精品解析：江苏省南京市励志高级中学2024-2025学年高一下学期第一次（2月）调研考试数学试卷

南京市励志高级中学2024—2025高一第二学期第一次调研考 试数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与不是共线向量 4. 已知向量，，，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 给出下列命题，正确的有（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B. 已知为实数，若，则与共线 C. 的充要条件是且 D. 若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形 7. 如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 若向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则是的中点 B. 已知，，是平面内任意三点，则 C. 若，，，是同一平面上的四个点，若，则，，三点共线 D. 若，则为的外心 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______． 13. 函数的零点个数为__________. 14. 正方形的边长为为边的中点，为边上一点，且，则__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； 16. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（4，3），点B的坐标为（－1，6），作，垂足为点D． （1）求，，； （2）求； （3）求． 18. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 19. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市励志高级中学2024—2025高一第二学期第一次调研考 试数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合交集定义即可求得结果. 【详解】令分别等于1，2，3，4，解得分别等于-1，0，1，2，则，所以. 故选：B 2. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的定义及对数的运算性质，求解即可. 【详解】因为， 故选：B. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与不是共线向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误. 【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误. 对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误. 对于C，若，则必定共线，故，故C成立. 对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向， 故与可以为共线向量，故D错误. 故选： 4. 已知向量，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，，则，解得. 故选：C. 5. 已知向量，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的坐标，即可得解； 【详解】解：因为， 所以，所以， 故选：A. 6. 给出下列命题，正确的有（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B. 已知为实数，若，则与共线 C. 的充要条件是且 D. 若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的概念即可判断A，举反例即可反驳BC，根据相等向量的含义即可判断D. 【详解】对A，向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故A错误； 对B，若时，此时与可以不共线，故B错误； 对C，、为相反向量时，也满足且，但此时，故C错误； 对D ，若是不共线的四点，且，则， 则四边形为平行四边形，故D正确. 故选：D. 7. 如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 8. 已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出定点的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得出、所满足的关系式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数且， 由，可得，此时，，即点， 将点的坐标代入直线方程可得，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】CD 【解析】 【分析】先求得不等式的解集，根据题意，求得，结合选项，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以. 结合选项，选项C、D满足题意. 故选：CD. 10. 若向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】用坐标表示出向量，用模长公式求出模长即可判断A选项；用向量坐标求向量的数量积判断B选项；由向量的投影向量的公式判断C选项；由坐标求出模长和向量的数量积，求出向量的夹角判断D选项. 【详解】由题， 所以，故A错； 又，故B正确； ，所以在上的投影向量为：，故C正确； 因为，又，所以，故D错误. 故选：BC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则是的中点 B. 已知，，是平面内任意三点，则 C. 若，，，是同一平面上的四个点，若，则，，三点共线 D. 若，则为的外心 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 在中，若，则是的中点，故A正确； 由三角形法则可知，，故B正确； 由可得，， 所以，则，，三点共线，故C正确； 若，则，由平面向量的平行四边形法则可知， 当为中点时，有，所以， 所以为的重心，故D错误. 故选：ABC. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的模和向量的数量积的定义，求向量夹角的余弦值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则向量，夹角的余弦值为 故答案为：. 13. 函数的零点个数为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 14. 正方形的边长为为边的中点，为边上一点，且，则__________. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】利用勾股定理得到，然后根据数量积的几何意义得到在上的投影的数量等于，从而得到，然后利用三角函数得到，最后利用勾股定理计算即可. 【详解】 正方形的边长为2，点为边的中点， ， ， 在上的投影的数量为. 所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以， . 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出，再用求模公式即可； （2）利用得到，再利用数量积的坐标形式求解. 【小问1详解】 若，则，即，则，. 【小问2详解】 ，则，则， ，得. 16. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. 【小问2详解】 若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 17. 如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（4，3），点B的坐标为（－1，6），作，垂足为点D． （1）求，，； （2）求； （3）求． 【答案】（1），，； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量坐标模长公式进行求解；（2）利用向量坐标夹角公式求解；（3）根据第二问求出OD，再使用勾股定理求出BD，求出面积. 【小问1详解】 ，，由于，所以； 【小问2详解】 ，故； 【小问3详解】 由（2）得：，所以，由勾股定理得：，所以. 18. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，由此即可得解. （2）由定义法证之即可. （3）结合奇函数的单调性即可求. 【小问1详解】 因为定义在区间上的函数为奇函数， 则，经验证满足题意，则. 则. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增， 证明如下：设，则， 其中，， 所以，即， 故函数在上单调递增. 【小问3详解】 是奇函数，不等式化为， 在上是增函数， ，解得，故不等式的解集为. 19. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）；单调递减区间是， （2），；， （3） 【解析】 【分析】（1）由的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间； （2）求出的范围，再结合余弦函数的性质得最值； （3）由余弦函数的性质解不等式． 【小问1详解】 的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. 【小问2详解】 ∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 【小问3详解】 ，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $