的和差角公式求解，进而利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由已知得， 由正弦定理可得：， . （2）由可得，由（1）可得，解得， ， ， ， ， 由余弦定理得：. 4．（2025·贵州毕节·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求角A； (2)若的面积为，求a的最小值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据两个向量垂直的条件，算出，结合正弦定理推导出，进而求出，可得角的大小； （2）根据，利用三角形的面积公式推导出，然后根据余弦定理与基本不等式算出的最小值，进而可得本题的答案． 【详解】（1），， 又结合正弦定理可得：， ，，， ，． （2）由（1）可知，， ，， 由（当且仅当时取等）， ，即a的最小值为2. 5．（2025·陕西·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若D为AC的中点，且，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边角转化，再结合三角恒等变换运算求解； （2）利用向量整理可得，利用余弦定理可得，结合题意运算求解即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 又因为， 化简得， 因为，则，可得， 且，所以． （2）因为D为AC的中点，则， 可得， 所以． 由余弦定理可得， 因为，则， 整理得，即，解得或． 6．（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积. （2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值. 【详解】（1）由， 得. 由正弦定理得. 所以， 因为，所以. 在中，，由余弦定理， 得，解得. 所以. 即的面积S为. （2）因为为角C平分线，，所以. 在中，， 所以， 由，得，所以. 因为，所以由基本不等式，得， 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角的三角函数关系可得； （2）由正弦定理边化角结合两角和的正弦表示出，再结合正弦和正切的单调性求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. （2）由正弦定理可得，， 所以， 因为在均为单调递增， 所以在为单调递减， 所以当时，最大值为；所以当时，最小值为； 所以的取值范围为. 8．（2025·河北保定·模拟预测）记的内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求周长的最大值. 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可求解， （2）利用正弦定理即可求解， （3）由余弦定理，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，所以， 又，所以， 因为，所以. （2）若，则， 故. （3）因为，由余弦定理得， 化简得，即， 当且仅当时等号成立， 故周长的最大值为3. 9．（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简以及两角和与差的正弦即可求得结果. （2）利用正弦定理求出，因为三角形为锐角三角形求出，再用余弦定理进一步求出，即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理，，所以． 又，所以， 所以，所以， 因，所以，即. （2）因为，所以， 因为，所以． 因为，所以， ∵为锐角三角形，∴，∴，∴ 因为，由余弦定理，两式联立得， 又因为，代入上式，得到，则，且， 所以，即． 所以周长的取值范围为． 考点02 面积及最值 通·模考通透 10．（2025·广东·一模）在中，角所对的边分别为． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件及余弦定理的推论可得，再由条件可求出； （2）解法1：利用两角和的正弦公式分别求出角的正弦值，再利用正弦定理可求出，再利用三角形面积公式求解即可；解法2：注意到，进而可得，由正弦定理并化简可得，进而求，再利用三角形面积公式求解即可；解法3：过点作交于，利用直角三角形即可求边长，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理推论及得， 由于，则， 又因为，且， 所以，则． （2）解法1：由（1）可知， 且， ， 由正弦定理：， 得， 所以． 解法2： 由（1）， 所以， 由正弦定理：， 得， ． 解法3 : 如图，过点作交于， 由于，则， 所以，， 所以． 11．（2025·四川·模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合，即可求得的值； （2）结合已知与余弦定理可得，进而可求，利用三角形的面积公式可求的面积. 【详解】（1）因为，所以， 所以，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以； （2）因为，且，所以由余弦定理， 可得，所以，， 所以的面积为． 12．（2025·贵州六盘水·一模）在中，内角的对边分别为，若． (1)求角的大小； (2)若，点是边上的一点，平分，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理角化边可求得，由此可得； （2）利用正弦定理可求得，进而求得，利用三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由余弦定理得：， 整理可得：， ，又， . （2） 由正弦定理得：， ， 平分， ，又， ， ，， . 13．（2025·湖南岳阳·一模）已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合，辅助角公式得到，从而求出； （2）根据和余弦定理得，结合，得到，根据求出，由三角形面积公式求出答案. 【详解】（1），利用正弦定理可得 ， 又， 故， 即， 因为，所以，故， 由辅助角公式得， 又，故， 即，所以； （2），故， 由余弦定理得， 由为中点，化简得， ，故， 又，所以， 又，故， 将代入上式得，即， 解得，负值舍去， 则的面积为 14．（2025·江西南昌·一模）在中，角的对边成公差为2的等差数列． (1)若为锐角三角形，求a的取值范围； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列得到的关系，确定最大角为角，且，利用可得结果； （2）根据正弦定理得到，求出的值，利用余弦定理求出的值，进而得到的值，利用面积公式可得结果. 【详解】（1）∵是公差为2的等差数列， ∴， 由三角形三边关系得，， ∴，又∵为锐角三角形， ∴最大角， ∴，即， ∴，即，解得或， ∴. （2）∵， ∴由正弦定理可得， ∴，解得，则， ∴，∴， ∴． 15．（2025·山东潍坊·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若的角平分线AD与BC交于点D，且，．求的面积， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合题意得到，然后根据余弦定理得到，即可求解A的值； （2）根据三角形面积公式得到，求得c的值，然后根据三角形面积公式求解即可 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，整理得， 所以， 因为，所以； （2）因为的角平分线为AD，所以 ， 因为 ， 所以， 因为，，所以， 化简可得，解得， 所以 16．（2025·四川德阳·二模）在中，内角所对的边分别为，且 (1)判断的形状； (2)若，且是边的中点，求的面积最大值． 【答案】(1)等腰三角形 (2)6 【分析】（1）由边化角得到，再由即可求解； （2）以为轴，中垂线为轴，建立直角坐标系，设通过面积得最大值，即可求解； 【详解】（1）由题意可得，则， 故. ， 则， ， ， 结合为三角形内角，， 所以， 故， 故为等腰三角形. （2），则，设， 又为的中点， ， 在中，以为轴，中垂线为轴，建立直角坐标系， 设，，由， ， 即且， 所以当时，取最大值为， 故的最大值为6. 17．（2025·云南大理·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且边上的中线长为. (1)求的大小； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据余弦的二倍角公式和诱导公式化简可得，再利用正弦定理边化角即可求解； （2）设，，，先利用平面向量的加法法则和数量积的运算律可得，再根据基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由可得， 因为在中，所以， 由正弦定理可得， 因为，，所以， 所以，即， 又，所以，. （2）设，，，根据题意，， 又，所以，化简得， 则， 所以，当且仅当时等号成立. 面积的最大值为. 18．（2025·四川·一模）在中，已知内角的对边分别为，为线段上一点，． (1)若为的中点，且，求面积的最大值； (2)若，且，求． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由题意可得，利用向量的模的计算结合基本不等式可求出，再利用三角形面积公式，即可求得答案； （2）记，利用余弦定理可得．在中，可得，解方程组即可求得答案. 另解：可利用角平分线性质定理推出，从而再利用等面积法求解. 【详解】（1）因为，， 则有，解得， 所以．（当且仅当时取等） 所以的面积的最大值为． （2）因为，所以 记，则有，由余弦定理得， 解得． 在中，，则，解得， 联立方程组则有，解得． 另解：由条件得，所以平分． 因为，所以． 由面积关系得．解得． 19．（2025·陕西汉中·二模）在中，，，分别是角的对边，已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先求出，再利用余弦定理即可得到； （2）根据余弦定理和基本不等式以及三角形面积公式即可求出最值. 【详解】（1）由，且，得， 可变形为. 依据余弦定理，可知，即. 所以. （2）因为， 根据余弦定理得，     所以，即，当且仅当时等式成立， 故，当且仅当等号成立， 即所求面积的最大值是. 考点03 线段（含半径）及最值 通·模考通透 20．（2025·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为边上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理和倍角公式化简，结合同角三角函数的商数关系或辅助角公式，求得或，可求角； （2）由已知可得为等边三角形，则，中由余弦定理求得的值． 【详解】（1）依题意，，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 法一：即， 因为，所以， 所以，所以：， 所以，即． 法二：即， 所以，即， 因为，所以， 所以，即． （2）因为，又因为， 所以为等边三角形， 则， 由余弦定理得， 所以，解得或（舍去），故． 21．（2025·湖南邵阳·一模）已知在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，点D在边BC上，且，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据余弦定理可求； （2）根据角的关系可得，求出后者后可得比值. 【详解】（1）， . 即. 由正弦定理得：， ， ，. （2）易知， ，，， ，，. . 的值为. 22．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 23．（2025·广东·一模）记的内角的对边分别为.已知，.外一点满足，且的角平分线交于点. (1)求； (2)证明：； (3)若，求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或. 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，根据和角公式及同角的三角函数关系式即可求得； （2）运用反证法，假设不垂直于，过点作，垂足为，利用三角函数定义和三角形角平分线定理推得重合即得； （3）设，分别在和中，利用余弦定理求得，推得，或，在中利用余弦定理即可求出长. 【详解】（1）由正弦定理有， 则， 因， 代入化简得：， 因为，故，又， 即得，则. 故，解得. （2） 如图，假设不垂直于，过点作，垂足为. 由（1）可得，则， 由角平分线定理有，故重合，即. （3） 由（2）知，设. 在中，由余弦定理有， 同理，故，解得. 注意到，故，且. 故或（如图1，图2），由余弦定理有 ， 当时，，解得； 当时，，解得. 故或. 考点04 三角函数值及取值范围 通·模考通透 24．（2025·山西·一模）在中，，，． (1)若，求； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用向量的模长公式即可求解， （2）根据正弦定理可得①式和②式，即可作商求解.. 【详解】（1）∵，∴， ∴， 即，∴． 又，∴，∴． （2）在中，①， 在中， ②， ①÷②得 又，，∴， 所以 25．（2025·安徽合肥·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 (1)证明：； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件及正弦定理可得，结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式可得，最后结合B，C的范围可证得结论. （2）由已知条件及（1）可求出，然后利用正弦定理及二倍角公式化简所求式，进而得到结论. 【详解】（1）由正弦定理及，知， 即， 所以， 所以或， 因为B，，所以，即 （2）由（1）知，，又为锐角三角形， 所以，， 故，所以，得， 故 26．（2025·陕西榆林·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法1，将已知等式中的角利用正弦定理和余弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角；解法2，利用三角函数恒等变换公式化简可求出角； （2）由（1）得，，则，化简后利用正切函数的性质可求得结果. 【详解】（1）解法1：在中，由及正弦定理得，， 再由余弦定理，得，则， 又因为，所以， 因为，所以. 解法2：因为，， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）因为，所以，， 所以， 因为，所以，所以， 所以. 27．（2025·江苏南通·一模）已知的三边所对的角分别为． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）可以采用正弦定理边角互化，再用余弦定理得到，最后结合和角公式和同角三角函数关系式计算即可; （2）有了，两角之间的正切关系，直接将用和表示，转变成关于的函数，借助函数单调性求范围即可． 【详解】（1）由正弦定理得 ， ． （2） ，令, 由于在上单调递增， 则原函数也是在上单调递增. ，即的取值范围为． 考点05 中线、角平分线、高线 通·模考通透 28．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. (1)求的面积； (2)求中的角平分线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式运算求解即可； （2）设角平分线为，根据面积关系运算求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以的面积为. （2）设角平分线为， 因为 则， 即，解得， 所以的角平分线的长为. 29．（2025·吉林长春·二模）在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且． (1)求角A； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理与和角公式化边为角，求得，即得角A； （2）利用三角形角平分线定理求出，再根据面积相等列方程，求解即得的长. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 因， 则， 即， 因为，则得， 因，则． （2） 如图，因是的平分线，则，解得， 又， 则， 即，解得. 30．（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：； (2)若，，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：对两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二： 在和中，由余弦定理可得答案； （2）在中，由余弦定理得，结合（1）再利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）方法一：为边上中线，， ， 在中，由余弦定理得：， ， ， . 方法二：为边上中线， 在中，， 在和中，由余弦定理得： ， 即， ， 即； （2），，由余弦定理可得， 故，即， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 所以取得最小值为. 31．（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， (1)求 (2)设，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦定理求出，再由，结合平方关系可求的值； （2）结合（1）可得，再利用三角形面积相等可求得边上的高. 【详解】（1）在中， ，， 而A为三角形内角， ， ， 整理得，得， 又，且， （2）由正弦定理得， 得， 由（1）得，，， ， 设边上的高为h，则， 边上的高为 32．（2025·四川·二模）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值. (2)若，求边上的高的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用切化弦，再应用正弦定理结合两角和差公式得出，最后计算求值； （2）先根据三角形是锐角三角形得出，结合面积公式及三角函数的值域计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又因为，所以， 应用正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以得出， 所以， 设边上的高为，， . 33．（2025·江苏泰州·一模）在，已知，. (1)求B； (2)若为的平分线，的面积为14，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的正切公式结合即可求解. （2）由（1）的结论以及三角形中求出角C的正弦，再利用正弦定理与 三角形面积公式求出b边和c边，再用等面积法转化即可求解. 【详解】（1）在中，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 所以， 所以， 又因为，所以. （2）由，所以， 所以. 记中角A、B、C所对的边为a、b、c， 由正弦定理可得，所以， 所以， 解得（负值舍去），所以. 又由，得， 所以由，得， 所以，解得. 34．（2025·广东汕头·一模）已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角． (1)求角C的大小； (2)若、、成等比数列，且，求边c上的高h． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用两角和正弦公式，再应用诱导公式结合二倍角正弦计算即可； （2）应用等比数列列式再根据正弦定理得出，最后应用面积公式计算求解. 【详解】（1）依题意，， 即，所以， 由知，，从而，故； （2）依题意，， 由正弦定理得：，即 又，则， 所以，从而， 由三角形面积公式得：，即 故． 考点06 三角形中的证明问题 通·模考通透 35．（2025·陕西西安·一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点. (1)若AD平分，求证：； (2)若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式，结合三角形面积的性质进行证明即可； （2）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算律和定义进行求解即可. 【详解】（1）设，垂足为， 在中，， 在中，， 因为AD平分， 所以，于是有， 因此有； （2）因为D为BC上靠近B的三等分点， 所以， 因为， 所以 36．（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用余弦定理并结合三角形面积公式计算可得，可得结论； （2）根据角平分线以及角度大小利用等面积法解方程可得，可得其周长. 【详解】（1）证明：在中，，， 由余弦定理得，即①. 又， 即，故②. 由①②得，即， 故. 所以为等边三角形. （2）在中，由， 得， 又直线为的平分线， 则， 所以，即③， 又由余弦定理可得，即.④， 由③④可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 37．（2025·福建福州·模拟预测）在中，点在边上，平分，设，． (1)若，，证明：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法1:应用正弦定理求出角相等即可证明；方法2：应用角平分线结合余弦定理计算结合全等证明； （2）结合角平分线和面积公式计算得出即可得出边长范围. 【详解】（1）方法1:因为，平分，所以，， 又，所以，由正弦定理可得，所以， 又，所以，所以，所以， 且，所以，则， 所以． 方法2：因为，平分，所以，， 又，由余弦定理得， 则，所以，即，且， 则，故． （2）因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，故． 38．（2025·广东广州·模拟预测）的内角的对边分列为，已知. (1)证明：； (2)若点是边上一点，平分，，且的面积是面积的2倍，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再结合角的范围即可求证； （2）通过，得到及，进而求出.法一：由即可求解；法二：由，平方求解；法三：由正弦定理求解即可； 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 在中，有，所以， 即， 所以，即， 因为，，所以，或（舍去）， 所以. （2）平分， 的面积是面积的2倍， ，即， 设AB边上的高为h，又，即， ，，，. 以下有不同解法. 解法一： ，， 即，. 解法二： 在中由余弦定理得，，即① 由.则，又， ，即②. 由①②联立得，. 解法三： 在中由正弦定理得， 又，， ， ，又A为中较小的角，，，则，. 39．（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，. (1)求A； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式，将题中所给条件化为，再根据角是三角形内角，即可求出结果； （2）根据正弦定理，以及（1）的结果，要证，即证，不妨设（其中），将不等式左侧化简整理，即可证明结论成立. 【详解】（1）由题意，， 即， 化简得， 即，故或， 又，解得或（舍去），故． （2）要证，即证，即证， 由（1），，所以，即证． 不妨设（其中）， 则 显然恒成立． 故，命题得证． 40．（2025·全国·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，，求的面积； (2)若为锐角三角形，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用正弦定理即可解出，由三角形的面积公式即可求解； （2）由得，由正弦定理有，构造函数，利用为锐角三角形求出的范围，进而得的范围，即得的范围，利用导数求出单调性即可得证. 【详解】（1）因，所以，， 由正弦定理，所以， 所以. （2）证：由得， 由正弦定理知，， 因为锐角三角形，所以，， 所以，所以， 设，令，， 所以，所以在单调递增， 因此， 所以，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第74天- （解答题）搞定解三角形综合计算 （6考点） 第74天寄语： 十七八岁的青春，高考是绕不开的热血征程。 识·必备知识 1. 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 ① ② ③ ④ （3） 应用：边角互化 ① ② ③ 或（舍） 2. 三角形中三个内角的关系 ，， 3. 余弦定理 （1） 边的余弦定理 ，， （2） 角的余弦定理 ，， 4. 三角形的面积公式 5. 角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 6. 张角定理 7. 倍角定理 在中,三个内角的对边分别为, (1)如果,则有: (2)如果,则有: (3)如果,则有: 倍角定理的逆运用 在中,三个内角A、B、C的对边分别为, (1)如果,则有:。 (2)如果,则有:。 (3)如果,则有:。 8. 中线长定理 为的中线,则中线定理: 证明: 在和中,用余弦定理有: 明·直击考点 序号 考点 考点01 边长、周长的值及最值 考点02 面积及最值 考点03 线段（含半径）及最值 考点04 三角函数值及取值范围 考点05 中线、角平分线、高线 考点06 三角形中的证明问题 考点01 边长、周长的值及最值 通·模考通透 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC的周长的值. 2．（2025·广东佛山·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求A； (2)若BC边上的中线，且，求的周长. 3．（2025·新疆·模拟预测）在中，角所对的边分别为，其面积. (1)求的值； (2)若，且，求. 4．（2025·贵州毕节·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求角A； (2)若的面积为，求a的最小值． 5．（2025·陕西·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若D为AC的中点，且，求． 6．（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 8．（2025·河北保定·模拟预测）记的内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求周长的最大值. 9．（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 考点02 面积及最值 通·模考通透 10．（2025·广东·一模）在中，角所对的边分别为． (1)求； (2)若，求的面积． 11．（2025·四川·模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 12．（2025·贵州六盘水·一模）在中，内角的对边分别为，若． (1)求角的大小； (2)若，点是边上的一点，平分，且，求的面积． 13．（2025·湖南岳阳·一模）已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且. (1)求； (2)求的面积. 14．（2025·江西南昌·一模）在中，角的对边成公差为2的等差数列． (1)若为锐角三角形，求a的取值范围； (2)若，求的面积． 15．（2025·山东潍坊·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若的角平分线AD与BC交于点D，且，．求的面积， 16．（2025·四川德阳·二模）在中，内角所对的边分别为，且 (1)判断的形状； (2)若，且是边的中点，求的面积最大值． 17．（2025·云南大理·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且边上的中线长为. (1)求的大小； (2)求面积的最大值. 18．（2025·四川·一模）在中，已知内角的对边分别为，为线段上一点，． (1)若为的中点，且，求面积的最大值； (2)若，且，求． 19．（2025·陕西汉中·二模）在中，，，分别是角的对边，已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求面积的最大值. 考点03 线段（含半径）及最值 通·模考通透 20．（2025·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为边上一点，且，求的值． 21．（2025·湖南邵阳·一模）已知在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，点D在边BC上，且，求的值. 22．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 23．（2025·广东·一模）记的内角的对边分别为.已知，.外一点满足，且的角平分线交于点. (1)求； (2)证明：； (3)若，求. 考点04 三角函数值及取值范围 通·模考通透 24．（2025·山西·一模）在中，，，． (1)若，求； (2)若，，求的值． 25．（2025·安徽合肥·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 (1)证明：； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 26．（2025·陕西榆林·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 27．（2025·江苏南通·一模）已知的三边所对的角分别为． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 考点05 中线、角平分线、高线 通·模考通透 28．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. (1)求的面积； (2)求中的角平分线的长. 29．（2025·吉林长春·二模）在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且． (1)求角A； (2)若，求的长． 30．（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：； (2)若，，求的最大值. 31．（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， (1)求 (2)设，求边上的高. 32．（2025·四川·二模）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值. (2)若，求边上的高的取值范围. 33．（2025·江苏泰州·一模）在，已知，. (1)求B； (2)若为的平分线，的面积为14，求. 34．（2025·广东汕头·一模）已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角． (1)求角C的大小； (2)若、、成等比数列，且，求边c上的高h． 考点06 三角形中的证明问题 通·模考通透 35．（2025·陕西西安·一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点. (1)若AD平分，求证：； (2)若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长. 36．（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 37．（2025·福建福州·模拟预测）在中，点在边上，平分，设，． (1)若，，证明：； (2)若，求的取值范围． 38．（2025·广东广州·模拟预测）的内角的对边分列为，已知. (1)证明：； (2)若点是边上一点，平分，，且的面积是面积的2倍，求. 39．（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，. (1)求A； (2)证明：. 40．（2025·全国·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，，求的面积； (2)若为锐角三角形，求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$