精品解析：河南省洛阳市偃师区 新前程美语学校2024-2025学年九年级下学期2月月考数学试题

新前程美语学校2025届毕业班下学期第一次月考试卷 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分．每个小题只有一个选项符合题意） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A 0 B. C. D. 2. 下列问题适合全面调查的是（　　） A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况 C. 了解郴江河的水质情况 D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（ ） A B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 8. 关于的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 开口向下 9. 二次函数满足以下三个条件：①；②；③，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每空3分，共15分） 11. 因式分解： _________________． 12. 将抛物线y=（x-3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到抛物线解析式为__________________ 13. 如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________ 14. 已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____． 15. 如图，为圆心，直径，，则图中阴影部分的面积是______________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 进入世纪以来，中国航天迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．北京时间年月日，神舟十七号、神舟十八号航天员乘组在轨举行交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙．，两所学校为激发学生热爱航天、崇尚科学的热情，在全校学生中开展了手工制作航天模型的活动． 【收集数据】 从，两所学校各随机抽取了名学生，进行了航天模型比赛，成绩（十分制）如下（单位：分）： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 校成绩 10 8 7 7 7 8 8 6 m 7 B 校成绩 9 8 7 7 9 n 7 8 8 10 【分析数据】 以下是两组不完整的样本数据的众数、中位数、平均数（单位：分）： A校 B校 众数 8 中位数 p 平均数 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述，，值： ， ， （2）已知校有人，校有人，估计这名学生中成绩达到分及以上的总人数； （3）根据以上数据分析，评价哪个学校的航天模型比赛成绩更优异． 18. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 20. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 21. 如图，已知为的直径，是弦，且于点E．连接． （1）求证：； （2）若，求直径． 22. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O与Rt△ACD的两直角边分别交于点E、F，点F是弧BE的中点，∠C=90°，连接AF． （1）求证：直线DF是⊙O的切线． （2）若BD=1，OB=2，求tan∠AFC的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新前程美语学校2025届毕业班下学期第一次月考试卷 数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分．每个小题只有一个选项符合题意） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．根据有理数的大小比较法则：正数>0>负数；然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵ 正数>0>负数，， ∴ ∴， ∴比小的是． 故选：D． 2. 下列问题适合全面调查的是（　　） A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会关注情况 C. 了解郴江河的水质情况 D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 【答案】D 【解析】 【分析】根据全面调查的定义与适用范围对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A、B、C项数量较大，也不需要非常精确的数据，适于抽查，故不符合要求； D项关乎生命安全且需要的数据比较精确，适于全面调查，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了全面调查．解题的关键在于熟练掌握全面调查的适用条件． 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式，单项式乘以多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键． 按照运算规律进行计算即可． 【详解】解：A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B． ，故B不符合题意； C． ，故C不符合题意； D． ，故D符合题意． 故选D． 5. 下列函数中一定是二次函数的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，理解形如的函数是二次函数是解题关键．据此相关内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、是二次函数，故该选项不符合题意； C、不是二次函数，故该选项不符合题意； D、是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 7. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象． 【详解】解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限； 当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限． 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标． 8. 关于的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 开口向下 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式，根据二次函数的性质直接判断每个选项即可． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为，对称轴直线为直线，故选项A、B错误，不符合题意； ， 抛物线的开口向上，有最小值为3，且当时，随增大而增大，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意， 故选：C． 9. 二次函数满足以下三个条件：①；②；③，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系及二次函数图象的性质．首先根据②可判断出函数图象与x轴有两个交点，再根据③判断出当时，函数值小于0，即在x轴下方，最后根据①分两种情况判断图象开口及抛物线与y轴交点情况，即可得出答案． 【详解】解：，即， ∴函数图象与x轴有两个交点，故选项A错误； ∵， ∴当时，函数值小于0，故选项B错误； ∵， ∴同号， 当时，则函数图象开口向上，与y轴交点在y轴正半轴， 当时，则函数图象开口向下，与y轴交点在y轴负半轴，故C选项正确，D选项错误； 故选：C． 10. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向上，在对称轴右边，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为，开口向上， 在对称轴右边，y随x的增大而增大， 关于对称轴对称点为， ，，两点在对称轴右边，y随x的增大而增大， ， ， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每空3分，共15分） 11. 因式分解： _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，利用提取公因式法和公式法相结合因式分解即可．熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键，注意分解一定要彻底． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 将抛物线y=（x-3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________________ 【答案】y=（x-2）2+3． 【解析】 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线y=（x-3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为y=（x-3+1）2+1+2=（x-2）2+3， 即：y=（x-2）2+3． 故答案为：y=（x-2）2+3． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换． 13. 如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________ 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____． 【答案】m≥﹣2 【解析】 【详解】抛物线的对称轴为直线， ∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大， ∴﹣m≤2，解得m≥﹣2． 故答案为m≥﹣2． 15. 如图，为圆心，直径，，则图中阴影部分的面积是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，扇形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．连接，过作于点，根据圆周角定理求出，再根据扇形面积公式及三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于点， ∵直径， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 进入世纪以来，中国航天迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．北京时间年月日，神舟十七号、神舟十八号航天员乘组在轨举行交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙．，两所学校为激发学生热爱航天、崇尚科学的热情，在全校学生中开展了手工制作航天模型的活动． 【收集数据】 从，两所学校各随机抽取了名学生，进行了航天模型比赛，成绩（十分制）如下（单位：分）： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 校成绩 10 8 7 7 7 8 8 6 m 7 B 校成绩 9 8 7 7 9 n 7 8 8 10 【分析数据】 以下是两组不完整的样本数据的众数、中位数、平均数（单位：分）： A校 B校 众数 8 中位数 p 平均数 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述，，的值： ， ， （2）已知校有人，校有人，估计这名学生中成绩达到分及以上的总人数； （3）根据以上数据分析，评价哪个学校的航天模型比赛成绩更优异． 【答案】（1）,,； （2）这名学生中成绩达分及以上人数有人； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由图表可求解； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）答案不唯一，可从平均数、中位数、众数的角度来分析． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴校个人的成绩从小到大排列为，，，，，，，，，，最中间两个数为和， ∴， ∵校成绩中出现最多的和都已经出现了次，且众数为， ∴, 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：校分及以上的人数有（人）， 校分及以上的人数有（人）， （人）． 所以估计这名学生中成绩达分及以上的人数有人； 【小问3详解】 由表格可知校成绩的平均数比校的高，所以校的成绩要更优异． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法以及用样本估计总体等知识，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键． 18. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 20. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 【答案】（1） （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案. 【小问1详解】 解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为： 把代入抛物线的解析式得： 解得： 所以抛物线为： 【小问2详解】 解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间， 所以当时， 而 所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过. 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键. 21. 如图，已知为的直径，是弦，且于点E．连接． （1）求证：； （2）若，求的直径． 【答案】（1）见解析 （2）的直径为 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据垂径定理和圆的性质，等弧的圆周角相等，即可求证． （2）根据垂径定理求出，设的半径为R，则，根据勾股定理及圆的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵为的直径，是弦，且于点E， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设的半径为R，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的直径为． 22. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），，144元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 23. 如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O与Rt△ACD的两直角边分别交于点E、F，点F是弧BE的中点，∠C=90°，连接AF． （1）求证：直线DF是⊙O的切线． （2）若BD=1，OB=2，求tan∠AFC的值． 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连结OF，BE，根得到BE∥CD，根据平行线的性质得到∠OFD=90°，根据切线的判定定理证明； （2）由OF∥AC可得比例线段求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，tan∠AFC的值可求． 【详解】（1）证明：连结OF，BE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠AEB=∠ACD， ∴BE∥CD， ∵点F是弧BE的中点， ∴OF⊥BE， ∴OF⊥CD， ∵OF为半径， ∴直线DF是⊙O的切线； （2）解：∵∠C=∠OFD=90°， ∴AC∥OF， ∴△OFD∽△ACD， ∴， ∵BD=1，OB=2， ∴OD=3，AD=5， ∴， ∴CD===， ∵， ∴=， ∴tan∠AFC=． 【点睛】本题考查的是切线的判定、三角函数的计算，掌握切线的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$