第68天 搞定等比数列（5考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第68天-搞定等比数列（5考点） 第68天寄语： 你不是一个人在战斗，同学的鼓励、老师的教导，都在为你的高考冲刺助力。 识·必备知识 1. 等比数列的定义 从第二项开始，后一项与前一项的比为同一个常数，这个数列是等比数列，这个常数是等比数列的公比，用表示 2. 数学表达式 3. 通项公式 ，，， 4. 等比数列通项公式与函数关系 等比数列为指数型函数 5. 等比中项 若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 6. 等比数列通项公式的性质 （1）若或 （2）若，为等比数列，则，仍为等比数列 7. 等比数列前n项和 8. 等比数列前n项和与函数关系 等比数列前项和公式是指数型函数 9. 等比数列前n项和的性质 （1），，……仍成等比数列 （2） 10. 证明数列为等比数列的方法 （1）（为常数）为等比数列 （2）若,则，，三个数成等比数列 明·直击考点 序号 考点 考点01 等比数列中基本量的计算 考点02 等比数列中的的综合性质 考点03 等比数列中的参数值及范围问题 考点04 等比等差混考问题 考点05 等比数列的基本应用 考点01 等比数列中基本量的计算 通·模考通透 1．（2025·湖南邵阳·一模）若等比数列满足：，，则数列的公比 . 2．（2025·安徽·模拟预测）已知各项为正数的数列是等比数列，且其前项和为.若，，则 . 3．（2025·江西南昌·一模）已知为等比数列，若，则的公比（   ） A． B．2 C． D． 4．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，若，则 ． 5．（2025·江西新余·一模）等比数列中，已知，则（   ） A． B．2 C． D．1 6．（2025·广东·一模）在等比数列中，已知，则 ． 7．（2025·四川·一模）已知为等比数列，若，且，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．（2025·四川南充·二模）在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（   ） A． B．2 C．3 D．4 9．（2025·陕西汉中·二模）已知等比数列满足，，记为其前项和，则（   ） A． B． C． D．7 考点02 等比数列中的的综合性质 通·模考通透 10．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 11．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 13．（2024·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 14．（2024·北京西城·二模）已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等比数列的前项和，则（    ） A．3 B．9 C． D． 考点03 等比数列中的参数值及范围问题 通·模考通透 16．（2024·安徽·模拟预测）在等比数列中，若，则（    ）． A．2 B． C．4 D．8 17．（2024·河北石家庄·模拟预测）在等比数列中，，，则 ． 18．（2024·云南大理·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 19．（2024·河北张家口·三模）已知数列为等比数列，，则（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 20．（2024·河南·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 21．（2025·江西景德镇·二模）正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 22．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 23．（2024·浙江宁波·一模）已知数列，都是正项等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 24．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 25．（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 26．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 考点04 等比等差混考问题 通·模考通透 27．（2024·山东·一模）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A．或15 B．15 C．或 D． 28．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 29．（2024·江西新余·模拟预测）设等比数列的前项和为，若对于某一个使成等差数列，则的值可能为：（     ）. A．99 B．102 C．105 D．该值不存在 30．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为 . 考点05 等比数列的基本应用 通·模考通透 31．（2024·广东茂名·一模）有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为 盏. 32．（2024·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（    ）(参考数据： A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元 33．（2024·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等比数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·模拟预测）已知正项等比数列满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·一模）已知为数列的前n项和，命题p：是等比数列；命题q：，，.成等比数列，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 5．（2025·贵州六盘水·一模）如果等比数列的各项均为正数，其前n项和为，且，设，那么（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知等比数列中，满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，仍成等比数列 7．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知数列满足，，则（    ） A． B．是等差数列 C．一定是等比数列 D．数列的前99项和为 8．（2025·广东惠州·三模）已知等差数列与等比数列的前项和分别为，则下列结论中正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．可能为 C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 三、填空题 9．（2025·江苏南京·模拟预测）已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为 ． 10．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列解前项和为，若，则 ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第68天-搞定等比数列（5考点） 第68天寄语： 你不是一个人在战斗，同学的鼓励、老师的教导，都在为你的高考冲刺助力。 识·必备知识 1. 等比数列的定义 从第二项开始，后一项与前一项的比为同一个常数，这个数列是等比数列，这个常数是等比数列的公比，用表示 2. 数学表达式 3. 通项公式 ，，， 4. 等比数列通项公式与函数关系 等比数列为指数型函数 5. 等比中项 若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 6. 等比数列通项公式的性质 （1）若或 （2）若，为等比数列，则，仍为等比数列 7. 等比数列前n项和 8. 等比数列前n项和与函数关系 等比数列前项和公式是指数型函数 9. 等比数列前n项和的性质 （1），，……仍成等比数列 （2） 10. 证明数列为等比数列的方法 （1）（为常数）为等比数列 （2）若,则，，三个数成等比数列 明·直击考点 序号 考点 考点01 等比数列中基本量的计算 考点02 等比数列中的的综合性质 考点03 等比数列中的参数值及范围问题 考点04 等比等差混考问题 考点05 等比数列的基本应用 考点01 等比数列中基本量的计算 通·模考通透 1．（2025·湖南邵阳·一模）若等比数列满足：，，则数列的公比 . 【答案】 【分析】由结合已知条件可求得的值. 【详解】因为等比数列满足：，， 则，解得. 故答案为：. 2．（2025·安徽·模拟预测）已知各项为正数的数列是等比数列，且其前项和为.若，，则 . 【答案】2 【分析】利用等比数列的前项和公式与通项公式即可求得结果. 【详解】设公比为，由，得： ，， 两式相除得，则（负值舍去），所以. 故答案为：2. 3．（2025·江西南昌·一模）已知为等比数列，若，则的公比（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列通项公式列方程即可解得公比. 【详解】根据等比数列定义由可得， 显然，所以， 解得. 故选：D 4．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】/0.125 【分析】根据给定条件，利用等比数列项间关系求出公比即可. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，得， 因此，，所以. 故答案为： 5．（2025·江西新余·一模）等比数列中，已知，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用等比数列通项公式及已知可得，再由即可求值. 【详解】若等比数列的公比为， 由题设，则，即， 由. 故选：A 6．（2025·广东·一模）在等比数列中，已知，则 ． 【答案】6 【分析】设数列的公比为，由条件结合等比数列性质可得，分类讨论求解即可. 【详解】设数列的公比为，由于，则， 若，则矛盾， 则符合． 所以. 故答案为：. 7．（2025·四川·一模）已知为等比数列，若，且，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等比数列通项求出公比，进而求出. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得， 由，得，所以. 故选：B 8．（2025·四川南充·二模）在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由等比数列的性质有，易知是方程的两个根，再由已知及等比数列的通项公式求公比. 【详解】由题设，易知是方程的两个根， 又为递增的等比数列，所以，故公比. 故选：B 9．（2025·陕西汉中·二模）已知等比数列满足，，记为其前项和，则（   ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，依题意得到方程，求出的值，再求出，，即可求出. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，所以，解得或， 当时，，，所以； 当时，，，所以； 综上可得. 故选：A 考点02 等比数列中的的综合性质 通·模考通透 10．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得，，，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由等比数列的前项和为， 可得，，， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为：. 11．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【详解】若等比数列的公比为， 因为， 则，矛盾，故 设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故选：B 12．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】设公比为，推导出，即可求出的值. 【详解】设公比为， 当时，不符合题意； 当时， 又， 所以，解得. 故选：B 13．（2024·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 14．（2024·北京西城·二模）已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件求解出，然后对分奇偶讨论可得和，结合函数的单调性可求结果. 【详解】设的公比为，因为，所以， 所以，所以，所以， 因为对任意正整数恒成立， 所以对任意正整数恒成立； 当是偶数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以，所以， 当是奇数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以时，，所以， 综上所述，的取值范围是， 故选：D. 15．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等比数列的前项和，则（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据，再结合为等比数列，表示，求出的值. 【详解】当时，； 当时，， 又是等比数列，所以，解得. 故选：D. 考点03 等比数列中的参数值及范围问题 通·模考通透 16．（2024·安徽·模拟预测）在等比数列中，若，则（    ）． A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据等比数列的下标和性质运算求解即可. 【详解】因为数列是等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 17．（2024·河北石家庄·模拟预测）在等比数列中，，，则 ． 【答案】16 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由，及 可得：，即， 又， 所以16. 故答案为：16 18．（2024·云南大理·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质得到，计算出答案. 【详解】∵各项均为正数的等比数列中，， ∴. 故选：C. 19．（2024·河北张家口·三模）已知数列为等比数列，，则（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】根据已知求得，然后利用下标和性质化简，结合对数恒等式可得. 【详解】记数列的公比为，由题知， 则， 所以. 故选：C 20．（2024·河南·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和的性质求解. 【详解】因为为等比数列，所以，，（显然三个数均不为0）也是等比数列. 且，，所以. 所以. 故选：A 21．（2025·江西景德镇·二模）正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，再利用并项法求和. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，得，则， 而，所以. 故选：B 22．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解. 【详解】设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 23．（2024·浙江宁波·一模）已知数列，都是正项等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】BC 【分析】根据等比数列的定义和通项公式逐项判断即可. 【详解】因为数列，都是正项等比数列， 所以设数列，的公比分别为，，且，，且对任意的正整数有，成立； 对于A，不妨设， ，满足，都是正项等比数列， 此时，因为，， 所以，此时不是等比数列，故A不正确； 对于B，因为，所以数列是等比数列，故B正确； 对于C，因为，所以数列是等比数列，故C正确； 对于D，设，，满足，都是正项等比数列， 此时，，， 所以，，所以，此时数列不是等比数列，故D不正确； 故选：BC. 24．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解. 【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得， 故选：A 25．（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质建立方程求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 故选：A. 26．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，， 因为，，，，成等比数列， 故，即，解得， 则，所以，，故. 故答案为： 考点04 等比等差混考问题 通·模考通透 27．（2024·山东·一模）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A．或15 B．15 C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由，，为等差数列，则，即，即， 解得或（舍去），又，所以. 故选：B 28．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差中项性质以及等比数列前n项和公式代入计算可得结果. 【详解】设数列的公比为， 由，，成等差数列可得，即， 因为，所以，解得或（舍）； 所以. 故选：A 29．（2024·江西新余·模拟预测）设等比数列的前项和为，若对于某一个使成等差数列，则的值可能为：（     ）. A．99 B．102 C．105 D．该值不存在 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合等比数列的通项公式以及求和公式代入计算，然后利用导数研究方程的根，分为奇数与为偶数讨论，即可得到结果. 【详解】①，则：，，， 或，均舍去. ②，则：，，， 于是由等差中项数列的性质化简得， 令， ， 令，， 当时，，所以，而， 当为奇数时，，则单调递增，又， 所以在无零点，舍去； 当为偶数时，同理可得：在单调递减，在和单调递增， 而（极限值），， 由零点存在性定理：有唯一零点且在内，成立. 所以存在且只能为偶数， 故选：B. 30．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用等差数列前项和的性质及等比中项，结合基本不等式计算即可. 【详解】设的公差为，则， 而， 当且仅当时取得等号. 故答案为： 考点05 等比数列的基本应用 通·模考通透 31．（2024·广东茂名·一模）有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为 盏. 【答案】30 【分析】根据给定条件，构造等比数列，再利用等比数列列n项和公式计算即得. 【详解】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列，公比，，前6项和， 于是，解得， 所以底层所开灯的数量为30盏. 故答案为：30 32．（2024·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（    ）(参考数据： A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元 【答案】B 【分析】设每月需还款万元，由题意，求出第期还款后，还欠银行的款项，再由，得到的递推关系，进而得到数列是等比数列，求出通项，由，解出. 【详解】设每月需还款万元， 第一期还款后，还欠银行万元， 第二期还款后，还欠银行万元， 设第期还款后，还欠银行万元，则，且， 所以是公比为1.005的等比数列，所以. 令，解得，即每月大约需还款7165元. 故选：B. 33．（2024·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原有树苗有包，求出第组到第组所领取树苗的包数，结合等比数列求和公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设原有树苗有包，第组领取包， 第组领取包， 第组领取包， ， 以此类推可知，第组领取包， 由题意可得， 即，解得. 故选：B. 练·抢分演练 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等比数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质列式计算得解. 【详解】由等比数列性质，得，所以. 故选：D 2．（2025·山东·模拟预测）已知正项等比数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列下标和的性质求解即可. 【详解】因为正项等比数列满足，所以，解得， 又，所以， 故选：B 3．（2025·陕西西安·一模）已知为数列的前n项和，命题p：是等比数列；命题q：，，.成等比数列，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等比数列的定义判断即得. 【详解】令，数列是等比数列，，不成等比数列，则不能推出； 令，则，成等比数列，而不是等比数列，不能推出， 所以p是q的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点的定义、韦达定理以及对数运算可得的值，根据等比数列的性质，可得答案. 【详解】由题意可得为方程的两个解，则， 解得，易知. 故选：B. 5．（2025·贵州六盘水·一模）如果等比数列的各项均为正数，其前n项和为，且，设，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，由已知可得，求解可得的通项公式，进而求得，进而利用裂项相消法求得. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 所以，解得或， 又等比数列的各项均为正数，所以， 所以等比数列的通项公式为，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 二、多选题 6．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知等比数列中，满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，仍成等比数列 【答案】AC 【分析】由题意利用等比数列的性质、通项公式及前n项和公式，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】等比数列中，满足，则，有， 由，，数列是首项为2公比为4的等比数列，故A选项正确； 而，结合指数函数性质可知，数列是递减数列，故B选项错误； 又，，， 故数列是首项为0公差为1的等差数列，故C选项正确； 数列中，，，， ，故D选项错误. 故选：AC. 7．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知数列满足，，则（    ） A． B．是等差数列 C．一定是等比数列 D．数列的前99项和为 【答案】BC 【分析】令，可求的值，判断A的真假；递推公式两边同除以，可得，可得的特征，判断B的真假；进一步可求的通项公式，判断C的真假；利用裂项求和法可求数列的前99项和，判断D的真假. 【详解】对A选项：令可得：，故A错误； 对B选项：递推公式两边同除以，可得，即， 又，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确； 对C选项：由B可知：，所以， 所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 对D选项：因为， 所以数列的前99项和为： ，故D错误. 故选：BC 8．（2025·广东惠州·三模）已知等差数列与等比数列的前项和分别为，则下列结论中正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．可能为 C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的定义判断A、D；由是首项为1，公比为2的等比数列判断B；注意的情况判断C. 【详解】由题设为定值，则且为定值，A对； 若是首项为1，公比为2的等比数列，则，B对； 对于数列，时无意义，故不可能为等差数列，C错； 若的公比为，则是首项为，公比为的等比数列，D对. 故选：ABD 三、填空题 9．（2025·江苏南京·模拟预测）已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质可得，再根据基本不等式结合对勾函数性质求解即可． 【详解】在等比数列中，由，得，即， 则，则， 当且仅当，即时取等号，此时，而， 由对勾函数的性质知，当时，； 当时，，又， 所以当时，取得最小值为. 故答案为： 10．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列解前项和为，若，则 ， . 【答案】 78 【分析】由，当时解得，当时解得即可求出；当时由即可得，即得数列为等比数列即可求解. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得，则. 当时，由得， 两式相减整理得， 即，因为，所以数列是首项为9，公比为9的等比数列，则，即. 故答案为：78； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$