精品解析：山西省长治市长子县2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期期末教学质量监测试题 七年级 数学 注意事项： 1．本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，共8页． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下．能解释这一实际应用的数学知识是（ ） A 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 点到直线之间，垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 4. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的谈水资源总量为27500亿米3，这个数用科学记数法可表示为（　　） A. 275×1010 B. 27.5×1011 C. 2.75×1012 D. 2.75×1013 5. 用四舍五入法得到近似数3.14万，下列说法正确的是（ ） A. 它精确到0.01 B. 它精确到个位 C. 它精确到百位 D. 它精确到百分位 6. 如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个正方体表面展开图，则该正方体可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知：a、b为有理数，下列说法：①若 a、b互为相反数，则；②若则；③若，则；④若，则是正数.其中正确的有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即），如，则叫做以为底的对数，记为（即），根据以上运算规则，（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案写在答题卡的横线上） 11. 如图，点射线上，要使，只需添加条件：________（写一个即可）． 12. 已知数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则______． 13. 数学课上，老师设计了一个数学游戏：若两个多项式相减结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好多项式”．甲、乙、丙三位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙三位同学的对话，根据对话内容，可以知道丙的多项式是________（写出一个即可）． 14. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角___________． 15. a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则______． 三、解答题（本大题含8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 化简求值：，其中． 18. 在平整的地面上，有一个由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，如图所示． （1）请画出这个几何体的三视图； （2）在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变． ①添加小正方体的方法共有__________种． ②请在图中画出一种添加小正方体后，新得到的几何体的左视图． 19. 补全下面推理过程： 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ∵（________） ∴（________）（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴（________），（________） ∵，∴（________），（________） ∵（辅助线作法），∴（________）， ∴ ∴（________）． 20. 【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为__________． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为11，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．求的值． 21. 阅读下列材料，完成后面任务： 数学课上，老师给出了如下问题：已知点A，B，C均在直线l上，． M是中点，求的长． 小明的解答过程如下： 如图2，， ． 又M是的中点， ． 小芳说：“小明的解答不完整．” 任务： （1）你同意小芳的说法吗？如果同意，请将小明的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由． （2）我们发现角的很多规律和线段一样，已知平分，请直接写出的度数． 22. 综合与实践：制作一个无盖长方形盒子． 用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． （1）如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为________，底面积为_______，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的体积________； （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取时，折成的无盖长方体的体积分别是多少？ 请你将计算的结果填入表格： 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 体积/ 324 512 ____ ____ 500 384 252 128 36 0 （3）观察表格中数据，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的体积如何变化？（ ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 （4）分析当正方形纸片边长，剪去的正方形的边长为整数时，取_______时所得的无盖长方体的体积最大，此时无盖长方体的体积是_______． （5）对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？ 23. 综合与探究 问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D． 探索发现： “快乐小组”经过探索后发现： （1）当时，．请说明理由． （2）不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，用含的式子表示为____________________． 操作探究： （3）“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由． （4）点P继续在射线上运动，当运动到使时，请直接写出的结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末教学质量监测试题 七年级 数学 注意事项： 1．本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，共8页． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. -2的倒数是（ ） A -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项的计算，同类项合并时，把同类项的系数加相，字母和各字母的指数都不改变．熟悉同类项的运算法则是解题的关键． 利用合并同类项的法则计算判别即可． 【详解】解：A．不能合并计算，本选项错误； B．因两项不是同类项，故不能进行合并运算，本选项错误； C．，本选项正确； D．，本选项错误； 故选：C． 3. 木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下．能解释这一实际应用的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 点到直线之间，垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，解题时注意：经过两点有且只有一条直线．根据直线的性质“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线． 故选：A． 4. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的谈水资源总量为27500亿米3，这个数用科学记数法可表示为（　　） A. 275×1010 B. 27.5×1011 C. 2.75×1012 D. 2.75×1013 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：27500亿=2750000000000=2.75×1012． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 5. 用四舍五入法得到近似数3.14万，下列说法正确的是（ ） A. 它精确到0.01 B. 它精确到个位 C. 它精确到百位 D. 它精确到百分位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，根据近似数的精确度求解即可． 【详解】3.14万， 数字4在百位上，则近似数3.14万精确到百位， 故选：C． 6. 如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线性质、三角形外角的性质等知识点，根据三角形外角的性质求得是解题的关键． 如图：先根据三角形外角的性质求出的度数，再根据两直线平行、同位角相等即可解答． 【详解】解：∵是的外角，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 7. 如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开图，根据展开图可知，黑白两圆所在的小正方形为相对面，两个三角形所在小正方形为相邻面可排除A，B，由阴影三角形与白色圆的位置可排除C，据此进行判断即可． 【详解】解：观察可知，该正方体可能为： 故选D． 8. 已知：a、b为有理数，下列说法：①若 a、b互为相反数，则；②若则；③若，则；④若，则是正数.其中正确的有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①0的相反数为0，而没有意义； ②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a与b都为负数，即3a＋4b小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断； ③由a−b的绝对值等于它的相反数，得到a−b为非正数，得到a与b的大小，即可作出判断； ④由a绝对值大于b绝对值，分情况讨论，即可作出判断． 【详解】①0与0互为相反数，但是没有意义，本选项错误； ②由a＋b＜0，ab＞0，得到a与b同时为负数，即3a＋4b＜0， ∴|3a＋4b|＝−3a−4b，本选项正确； ③∵|a−b|＋a−b＝0，即|a−b|＝−（a−b）， ∴a−b≤0，即a≤b，本选项错误； ④若|a|＞|b|， 当a＞0，b＞0时，可得a＞b，即a−b＞0，a＋b＞0，∴（a＋b）•（a−b）为正数； 当a＞0，b＜0时，a−b＞0，a＋b＞0，∴（a＋b）•（a−b）为正数； 当a＜0，b＞0时，a−b＜0，a＋b＜0，∴（a＋b）•（a−b）为正数； 当a＜0，b＜0时，a−b＜0，a＋b＜0，∴（a＋b）•（a−b）为正数， 本选项正确， 则其中正确的有2个． 故选B． 【点晴】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． 9. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，由平行可求得，又由折叠的性质可得，结合平角可求得，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 又由折叠的性质可得， ， ∴， 故选：A． 10. 若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即），如，则叫做以为底的对数，记为（即），根据以上运算规则，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了运用乘方解决新定义问题的能力．根据对数的定义运用乘方进行求解． 【详解】解：， 是以3为底81的对数， 即， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案写在答题卡的横线上） 11. 如图，点在射线上，要使，只需添加条件：________（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据同位角相等两直线平行，添加，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，先根据数轴上点的位置得到，进而得到，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：由数轴上点的位置可知， ∴， ∴ ， 故答案为；． 13. 数学课上，老师设计了一个数学游戏：若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好多项式”．甲、乙、丙三位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙三位同学的对话，根据对话内容，可以知道丙的多项式是________（写出一个即可）． 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：①若甲的多项式为和， 则丙的多项式为： ， ②若乙的多项式为和， 则丙的多项式为： ， ③若丙的多项式为和， 则丙的多项式为： 故答案为：（或或）． 14. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角___________． 【答案】##122度 【解析】 【分析】由可求得的度数，再根据即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 15. a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据差倒数的定义求出的值，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 则这列数是以，，循环出现的， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题含8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2）14 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算问题，掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）先计算乘除法，再进行加减计算； （2）先计算乘方，计算绝对值，再进行乘除计算，最后进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 化简求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质，解答本题的关键是熟练掌握整式的运算法则． 先去括号，合并同类项，再根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入化简的结果计算． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 18. 在平整的地面上，有一个由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，如图所示． （1）请画出这个几何体的三视图； （2）在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变． ①添加小正方体的方法共有__________种． ②请在图中画出一种添加小正方体后，新得到的几何体的左视图． 【答案】（1）见解析 （2）①2；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图画法，由立体图形，可知主视图、左视图、俯视图，并能得出有几列即每一列上的数字． （1）根据题目中图形可知：主视图共3列，从左到右，第一列有3个小正方形，第二列有1个小正方形，第三列有2个小正方形，左视图共3列，从左到右，第一列有3个小正方形，第二列有2个小正方形， 第三列有1个小正方形，俯视图共3列，从左到右，第一列有3个小正方形，第二列有2个小正方形，第三列有1个小正方形． （2）①根据三视图投影间的关系确定即可； ②根据①中添加的正方体的图形画出左视图即可． 小问1详解】 解：如图， ； 【小问2详解】 解：①在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变， 则添加在第一列最前面的正方体上，也可以添加在第一列中间的正方体上． 故有2种方法， 故答案是：2． ②如图， （答案不唯一） 19. 补全下面推理过程： 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ∵（________） ∴（________）（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴（________），（________） ∵，∴（________），（________） ∵（辅助线作法），∴（________）， ∴ ∴（________）． 【答案】已知；；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵（已知） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵，∴，（垂直的定义） ∵（辅助线作法），∴， ∴， ∴． 故答案为：已知；；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；． 20. 【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为__________． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为11，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． （1）读懂题意，利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）将代入，得到；再将代入化简求值，整体代入即可得到答案； （3）分析所求代数式与条件之间的关系，化简，代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴当时：； （3）∵，， ∴ ． 21. 阅读下列材料，完成后面任务： 数学课上，老师给出了如下问题：已知点A，B，C均在直线l上，． M是的中点，求的长． 小明的解答过程如下： 如图2，， ． 又M是的中点， ． 小芳说：“小明的解答不完整．” 任务： （1）你同意小芳的说法吗？如果同意，请将小明的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由． （2）我们发现角的很多规律和线段一样，已知平分，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查线段中点的定义、角平分线的性质，根据题意，学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键． （1）当点在点右侧时，则，根据线段中点的定义可得，以此即可解答； （2）分两种情况：①当在内部时，此时，再根据角平分线的性质即可得出；②当在外部时，此时，再根据角平分线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：同意小芳的说法．小明的解答过程补充如下： 如图，当点C在点B右侧时． ． ． M是的中点， ， 的长为4或8． 【小问2详解】 解：①当在内部时，如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴； ②当在外部时，如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴． 综上所述，的度数或． 22. 综合与实践：制作一个无盖长方形盒子． 用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． （1）如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为________，底面积为_______，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的体积________； （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取时，折成的无盖长方体的体积分别是多少？ 请你将计算的结果填入表格： 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 体积/ 324 512 ____ ____ 500 384 252 128 36 0 （3）观察表格中数据，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的体积如何变化？（ ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 （4）分析当正方形纸片边长，剪去的正方形的边长为整数时，取_______时所得的无盖长方体的体积最大，此时无盖长方体的体积是_______． （5）对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？ 【答案】（1） （2）见解析 （3）C （4）3，588 （5）表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位 【解析】 【分析】本题考查无盖盒子的边长与体积关系探究，列代数式，从表格获取信息处理信息，应用信息解决问题，掌握无盖盒子的边长与体积关系探究，列代数式，从表格获取信息处理信息，应用信息解决问题是解题关键． （1）根据截去的小正方形边长，得出无盖长方体盒子的高为bcm，然后求出底面边长，再求底面积，和体积即可； （2）根据截去的边长，求出底面边长，再求出无盖的长方体盒子的体积即可； （3）根据表格的信息可得随着减去的小正方形的边长的增大，得出无盖长方体盒子的体积变化规律； （4）根据表格得出截去小正方形边长为整数3时，体积最大，计算即可； （5）根据精确度要求越高，无盖长方体盒子的体积会更大些． 【小问1详解】 解：无盖长方体盒子的高就是截去的小正方形边长，无盖长方体盒子的高为，底面边长，底面面积为， 做成一个无盖的长方体盒子的体积为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 填表如下： 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 体积/ 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 故答案为：588；576． 【小问3详解】 解：随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的体积先变大，再变小． 故选C． 【小问4详解】 根据无盖长方体盒子的体积的变化，截去的正方形边长在时，无盖长方体盒子的体积最大． 故答案为：3，588． 【小问5详解】 根据无盖长方体盒子的体积的变化，截去的正方形边长在3与4之间时，无盖长方体盒子的体积最大； 当时，， 当时，， 当时，， 因此表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位． 23. 综合与探究 问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D． 探索发现： “快乐小组”经过探索后发现： （1）当时，．请说明理由． （2）不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，用含的式子表示为____________________． 操作探究： （3）“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由． （4）点P继续在射线上运动，当运动到使时，请直接写出的结果． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算： （1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，即可求证； （2）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可； （4）根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴． ∵分别平分和， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$