第12讲 平面直角坐标系-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第12讲 平面直角坐标系 课程标准 学习目标 平面直角坐标系的概念 1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角坐标系; 2.理解各象限内及坐标轴上点的坐标特征; 3.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据点 的位置确定横、纵坐标的符号 知识点01 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向右为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对一一对应. 【即学即练1】 如图，平面直角坐标系中有一只蚂蚁从图示位置爬到A点，则A点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角坐标系，根据直角坐标系直接写出点A的坐标即可． 【详解】解：根据直角坐标系可得出A点的坐标是， 故选：B． 【即学即练2】 一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了长方形的性质，根据长方形的性质可知，长方形的对边平行且相等，故连接各个顶点，数形结合，可以作出点可能的位置，理解题意是解题的关键． 【详解】 解：长方形的三个顶点的坐标分别为，，． 第四个顶点的坐标为， 故选：B． 【即学即练3】 若点到轴，轴的距离之和为13，求点的坐标． 【答案】点或 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据题意可得，然后进行计算即可解答，熟知点到坐标轴的距离分别为横、纵坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 或， 解得或． 点或． 知识点02 用“方位角十距离”的定位法确定位置 像北偏西60,南偏东60“这样的角称为方位角. 【即学即练1】 北京时间2024年5月20日11时6分，“郑州航空港号”卫星搭乘长征二号丁运载火箭发射升空，从这天起，星空中有了一颗以“郑州航空港”来命名的星星．下列表述，能确定郑州位置的是（   ） A．河南省中北部 B．东经，北纬 C．嵩山东麓，黄河之滨 D．黄河中下游分界处 【答案】B 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据坐标确定位置需要两个数据解答． 【详解】解：东经，北纬能确定郑州位置 故选：B． 题型01 写出直角坐标系中点的坐标 【典例1】若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查象限内点的坐标特征，熟知点的象限符号及点到坐标轴的距离定义是解答的关键．根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断点P坐标． 【详解】解：点P在第二象限， 点P横坐标为负，纵坐标为正， 点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2， 则点P的坐标为， 故选：D． 【变式1】某数学兴趣小组的同学们，把6个形状、大小完全相同的长方形叠加成如图所示的三个上升的“L”图案，放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，二元一次方程组的应用，正确的列出方程组是解题的关键：设长方形的长为，宽为，根据点的坐标为，列方程即可得到结论． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，根据题意得， ，解得， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得C的坐标． 【详解】解：∵把线段沿轴向右平移得到， ∴四边形是平行四边形， ∴，A和C的纵坐标相同， ∵四边形的面积为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，Q是直线l上的一点，则点Q的坐标可能是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，掌握平行于轴的直线上的点纵坐标相同是解题关键．由题意可知点的纵坐标为5，即可得到答案． 【详解】解：由坐标系可知，点的纵坐标为5， 即点Q的坐标可能是， 故答案为：（答案不唯一）． 题型02 求点到坐标轴的距离 【典例1】在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握：点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值．再结合第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数即可得出结论． 【详解】解：∵点位于第四象限，且点到轴和轴的距离分别为，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【变式1】若点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标可能是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 故选:D． 【变式2】已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特点解答即可，横坐标的绝对值就是到轴的距离， 纵坐标的绝对值就是到轴的距离 ． 【详解】解：点到轴距离为3， 点的横坐标是， 第三象限内的点横坐标小于 0 ， 点的横坐标是． 横坐标与纵坐标的差为1， 纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】点到轴的距离为3，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 根据到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，得到，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：D． 题型03 坐标系中描点 【典例1】如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，坐标与图形性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：如图， 则在x轴上共有4个这样的P点． 故选：C． 【变式1】在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，的中垂线交y轴于点，即可求得答案． 【详解】解：如图，①以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，此时， ②以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，此时， ③的中垂线交y轴于点，此时， 综上所述，符合要求的点的位置共有5个， 故选：D． 【变式2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为，点B坐标为； (2)请作出关于y轴对称的； (3)的面积为______； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查建立直角坐标系，轴对称作图． （1）根据点A及点C的坐标，易得y轴在C的右边一个单位，x轴在C的下方3个单位，建立直角坐标系即可； （2）根据对称轴垂直平分对应点连线，可得各点的对称点，顺次连接即可； （3）根据三角形的面积计算公式及割补法解答即可． 【详解】（1）解：建立的坐标系，如图所示： （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：的面积为： ， 故答案为：5． 【变式3】已知四边形的四个顶点分别是，，，．在直角坐标系中画出这个四边形，并求这个四边形的面积． 【答案】画图见解析，这个四边形的面积为 【分析】本题考查了坐标与图形，先描点，然后连线，分别过作轴交于点，通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，先描点，，，，然后连线， ∴四边形即为所求， 分别过作轴交于点， ∴ ． 【变式4】根据如图所示的平面直角坐标系，完成以下任务： (1)描出点，，，用线段顺次连接点，得到； (2)画出关于轴对称的； (3)画出关于x轴对称的. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先描出点，，，再用线段顺次连接点即可； （2）先描出点，，，再用线段顺次连接点即可； （3）先描出点，，，再用线段顺次连接点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 题型04 判断点所在的象限 【典例1】点与点关于原点对称，则点所在的象限是（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点以及各点所在象限的性质，根据“点与点关于原点对称”，求出a、b的值，即可确定点的坐标，进而得到结论． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴点即所在的象限是第四象限． 故选：D． 【变式1】下列说法正确的有（   ） ①x轴上的点，其纵坐标均为0 ②当时，点在第四象限 ③若，则点在第一象限 ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，据此逐一判断即可，熟知平面直角坐标系中点的特征是解题的关键． 【详解】①x轴上的点，其纵坐标均为0，故正确； ②当时，点在第四象限或第一象限，故错误； ③若，则点在第一象限，故正确； ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应，故正确； 故正确的有3个， 故选：C． 【变式2】．已知，则点在第 象限。 【答案】二 【分析】本题考查点所在的象限、平方和算术平方根的非负性，解决本题的关键是熟练性质及点所在象限的特征．根据平方和算术平方根的非负性求出a、b的值，再判断P所在的象限． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴点P在第二象限． 故答案为：二． 【变式3】对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了点的符号特征，根据新定义求出，再根据点的符号特征，判断点所在的安象限即可． 【详解】解：∵点在第二象限，点在第三象限， ∴， ∴， ∵ ∴在第四象限； 故答案为：四． 题型05 已知点所在的象限求参数 【典例1】若点在y轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握在y轴上的点的横坐标为0．根据y轴上点的横坐标为0，计算出m的值，从而得出点P坐标． 【详解】解：∵点在y轴上， ， 解得：， ， ∴点P的坐标为． 故选：C． 【变式1】已知点在x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了在轴上的点的坐标特点，根据在轴上的点纵坐标为0求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m的值可能为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查象限点的坐标特征．根据第二象限的点：横坐标为负，纵坐标为正，可得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 则m的值可能为． 故选：A． 题型06 用方向角和距离确定物体的位置 【典例1】小丽家在学校的北偏东方向上，距离学校处；小亮家在学校的正南方向上，距离学校处；而小林家在学校的东南方向上，距离学校处．小丽、小亮、小林他们是好朋友，请你建立一个适当的平面直角坐标系，并在坐标系上标出这三个好朋友的家所在的位置． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查方位角的运用，理解方位角的表示方法是解题的关键． 根据题意，确定单位长度，找出小丽、小亮、小林家的方位角，确定距离即可标识出具体位置，由此即可求解． 【详解】解：以学校为原点建立平面直角坐标系，这三个好朋友的家所在的位置如图所示． 【变式1】如图所示的是小明家周边的简单地图，已知 ，，点C为的中点，请用方向与距离描述商场、学校、停车场、公园、小吃街相对于小明家的位置． 【答案】商场在小明家西偏北，处；学校在小明家东偏北，处；公园在小明家东偏南，处；停车场在小明家东偏南 ，处；小吃街在小明家南偏西，处 【分析】本题主要考查了运用方位角确定位置，掌握方位角确定位置包括方位角和距离两部分成为解题的关键． 直接运用方位角各场所的位置即可． 【详解】解：商场在小明家西偏北，处； 学校在小明家东偏北，处； 公园在小明家东偏南，处； 停车场在小明家东偏南 ，处； 小吃街在小明家南偏西，处． 【变式2】如图是一个飞机场的雷达屏幕，每两个相邻圆之间的距离是10千米． (1)飞机A在机场______偏______方向，距离是______千米； (2)飞机B在机场______偏南______方向，距离是______千米； (3)飞机C在机场南偏东，距离是50千米，请在平面上标出C的位置． 【答案】(1)北，东，30 (2)西，，40 (3)见解析 【分析】此题考查了用方位角和距离表示位置． （1）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （2）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （3）根据飞机的位置在图上标出点C的位置即可． 【详解】（1）解：飞机A在机场北偏东方向，距离是30千米， 故答案为：北，东，30 （2）飞机B在机场西偏南方向，距离是40千米． 故答案为：西，，40 （3）如图，点C即为所求． 【变式3】如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______； (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置； (3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示． 【答案】(1)，，， (2)目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站 (3)， 【分析】本题考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，理解题意、熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． （1）根据“目标C，F的位置表示为，”， 表示目标A，B，D，E的位置即可； （2）根据“目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站”，求出每一圈表示，观察图形，根据用方向角和距离确定物体的位置，写出目标A，B，D，E的实际位置即可； （3）根据“目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处”，观察图形并计算，写出G，H的位置表示即可． 【详解】（1）解：∵目标C，F的位置表示为，， ∴按照此方法表示：，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵，，目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站， ∴， 又∵，，，， ∴，，，， ∴目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站； （3）解：∵目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处， ∴，，，， ∴，． 一、单选题 1．若轴上的点到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标特征，在轴上的点的纵坐标为． 根据坐标轴上的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解： 轴上的点到轴的距离为5， 点的横坐标为或，纵坐标为， 点的坐标为或， 故选：C ． 2．第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标，先根据，两点的坐标建立好坐标系，即可确定点的坐标，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键． 【详解】解：，两点的坐标分别为，， 建立坐标系如图所示： 点的坐标为． 故选：A． 3．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了判断点所在象限，根据第一象限的点的坐标特征为，第二象限的点的坐标特征为，第三象限的点的坐标特征为，第四象限的点的坐标特征为，判断即可得解，熟练掌握各象限点的坐标特征是关键． 【详解】解：点所在的象限是第四象限． 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，,， ∴点在第二象限． 故选：B． 5．如图，从韩愈的《早春呈水部张十八员外》和刘禹锡的《浪淘沙·其一》中各选取一句放在平面直角坐标系中，“看”的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握点的坐标表示方法是解题的关键； 在平面直角坐标系中，横坐标表示点在x轴上对应的位置，纵坐标表示点在y轴上对应的位置，即可解答； 【详解】解：从图中可以看到，“看”字对应的横坐标是4，纵坐标是3， 所以“看”的坐标是． 故选：D． 6．下列说法不正确的是（    ） A．点在第一象限 B．点到y轴的距离为 C．若中，则点P在x轴上 D．点一定在第二象限 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标特征，绝对值的非负性等知识，根据点在各象限的坐标符号特征，坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离即可解答，掌握点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：A、点在第一象限，说法正确，故选项不符合题意； B、点到y轴的距离为，说法正确，故选项不符合题意； C、若中，则点在轴或轴上，故选项符合题意； D、∵，， ∴点一定在第二象限，故选项不符合题意； 故选：C． 7．如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为 （         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 由题意过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过A和B分别作于D，于E， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴则B点的坐标是． 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，且，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出和．过C作轴于M，轴于N，推出，证，推出，求出，代入求出即可． 【详解】解：过C作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 9．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示2024的有序数对． 根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2024在第多少排，然后即可写出表示2024的有序数对，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有：个数， ∵当时，， 当时，， ∴2024在第64排， ∵， ∴表示2024的有序数对是． 故选：C． 10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案． 【详解】解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点， 可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0； ∵2022÷6＝337， ∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0， 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点与点的距离的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了两点间的距离，根据两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当时，最小为： 故答案为：2． 12．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的第 象限． 【答案】一 【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知直角坐标系中点的坐标特点． 先求出方程组的解，再根据直角坐标系的坐标特点即可求解． 【详解】解： 把代入可得，， 解得，， 把代入， 可得，， 点直角坐标系中的坐标是， 根据各象限的取值，位于第一象限， 故答案为：一． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，则当 时，是等腰三角形． 【答案】4或5或6或16 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．分四种情况解答，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过点P作轴于点C，则，， 当时，， ∴， 此时； 当时， ， 此时； 当时， 若为锐角三角形，， 此时； 若为钝角三角形， 在中，， ∴； 综上所述，当4或5或6或16时，是等腰三角形． 故答案为：4或5或6或16 14．如图，在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作，且．连接，当取得最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，坐标与图形，过点作轴于点，可证，得到，即得点在直线上运动，可知当垂直于这条直线时，最短，据此即可求出点的坐标，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在直线上运动，如图， 当垂直于这条直线时，最短，此时， 故答案为：． 15．点在y轴的右侧，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了点的坐标，掌握熟记点到x轴的距离等于纵坐标绝对值的长度，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值分情况解答即可． 【详解】解：∵点在y轴的右侧，到x轴的距离是4，到y轴的距离是3， ∴点P的横坐标为，纵坐标为或4， ∴点的坐标是或． 故答案为：或． 16．已知点，，且直线轴，则，两点间的距离为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了两点间的距离公式以及两条直线相交或平行问题，由直线轴结合点A、B的坐标，即可求出a值，从而可得出点A的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长度即可． 【详解】解：∵直线轴，，， ∴， 解得：， ∴点，点， ∴线段． 即，两点间的距离为7． 故答案为：7． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上．若点A的纵坐标始终为4，则点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形在坐标轴上的移动．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形边的大小关系，是解题的关键． 设直线为l，l交y轴于点E，点到直线的距离为，取点，连接交于点G，连接，证明， 结合，得，得，可得，结合，，得，得，可得，得，根据得最大值为． 【详解】解：设纵坐标始终为4的直线为l，l交y轴于点E，点到直线的距离为，取点，连接交于点G，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴最大值为． 故答案为． 三、解答题 18．如图平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以x轴为对称轴，画出的对称图形； (2)在x轴上找一点P使的值最小，直接写出P点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)P点的坐标为 【分析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称的性质求线段和的最值问题； （1）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接即可求解； （2）连接，交轴于点，根据图形可得P点的坐标为． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接，交轴于点，根据图形可得P点的坐标为 19．在平面直角坐标系中，已知点为第四象限内一点． (1)点到轴的距离为，求点的坐标； (2)我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．当点P是整点时，求整数取值的个数． 【答案】(1)点的坐标为 (2)个 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的关键. （1）根据题意得到，求出，计算即可得到答案； （2）根据题意列不等式组，解不等式组得到，即可得到答案. 【详解】（1）解：点在第四象限，点到轴的距离为， ， 解得：， ，， 点的坐标为． （2）解：点在第四象限， ， 解得， 整数有，两个， 当点是整点时，取值的个数是个． 20．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点O； (2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点C，并连接，，，得到，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查平面直角坐标系，割补法求三角形的面积． （1）点A和B的坐标确定原点O并建立平面直角坐标系即可； （2）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：根据和，确定原点O并建立平面直角坐标系如图所示： （2）解：如图， ． 21．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过点C作轴于点B． (1)求三角形的面积； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，接下来，再求得点的坐标，最后，依据三角形的面积公式求解即可； （2）过作，首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （3）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ， ，，， 的面积为； （2）解：轴，， ，，， 过作，如图所示： ， ， 、分别平分、， ，， ； （3）解：存在．理由如下： 当在轴正半轴上时，如图． 设点，分别过点作轴，轴，轴，交于点，则，，． ， ， ． 解得，即点的坐标为； 当在轴负半轴上时，如图作辅助线， 设点，则，，． ， ． 解得，即点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查的是三角形的综合应用，涉及到坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质：偶次方与算术平方根，角平分线的性质，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，掌握割补法求面积． 22．如下图，在平面直角坐标系中，已知三点．若a，b，c满足关系式：． (1)求a，b，c的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使三角形的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在．点P的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用非负性进行求解即可； （2）利用梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）由（1），得， ∴轴， ∴四边形为直角梯形，且， ∴四边形的面积． （3）存在． ∵三角形的面积， ， ， ∴点P的坐标为或． 23．如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 【答案】(1)，；， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了利用有序数对确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用有序数对表示． （1）根据题中规定即可获得答案； （2）结合题中规定，依次确定点，，及的位置，即可获得答案． 【详解】（1）解：由题中规定，向上向右走均为正，向下向左走均为负，则图中，； 故答案为：，；，； （2）解：点P位置如图所示． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 平面直角坐标系 课程标准 学习目标 平面直角坐标系的概念 1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角坐标系; 2.理解各象限内及坐标轴上点的坐标特征; 3.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据点 的位置确定横、纵坐标的符号 知识点01 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相 的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向 为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序 一一对应. 【即学即练1】 如图，平面直角坐标系中有一只蚂蚁从图示位置爬到A点，则A点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【即学即练3】 若点到轴，轴的距离之和为13，求点的坐标． 知识点02 用“方位角十距离”的定位法确定位置 像北偏西60,南偏东60“这样的角称为方位角. 【即学即练1】 北京时间2024年5月20日11时6分，“郑州航空港号”卫星搭乘长征二号丁运载火箭发射升空，从这天起，星空中有了一颗以“郑州航空港”来命名的星星．下列表述，能确定郑州位置的是（   ） A．河南省中北部 B．东经，北纬 C．嵩山东麓，黄河之滨 D．黄河中下游分界处 题型01 写出直角坐标系中点的坐标 【典例1】若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】某数学兴趣小组的同学们，把6个形状、大小完全相同的长方形叠加成如图所示的三个上升的“L”图案，放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式2】如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，Q是直线l上的一点，则点Q的坐标可能是 ．（写出一个即可） 题型02 求点到坐标轴的距离 【典例1】在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是 ． 【变式1】若点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标可能是（   ） A． B． C． D．或 【变式2】已知点在第三象限，到轴距离为3，且横坐标与纵坐标的差为1，则点的坐标为 ． 【变式3】点到轴的距离为3，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 题型03 坐标系中描点 【典例1】如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为，点B坐标为； (2)请作出关于y轴对称的； (3)的面积为______； 【变式3】已知四边形的四个顶点分别是，，，．在直角坐标系中画出这个四边形，并求这个四边形的面积． 【变式4】根据如图所示的平面直角坐标系，完成以下任务： (1)描出点，，，用线段顺次连接点，得到； (2)画出关于轴对称的； (3)画出关于x轴对称的. 题型04 判断点所在的象限 【典例1】点与点关于原点对称，则点所在的象限是（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】下列说法正确的有（   ） ①x轴上的点，其纵坐标均为0 ②当时，点在第四象限 ③若，则点在第一象限 ④坐标平面内的点与它的坐标一一对应 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．已知，则点在第 象限。 【变式3】对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第 象限． 题型05 已知点所在的象限求参数 【典例1】若点在y轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知点在x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m的值可能为（   ） A． B．1 C． D． 题型06 用方向角和距离确定物体的位置 【典例1】小丽家在学校的北偏东方向上，距离学校处；小亮家在学校的正南方向上，距离学校处；而小林家在学校的东南方向上，距离学校处．小丽、小亮、小林他们是好朋友，请你建立一个适当的平面直角坐标系，并在坐标系上标出这三个好朋友的家所在的位置． 【变式1】如图所示的是小明家周边的简单地图，已知 ，，点C为的中点，请用方向与距离描述商场、学校、停车场、公园、小吃街相对于小明家的位置． 【变式2】如图是一个飞机场的雷达屏幕，每两个相邻圆之间的距离是10千米． (1)飞机A在机场______偏______方向，距离是______千米； (2)飞机B在机场______偏南______方向，距离是______千米； (3)飞机C在机场南偏东，距离是50千米，请在平面上标出C的位置． 【变式3】如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______； (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置； (3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示． 一、单选题 1．若轴上的点到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 2．第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在平面直角坐标系中，点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 5．如图，从韩愈的《早春呈水部张十八员外》和刘禹锡的《浪淘沙·其一》中各选取一句放在平面直角坐标系中，“看”的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法不正确的是（    ） A．点在第一象限 B．点到y轴的距离为 C．若中，则点P在x轴上 D．点一定在第二象限 7．如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为 （         ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，且，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点与点的距离的最小值为 ． 12．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的第 象限． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，则当 时，是等腰三角形． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作，且．连接，当取得最小值时，点的坐标为 ． 15．点在y轴的右侧，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标为 ． 16．已知点，，且直线轴，则，两点间的距离为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上．若点A的纵坐标始终为4，则点到直线的距离的最大值是 ． 三、解答题 18．如图平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以x轴为对称轴，画出的对称图形； (2)在x轴上找一点P使的值最小，直接写出P点的坐标． 19．在平面直角坐标系中，已知点为第四象限内一点． (1)点到轴的距离为，求点的坐标； (2)我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．当点P是整点时，求整数取值的个数． 20．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位置坐标为，图书馆位置坐标为，解答下列问题： (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点O； (2)若体育馆位置坐标为，在坐标系中标出点C，并连接，，，得到，求的面积． 21．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过点C作轴于点B． (1)求三角形的面积； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如下图，在平面直角坐标系中，已知三点．若a，b，c满足关系式：． (1)求a，b，c的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使三角形的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$