第65天 （解答题）搞定数列求和（6考点）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第65天-（解答题）搞定数列求和（6考点） 第65天寄语： 此刻的每分每秒，都是往后的人生。 识·必备知识 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 4．倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 5．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 明·直击考点 序号 考点 考点01 公式法直接求和 考点02 等差等比分组求和 考点03 裂项相消求和 考点04 错位相减求和 考点05 奇偶并项求和 考点06 周期综合求和 考点01 公式法直接求和 通·模考通透 1．（2025·陕西汉中·二模）设数列的前项和为，若，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2)210 【分析】（1）降次作差得，再升次作差即可； （2）直接累加并利用等差数列求和公式即可. 【详解】（1）， 当时，， 两式相减得， 又 ， 故，且， 所以数列是以3为首项，公差为2的等差数列. （2）由（1）知， 所以 . 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）在递增数列中，. (1)求的值； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据递推式依次求出对应项，结合单调性确定最终值； （2）由题设得，应用等比数列前n项和求. 【详解】（1）因为，所以，解得， 同理得或，或5，又是递增数列， 所以； （2）因为，所以， 所以或，又是递增数列，所以， 故，所以. 3．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 . (1)求数列 的通项公式; (2)求 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）根据等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）由题意 (1) 由(1)(2)可得 所以 （2），， ，故为等差数列， . 4．（2024·吉林·模拟预测）已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据得到为公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式求出，再设的公比为，列出方程，求出，得到通项公式； （2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】（1）因为， 故为公差为2的等差数列， 所以， 又，，成等差数列，故， 设的公比为，其中， 则，解得或， 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，舍去， 综上，，； （2），则， 故为公差为3的等差数列， 故. 考点02 等差等比分组求和 通·模考通透 5．（2024·全国·二模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，再由等差数列的定义及通项公式计算可得 （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为， 即， 当时，解得或（舍去）， 当时， 所以， 即， 即，即， 又，所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以 . 6．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【详解】（1）由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ， ，． （2）由题意及（1），可得， 则 ． 7．（2024·海南海口·模拟预测）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可求出的值；令，由可得，两个等式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得. 【详解】（1）解：因为为数列的前项和，且， 当时，则有，解得； 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理得， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此，. （2）解：因为， 所以， . 8．（2024·湖北黄冈·一模）设为数列的前项和，满足． (1)求证：； (2)记，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由与的关系，结合等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）运用等比数列的求和公式，以及数列的分组求和，计算可得所求和． 【详解】（1）因为数列的前项和，满足， 当时，可得， 两式相减得，即，所以； 当时，，解得； 所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以的图象公式为． （2）由（1）知，可得， 所以， 则 ． 9．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，解得或， 因为，所以，则； （2）由（1）可得， 所以 . 10．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用数列前项和与第项的关系求出通项公式. （2）由（1）求出，再分段并结合分组求和法及公式法求解. 【详解】（1）数列的前项和， 当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 当时，； 当时， ，而也满足上式， 所以. 考点03 裂项相消求和 通·模考通透 11．（2024·四川德阳·模拟预测）已知等差数列的前 项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设 求数列的前 项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n项和公式构成方程组即可求得的通项公式； （2）将原式变形为，再利用裂项相消法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，， 所以，化简得， 所以，所以数列的通项公式为； （2）， 整理得， 所以， 整理得. 12．（2024·湖北·一模）已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，进而结合已知可得，可得结论； （2）结合（1）可得，令，对照系数可得，进而利用累加法可求得. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知 令， 对照系数可得（其中）， . 13．（2024·辽宁沈阳·三模）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出，即可求出通项公式； （2）由（1）得，即，从而得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， ，，成等比数列， 则，即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； （2）由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 14．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，记． (1)求证：是等差数列； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，得，即，再利用等差数列的定义证明结论即可. （2）利用裂项相消法即可求得结果. 【详解】（1）由，得， 即， 因为，所以， 所以，① 由，得． 整理得， 即，② 由①②得， 所以是公差为2的等差数列． （2）因为，所以， 即， 所以 ． 15．（2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)设，记数列的前项和为，证明:. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，代入到中即可求解， （2）利用裂项求和即可求解. 【详解】（1）由得，， 点在函数的图象上， （2）,显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则， . 16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，若对于任意的恒成立，求实数M的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的基本量计算即可求解； （2）裂项相消法求得，再利用数列单调性即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为， 由成等差数列可得，故，解得， 由可得，解得， 故，即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 故， 又因为为递增数列，则，又当时， 所以，故， 又对于任意的恒成立，所以，即实数M的最小值为. 17．（2024·四川雅安·一模）已知数列的前n项和为，且，其中． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见详解 【分析】（1）由已知条件可得，然后根据和的关系，可得，注意的情况即可. （2）利用裂项相消可求，然后利用，即可证明. 【详解】（1）当时，， 当时，， 又，两式相减得： ， 所以， 此时， 将代入得， 因此对也成立， 故的通项公式为， （2）由（1）可知， 所以，又， 所以， 所以 ， 因为，所以， 即. 18．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得； （2）求出数列的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求得. 【详解】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以， 解得或，当时，；当时， 所以数列的通项公式为或. （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知，则 ， 所以， 即. 考点04 错位相减求和 通·模考通透 19．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知公差为2的等差数列和公比为2的等比数列满足：，. (1)求和； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差等比数列结合已知条件求数列的通项公式即可； （2）利用错位相减法求出数列的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 又，所以，即，所以； 设等比数列的公比为，则， 由，得，所以 （2）． ， ． 两式相减可得： ， ． 20．（2024·福建·三模）已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出，得到通项公式和前项和； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【详解】（1）设公差为，则， ， 解得，故； ； （2）， 故①， 则②， 式子①-②得 ， 所以. 21．（2024·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用的关系先求得的递推公式，根据构造法求出，再由的关系求，然后可得； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）令得， 当时，由得： ，两式相减得： ， 整理得，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，得， 当时，， 时，上式也成立，所以， 所以，即. （2）记，其前项和为， 则， ， 两式相减得 所以 22．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等比数列和等差数列的性质可求得公差，即可得到数列的通项公式. （2）根据（1）可得，利用裂项相消法可求. （3）利用错位相减法可求. 【详解】（1）∵成等比数列，∴， ∵数列为等差数列，， ∴，解得或（舍）， ∴， ∴. （2）由（1）得， ∴. （3）由题意得，， ∴， ， 得， ∴， ∴. 23．（2025·湖北·模拟预测）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式. (2)试问有多少项为整数？ (3)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）应用等差数列求出公差，再结合通项公式计算即可； （2）根据通项公式特征计算求解； （3）应用分组求和结合错位相减计算求解. 【详解】（1）数列是等差数列，且，， 所以，设等差数列公差为， 所以， 所以， 所以， 所以. （2）因为， 当为整数时，则为整数，所以，所以有5项为整数； （3）因为，所以， 数列的前n项和. 设， 于是， 两式相减得， 所以， 所以 考点05 奇偶并项求和 通·模考通透 24．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 【答案】(1)数列的通项公式为； (2)数列的前20项和为. 【分析】（1）根据等差中项求出，再根据求出公差，最后根据等差数列的通项公式，求出的通项公式； （2）先写出，对为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出. 【详解】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5， 所以，解得， 因为， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 故数列的通项公式为； （2）由题知， 即 所以 ， 故数列的前20项和为. 25．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和. (1)求数列和的通项公式； (2)设的前项和，求证：． (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，分别求得的值，即可求得数列和的通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，求得数列的前项和，即可得证； （3）根据题意，求得数列的通项公式，结合等差数列的求和公式和乘公比错位法求和，即可求解. 【详解】（1）解：由等比数列的各项均为正数，设公比为， 因为成等差数列，且满足， 可得，即，即， 解得，所以， 设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. （2）证明：由（1）知，， 可得， 则 ， 因为，所以，故. （3）解：因为，可得， 则数列的前项和， 令， 令，则， 两式相减得 ， 所以， 所以数列的前项和. 26．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列通的项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知 则 所以数列的前项和为. 27．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据裂项求和即可求解， （2）根据并项求和即可求解. 【详解】（1）由题意可知，数列是等差数列，设数列的公差为． 可转化为， 即， 即，，即， ，． （2）由题可得， ， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 综上所述, 28．（2024·湖南湘西·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设求数列的前20项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据得等比数列公比为2，结合条件计算的值，得到的通项公式. （2）由（1）计算，利用分组求和的方法得出数列的前20项和. 【详解】（1）当时，， ∴， ∴等比数列的公比. 当时，由得，即，解得， ∴. （2）由题意得，当为奇数时，， 当为偶数时，， ∴， ， ∴ . 考点06 周期综合求和 通·模考通透 29．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列中，，． (1)证明：数列为常数列； (2)求数列的前2024项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用和差角的余弦公式，结合构造法推理即可. （2）由（1）求出数列的通项，再结合余弦函数的周期性，利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）依题意， ， 则化为， 而，则，因此， 所以数列为常数列. （2）由（1）知，，由，即是以6为周期的周期数列，令， 所以数列的前2024项和 . 30．（2024·浙江台州·二模）已知数列满足，. (1)求（只需写出数值，不需要证明）； (2)若数列的通项可以表示成的形式，求，. 【答案】(1)2 (2)，. 【分析】（1）先求出数列的周期，即可求出的值； （2）法一：由，，得到，解方程即可求出，；法二：：因为的周期为3，可求出，再由可求出. 【详解】（1），，，，，……， 故数列的周期为3，. （2）法一：由，，得到， 则，解得：，. 法二：因为的周期为3，所以 又由，则，即， 则，即，因为， 解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第65天-（解答题）搞定数列求和（6考点） 第65天寄语： 此刻的每分每秒，都是往后的人生。 识·必备知识 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 4．倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 5．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 明·直击考点 序号 考点 考点01 公式法直接求和 考点02 等差等比分组求和 考点03 裂项相消求和 考点04 错位相减求和 考点05 奇偶并项求和 考点06 周期综合求和 考点01 公式法直接求和 通·模考通透 1．（2025·陕西汉中·二模）设数列的前项和为，若，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求. 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）在递增数列中，. (1)求的值； (2)求数列的前项和. 3．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 . (1)求数列 的通项公式; (2)求 . 4．（2024·吉林·模拟预测）已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 考点02 等差等比分组求和 通·模考通透 5．（2024·全国·二模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为. 6．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 7．（2024·海南海口·模拟预测）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 8．（2024·湖北黄冈·一模）设为数列的前项和，满足． (1)求证：； (2)记，求． 9．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 10．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 考点03 裂项相消求和 通·模考通透 11．（2024·四川德阳·模拟预测）已知等差数列的前 项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设 求数列的前 项和． 12．（2024·湖北·一模）已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和. 13．（2024·辽宁沈阳·三模）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 14．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，记． (1)求证：是等差数列； (2)若，求证：． 15．（2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)设，记数列的前项和为，证明:. 16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，若对于任意的恒成立，求实数M的最小值． 17．（2024·四川雅安·一模）已知数列的前n项和为，且，其中． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：． 18．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和． 考点04 错位相减求和 通·模考通透 19．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知公差为2的等差数列和公比为2的等比数列满足：，. (1)求和； (2)求数列的前项和. 20．（2024·福建·三模）已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 21．（2024·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 22．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 23．（2025·湖北·模拟预测）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式. (2)试问有多少项为整数？ (3)求数列的前n项和. 考点05 奇偶并项求和 通·模考通透 24．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 25．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和. (1)求数列和的通项公式； (2)设的前项和，求证：． (3)设，求数列的前项和. 26．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 27．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 28．（2024·湖南湘西·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设求数列的前20项和． 考点06 周期综合求和 通·模考通透 29．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列中，，． (1)证明：数列为常数列； (2)求数列的前2024项和． 30．（2024·浙江台州·二模）已知数列满足，. (1)求（只需写出数值，不需要证明）； (2)若数列的通项可以表示成的形式，求，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$