第11章 不等式与不等式组（思维导图+知识梳理+20大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题）-2024-2025学年人教版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材）

2024-2025学年人教版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第11章 不等式与不等式组 （思维导图+知识梳理+20大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 知识梳理精讲 3 知识点梳理01:不等式 3 知识点梳理02:一元一次不等式 3 重点知识考点讲连 4 考向一：不等式及其解集 4 考点讲练01：不等式的定义 4 考点讲练02：不等式的解集 5 考点讲练03：不等式的性质 5 考向二：一元一次不等式 6 考点讲练04：一元一次不等式的定义 6 考点讲练05：求一元一次不等式的解集 6 考点讲练06：求一元一次不等式的整数解 7 考点讲练07：在数轴上表示不等式的解集 8 考点讲练08：求一元一次不等式解的最值 8 考点讲练09：列一元一次不等式 9 考点讲练10：用一元一次不等式解决实际问题 9 考点讲练11：用一元一次不等式解决几何问题 10 考向三：—元一次不等式組 11 考点讲练12：求不等式組的解集 11 考点讲练13：解特殊不等式組 12 考点讲练14：求一元一次不等式组的整数解 12 考点讲练15：由一元一次不等式组的解集求参数 13 考点讲练16：不等式组和方程组结合的问题 14 考点讲练17：列一元一次不等式组 14 考点讲练18：不等式组的分配问题 15 考点讲练19：不等式组的方案选择问题 16 考点讲练20：一元一次不等式組的其他应用 17 优选真题难度分层练 18 基础夯实真题练 18 培优拔尖真题练 20 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01:不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02:一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03:一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 考向一：不等式及其解集 考点讲练01：不等式的定义 【典例精讲】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】（21-22七年级下·江苏镇江·期末）命题：①质数都是奇数；②如果、，那么；③多边形的外角和小于内角和；④如果，那么．其中假命题的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练02：不等式的解集 【典例精讲】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式训练】（2024八年级·全国·竞赛）定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 考点讲练03：不等式的性质 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）用“>”“<”或“=”填空： （1）如果，那么a b； （2）试比较与的大小． ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读材料，回答下列问题 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）    ∴代数式的最小值为－2； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值 【拓展提高】（2）求的最大值 考向二：一元一次不等式 考点讲练04：一元一次不等式的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（20-21七年级下·江苏徐州·期末）已知2x﹣y＝3． （1）用含x的代数式表示y； （2）若2＜y＜3，求x的取值范围； （3）若﹣1≤x≤2，求y的最小值． 考点讲练05：求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是小星同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ （1）小星的解答从第 步开始出错（填序号）； （2）请写出正确的答案： ． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列一元一次不等式，并将解集表示在数轴上． (1) ； (2)． 考点讲练06：求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆·期末）已知两个多项式，，下列结论正确的有（   ）个． ①若关于的代数式不含一次项，则； ②若，则； ③若，则或； ④若关于x的方程的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（23-24七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2） 若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值． 考点讲练07：在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，例如：． (1)若，则x的值为______； (2)已知，请在数轴上表示不等式的解集，并求出最小整数解． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 考点讲练08：求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】（20-21八年级下·山东潍坊·期末）某城市的一个区域原来每天需要处理生活垃圾吨,刚好被个型和个型预处置点位进行初筛､压缩等处理．已知一个型点位比一个型点位每天多处理吨生活垃圾． （1）求一个型点位每天处理生活垃圾的吨数; （2）由于《城市生活垃圾管理条例》的施行,垃圾分类要求提高,现在每个点位每天将少处理吨生活垃圾．若该区域计划增设型､型点位共个,试问至少需要增设几个型点位才能当日处理完所有生活垃圾? 考点讲练09：列一元一次不等式 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）求当x取何值时，代数式的值： (1)大于； (2)不大于． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·随堂练习）根据下列条件进行计算． (1)与3的和不大于x与1的差的三倍，求x的取值范围； (2)小颖家有16亩稻田，往年平均每亩水稻产量约为，今年小颖家打算将一部分稻田改为种植蔬菜，若要保证今年水稻的总产量不低于，则小颖家最多可种植多少亩蔬菜？ 考点讲练10：用一元一次不等式解决实际问题 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）某水果店销售两种规格的水果礼盒，A水果礼盒进货价为每盒60元，售价为每盒80元，B水果礼盒进货价为每盒45元，售价为每盒60元．若该店购进两种水果礼盒的费用恰好为9000元，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得总利润至少为3000元，且两种水果礼盒全部售完．最多购进A水果礼盒多少盒？ 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）小聪同学想乘公共汽车，他走到两车站之间的C处，拿出手机查看了公共汽车到站情况，发现公共汽车距离他（示意图如下）．若公共汽车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择去哪个车站都不会错过这辆公共汽车．求两车站之间的最大距离． 考点讲练11：用一元一次不等式解决几何问题 【典例精讲】（20-21七年级下·吉林白山·期末）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，且，满足方程为二元一次方程． （1）求，的坐标． （2）若点为轴正半轴上的一个动点． ①如图1，当时，与的平分线交于点，求的度数； ②如图2，连接，交轴于点．若成立．设动点的坐标为，求的取值范围． 【变式训练】（20-21七年级上·山西晋中·期末）将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ． 考向三：—元一次不等式組 考点讲练12：求不等式組的解集 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·周测）解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1) (2) 考点讲练13：解特殊不等式組 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． (1)若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； (2)若有解，求所有符合条件的整数a的和． 考点讲练14：求一元一次不等式组的整数解 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式． （1）当时，该不等式的解集为 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点讲练15：由一元一次不等式组的解集求参数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）（1）如果关于x的方程的解是不等式组的一个解，求m的取值范围； （2）若关于的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)若关于的不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求的取值范围． 考点讲练16：不等式组和方程组结合的问题 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x、y满足． (1)用含有x的代数式表示y； (2)当时，求x的取值范围； (3)当x、y满足，且时，求m的取值范围． 【变式训练】（21-22七年级下·湖北武汉·期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 考点讲练17：列一元一次不等式组 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（21-22七年级下·北京西城·阶段练习）阅读下面材料后，解答问题 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则：若，，则． 请解答下列问题： (1)①若则或 ___________； ②若则 ___________或 ___________； (2) 根据上述规律，求不等式的解集． 考点讲练18：不等式组的分配问题 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱．该商店有哪几种进货方案？ 考点讲练19：不等式组的方案选择问题 【典例精讲】（22-23八年级下·四川成都·期中）某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 【变式训练】（24-25八年级上·重庆·期中）随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ 考点讲练20：一元一次不等式組的其他应用 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 基础夯实真题练 1．（24-25七年级下·吉林·开学考试）由得到的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）这三个实数之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B．     C．     D．   4．（24-25七年级下·山东日照·开学考试）某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为扩大营销，某网店准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，商店最多打 折． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组 （1）当时，不等式组的解集为 ； （2）当的解集为时，a的取值范围为 ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若是整数，且关于的方程组的解满足，则的值为 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）有4人搬运纸乘坐电梯，这4人的体重共，每箱纸重．已知该电梯的最大荷载为，则该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载 箱纸． 8．（24-25七年级下·全国·期末）某玩具店销售甲、乙两种型号的玩具汽车，已知卖出甲、乙两种型号的玩具汽车各2辆，收款共88元；卖出3辆甲型号玩具汽车和1辆乙型号玩具汽车，共收款84元． (1)求每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价； (2)某人想在该店购买甲、乙两种型号的玩具汽车共6辆，花费不少于130元，且不超过140元，则有哪几种购买方案？ 9．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 (1)若原不等式组无解，则a的取值范围是_______； (2)若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 培优拔尖真题练 11．（2025七年级下·全国·专题练习）某学校组织八年级200名学生搬桌椅参加元旦活动，规定每人每次搬2把椅子，两人每次搬1张桌子．若每人最多搬一次，则最多可搬桌椅（1张桌子1把椅子为1套）的套数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 12．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A．0 B．1 C．5 D．6 13．（2021·福建厦门·一模）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（    ） A．﹣1 B．0 C． D． 14．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号） 15．（21-22八年级下·重庆渝北·期末）中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委组织义务植树活动，让七、八、九三个年级的学生到某苗圃为本年级的种植点选购树苗，购买树苗的钱由学校统一支付．该苗圃共有a种树苗可供选择，每种树苗分别有大、中、小三类树苗，且每种树苗大、中、小三类的单价分别为80元/棵、10m元/棵、10n元/棵，其中，m，n均为整数；三个年级每种树苗都选择了一棵，但对于同一种树苗，三个年级选择的树苗大小又各不相同．结账时，九年级花费了730元，八年级和七年级共花费了1220元，则九年级购买小树苗共花费 元． 16．（20-21七年级下·重庆江北·期末）为了表彰本学期表现优秀的同学，学校决定订购“荣耀王者”、“至尊星耀”、“永恒钻石”三种不同的奖励勋章共50枚，其中“荣耀王者”勋章的数量高于“至尊星耀”勋章的数量，“永恒钻石”勋章的数量不高于30枚．已知“荣耀王者”勋章每枚80元，“至尊星耀”勋章每枚60元，“永恒钻石”勋章每枚50元．实际购买时，“荣耀王者”勋章每枚降低了10元，其他勋章价格不变学校实际订购的三枚勋章数量也均有所改变，“荣耀王者”勋章的数量是计划的，“永恒钻石”勋章的数量是计划的，结果实际购进三种勋章共37枚，实际花费比计划少了940元，则学校原计划购进“荣耀王者”勋章 枚． 17．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 18．（23-24七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义： “水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”． 已知：如图，． (1)若点C的坐标为，则A，B，C三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”__________； (2)点P在x轴上，若A，B，P三点的“矩面积”为10，则点P的坐标为_______； (3)点， ①若A，B，M三点的“矩面积”为8，直接写出满足题意的m的最大值； ②若，直接写出A，B，M三点的“矩面积”S的取值范围． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两个工程队参与修建一小段长的高速公路，甲、乙两队一起修建12天可以完工．若甲队单独修建5天后乙队加入，两队再一起修建4天，刚好能够完成该工程的一半． (1)甲、乙两队每天各能修建多少米？ (2)若乙队参与修建该工程的时间不超过10天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？ 20．（23-24七年级下·全国·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第11章 不等式与不等式组 （思维导图+知识梳理+20大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 知识梳理精讲 3 知识点梳理01:不等式 3 知识点梳理02:一元一次不等式 3 重点知识考点讲连 4 考向一：不等式及其解集 4 考点讲练01：不等式的定义 4 考点讲练02：不等式的解集 5 考点讲练03：不等式的性质 7 考向二：一元一次不等式 9 考点讲练04：一元一次不等式的定义 9 考点讲练05：求一元一次不等式的解集 10 考点讲练06：求一元一次不等式的整数解 11 考点讲练07：在数轴上表示不等式的解集 14 考点讲练08：求一元一次不等式解的最值 15 考点讲练09：列一元一次不等式 17 考点讲练10：用一元一次不等式解决实际问题 18 考点讲练11：用一元一次不等式解决几何问题 19 考向三：—元一次不等式組 23 考点讲练12：求不等式組的解集 23 考点讲练13：解特殊不等式組 25 考点讲练14：求一元一次不等式组的整数解 27 考点讲练15：由一元一次不等式组的解集求参数 29 考点讲练16：不等式组和方程组结合的问题 31 考点讲练17：列一元一次不等式组 33 考点讲练18：不等式组的分配问题 35 考点讲练19：不等式组的方案选择问题 37 考点讲练20：一元一次不等式組的其他应用 39 优选真题难度分层练 41 基础夯实真题练 41 培优拔尖真题练 48 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选全国各地人教版地区名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01:不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02:一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03:一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 考向一：不等式及其解集 考点讲练01：不等式的定义 【典例精讲】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【规范解答】在①；②；③；④；⑤；⑥中， 不等式有②；③；⑤；⑥，共4个； 是等式； ④是代数式． 故选：C． 【变式训练】（21-22七年级下·江苏镇江·期末）命题：①质数都是奇数；②如果、，那么；③多边形的外角和小于内角和；④如果，那么．其中假命题的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】根据质数的定义、完全平方公式的变式、多边形内角与外角、不等式的判定，即可一一判定． 【规范解答】解：①质数都是奇数，错误，2是质数，但是偶数，故该命题是假例题； ②如果、，那么，故该命题是假例题； ③多边形的外角和小于内角和，错误，如三角形的外角和为，内角和为，故该命题是假例题； ④如果，那么不一定成立，如a=-2，b=-3，，故该命题是假例题； 故共有4个假命题， 故选：D． 【考点评析】本题考查了质数的定义、完全平方公式的变式、多边形内角与外角、不等式的判定，熟练掌握和运用真假命题的判定方法是解决本题的关键． 考点讲练02：不等式的解集 【典例精讲】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的解集及解一元一次不等式；根据题意求得，且，把代入不等式中，即可求解． 【规范解答】解：由，得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 把代入中，整理得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（2024八年级·全国·竞赛）定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）根据得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据，，以及关于的不等式恰有2个正整数解，即可得到答案； 此题考查了二元一次方程组的应用、求不等式的解集等知识，读懂题意，正确列出方程组和理解新定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由得到， ， 解得 （2）由题意可得，， ∵，，，关于的不等式恰有2个正整数解， ∴. 考点讲练03：不等式的性质 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）用“>”“<”或“=”填空： （1）如果，那么a b； （2）试比较与的大小． ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ． 【答案】 【思路点拨】此题考查不等式的性质， （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴，故， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； ③∵，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读材料，回答下列问题 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）    ∴代数式的最小值为－2； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值 【拓展提高】（2）求的最大值 【答案】（1）；（2）5． 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用、不等式的性质等． （1）依据题意，由，又对于任意的都有，故，进而可以判断得解； （2）根据题意得到，又对于任意的都有，进而可以得解． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：； （2）解： ， 又对于任意的都有， ∴ ∴． ∴的最大值为5． 考向二：一元一次不等式 考点讲练04：一元一次不等式的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【规范解答】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 【变式训练】（20-21七年级下·江苏徐州·期末）已知2x﹣y＝3． （1）用含x的代数式表示y； （2）若2＜y＜3，求x的取值范围； （3）若﹣1≤x≤2，求y的最小值． 【答案】（1）y＝2x﹣3；（2）2.5＜x＜3；（3）﹣5 【思路点拨】（1）移项即可得出答案； （2）由2＜y＜3得出关于x的不等式组，分别求解即可； （3）由-1≤x≤2得-2≤2x≤4，可得-5≤2x-3≤1，据此知-5≤y≤1，继而得出答案． 【规范解答】解：（1）由2x﹣y＝3可得y＝2x﹣3； （2）由2＜y＜3得2＜2x﹣3＜3， 解2x﹣3＞2，得：x＞2.5， 解2x﹣3＜3，得：x＜3， ∴2.5＜x＜3； （3）由﹣1≤x≤2得-2≤2x≤4，则﹣5≤2x﹣3≤1， ∴﹣5≤y≤1， ∴y的最小值为﹣5． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 考点讲练05：求一元一次不等式的解集 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的是小星同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ （1）小星的解答从第 步开始出错（填序号）； （2）请写出正确的答案： ． 【答案】 ⑤ 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法． （1）观察可知，小星的解答从第⑤步开始出错； （2）根据不等式的性质求解即可． 【规范解答】解：（1）观察可知，小星的解答从第⑤步开始出错， 故答案为：⑤； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列一元一次不等式，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的求解，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的求解方法为解题关键． （1）根据去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求出解集，在数轴上表示出来即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求出解集，在数轴上表示出来即可． 【规范解答】（1）解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图． （2）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图． 考点讲练06：求一元一次不等式的整数解 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆·期末）已知两个多项式，，下列结论正确的有（   ）个． ①若关于的代数式不含一次项，则； ②若，则； ③若，则或； ④若关于x的方程的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，负整数的概念．熟练掌握解方程的步骤与方法是解题关键． ①，代入多项式A，B，根据不含一次项，使一次项系数为0，解方程求解即可判断①； ②，先代入多项式A，B，化简，变形，即可判断②； ③，代入多项式A，B，列绝对值方程求解即可判断③； ④，代入多项式A，B，化简，根据方程解为负整数，求不等式的负整数解，即可判断④． 【规范解答】解：①∵，， 关于的代数式 不含一次项， ∴， ∴， ∴①不正确； ②若， 则， ∴， ∴②正确； ③若 ， 则或， ∴③正确； ④∵关于x的方程 的解为负整数， ∴， ∴， ∵a为非负整数， ∴符合条件的a有0、20，共2个， ∴④不正确 ∴正确的有②③，共2个． 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式； （1）先解一元一次方程，根据方程的解是负数，列出不等式，解不等式，即可求解； （2）先解二元一次方程组，得出，根据，列出不等式，解不等式，即可求解． 【规范解答】解：（1）由，解得． ∵关于的方程的解是负数， ∴，解得，即的取值范围为．     （2） 由①，得③． 由②③，得，解得．    由题意，得，解得，    ∴的最大整数值是． 考点讲练07：在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，例如：． (1)若，则x的值为______； (2)已知，请在数轴上表示不等式的解集，并求出最小整数解． 【答案】(1)12 (2)图见解析， 【思路点拨】本题考查实数的运算、一元一次方程及一元一次不等式，理解题中新定义，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）根据新定义，列方程求解即可； （2）根据新定义，列出不等式并求出不等式的解集，然后将解集表示在数轴上，利用数轴可求得最小的整数值． 【规范解答】（1）解：由题意，将化为 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得， 故答案为：12； （2）解：因为， 所以， ． 因为， 所以，解得． 原不等式的解集为，在数轴上的表示如图所示． 由数轴可知，最小整数解为． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的一般步骤是关键． 按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【规范解答】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图． 考点讲练08：求一元一次不等式解的最值 【典例精讲】（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路点拨】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【规范解答】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【考点评析】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 【变式训练】（20-21八年级下·山东潍坊·期末）某城市的一个区域原来每天需要处理生活垃圾吨,刚好被个型和个型预处置点位进行初筛､压缩等处理．已知一个型点位比一个型点位每天多处理吨生活垃圾． （1）求一个型点位每天处理生活垃圾的吨数; （2）由于《城市生活垃圾管理条例》的施行,垃圾分类要求提高,现在每个点位每天将少处理吨生活垃圾．若该区域计划增设型､型点位共个,试问至少需要增设几个型点位才能当日处理完所有生活垃圾? 【答案】（1）每个型点位每天处理生活垃圾吨;（2）1个 【思路点拨】（1）设每个型点位每天处理生活垃圾吨,则每个型点位每天处理垃圾吨．根据每天需要处理生活垃圾吨,刚好被个型和个型预处置点位进行初筛､压缩等处理,可列出方程,即可得出答案．　 （2）设需要增设个型点位,则增设个型点位．根据每个点位每天将少处理吨生活垃圾．若该区域计划增设型､型点位共个,可列出不等式,即可求解． 【规范解答】解:（1）设每个型点位每天处理生活垃圾吨,则每个型点位每天处理垃圾吨． 根据题意,得, 解得:． 答:每个型点位每天处理生活垃圾吨． （2）设需要增设个型点位,则增设个型点位． 现在型点位每天处理（吨）,型点位每天处理（吨） 根据题意,得, 解得:． 答:至少需要增设个型点位． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用,解题的关键是弄清题意找出等量关系或不等关系,然后列出方程或不等式． 考点讲练09：列一元一次不等式 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）求当x取何值时，代数式的值： (1)大于； (2)不大于． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式，正确列出不等式是解答的关键． （1）先列不等式，然后根据一元一次不等式的求解步骤解不等式即可； （2）先列不等式，然后根据一元一次不等式的求解步骤解不等式即可 【规范解答】（1）解：根据题意，得 去分母，得 移项、合并同类项，得 解得． （2）解：根据题意，得 去分母，得 移项、合并同类项，得 解得． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·随堂练习）根据下列条件进行计算． (1)与3的和不大于x与1的差的三倍，求x的取值范围； (2)小颖家有16亩稻田，往年平均每亩水稻产量约为，今年小颖家打算将一部分稻田改为种植蔬菜，若要保证今年水稻的总产量不低于，则小颖家最多可种植多少亩蔬菜？ 【答案】(1)x的取值范围是． (2)小颖家最多可种植4亩蔬菜． 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的解法及用一元一次不等式解决问题，解决本题的关键是熟练掌握由题意能列出不等式． （1）根据题意先列出不等式，再求出解集即可； （2）先根据题意列出不等式，再求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， 解得：， x的取值范围是； （2）设小颖家将x亩稻田用于种植蔬菜， 由题意可得， 解得：， 小颖家最多可种植4亩蔬菜． 考点讲练10：用一元一次不等式解决实际问题 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）某水果店销售两种规格的水果礼盒，A水果礼盒进货价为每盒60元，售价为每盒80元，B水果礼盒进货价为每盒45元，售价为每盒60元．若该店购进两种水果礼盒的费用恰好为9000元，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得总利润至少为3000元，且两种水果礼盒全部售完．最多购进A水果礼盒多少盒？ 【答案】最多购进A水果礼盒48盒 【思路点拨】本题主要考查一元一次不等式的应用，设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，根据进货总价9000元列出方程，整理得到，再根据第三周总利润至少为3000元列出不等式，代入求出最大整数解即可． 【规范解答】解：设购进A种水果礼盒m盒，则购进B种水果礼盒n盒．由题意，得 ， 整理，得． 由题意，得， 整理，得． 把代入，得， 解得． 因为均为非负整数， 所以当时，． 故最多购进A水果礼盒48盒． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）小聪同学想乘公共汽车，他走到两车站之间的C处，拿出手机查看了公共汽车到站情况，发现公共汽车距离他（示意图如下）．若公共汽车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择去哪个车站都不会错过这辆公共汽车．求两车站之间的最大距离． 【答案】． 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，设看手机时小聪距离A站，距离B站.到A公交站，由小聪到A站所用时间不能多于公交车到A站所用时间，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可求出x的取值范围；到B公交站，由小聪到B站所用时间不能多于公交车到B站所用时间，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可求出y的取值范围，进而可得出的取值范围，再取其最大值即可得出结论． 【规范解答】解：设看手机时小聪距离A站，距离B站． 到A车站：，解得． 到B车站：，解得． 故， 所以两车站之间的最大距离为． 考点讲练11：用一元一次不等式解决几何问题 【典例精讲】（20-21七年级下·吉林白山·期末）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，且，满足方程为二元一次方程． （1）求，的坐标． （2）若点为轴正半轴上的一个动点． ①如图1，当时，与的平分线交于点，求的度数； ②如图2，连接，交轴于点．若成立．设动点的坐标为，求的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）①45°；② 【思路点拨】（1）根据可得，，，，即可求得a、c的值，坐标可求； 2）①作PH∥AD，根据角平分线的定义、平行线的性质计算，得到答案； ②连接AB，交y轴于F，根据点的坐标特征分别求出S△ABC、S△ABD，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【规范解答】解：（1）由题意得，，，， 解得，，， 则点的坐标为，点的坐标为； （2）①如图1，作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②连接，交轴于， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， 过作轴的平行线，作、垂直，交于点、， ， ， 由题意得，， 解得，， ∵点为轴正半轴上的一个动点， ∴． 【考点评析】本题考查的是二元一次方程的定义、平行线的性质、坐标与图形性质、三角形的面积计算，一元一次不等式，掌握平行线的性质、三角形面积公式是解题的关键． 【变式训练】（20-21七年级上·山西晋中·期末）将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ． 【答案】3或 【思路点拨】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【规范解答】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：3或 故答案为：3或． 【考点评析】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 考向三：—元一次不等式組 考点讲练12：求不等式組的解集 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的求解，在数轴上表示出不等式组的求解，先分别求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下图： ， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·周测）解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组、再数轴上表示解集等知识点，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分为不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示即可； （2）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分为不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示即可； 【规范解答】（1）解：（1）解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下： （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下： 考点讲练13：解特殊不等式組 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【思路点拨】本题主要考查了解不等式组、一元一次不等式组的整数等知识点，根据题意判断出的取值范围是解题关键． （1）先求出不等式组的解集为，再根据不等式组的最小整数解为，列出关于a的不等式求解即可； （2）根据不等式组的解集为以及所有整数解的和为14可得整数解为，再列出关于a的不等式组求解即可． 【规范解答】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴该不等式组的解集为：． ∵不等式组的最小整数解为， ∴，解得：， ∴整数a的值为1． （2）解：∵该不等式组的解集为：，不等式组所有整数解的和为14， ∴整数解为， ∴，解得． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． (1)若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； (2)若有解，求所有符合条件的整数a的和． 【答案】(1)所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4 (2)所有符合条件的整数a的和为15 【思路点拨】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． （1）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可； （2）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围得出所有符合条件的整数a，最后得出答案即可． 【规范解答】（1）解：解方程组得：， 关于x、y的二元一次方程组的解满足且， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于x的不等式组无解， ， 解得：， 即， ∴所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 即， 所有符合条件的整数a有：1，2，3，4，5， ， 所有符合条件的整数a的和为15． 考点讲练14：求一元一次不等式组的整数解 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式． （1）当时，该不等式的解集为 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． （1）将m的值代入，解不等式即可； （2）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有3个，即可得到关于m的不等式，然后求解即可． 【规范解答】解：（1）当时， ， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 故答案为：； （2）由不等式，可得：， ∵该不等式的负整数解有且只有3个， ∴这3个整数解为，，， ， 解得， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键． 解二元一次方程组，得，由“方程组的解均为正数”可得，解得；解不等式组，由得，由得，由“不等式组的解集为”可得，解得；综合以上，于是得解． 【规范解答】解：， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 二元一次方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的解均为正数， ， 解得：； ， 整理，得： 由得：， 由得：， 不等式组的解集为， ， 解得：； 综上，的取值范围是：， 故选：． 考点讲练15：由一元一次不等式组的解集求参数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）（1）如果关于x的方程的解是不等式组的一个解，求m的取值范围； （2）若关于的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握相关计算方法是解题的关键． （1）先分别求出方程和不等式组的解集，然后得到关于m的不等式组求解即可； （2）先分别求出方程组、不等式组的解集，然后根据题意得到关于a的不等式组求解即可． 【规范解答】（1）解：解关于x的方程得：， 解不等式组得：， 所以，解得：． （2）解：解关于的方程组得：， 解不等式组得：， 所以，解得：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)若关于的不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组等． （1）根据新定义整理不等式并求出其解集，进而得，解方程可得m的值，根据新定义整理所求不等式，再将m的值代入并解不等式即可． （2）先根据新定义整理不等式组得，解不等式组，再根据其解集中有且只有2个整数解，得到关于n的不等式组，解不等式组即可得的取值范围． 【规范解答】（1）解：，， ， 解得：， 又关于的不等式的解集是， ， 解得：， ， ， 把代入得， 解得：； （2）解：关于的不等式组可变为， 解得：， 关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解， ∴， 解得：． 考点讲练16：不等式组和方程组结合的问题 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x、y满足． (1)用含有x的代数式表示y； (2)当时，求x的取值范围； (3)当x、y满足，且时，求m的取值范围． 【答案】(1)（1） (2) (3) 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程，解一元一次不等式．能正确解方程组或不等式组是解此题的关键． （1）把含x的项迁移到等式的右边，化y的系数为1即可； （2）建立起关于x的不等式，求解即可； （3）先构造方程组，用含有m的代数式分别表示x，y，后建立不等式组求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：联立方程组， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 【变式训练】（21-22七年级下·湖北武汉·期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围． 【规范解答】解：∵T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1， ∴ 解得：a=1，b=3， 解得， ，解得， ∵关于m的不等式组恰好有3个整数解， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键． 考点讲练17：列一元一次不等式组 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【规范解答】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 【变式训练】（21-22七年级下·北京西城·阶段练习）阅读下面材料后，解答问题 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则：若，，则． 请解答下列问题： (1)①若则或 ___________； ②若则 ___________或 ___________； (2)根据上述规律，求不等式的解集． 【答案】(1)①，②， (2)或 【思路点拨】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）根据题目中给出的信息，列出关于x的不等式组，然后解不等式组即可得出答案． 【规范解答】（1）解：①若，则或； ②若，则或； 故答案为：①；②；． （2）解：， ∴①或②， 解不等式组①得：； 解不等式组②得：， ∴不等式的解集是或． 【考点评析】本题主要考查了解不等式组的应用，解题的关键是理解题意，当时，或；当时，或． 考点讲练18：不等式组的分配问题 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． (2)学校共有以下3种购买方案：方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 【思路点拨】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元，根据购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个甲种品牌毽子，根据甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，列出不等式组进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． （2）设购买个甲种品牌毽子，则购买个乙种品牌毽子． 根据题意，得 解得． 又因为均为正整数， 所以可以为60，62，64， 所以学校共有以下3种购买方案： 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱．该商店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元 (2)有三种进货方案：①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱；②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱；③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式组． （1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”分别列出不等式求解即可； 【规范解答】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元． 由题意，得 解得 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱． 由题意，得 解得． 因为m为正整数，所以m可取40，41，42． 故该商店有三种进货方案： ①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱． 考点讲练19：不等式组的方案选择问题 【典例精讲】（22-23八年级下·四川成都·期中）某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 【答案】(1)挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元 (2)11种 【思路点拨】本题考查了方程组，不等式的应用，不等式组的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键． （1）设挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进挂式空调件，则购进电风扇件，根据题意，得，求解符合题意的整数解即可． 【规范解答】（1）解：设挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元，根据题意，得， 解得． 答：挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元． （2）解：设购进挂式空调件，则购进电风扇件，根据题意，得， 解得 ， 为整数， 取10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20共11种． 答：一共有11种进货方案． 【变式训练】（24-25八年级上·重庆·期中）随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ 【答案】(1)A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元 (2)共有4种不同的进货方案：①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台；②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台；③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台；④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元，根据6台A型号8台B型号的电扇收入3040元，12台A型号7台B型号的电扇收入4280元，列方程组求解； （2）设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台，根据“A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍，200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元”，列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：，解得：， 答：A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元． （2）解：①设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴，131，132，133， ∴，69，68，67， ∴共有4种不同的进货方案： ①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台； ②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台； ③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台； ④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台． 考点讲练20：一元一次不等式組的其他应用 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键： （1）将数字代入计算结合大于输出即可得到答案； （2）根据第三次输出列不等式组求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：当时，第一次运算：， ∵若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算：， 结果大于，则输出此结果； （2）解：∵已知运算进行了三次后停止， ∴第二运算结果不大于， ∴                                   解得： ， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【答案】(1)型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台 (2)有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台 (3)选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元，B型号阅卷扫描仪的单价是万元，根据题意列出方程组并求解； （2）设购买型号阅卷扫描仪台，根据题意列出不等式即可； （3）写出所有可能的方案，然后选出型号最多的方案． 【规范解答】（1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台， 根据题意，得解得 答：型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台． （2）设购买型号阅卷扫描仪台，则购买型号阅卷扫描仪台． 根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，， ∴m可取，，，对应的值为，，． ∴有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台． （3）在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台． 基础夯实真题练 1．（24-25七年级下·吉林·开学考试）由得到的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边同时乘（或除以）同一个数时，不等号方向的变化规律． 根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；不等式两边同时乘0，两边相等． 分析在的基础上，怎样变形能得到，从而确定的取值范围． 【规范解答】已知，要得到，说明在不等式两边同时乘后，不等号方向改变或者变为等号， 当时，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得， 当时，， 所以由得到的条件是， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）这三个实数之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查实数的大小比较，先估算的大小，再比较大小即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·周测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B．     C．     D．   【答案】D 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组、再数轴上表示解集等知识点，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 先分别求出每个不等式的解集，然后再在数轴上表示出来即可． 【规范解答】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示如下：    故选D． 4．（24-25七年级下·山东日照·开学考试）某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为扩大营销，某网店准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，商店最多打 折． 【答案】八/8 【思路点拨】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的不等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．打折销售后要保证打折后利率为，因而可以得到不等关系为：利润大于等于进价乘以，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可． 【规范解答】解：设应打x折， 则根据题意得：， 解得：． 故商店最多打八折． 故答案为：八． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组 （1）当时，不等式组的解集为 ； （2）当的解集为时，a的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集为，即可确定a的范围． 【规范解答】解：（1）当时， 不等式组为， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为； 故答案为：． （2）解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若是整数，且关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题综合考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意求出关于m的不等式组．把m当作已知数，解方程组求出方程组的解（x、y的值）根据已知得出不等式组，求出m的取值范围即可． 【规范解答】解：， ，得， 解得： ， 把代入②得：， 解得：， ∵， ∴， ∴解得：， ∵m是整数， ∴，0，1，2，3． 故答案为：，0，1，2，3． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）有4人搬运纸乘坐电梯，这4人的体重共，每箱纸重．已知该电梯的最大荷载为，则该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载 箱纸． 【答案】31 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设还能搭载x箱纸，利用总重量小于等于，进而得出答案． 【规范解答】解：设还能搭载x箱纸，根据题意可得： ， 解得：， 所以，该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载31箱纸． 故答案为：31． 8．（24-25七年级下·全国·期末）某玩具店销售甲、乙两种型号的玩具汽车，已知卖出甲、乙两种型号的玩具汽车各2辆，收款共88元；卖出3辆甲型号玩具汽车和1辆乙型号玩具汽车，共收款84元． (1)求每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价； (2)某人想在该店购买甲、乙两种型号的玩具汽车共6辆，花费不少于130元，且不超过140元，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别是20元和24元 (2)共有三种购买方案，分别为甲型号1辆，乙型号5辆；甲型号2辆，乙型号4辆；甲型号3辆，乙型号3辆 【思路点拨】（1）设每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别为元，元．由题意，得，解方程组即可； （2）设购买甲型号玩具汽车辆，则购买乙型号玩具汽车辆，依题意，得，求整数解即可. 本题主要考查列二元一次方程组解应用题，以及列一元一次不等式组解应用题，并设计方案. 读懂题意，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键. 【规范解答】（1）解：设每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别为元，元． 根据题意得, 解得， 答：每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别是20元和24元； （2）解：设购买甲型号玩具汽车辆，则购买乙型号玩具汽车辆， 根据题意得， 解得． 为正整数， 取1、2、3． 答：共有三种购买方案，分别为甲型号1辆，乙型号5辆；甲型号2辆，乙型号4辆；甲型号3辆，乙型号3辆． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 (1)若原不等式组无解，则a的取值范围是_______； (2)若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围． （1）分别解出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出a的取值范围即可； （2）根据不等式组有且只有5个整数解，即可确定不等式组的解集，进而即可得到一个关于a的不等式，从而求解． 【规范解答】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组无解， ， 解得： （2）原不等式组有解， ∴不等式组的解集， 又∵不等式组有且只有5个整数解， ， 解得， 故答案为：． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可知，然后求解即可； （2）根据和题目中的新定义，利用分类讨论的方法解答即可． 【规范解答】（1）解：因为， 所以，解得． 故x的取值范围是； （2）解：因为， 所以当，即时， ， 解得； 当，即时， ， 解得，故． 综上所述，x的取值范围是或． 培优拔尖真题练 11．（2025七年级下·全国·专题练习）某学校组织八年级200名学生搬桌椅参加元旦活动，规定每人每次搬2把椅子，两人每次搬1张桌子．若每人最多搬一次，则最多可搬桌椅（1张桌子1把椅子为1套）的套数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，设可搬桌椅套，即桌子张，椅子把，则搬桌子需人，搬椅子人，根据题意得，求解即可，解题的关键是根据实际问题抽象出一元一次不等式． 【规范解答】解：设可搬桌椅套，即桌子张，椅子把，则搬桌子需人，搬椅子人，根据题意得： ， 解得：， ∴最多可搬桌椅套， 故选：C． 12．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A．0 B．1 C．5 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查了解分式方程，一元一次不等式组的整数解，先解一元一次不等式组，根据关于的不等式组至少有3个整数解，从而可得，然后解分式方程可得，再根据分式方程有非负整数解，从而可得，且是2的倍数，最后进行计算求出所有符合条件的值，即可解答． 【规范解答】， 由①得，， 由②得，， 不等式组至少有3个整数解， ， 分式方程， 方程的两边同时乘以，得 ， 移项、合并同类项得，， 解得， 方程的解是非负整数， ，且是2的倍数， ，且是2的倍数， ， ， ， ，且，是2的倍数， 的取值为，1，3，5， 所有满足条件的整数的值之和是， 故选：D． 13．（2021·福建厦门·一模）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（    ） A．﹣1 B．0 C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据因式分解将多项式分解，利用0＜m＜1即可得0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1，进而可得结果． 【规范解答】解： ∵x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1）， ∴x﹣2y＝2， ∴4m＝4y2﹣x2＝（2y＋x）（2y﹣x）， ∴x＋2y＝﹣2m， ∴2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy ＝（2mx﹣4my）﹣（x2＋4y2＋4xy） ＝2m（x﹣2y）﹣（x2＋4y2＋4xy） ＝2m（x﹣2y）﹣（x＋2y）2 ＝4m﹣4m2 ＝﹣（2m﹣1）2＋1， ∵0＜m＜1， ∴0＜2m＜2， ∴﹣1＜2m﹣1＜1， ∴0＜（2m﹣1）2＜1， ∴0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1． 故选：C． 【考点评析】本题考查了因式分解，不等式的性质等知识，能将已知条件变形和将多项式因式分解是解题关键． 14．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程的应用，解一元一次不等式组的应用．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．当时，，可判断①的正误；设，则，，，可得，可判断②的正误；由题意知，的整数部分为，则小数部分为， 由，可求，可判断③的正误；由，可得，的整数部分为，则小数部分为，且，可求，然后分情况求解，进而可判断④的正误． 【规范解答】解：当时，，①正确，故符合要求； 设，则， ∴， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 由题意知，的整数部分为，则小数部分为， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴的整数部分为，则小数部分为，且， 解得，， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，或或是的解，④错误，故不符合要求； 故答案为：①②③． 15．（21-22八年级下·重庆渝北·期末）中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委组织义务植树活动，让七、八、九三个年级的学生到某苗圃为本年级的种植点选购树苗，购买树苗的钱由学校统一支付．该苗圃共有a种树苗可供选择，每种树苗分别有大、中、小三类树苗，且每种树苗大、中、小三类的单价分别为80元/棵、10m元/棵、10n元/棵，其中，m，n均为整数；三个年级每种树苗都选择了一棵，但对于同一种树苗，三个年级选择的树苗大小又各不相同．结账时，九年级花费了730元，八年级和七年级共花费了1220元，则九年级购买小树苗共花费 元． 【答案】90 【思路点拨】由题意得：三个年级的学生各不相同，说明每一类树苗的各类都被三个年级的学生选购，所以应该是每一类树苗的总价的整数倍，可得 结合 可得方程的正整数解，设九年级选了大的树苗棵，中树苗棵，可得 结合都为正整数，可得方程的解，从而可得答案． 【规范解答】解：由题意得：三个年级的学生各不相同，说明每一类树苗的各类都被三个年级的学生选购， 所以应该是每一类树苗的总价的整数倍， ∴ 即 ∵，m，n均为整数； ∴ 而 ∴ ∴ 设九年级选了大的树苗棵，中树苗棵，则 整理得： ∵都为正整数， ∴ 则九年级购买小树苗共花费（元）． 答：九年级购买小树苗共花费90元． 故答案为：90 【考点评析】本题考查的是二元一次方程组的整数解问题，不等式的性质，理解题意，确定相等关系列方程，再利用方程的正整数解的条件求解方程的解是解本题的关键． 16．（20-21七年级下·重庆江北·期末）为了表彰本学期表现优秀的同学，学校决定订购“荣耀王者”、“至尊星耀”、“永恒钻石”三种不同的奖励勋章共50枚，其中“荣耀王者”勋章的数量高于“至尊星耀”勋章的数量，“永恒钻石”勋章的数量不高于30枚．已知“荣耀王者”勋章每枚80元，“至尊星耀”勋章每枚60元，“永恒钻石”勋章每枚50元．实际购买时，“荣耀王者”勋章每枚降低了10元，其他勋章价格不变学校实际订购的三枚勋章数量也均有所改变，“荣耀王者”勋章的数量是计划的，“永恒钻石”勋章的数量是计划的，结果实际购进三种勋章共37枚，实际花费比计划少了940元，则学校原计划购进“荣耀王者”勋章 枚． 【答案】16 【思路点拨】设原计划购进“荣耀王者”勋章x枚，“永恒钻石”勋章y枚，则购进“至尊星耀”枚，根据题意列出关于的二元一次方程，由是整数，为整数，且为整数，可以取出符合的值，然后再根据题意列出不等式，找出符合题意的取值即可． 【规范解答】解：设原计划购进“荣耀王者”勋章x枚，“永恒钻石”勋章y枚， 则购进“至尊星耀”枚， 则原计划花费：， 实际花费：， 由题可知：， 即， 是整数，为整数，且为整数， 则或或或或．．． 根据题意可知，即， 则满足条件的的值为， 原计划购进原计划购进“荣耀王者”勋章16枚， 故答案为：16． 【考点评析】本题主要考查二元一次方程的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，得出关于的二元一次方程是解题的关键． 17．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③ (2)2 (3)①，；②不存在，见解析 【思路点拨】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【规范解答】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 18．（23-24七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义： “水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”． 已知：如图，． (1)若点C的坐标为，则A，B，C三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”__________； (2)点P在x轴上，若A，B，P三点的“矩面积”为10，则点P的坐标为_______； (3)点， ①若A，B，M三点的“矩面积”为8，直接写出满足题意的m的最大值； ②若，直接写出A，B，M三点的“矩面积”S的取值范围． 【答案】(1)15 (2)或 (3)①； ② 【思路点拨】本题考查了坐标与图形，三角形的面积以及不等式组的解法，属于新定义题型，题解题意，注意分类讨论是解题的关键． （1）由直接求解； （2）由“矩面积”为10求得，然后分类讨论：当时，；当时，，分别求解即可； （3）①由题意得：，则得到不等式组，解之即可求出最值； ②当时，确定出，即可求出的取值范围． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：15． （2）解：由题意得：， ∵，， ∴ 则当时，，解得， 当时，，解得， ∴或， 故答案为：或． （3）解：①由题意得：， ∴， 解得：， ∴m的最大值为； ②当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两个工程队参与修建一小段长的高速公路，甲、乙两队一起修建12天可以完工．若甲队单独修建5天后乙队加入，两队再一起修建4天，刚好能够完成该工程的一半． (1)甲、乙两队每天各能修建多少米？ (2)若乙队参与修建该工程的时间不超过10天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？ 【答案】(1)， (2)15天 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可； （2）设甲队需要修建m天才能完成该工程，根据乙队参与修建该工程时间不超过10天列出不等式，可求解． 【规范解答】（1）解：设甲队每天修建，乙队每天修建． 依题意，得， 解得， 故甲队每天能修建，乙队每天能修建； （2）解：设甲队需要修建天才能完成该工程． 依题意，得， 解得． 故甲队至少需要修建15天才能完成该工程． 20．（23-24七年级下·全国·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 【答案】(1)①，；②人； (2)名工人进行水果采摘，名工人加工罐头；最大利润为元． 【思路点拨】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． （）①根据题意列式即可求解；②根据题意列出不等式即可求解； （）根据题意，列出不等式即可求解； 【规范解答】（1）解：①由题意得，加工罐头的工人为人，可以加工罐头千克， 故答案为：，； ②由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴采摘水果的工人至少人； （2）解：由题意得，， 解得， 要使直接出售所获利润不超过总利润的，应该有名工人进行水果采摘，名工人加工罐头， 所获最大利润为元． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$